人教版高數(shù)必修四第6講：平面向量的概念及線性運算(學生版)-東直門仉長娜

PAGEPAGE1平面向量的基本概念與線性運算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解向量、向量的相等、共線向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共線向量等概念．3、熟練掌握向量的線性運算法則：加法法則，減法法則，數(shù)乘法則.平面向量的概念：1、平面向量：________________________________________________________向量的模長：________________________________________________________零向量:____________________________________________________________4、單位向量：__________________________________________________________5、平行向量：_________________________________________________________6、相等向量：_________________________________________________________7、相反向量：__________________________________________________________平面向量的基本運算：一般地，a＋b叫做a,b的一個線性組合（其中,均為系數(shù)）．如果l＝a＋b，則稱l可以用a，b線性表示．向量的加法、減法、數(shù)乘運算都叫做向量的線性運算．三角形法則：位移叫做位移與位移的和，記作____________________圖7圖7－7ACBaba+bab2、平行四邊形法則：如圖7－9所示，ABCD為平行四邊形，由于=，根據(jù)三角形法則得圖7－9圖7－9ADCB＋=________________________平行四邊形法則不適用于共線向量，可以驗證，向量的加法具有以下的性質(zhì)：（1）a＋0=0＋a=a；a＋（?a）=0；（2）a＋b=b＋a；（3）（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．3、平面向量減法法則：與數(shù)的運算相類似，可以將向量a與向量b的負向量的和定義為向量a與向量b的差．即a?b=a＋(?b)．設(shè)a，b，則．即=（7．2）觀察圖7－13可以得到：起點相同的兩個向量a、b，其差a－b仍然是一個向量，叫做a與b的差向量，其起點是減向量b的終點，終點是被減向量a的終點．a(chǎn)AaAa-bBbO圖7－13一般地，實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的模為（7．3）若0，則當＞0時，a的方向與a的方向相同，當＜0時，a的方向與a的方向相反．由上面定義可以得到，對于非零向量a、b，當時，有（7．4）一般地，有0a=0,0=0．數(shù)與向量的乘法運算叫做向量的數(shù)乘運算，容易驗證，對于任意向量a,b及任意實數(shù)，向量數(shù)乘運算滿足如下的法則：題型1平面向量的基本概念例1給出下列六個命題：①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形；④在ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；⑤若m＝n，n＝p，則m＝p；⑥若a∥b，b∥c，則a∥c.其中錯誤的命題有________．(填序號)例2在平行四邊形ABCD中（圖7－5），O為對角線交點．ADCBADCB圖7－5O（2）找出向量的負向量；（3）找出與向量平行的向量．練習：1．如圖，ABC中，D、E、F分別是三邊的中點，試寫出（1）與相等的向量；（2）與共線的向量．FAFADBEC（練習題1．1．1第2題圖）第1題圖EFABCDO（圖1－8）第2題圖2．如圖，O點是正六邊形ABCDEF的中心，試寫出（1）與相等的向量；（2）的負向量；（3）與題型2向量的線性表示例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度為5km/h，求該船的實際航行速度．*例4用兩條同樣的繩子掛一個物體（圖7－11）．設(shè)物體的重力為k，兩條繩子與垂線的夾角為，求物體受到沿兩條繩子的方向的拉力與的大小． 練習：如圖，已知a，b，求a＋b．（圖1－15）bb（圖1－15）bbaa（1）（2）第1題圖（1）a＋b=_____________,（2）b＋c=_____________,（3）a＋b＋c=_____________．3．計算：（1）＋＋；（2）＋＋．例5已知如圖7－14（1）所示向量a、b，請畫出向量a－b．BbBbOaAba（1）（2）圖7－14練習：1．填空：（1）=_______________，（2）=______________，（3）=______________．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)=a,=b，試用a,b表示向量、、．例6在平行四邊形ABCD中，O為兩對角線交點如圖7－16，＝a，＝b，試用a,b表示向量、．練習：1．計算：（1）3（a?2b）－2（2a＋b）；（2）3a?2（3a?4b）＋3（a?b）．2．設(shè)a,b不共線，求作有向線段，使＝（a＋b）．例7平行四邊形OADB的對角線交點為C，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，用a、b表示eq\o(OM,\s\up6(→))、eq\o(ON,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→)).練習：練習：在△ABC中，E、F分別為AC、AB的中點，BE與CF相交于G點，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→)).題型3共線向量例8設(shè)兩個非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)．求證：A、B、D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．題型4向量共線的應(yīng)用例4如圖所示，設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，則△AOB與△AOC的面積之比為________．練習：如圖，△ABC中，在AC上取一點N，使AN＝eq\f(1,3)AC；在AB上取一點M，使得AM＝eq\f(1,3)AB；在BN的延長線上取點P，使得NP＝eq\f(1,2)BN；在CM的延長線上取點Q，使得eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(CM,\s\up6(→))時，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，試確定λ的值．一、選擇題1．在下列判斷中，正確的是()①長度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．A．①②③ B．②③④C．①②⑤ D．①③⑤2．向量(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(OM,\s\up6(→))等于()A．eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AM,\s\up6(→))3．若a、b為非零向量，則下列說法中不正確的是()A．若向量a與b方向相反，且|a|>|b|，則向量a＋b與a的方向相同B．若向量a與b方向相反，且|a|<|b|，則向量a＋b與a的方向相同C．若向量a與b方向相同，則向量a＋b與a的方向相同D．若向量a與b方向相同，則向量a＋b與b的方向相同4．已知下列各式：①eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→)).