人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步提優(yōu)?？荚囶}17

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步提優(yōu)?？碱}專訓(xùn)

第十七章勾股定理

17.1勾股定理

一.選擇題

1.（2019秋?蘭考縣期末）一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5,12,則其斜邊上的高為（）

A.啦B.13C.6D.25

13

2.（2020春?晉中月考）如圖所示的是由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)正方形組成的圖形，其中陰影部分

的面積是（）

A.50B.16C.25D.41

3.（2020春?晉中月考）如圖，在RtZ\ABC中，NACB=90°,AB^5cm,AC=3cvn,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)

8出發(fā)，沿射線BC以\cmls的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，/的

值不可能為（）

A.5B.8C.絲D.空

48

4.（2020秋?明溪縣期中）如圖，“趙爽弦圖”是用四個(gè)相同的直角三角形與一個(gè)小正方形無(wú)縫隙

地鋪成一個(gè)大正方形，已知大正方形面積為25,（x+y）2=49,用x,y表示直角三角形的兩直角

邊（x>y）,下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.小正方形面積為4B.3+爐=5

C.x2-9=7D.孫=24

5.（2020秋?江干區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，NACB=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)。在邊AB

上，AD^AC,AEVCD,垂足為凡與BC交于點(diǎn)E,則BE的長(zhǎng)是（）

A.3B.5C.也D.6

3

6.（2019?濱湖區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m-1,-

3-m--）（其中m為實(shí)數(shù)），當(dāng)PM的長(zhǎng)最小時(shí)，，"的值為（）

44

A.-理B.-工C.3D.4

55

7.（2015春?蒼溪縣期末）在△ABC中，A8=AC=10,80是AC邊上的高，。C=2,則8。等于（）

二.填空題

8.（2020秋?皇姑區(qū)期末）等腰△ABC中，AB=AC=4,NBAC=30°,以AC為邊作等邊△ACQ,

則點(diǎn)B到CD的距離為.

9.（2020秋?興化市月考）如圖，△ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,若點(diǎn)P從點(diǎn)4

出發(fā)，以每秒2cm的速度由A向8運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為［秒（0）.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為時(shí),

△BC尸為等腰三角形.

10.（2020秋?碑林區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知△ABC中，ZB=90°,AB^Scm,BC=6cm,。是△

ABC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿B-C-A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為2cm/s,當(dāng)經(jīng)過(guò)秒時(shí)

△BCQ為等腰三角形.

11.（2020春?潮安區(qū)期中）如圖，在中，NAC8=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從

點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1aMs的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為“少，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，，的

取值為.

12.（2020秋?武侯區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知△ABC中，ZB=90°,AB=8CM,BC=f>cm,點(diǎn)。是

△4BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。從點(diǎn)3開(kāi)始沿8-CfA方向運(yùn)動(dòng)，且速度為2a“/s,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

為ts,當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使ABC。成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是s.

13.（2020秋?武侯區(qū)校級(jí)月考）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的

三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、。的面積分別是2,3,5,4,則最大的正方形E的

面積是.

14.（2020春?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖：已知四邊形ABCZ）中，/ABC=/AZ）C=90°,平分/

AOC,點(diǎn)E為線段CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且點(diǎn)E到CC的距離為6,連接AE,若OC=6,AE=5,

且A￡>V2C￡>,則A。的長(zhǎng)為.

2

D

15.(2019秋?上城區(qū)期末)已知△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)8作AC的垂線/,垂足為

D,點(diǎn)P為直線/上的點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于CP的對(duì)稱點(diǎn)Q,當(dāng)△ABQ是等腰三角形時(shí)，P。的長(zhǎng)度

為.

三.解答題

16.(2019秋?鄲都區(qū)期末)如圖，在△ABC中，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)。，使C￡>=4C,過(guò)點(diǎn)。作。E〃A8

交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,延長(zhǎng)。E至點(diǎn)凡使EF=DE.連接AF.

(1)求證：DE=AB；

(2)求證：AF//BE；

(3)當(dāng)AC=BC時(shí)，連接AE,求證：AE?+DE1=AD2.

