第23講冪函數(shù)及其性質(zhì)5種題型

第23講冪函數(shù)及其性質(zhì)5種題型【考點(diǎn)分析】考點(diǎn)一：冪函數(shù)的定義一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"底數(shù)為\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"自變量，冪為\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"因變量，\t"s://baike.baidu/item/%E5%B9%82%E5%87%BD%E6%95%B0/_blank"指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).考點(diǎn)二：常見(jiàn)的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)考點(diǎn)三：冪函數(shù)的單調(diào)性在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù).題型一冪函數(shù)的概念解題思路：必須是形如(為有理數(shù))的函數(shù)才叫冪函數(shù)，系數(shù)要為【精選例題】【例1】在函數(shù)，，，中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】因?yàn)?，所以是冪函?shù)；由于出現(xiàn)系數(shù)2，因此不是冪函數(shù)；是兩項(xiàng)和的形式，不是冪函數(shù)；（），可以看出，常數(shù)函數(shù)的圖象比冪函數(shù)的圖象多了一個(gè)點(diǎn)，所以常數(shù)函數(shù)不是冪函數(shù).故選：B.【例2】（多選題）已知函數(shù)為冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)的可能性取值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AD【詳解】由題意得，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，均滿足要求.故選：AD【跟蹤訓(xùn)練】1.已知函數(shù)為冪函數(shù)，則___.【答案】【解析】由于函數(shù)為冪函數(shù)，則，即，，解得或，所以，，因此，.故答案為：.2.（多選題）已知函數(shù)是冪函數(shù)，則m的值為（

）A． B． C．1 D．3【答案】AC【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得或.故選：AC.題型二：冪函數(shù)的三要素【精選例題】【例1】已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A．B．C．2D．3【答案】A【分析】把點(diǎn)代入冪函數(shù)解析式運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：，所以.故選：A.【例2】?jī)绾瘮?shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時(shí)，集合C為A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，定義域和值域均為，符合題意；時(shí)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故不合題意；時(shí)，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，符合題意；時(shí)，定義域與值域均為R，符合題意；時(shí)，定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，不符合題意；時(shí)，定義域與值域均為R，符合題意.故選：C【例3】已知冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有公共點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得，即可代入求解.【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，解得，或，又的圖象與坐標(biāo)軸無(wú)公共點(diǎn)，故，所以，故，所以.故選:A.【跟蹤訓(xùn)練】1.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A．1B．2C．4D．8【答案】D【分析】先求出冪函數(shù)的解析式，從而得出的表達(dá)式，然后再求的最小值.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，所以，得，所以，則顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以所求最小值為.故選：D2.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】設(shè)冪函數(shù)，代點(diǎn)，可求出n，得到冪函數(shù)的解析式，進(jìn)而可求.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，所以，所以.故選：A3.設(shè)α∈，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽的所有α的值為（）A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝的定義域?yàn)?，不是R，所以不成立；當(dāng)時(shí)，函數(shù)y＝的定義域?yàn)?，不是R，所以不成立；當(dāng)或時(shí)，滿足函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽，選：A.4．已知冪函數(shù)，其圖像與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_________．【答案】【詳解】由冪函數(shù)知，得或.當(dāng)時(shí)，圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)，∴.故答案為:題型三：冪函數(shù)的性質(zhì)【精選例題】【例1】若冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（

）A．2 B． C． D．2【答案】C【分析】由冪函數(shù)的定義和性質(zhì)求解即可.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知，，即，解得或.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意;當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，符合題意，故.故選：C.【例2】“”是“冪函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】判斷“”和“冪函數(shù)在上單調(diào)遞增”之間的邏輯推理關(guān)系，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)，該函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)冪函數(shù)在上單調(diào)遞增時(shí)，需滿足，即，故“”是“冪函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充要條件，故選：C【例3】函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意，，且，滿足，若，，且，，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無(wú)法判斷【答案】B【分析】利用冪函數(shù)的定義以及結(jié)合成立等價(jià)于函數(shù)為減函數(shù)可求出的值，利用函數(shù)的單調(diào)性與奇函數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，，且，滿足，所以在上為減函數(shù)，由已知是冪函數(shù)，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，故不成立.當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，滿足條件，故，，故為奇函數(shù)，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所?故選：B【例4】（多選題）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【詳解】解：設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以，所以的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，故A正確，因?yàn)榈亩x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，故C正確，當(dāng)時(shí)，，又，所以，D正確．故選：ACD.【例5】已知冪函數(shù)，下列能成為“是R上的偶函數(shù)”的充分條件的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為奇函數(shù)，不合題意，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為非奇非偶函數(shù)，不合題意，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為偶函數(shù)，符合題意，故C正確；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以為奇函數(shù)，不合題意，故D錯(cuò)誤.故選：C.【例6】寫(xiě)出同時(shí)滿足以下三個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)．①；②③且．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由①可以判斷該函數(shù)是奇函數(shù)，設(shè)；因?yàn)?，所以滿足②；當(dāng)且時(shí)，，所以函數(shù)滿足③且，故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是判斷函數(shù)是奇函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行選擇函數(shù).【跟蹤訓(xùn)練】1.已知冪函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，且的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的值為（