其中結(jié)果為零向量的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3二、填空題5．等腰梯形ABCD兩腰上的向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))的關(guān)系是________．6．如圖所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.三、解答題7．如圖所示，O為正方形ABCD對角線的交點，四邊形OAED，OCFB都是正方形．在圖中所示的向量中：(1)分別寫出eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))相等的向量；(2)寫出與eq\o(AO,\s\up6(→))共線的向量；(3)寫出與eq\o(AO,\s\up6(→))的模相等的向量；(4)向量eq\o(AO,\s\up6(→))與eq\o(CO,\s\up6(→))是否相等？8.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，M、N分別是CD和AB的中點，若=a，=b，試用a、b表示和，則=________，=______.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．把平面上一切單位向量平移到共同始點，那么這些向量的終點構(gòu)成的圖形是()A．一條線段 B．一段圓弧C．兩個孤立的點 D．一個圓2．把所有相等的向量平移到同一起點后，這些向量的終點將落在()A．同一個圓上 B．同一個點上C．同一條直線上 D．以上都有可能4．有下列說法：①時間、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一個正實數(shù)；③相等向量一定是平行向量；④共線向量一定在同一直線上．其中，正確說法的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．35．下列說法錯誤的是()A．作用力與反作用力是一對大小相等、方向相反的向量B．向量可以用有向線段表示，但有向線段并不是向量C．只有零向量的模等于0D．零向量沒有方向6．如圖所示，圓O上有三點A、B、C，則向量eq\o(BO,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))、eq\o(OA,\s\up6(→))是()A．有相同起點的相等向量B．單位向量C．模相等的向量D．相等的向量9．a(chǎn)、b、a＋b為非零向量，且a＋b平分a與b的夾角，則()A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)⊥bC．|a|＝|b| D．以上都不對10．△ABC中，D、E、F分別是邊AB、BC、AC的中點，則下面結(jié)論正確的是()A．eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)) B．eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝0C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))≠0 D．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))≠012．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD一定是()A．矩形 B．菱形C．正方形 D．平行四邊形二、填空題12．若D、E、F分別是△ABC的三邊AB、BC、AC的中點，則與向量eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量為________．16．根據(jù)右圖填空：b＋c＝________；a＋d＝________；b＋c＋d＝________；f＋e＝________；e＋g＝________.三、解答題17．某人從A點出發(fā)，向東走到B點，然后，再向正北方向走了60m到達C點．已知|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝120m，求eq\o(AC,\s\up6(→))的方向和A、B的距離．18．兩個力F1和F2同時作用在一個物體上，其中F1＝40N，方向向東，F(xiàn)2＝40eq\r(3)N，方向向北，求它們的合力．能力提升一、選擇題1．若a為任一非零向量，b為其單位向量，下列各式：①|(zhì)a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤eq\f(a,|a|)＝b.其中正確的是()A．①④⑤ B．③C．①②③⑤ D．②③⑤2．如圖四邊形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，則下列關(guān)系不一定成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))| B．eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(FH,\s\up6(→))共線C．eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→)) D．eq\o(DC,\s\up6(→))與eq\o(EC,\s\up6(→))共線3．如圖所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，則下列說法中錯誤的是()A．圖中所標出的向量中與eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有1個(不含eq\o(AB,\s\up6(→))本身)B．圖中所標出的向量中與eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有4個(不含eq\o(AB,\s\up6(→))本身)C．eq\o(BD,\s\up6(→))的長度恰為eq\o(DA,\s\up6(→))長度的eq\r(3)倍D．eq\o(CB,\s\up6(→))與eq\o(DA,\s\up6(→))不共線4．四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．梯形C．平行四邊形或梯形 D．不是平行四邊形也不是梯形1．已知向量a表示“向東航行1km”向量b表示“向南航行1km”則a＋b表示()A．向東南航行eq\r(2)km B．向東南航行2kmC．向東北航行eq\r(2)km D．向東北航行2km2．在平行四邊形ABCD中，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝d，則下列各式中不成立的是()A．a(chǎn)＋b＝c B．a(chǎn)＋d＝bC．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c|3．已知正方形ABCD的邊長為1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a、eq\o(BC,\s\up6(→))＝b、eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則|a＋b＋c|等于()A．0 B．3C．eq\r(2) D．2eq\r(2)4．下列命題中正確的個數(shù)為()①如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a、b之一的方向相同；②在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，則A，B，C為一個三角形的三個頂點；④若a、b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等．A．0 B．1C．2 D．3二、填空題5．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，且eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀為________．6．已知A、B、C是不共