17.(2020秋?青羊區(qū)校級(jí)月考)如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,每個(gè)小正方

形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，已知△A8C是網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形.

(1)求BC的長(zhǎng).

(2)求△A8C的面積.

(3)求BC邊上的高.

18.（2020秋?寧化縣期中）如圖，在△ABC中，ADLBC,AD=\2,80=16,CD=5.求：ZXABC

的周長(zhǎng).

19.(2020秋?新城區(qū)校級(jí)月考)如圖，在△ABC中，A8=14,8c=15,AC=13,求△ABC的面積.

20.（2020秋?山西月考）如圖，在RtZ\A8C,ZABC=90Q,AB=16a〃，BC=12cm,BDLAC.

(1)求出4c的長(zhǎng)和的長(zhǎng).

(2)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1C7”的速度沿CfA—B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

，秒，當(dāng)/為何值時(shí)，△PBC的面積為360層?

B

21.(2020秋?和平區(qū)校級(jí)月考)如圖，四邊形488中，AB1AD,已知AO=6cm,AB=Scm,CD

=24cm,BC=26cm,求四邊形ABCQ的面積.

22.(2020秋?法庫(kù)縣期末)已知AABC中，AB=AC,CCAB于點(diǎn)D

(1)若NA=36°,求/OC8的度數(shù)；

(2)若AB=10,CD=6,求BC的長(zhǎng).

23.(2020春?安慶期末)如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1,小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),

在正方形網(wǎng)格中分別畫(huà)出下列圖形：

(1)在網(wǎng)格中畫(huà)出長(zhǎng)為泥的線段A8

(2)在網(wǎng)格中畫(huà)出一個(gè)腰長(zhǎng)為丁元、面積為3的等腰△OEF.

24.(2020秋?長(zhǎng)清區(qū)月考)如圖，AABC中，ZC=90°,AB=\0cm,BC=6cm,若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C

開(kāi)始，按C-A-BfC的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時(shí)間為，秒.

(1)出發(fā)2秒后，求△ABP的周長(zhǎng)；

(2)當(dāng)f為幾秒時(shí)，BP平分乙4BC；

參考答案與試題解析

一.選擇題

1.【解答】解：???直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5,12,

斜邊為｛52+]22=13,

,.15A/tsc=Ax5X12=1x13/7(力為斜邊上的高)，

22

.?.仁竺.

13

故選：A.

2.【解答]解：由勾股定理得，AB?=132-122=25,

：.CD2+BD2^BC2=25,

...陰影部分的面積=25+25=50,

故選：A.

3.【解答】解：在RtZ\ABC中，B^AB2-AC2=52-32=16,

：.BC=4cm,

如圖1,當(dāng)AB=BP=5cm時(shí),t=5；

如圖2,當(dāng)A2=AP時(shí)，BP=2BC=8cm,

t=8；

如圖3,當(dāng)8P=4P時(shí)，^AP=BP=xcm,

WJCP=(4-x)cm,AC=3cm.

在Rt^ACP中，AP^AC^+CP2,

.*.x2=32+(4-x)2,

解得，x=空，

8

.l25

8

綜上所述，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，r=5或f=8或r=2殳,

8

當(dāng)/=空時(shí)，AABP不是等腰三角形，

4

故選：C.

圖3

圖1

4.【解答】解：根據(jù)題意可得：/+)2=25,

V(x+y)2=49,故B錯(cuò)誤，

：.2xy=24,故/)錯(cuò)誤，

(x-y)2=1,故A錯(cuò)誤，

；./-y2=7,故C正確；

故選：C.

5.【解答】解：連接OE,如圖所示，

在Rt/XABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

'AB=VAC2+BC2=V62+82=1

,：AD=AC=6,AFVCD,

：.DF=CF,

：.CE=DE,BD=AB-AD=4,

在△AOE和aACE中，

"AC=AD

<CE=DE>

AE=AE

.?.△AOE絲/MCE(SSS),

/.ZADE=ZACE=90Q,

:.NBDE=90°,

設(shè)CE=￡>E=x,則BE=8-x,

在中，由勾股定理得：DE?+BD2=BEr,

即f+42=(8-x)2,

解得：尸3；

：.CE=3；

：.BE=S-3=5.