）．A． B．0 C．1 D．2【答案】C【詳解】?jī)绾瘮?shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，故，解得，，當(dāng)時(shí)，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，不滿足條件；故選：C.2．（多選題）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則解析式為B．若函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減C．冪函數(shù)始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)和D．若冪函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則【答案】CD【分析】A選項(xiàng)，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得到；B選項(xiàng)，判斷出為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，故C正確；D選項(xiàng)，先根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)和圖像關(guān)于軸對(duì)稱，得到，再判斷出，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性比較出大小.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)，將代入，，即，解得，故解析式為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，又定義域?yàn)?，，故為偶函?shù)，故在上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，故冪函?shù)始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，C正確；D選項(xiàng)，由題意得，解得或，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，滿足圖像關(guān)于軸對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不滿足圖像關(guān)于軸對(duì)稱，舍去，其中恒成立，故，又在上單調(diào)遞增，故，D正確.故選：CD3.（多選題）已知是冪函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC；利用作差法判斷D.【詳解】?jī)绾瘮?shù)的定義域?yàn)?，，，∵函?shù)在單調(diào)遞增，，∴，即，故A正確；，，∵函數(shù)在單調(diào)遞減，，即，∴，即，故B錯(cuò)誤；∵冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，，∴，，即，∴，故C正確；，∵，∴，即，故D正確.故選：ACD.4.（多選題）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列命題中，正確的有（

）A．函數(shù)為奇函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．函數(shù)在為減函數(shù) D．函數(shù)在為增函數(shù)【答案】AC【分析】先根據(jù)冪函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求出函數(shù)解析式，然后利用冪函數(shù)的基本性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以設(shè)，又的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且在為減函數(shù)，故AC正確，BD錯(cuò)誤；故選：AC.5．寫(xiě)出一個(gè)具有性質(zhì)①②③的函數(shù)______．①定義域?yàn)?；②在單調(diào)遞增；③．【答案】（答案不唯一）【詳解】的定義域?yàn)?，在區(qū)間遞增，且，所以符合題意.故答案為：（答案不唯一）6．已知x，，滿足，，則（

）A．1 B．0 C．1 D．2【答案】B【詳解】解：令，，則，∴為奇函數(shù)．∵，∴．又∵，∴，∴，．又∵在R上單調(diào)遞增，∴，即．故選：B．題型四：冪函數(shù)的圖象【精選例題】【例1】右圖的曲線是冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，已知n分別取，，2四個(gè)值，相應(yīng)的曲線對(duì)應(yīng)的n依次為（

