2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題押題及答案

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.我們不妨約定：如圖①，若點(diǎn)。在△A8C的邊48上，且滿足NAC￡)=NB(或NBC3

=NA),則稱滿足這樣條件的點(diǎn)為△ABC邊AB上的“理想點(diǎn)”.

(1)如圖①，若點(diǎn)。是△4BC的邊A8的中點(diǎn)，AC=2&,AB=4.試判斷點(diǎn)。是不是

△ABC邊48上的“理想點(diǎn)”，并說明理由.

(2)如圖②，在中，A8為直徑，且AB=5,AC=4.若點(diǎn)。是AABC邊A8上的

“理想點(diǎn)”，求C。的長.

(3)如圖③，已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(0,2),B(0,-3),C為x軸正半軸上

一點(diǎn)，且滿足N4CB=45°,在)，軸上是否存在一點(diǎn)。，使點(diǎn)A是8,C,。三點(diǎn)圍成的

三角形的''理想點(diǎn)”，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：(1)結(jié)論：點(diǎn)。是△ABC的“理想點(diǎn)

理由：如圖①中，

圖①

。是AB中點(diǎn)，AB=4,

AD=DB=2,

AC2：(2V2)2=8,AO?AB=8,

AC2=AD*AB,

ACAB

AD-AC'

NA=NA,

ZACD=ZBf

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...點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”,

(2)如圖②中,

圖②

?.?點(diǎn)D是AABC的“理想點(diǎn)”，

，ZACD=ZB或N8CO=NA,

當(dāng)NAC￡>=NB時(shí)，

VZACD+ZBCD=90°,

：.ZBCD+ZB=^°,

AZCDB=90°,

當(dāng)NBC￡>=/A時(shí)，同法證明：CQLAB,

「AB是直徑，

/.ZACB=90°,

"：AB=5,AC=4,

：.BC=y/AB2-AC2=3,

'：^AB*CD=^AC'BC,

(3)如圖③中，存在.有三種情形:

7'

馬

圖③

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過點(diǎn)A作MA_LAC交C8的延長線于M,作軸于從

VZMAC=ZAOC=ZAHM=90°,ZACM=45°,

AZAMC=ZACM=45°,

：.AM=AC,

???NM4"+NCAO=90°,NCAO+N4co=90°,

AZMAH=NACO,

A/\AHM^/\COA(A4S),

：.MH=OA,OC=AH,設(shè)C(a,0),

TA(0,2),B(0,-3),

：.OA=MH=2,03=3.AB=5,OC=AH=a,BH=a-5,

9：MH//OC,

.MHBH

??=,

OCOB

.2Q—5

.?一=?

a3

解得。=6或-1(舍棄)，

經(jīng)檢驗(yàn)。=6是分式方程的解，

：.C(6,0),OC=6,

①當(dāng)/O1C4=/ABC時(shí)，點(diǎn)A是△BCD的“理想點(diǎn)設(shè)。(0,%),

"：ZDiCA=ZABC,NCDiA=NCDiB,

.,.△DiACsADiCB,

：.CDI2^DIA'DIB,

m2+62—(m-2)(m+3),

解得m=42,

：.Di(0,42).

②當(dāng)/BC4=/C￡>2B時(shí)，點(diǎn)A是△BC￡>2的“理想點(diǎn)”.

易知：/血。=45°,

.?.O￡)2=OC=6,

：.DI(0,6).

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)O坐標(biāo)為(0,42)或(0,6).

2.如圖，C是以AB為直徑的。。上一點(diǎn)，過。作OELAC于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作0。的切線

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交0E的延長線于點(diǎn)F,連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)P.

(1)求證：PC是。。的切線.

(2)若AF=1,0A=2V2,求PC的長.

(1)證明：連接0C,

'：OE±AC,

：.AE=CE,FA=FC,

：.ZFAC^ZFCA,

'：OA=OC(圓的半徑相等)，

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZOAC+ZFAC^ZOCA+ZFCA,即/陽O=/FCO,

?.?砌與OO相切，且AB是00的直徑，

：.FALAB,

.\ZFCO=ZFAO=90°,

：C。是半徑，

...PC是。0的切線；

(2)解：是。。的切線，

AZPCO=9Qa,

又；NF以=NOPC,ZPAF=90Q,

：./\PAF^/\PCO,

.PAAF

PC~CO

"：C0=0A=2V2,AF=\,

：.PC=2近PA,

設(shè)物=x,貝UPC=2&X.

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