故選：B.

6.【解答】解：由兩點(diǎn)間的距離公式可知：尸必=（，〃-1）2+（-3m-9-2）2=至（〃?+工）2+16,

44165

?.?至〉0,

16

...當(dāng)加=-1時(shí)，PM2最小.

5

故選：B.

7.【解答］解：?；AB=AC=10,CD=2,

；.AQ=10-2=8,

：8。是4c邊上的高，

：.ZBDA=9Q°,

由勾股定理得：BD=dhB?_卜口2=寸］。2_82=6,

故選：C.

二.填空題

8.【解答】解：當(dāng)點(diǎn)。在4c的左側(cè)時(shí)，設(shè)48與CO交于點(diǎn)E,

：.AC=AD=CD=4,ZDAC=60°,

又「N8AC=30°,

：.ZDAE=ZBAC=30°,

：.AB±CD,

VZBAC=30°,

，CE=LC=2,AE=V^EC=2?,

2

：.BE=AB-AE=4-2M；

當(dāng)點(diǎn)。在AC的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)8作交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接8。,

圖2

???△ACO是等邊三角形，

：.AC=AD=CD=AB=49NOAC=60°,

AZBAD=90°,

BD=2+人口2=V16+16=4^/2?

t：AB=AC,NA4c=30°,

/.ZACB=750,

：.ZBCE=\S0°-NACO-NACB=45°,

VBE±CE,

：.ZBCE=ZCBE=45Q,

：?BE=CE,

9：BD1=BE1+DE2,

：.32=BE2+(CE+4)2,

:.BE=2M-2,

綜上所述：點(diǎn)B到CO的距離為2次-2或4-2?.

9.【解答］解：當(dāng)P在A8上時(shí)，為等腰三角形，可分三種情況:

①CP=P3,點(diǎn)尸在3c的垂直平分線上，如圖1,

圖1

?：PC=PB,

Z.NB=NPCB,

,：ZACB=90°,

.".ZPCB+ZACP=90°,ZB+ZA=90°,

/A=/4CP,

：.AP=PC,

:.PB=XAB,即5-2^=金,

22

解得：f=5,

4

②PB=BC,

即5-2f=3,

解得：r=l,

@PC=BC,

如圖3,過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D,

VZACB=90Q,AB=5cm,BC=3cm,

,，MC=VAB2-BCV52-32=4?

vSAABC=,XACxBCVXABXCO，

.co=ACXBC_12

"AB'T，

=22=,

ABDVBC-CDTD

?:PC=BC,CDLAB,

：.BD=^BP,

2

(5-2r),

52

解得：t=JL,

io

...當(dāng)f=l或5或工時(shí)，LBCP為等腰三角形.

410

故答案為：1或5或二.

410

10.【解答】解：(1)當(dāng)點(diǎn)。在邊C4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使△BC。成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有分三種

情況：

①當(dāng)CQ=BQ時(shí)，如圖1所示：

圖1

則NC=NC8Q,

VZABC=90°,

：.ZCBQ+ZABQ=9QQ,

ZA+ZC=90°,

ZA=ZABQ

：.BQ=AQ,

：.CQ=AQ=5,

：.BC+CQ^11,

??“=11+2=5.5（秒）.

②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示:

圖2

則BC+CQ=\2,

.?“=12+2=6（秒）.

③當(dāng)BC=BQ時(shí)，如圖3所示:

E

BA

圖3

過(guò)B點(diǎn)作BELAC于點(diǎn)E,

則二6X8=4.8Cem')，

AC10

???CE—JBCa-BE2=3.6(cm),

：.CQ^2CE=1.2(cm),

?.BC+CQ=\3.2(cm),

.,“=13.2+2=6.6(秒).

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使ABCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有一種情況，如圖4所示,

則8C+CA+AQ=6+10+2=18Cem),

.1=18+2=9(秒).

