專題2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【七大題型】（舉一反三）（人教A版2019必修第一冊）（原卷版）

專題2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不等關(guān)系的建立】 1【題型2利用作差法比較大小】 2【題型3利用作商法比較大小】 2【題型4利用作差法比較大小的應(yīng)用】 3【題型5利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】 4【題型6利用不等式的性質(zhì)證明不等式】 5【題型7利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】 6【知識點1不等關(guān)系】1．不等關(guān)系的建立在用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系時，先通過審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等關(guān)系，再將不等關(guān)系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組．【題型1不等關(guān)系的建立】【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列說法正確的是（

）A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”B．某變量y不超過a可表示為“y≤a”C．某變量x至少為a可表示為“x>a”D．小明的身高xcm，小華的身高ycm，則小明比小華矮表示為“x>y”【變式1-1】（2023·高一課時練習(xí)）某醫(yī)院工作人員所需某種型號的口罩可以外購，也可以自己生產(chǎn)．其中外購的單價是每個1.2元，若自己生產(chǎn)，則每月需投資固定成本2000元，并且每生產(chǎn)一個口罩還需要材料費和勞務(wù)費共0.8元．設(shè)該醫(yī)院每月所需口罩nn∈NA．n>800 B．n>5000 C．n<800【變式1-2】（2022秋·黑龍江雙鴨山·高一?？计谥校┩瓿梢豁椦b修工程，請木工需付工資每人50元，請瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則請工人滿足的關(guān)系式是（

）A．5x+4yC．5x+4y【變式1-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）在開山工程爆破時，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點100米以外（含100米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（

）A．4×x0.5<100 B．4×x0.5≥100【知識點2比較大小】1．兩個實數(shù)大小的比較如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b.反過來也對．這個基本事實可以表示為：a>b?a－b>0，a＝b?a－b＝0，a<b?a－b<0.從上述基本事實可知，要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小．【題型2利用作差法比較大小】【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a>0，b>0，M＝a+b，N＝a+b，則A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小關(guān)系不確定【變式2-1】（2023秋·河南許昌·高三?？计谀┮阎獂=-a2A．x<y BC．x>y D．x與【變式2-2】（2023秋·安徽蚌埠·高一統(tǒng)考期末）已知0<x<1，則下列不等式成立的是（A．x2>1x>x B．1【變式2-3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知a，b，c為不全相等的實數(shù)，P=a2+b2+c2A．P>Q BC．P<Q D【題型3利用作商法比較大小】【例3】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c-1，則x，yA．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定【變式3-1】（2022秋·山東泰安·高一?？计谥校┰O(shè)p=a2+aA．p>q B．p<q C．【變式3-2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若0<x<1，則x、1x、x、x【變式3-3】（2021·全國·高一專題練習(xí)）P=a2+a【題型4利用作差法比較大小的應(yīng)用】【例4】（2023·高一課時練習(xí)）某單位計劃組織員工參觀花博會需租車前往．甲租車公司：“如領(lǐng)隊買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”．乙租車公司：“你們屬團(tuán)體票，按原價的8折優(yōu)惠”．這兩家租車公司的單人全票價、車型都是一樣的，試根據(jù)該單位參觀的人數(shù)，選擇一下租車公司．【變式4-1】（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）有甲、乙兩位股民，分兩次同時以a，b兩種不同價格（單位：元/股）買入同一種股票；甲的買入方式為：每次買入10000元的股票：乙的買入方式為：每次買入股票2000股；請根據(jù)兩人所買股票的平均每股價格，判斷哪一位的買入方式比較合算？【變式4-2】（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%，而且這個比值越大，采光效果越好．設(shè)某所公寓的窗戶面積與地板面積分別為am2，(1)若這所公寓的窗戶面積與地板面積的總和為220m(2)若同時增加窗戶面積和地板面積各nm【變式4-3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列關(guān)于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關(guān)系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；(2)把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了.【知識點3等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)】1．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性質(zhì)(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【題型5利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】【例5】（2023春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知a<2，則下列不等式正確的是（

A．a(chǎn)+c<2+c B．a(chǎn)2<【變式5-1】（2023春·上海寶山·高一統(tǒng)考期末）如果a<b<0A．a(chǎn)2>ab B．a(chǎn)2<b【變式5-2】（2023春·江蘇揚州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）對于實數(shù)a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若a>bB．若a>bC．若a>bD．若a>b>【變式5-3】（2023秋·河南省直轄縣級單位·高二?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．若a>b，則ac2>bcC．若a>b，c>d，則a-c>【題型6利用不等式的性質(zhì)證明不等式】【例6】（2023·全國·高一假期作業(yè)）證明下列不等式：(1)已知a>b(2)已知a>b>0,【變式6-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）（1）已知a<b<c，且（2）證明：a-a【變式6-2】（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期中）證明不等式．(1)bc-ad≥0，bd＞0(2)已知a＞b＞c＞0，求證：ba【變式6-3】（2023·高一課時練習(xí)）利用不等式的性質(zhì)證明下列不等式：(1)若a<b，c<0(2)若a<0，-1<b【題型7利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】【例7】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