2023-2024學(xué)年廣東省新興第一中學(xué)高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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2023-2024學(xué)年廣東省新興第一中學(xué)高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),其中a,b是實(shí)數(shù),則()A.1 B.2 C. D.2.函數(shù)的大致圖象為A. B.C. D.3.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.4.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙,是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一,它歷史悠久,風(fēng)格獨(dú)特,神獸人們喜愛.下圖即是一副窗花,是把一個(gè)邊長為12的大正方形在四個(gè)角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四個(gè)角處再剪出邊長全為1的一些小正方形.若在這個(gè)窗花內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則該點(diǎn)不落在任何一個(gè)小正方形內(nèi)的概率是()A. B. C. D.5.如圖,平面四邊形中,,,,為等邊三角形,現(xiàn)將沿翻折,使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn),且,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.6.在平面直角坐標(biāo)系中,已知是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,設(shè)到直線的距離之和的最大值為,若數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,則()A. B. C. D.8.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對(duì)于任意一個(gè)大于1的整數(shù),如果為偶數(shù)就除以2,如果是奇數(shù),就將其乘3再加1,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的()A.6 B.7 C.8 D.99.已知為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,且,過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.給出下列四個(gè)命題:①在拋物線上滿足條件的點(diǎn)僅有一個(gè);②若是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為;③無論過點(diǎn)的直線在什么位置,總有;④若點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,則三點(diǎn)在同一條直線上.其中所有正確命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.410.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,則()A. B. C. D.11.已知為等差數(shù)列,若,,則()A.1 B.2 C.3 D.612.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后,所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱,則的最小正值是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在等比數(shù)列中,,則________.14.的展開式中的系數(shù)為________________.15.若變量x,y滿足:,且滿足,則參數(shù)t的取值范圍為_______.16.如圖,在三棱錐A﹣BCD中,點(diǎn)E在BD上,EA=EB=EC=ED,BDCD,△ACD為正三角形,點(diǎn)M,N分別在AE,CD上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn)),且AM=CN,則當(dāng)四面體C﹣EMN的體積取得最大值時(shí),三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù),常數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程是.(1)寫出的普通方程及的直角坐標(biāo)方程,并指出是什么曲線;(2)若直線與曲線,均相切且相切于同一點(diǎn),求直線的極坐標(biāo)方程.18.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)記的最小值為,且正實(shí)數(shù)滿足.證明:.19.(12分)如圖,三棱錐中,,,,,.(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,離心率為.(1)若,求橢圓的方程;(2)設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),、分別為線段、的中點(diǎn),若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上,且,求的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù),其中,.(1)當(dāng)時(shí),求的值;(2)當(dāng)?shù)淖钚≌芷跒闀r(shí),求在上的值域.22.(10分)已知a>0,證明:1.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考驗(yàn)計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.2、A【解析】

因?yàn)?,所以函?shù)是偶函數(shù),排除B、D,又,排除C,故選A.3、A【解析】

用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因?yàn)?所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,故可以排除;因?yàn)?故排除,因?yàn)橛蓤D象知,排除.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.4、D【解析】

由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱,則它們的外接球相同,由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上,在中,計(jì)算半徑即可.【詳解】由,,可知平面.將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱,則它們的外接球相同.由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上,記的外心為,由為等邊三角形,可得.又,故在中,,此即為外接球半徑,從而外接球表面積為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積,考查了學(xué)生空間想象,邏輯推理,綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.6、B【解析】

由于到直線的距離和等于中點(diǎn)到此直線距離的二倍,所以只需求中點(diǎn)到此直線距離的最大值即可。再得到中點(diǎn)的軌跡是圓,再通過此圓的圓心到直線距離,半徑和中點(diǎn)到此直線距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過裂項(xiàng)的方法求的前項(xiàng)和,即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由,得,.設(shè)線段的中點(diǎn),則,在圓上,到直線的距離之和等于點(diǎn)到該直線的距離的兩倍,點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和,而圓的圓心到直線的距離為,,,..故選:【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積,點(diǎn)到直線的距離,數(shù)列求和等知識(shí),是一道不錯(cuò)的綜合題.7、B【解析】

設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,由得,將直線的方程代入韋達(dá)定理,求得,結(jié)合的面積求得的值,結(jié)合焦點(diǎn)弦長公式可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,消去得,由韋達(dá)定理得,,,,,,,,可得,,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,解得,則拋物線的方程為,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長的計(jì)算,計(jì)算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于中等題.8、B【解析】

模擬程序運(yùn)行,觀察變量值可得結(jié)論.【詳解】循環(huán)前,循環(huán)時(shí):,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,滿足條件,退出循環(huán),輸出.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu),解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行,觀察變量值,從而得出結(jié)論.9、C【解析】