由上可知，當(dāng)f為5.5秒或6秒或6.6秒或9秒時(shí)，△8CQ為等腰三角形.

故答案為：5.5或6或6.6或9.

II.【解答］解：在RtZ\A8C中，BC2=AB2-AC2=52-32=16,

：.BC=4(cm)；

①當(dāng)A8=B尸時(shí)，如圖1,t=5i

②當(dāng)A8=A尸時(shí)，如圖2,BP=2BC=8cm,r=8；

③當(dāng)8P=A尸時(shí)，如圖3,AP=BP=tan,CP=(4-t)cm,AC=3an,

在RtzMCP中，AP2=AC2+CP2,

所以f=32+(4-/)2,

解得：f=空，

8

綜上所述：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，r=5或f=8或1=絲.

故答案為：5或^=8或/=空.

8

12.【解答】解：ZVIBC中，ZB=90°,AB=Scm,BC=6cm,

：.AC=7AB2+BC2=1OCW,

分三種情況：

①當(dāng)CQ=8Q時(shí)，如圖1所示:

則NC=/CBQ,

；/ABC=90°,

...NCBQ+/ABQ=90°,

NA+/C=90°,

ZA^ZABQ,

：.BQ=AQ,

.".CQ=AQ=5,

：.BC+CQ=\\,

.,"=11+2=5.5(秒).

②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示：

則BC+CQ=\2,

.?"=12+2=6(秒).

③當(dāng)8c=BQ時(shí)，如圖3所示：

過(guò)8點(diǎn)作BE_LAC于點(diǎn)E,

則8注=卷回七=旦咨_=4.8(cm),

AC10

:?CE=JBC2-BE2=3.6(cm),

：.CQ=2CE=1.2(cm),

：.BC+CQ=\32(cm),

.g13.2+2=6.6(秒).

由上可知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5.5或6或6.6秒時(shí)，△BC。為等腰三角形.

故答案為：5.5或6或6.6.

2

BA

圖3

13.【解答】解：正方形A、B、C、D的面積分別是2,3,5,4,

由勾股定理得，正方形G的面積為：2+3=5,

正方形H的面積為：5+4=9,

則正方形E的面積為：5+9=14,

故答案是：14.

14.【解答］解：如圖，連接4C,過(guò)點(diǎn)E作于”，作交D4的延長(zhǎng)線于T,過(guò)

點(diǎn)C作CRL7E,交TE的延長(zhǎng)線于R,

；NDTE=NEHD=NHDT=90°,

四邊形E”￡>T是矩形，

：.EH=DT=6,

'：CD=6,

：.DT=CD,

,:NR=NT=NCDT=90°,

四邊形CQ77?是矩形，

"：DC=DT,

四邊形CDTR是正方形，

延長(zhǎng)7D到K,使得力K=RE,連接CK.

?：RC=DC,RE=DK,NERC=NCDK=90°,

:.△CRE9ACDKCSAS),

:.CE=CK,NECR=NDCK,

:.NRCD=NECK=90°,

平分NAOC,

：.ZBDA^ZBDC=45°,

VZABC=ZADC=90°,

AZABC+ZADC=180°,

B,C,。四點(diǎn)共圓，

AZACB=ZADfi=45°,

AZACE^ZACK=45Q,

'：CA=CA,

.?.△CAEg/XCAK(S4S),

：.AE=AK=AD+DK=AD+ER=5

設(shè)AO=x,則ER=5-x,ET=6-(5-x)=l+x,AT=6-x,

在在△A￡A中,則有52=(6-x)2+(1+x)2,

解得x=2或3(舍棄)，

：.AD=2.

故答案為2.

15.【解答］解：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)P與8重合時(shí)，△ABQ是等腰三角形，止匕時(shí)PD=48?sin60°=6

X返=3日

2

圖1

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)Q落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，QA=QB,△ABQ是等腰三角形，此時(shí)NPC￡>

=/PCQ=15°,

在C￡>上取一點(diǎn)J,使得JC=PJ,則/"C=//CP=15°,

:./PJD=NJPC+/JCP=30°,設(shè)尸。=x,則PJ=CP=2x,

.'.y[^c+2x=3,

：.x=6-3加，

：.PD=6-3代

△ABQ是等腰三角形，此時(shí)/V)=CZ>tan30°=?.