）A．，，1，2 B．2，1，，C．，，2， D．2，，，【答案】B【分析】利用冪函數(shù)的圖象性質(zhì)逐一觀察判斷即可.【詳解】函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，對(duì)應(yīng)的圖象為；對(duì)應(yīng)的圖象為一條過(guò)原點(diǎn)的直線，對(duì)應(yīng)的圖象為；對(duì)應(yīng)的圖象為拋物線，對(duì)應(yīng)的圖象應(yīng)為；在第一象限內(nèi)的圖象是；所以與曲線對(duì)應(yīng)的n依次為2，1，，.故選：B【例2】已知冪函數(shù)的圖象為曲線，有下列四個(gè)性質(zhì)：①為偶函數(shù)；②曲線不過(guò)原點(diǎn)；③曲線C在第一象限呈上升趨勢(shì)；④當(dāng)時(shí)，.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足上述四個(gè)性質(zhì)中三個(gè)性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)___________.【答案】【詳解】解：設(shè)冪函數(shù)的解析式為，若曲線不過(guò)原點(diǎn)，則，此時(shí)函數(shù)在，故②不成立，則當(dāng)時(shí)，，故③不成立，所以冪函數(shù)不能滿足②性質(zhì)，不妨取，函數(shù)為偶函數(shù)，曲線C在第一象限呈上升趨勢(shì)，當(dāng)時(shí)，，所以冪函數(shù)滿足性質(zhì)①③④.故答案為：.（答案不唯一）【跟蹤訓(xùn)練】1.冪函數(shù)在第一象限的圖像如圖所示，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)，的右側(cè)部分的圖像，圖像由下至上，冪指數(shù)增大，所以由圖像得：，故選：D2.冪函數(shù)，及直線將直角坐標(biāo)系第一象限分成八個(gè)“卦限：（如圖所示），那么，而函數(shù)的圖象在第一象限中經(jīng)過(guò)的“卦限”是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于冪函數(shù)，因?yàn)?，所以在第一象限單調(diào)遞減，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知：在直線的左側(cè)，冪函數(shù)的指數(shù)越大越接近軸，因?yàn)?，所以的圖象比的圖象更接近軸，所以進(jìn)過(guò)第卦限，在直線的右側(cè)，冪函數(shù)的指數(shù)越小越接近軸，因?yàn)椋缘膱D象位于和之間，所以經(jīng)過(guò)卦限，所有函數(shù)的圖象在第一象限中經(jīng)過(guò)的“卦限”是，故選：B題型五：冪函數(shù)的綜合運(yùn)用【精選例題】【例1】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義與單調(diào)性可得出關(guān)于的等式與不等式，解出的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2）由已知可得對(duì)任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，故.（2）解：由（1）可知，對(duì)任意的恒成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【例2】已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)．(1)求m的值；(2)求函數(shù)在的值域．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)得到或，再驗(yàn)證奇偶性得到答案.（2）確定，函數(shù)在上單調(diào)遞增，計(jì)算最值得到值域.【詳解】（1）函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，不滿足條件，舍去.綜上所述：.（2），函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，，故值域?yàn)椤纠?】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．(1)求m的值及函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得，故；（2）由（1）知：，所以，所以函數(shù)的圖象為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為直線；由于在上的最大值為3，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，解得；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故，解得；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，解得（舍去）或（舍去）．綜上所述，．【例4】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖?，使得在上的值域也為，則稱為“A在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式.(2)函數(shù)是否為“A佳”函數(shù).若是，請(qǐng)指出所在區(qū)間；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)是，【詳解】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為．（2）由（1）知，，函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)的值域?yàn)椋驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，若存在，使得在上的值域?yàn)?，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，解得或，或，顯然，所以，，即存在，使得在上的值域?yàn)椋屎瘮?shù)為“佳”函數(shù).“佳”函數(shù)的區(qū)間為；【例5】若在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間，使得在上單調(diào)，且函數(shù)值的取值范圍是（是常數(shù)），則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)否具有性質(zhì)?若具有，求出，；若不具有，說(shuō)明理由；(2)若定義在上的函數(shù)具有性質(zhì)，求的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)具有性質(zhì)M，；(2)．【詳解】（1）解：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上的函數(shù)值的取值范圍是，即，顯然，所以，故函數(shù)具有性質(zhì)．（2）解：，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，∴，得，整理得，∵與矛盾，∴當(dāng)時(shí)，不合題意．當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，∴，知在上有兩個(gè)不等實(shí)根，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，令，，由，，，知，綜上可得的取值范圍是．【跟蹤訓(xùn)練】1.已知冪函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）由，得或，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，不滿足題意，所以，；（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，單調(diào)減區(qū)間為，，由，可得或或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.2.已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)，(1)求的值.(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，又，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以是偶數(shù)，因此；（2）由（1）可得，故為，因?yàn)樵谏暇鶠闇p函數(shù)，所以等價(jià)于：或或解得或，故的取值范圍為或.3.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，則，解得或.當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)，合乎題意.綜上所述，.（2）解：由（1）可得，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，，.因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?4.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增(1)求m的值；(2)若且當(dāng)分別取何值時(shí)，有最小值，并求出最小值.【答案】(1)；(2)，最小值為9【詳解】（1）由冪函數(shù)的定義得：，∴或，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減