①:由拋物線的定義可知,從而可求的坐標(biāo);②:做關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為,通過分析可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值,由兩點(diǎn)間的距離公式,可求此時(shí)最小值;③:設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,結(jié)合韋達(dá)定理,可知焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,進(jìn)而可求,從而可判斷出的關(guān)系;④:計(jì)算直線的斜率之差,可得兩直線斜率相等,進(jìn)而可判斷三點(diǎn)在同一條直線上.【詳解】解:對(duì)于①,設(shè),由拋物線的方程得,則,故,所以或,所以滿足條件的點(diǎn)有二個(gè),故①不正確;對(duì)于②,不妨設(shè),則關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為,故,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,故②正確;對(duì)于③,由題意知,,且的斜率不為0,則設(shè)方程為:,設(shè)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,聯(lián)立直線與拋物線的方程為,,整理得,則,所以,則.故的傾斜角互補(bǔ),所以,故③正確.對(duì)于④,由題意知,由③知,則,由,知,即三點(diǎn)在同一條直線上,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了拋物線的性質(zhì),考查了直線方程,考查了兩點(diǎn)的斜率公式.本題的難點(diǎn)在于第二個(gè)命題,結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時(shí)取最小值.10、B【解析】

設(shè),根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到、的關(guān)系式,即可得解;【詳解】解:設(shè)∵,∴,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組,求出首項(xiàng)和公差,由此能求出.【詳解】∵{an}為等差數(shù)列,,∴,解得=﹣10,d=3,∴=+4d=﹣10+11=1.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.12、D【解析】

由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導(dǎo)公式得到關(guān)于的方程,對(duì)賦值即可求解.【詳解】由題意知,函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得,將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)周期后的解析式為,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,所以,即,所以當(dāng)時(shí),有最小正值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及正余弦函數(shù)的性質(zhì);熟練掌握誘導(dǎo)公式和正余弦函數(shù)的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為,再根據(jù)題意用基本量法求解公比,進(jìn)而利用等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系得即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由,得,解得.又由,得.則.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解方法,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)中令的指數(shù)為,求出參數(shù)值,然后代入通項(xiàng)可得出結(jié)果.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為,令,因此,的展開式中的系數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解,涉及二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)變量x,y滿足:,畫出可行域,由,解得直線過定點(diǎn),直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與可行域有交點(diǎn)即可,再結(jié)合圖象利用斜率求解.【詳解】由變量x,y滿足:,畫出可行域如圖所示陰影部分,由,整理得,由,解得,所以直線過定點(diǎn),由,解得,由,解得,要使,則與可行域有交點(diǎn),當(dāng)時(shí),滿足條件,當(dāng)時(shí),直線得斜率應(yīng)該不小于AC,而不大于AB,即或,解得,且,綜上:參數(shù)t的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.16、32π【解析】

設(shè)ED=a,根據(jù)勾股定理的逆定理可以通過計(jì)算可以證明出CE⊥ED.AM=x,根據(jù)三棱錐的體積公式,運(yùn)用基本不等式,可以求出AM的長度,最后根據(jù)球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)ED=a,則CDa.可得CE2+DE2=CD2,∴CE⊥ED.當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時(shí),當(dāng)四面體C﹣EMN的體積才有可能取得最大值,設(shè)AM=x.則四面體C﹣EMN的體積(a﹣x)a×xax(a﹣x),當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào).解得a=2.此時(shí)三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積=4πa2=32π.故答案為:32π【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,考查了球的表面積公式,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和空間想象能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),,表示以為圓心為半徑的圓;為拋物線;(2)【解析】

(1)消去參數(shù)的直角坐標(biāo)方程,利用,即得的直角坐標(biāo)方程;(2)由直線與拋物線相切,求導(dǎo)可得切線斜率,再由直線與圓相切,故切線與圓心與切點(diǎn)連線垂直,可求解得到切點(diǎn)坐標(biāo),即得解.【詳解】(1)消去參數(shù)的直角坐標(biāo)方程為:.的極坐標(biāo)方程.∵,.當(dāng)時(shí)表示以為圓心為半徑的圓;為拋物線.(2)設(shè)切點(diǎn)為,由于,則切線斜率為,由于直線與圓相切,故切線與圓心與切點(diǎn)連線垂直,故有,直線的直角坐標(biāo)方程為,所以的極坐標(biāo)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo),參數(shù)方程綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.18、(1)或;(2)見解析【解析】

(1)根據(jù),利用零點(diǎn)分段法解不等式,或作出函數(shù)的圖像,利用函數(shù)的圖像解不等式;(2)由(1)作出的函數(shù)圖像求出的最小值為,可知,代入中,然后給等式兩邊同乘以,再將寫成后,化簡(jiǎn)變形,再用均值不等式可證明.【詳解】(1)解法一:1°時(shí),,即,解得;2°時(shí),,即,解得;3°時(shí),,即,解得.綜上可得,不等式的解集為或.解法二:由作出圖象如下:由圖象可得不等式的解集為或.(2)由所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,正實(shí)數(shù)滿足,則,即,(當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào))故,得證.【點(diǎn)睛】此題考查了絕對(duì)值不等式的解法,絕對(duì)值不等式的性質(zhì)和均值不等式的運(yùn)用,考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19、(1)證明見詳解;(2)【解析】

(1)取中點(diǎn),根據(jù),利用線面垂直的判定定理,可得平面,最后可得結(jié)果.(2)利用建系,假設(shè)長度,可得,以及平面的一個(gè)法向量,然后利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)取中點(diǎn),連接,如圖由,所以由,平面所以平面,又平面所以(2)假設(shè),由,,.所以則,所以又,平面所以平面,所以,又,故建立空間直角坐標(biāo)系,如圖設(shè)平面的一個(gè)法向量為則令,所以則直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直、線線垂直的應(yīng)用,還考查線面角,學(xué)會(huì)使用建系的方法來解

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