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)Q落在線段A8的垂直平分線上時(shí)，ADCPZPCQ=J5Q,可得/C/V=15°,

在PO上取一點(diǎn)J,使得JC=JP,同法可得ND/C=30°,D/=3?,CJ=JP=f）,

：.PD=DJ+JP=3,

綜上所述，滿足條件的PD的值為或6-3標(biāo)心口或373+6.

三.解答題

16.【解答】證明：（1）'JDE//AB,

：./ABC=ZDEC,

在△ABC和△￡>EC中，

fZB=ZDEC

<AC=DC>

ZACB=ZDCE

(ASA),

:.DE=AB；

(2)'：DC=AC,DE=EF,

；.CE是△￡>>!/的中位線，

J.AF//BE-,

(3):△ABC絲△DEC,

:.BC=CE,

'：AC=BC,

??AC—BC—CEt

.'.△BAE是直角三角形，

:.AB2+AE?=BE?,

\'AB=DE,AQ=2AC=2BC=BE,

.".A￡2+DE2=AZ)2.

BC

D

17.【解答】解：(1)由圖可知：BC=^12+42=5/17-

(2)如圖,

EC?

DB

S^ABC=S正方形EDBF-S^BCF-SdABD-S^ACE

=4X4-Ax1X4-Ax2X4-Ax2X3

222

=16-2-4-3

=7.

（3）過(guò)點(diǎn)力作AHLBC于點(diǎn)H,

"."S^ABC=—XBCXAH,

17_

；.BC邊上的高為曲應(yīng)?.

17

18.【解答】解：在RtAABD和RtAACD中，

根據(jù)勾股定理得：AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+CD2,

TAC=

：.AB=i52+i22=20V122+52=13,

.,.△ABC的周長(zhǎng)=A8+AC+BC=A8+4C+B/）+DC=20+13+16+5=54,即△ABC的周長(zhǎng)是54.

19.【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作ACBC交BC于點(diǎn)。，如圖所示:

B

D

設(shè)BO=x,則C￡)=15-x.

在Rt/\ABD中，AD2=AB2-BD2=142-x2,

在RtZ\AC￡>中，Ab1=AC1-CD2^\32-(15-x)2,

.?.142-N=132-(15-》)2,

解得：x=絲，

5

此時(shí)AZ)2=⑷-(絲)2=(56)2,

55

；.AD=^-,

5

.,.△ABC的面積=上><8CXA。=工X15X因=84.

225

20.【解答】解：(1)因?yàn)镹ABC=90°,AB=\6cm,BC=\2cm,

所以AG=162+122=400,

所以AC=20c〃?.

因?yàn)椤闍B?BC=￡AOBD，

所以.BD=12>16(cm),

205

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段C4上時(shí)，y-pc?BD=36,

所以PC喏，

此時(shí)f=7.5；

當(dāng)點(diǎn)尸在線段AB上時(shí)，-^-BP*05=36,

所以BP=6,

此時(shí)r=30,

所以當(dāng)f為」立或30時(shí)，△PBC的面積為36c??2.

2

21.【解答】W：'：ABLAD,

：.ZA=90°,

...△ABO為直角三角形，

Bfy2=AB2+BD2=S2+62=102,

BD=]0,

在△BCD中,

'：DC^+BD2-100+576-676,BC2=26?=676,

.'.DC^+BD^^BC2,

...△BCD為直角三角形，且NBOC=90°,

SHamABCD=S&BCD~S&ABD——X10X24+—X6X8=96(cm)).

22

22.【解答】解：(1)在△ABC中，

：AB=AC,/A=36°,

AZB=ZACg=180°~36°=72°.

2

^.^C。_LA8于點(diǎn)。，

ZDCB=90°-72°=18°；

(2)?