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山東省泰安三中、新泰二中、寧陽(yáng)二中三校2024年高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),且,,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.2.設(shè),則復(fù)數(shù)的模等于()A. B. C. D.3.如圖在直角坐標(biāo)系中,過(guò)原點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)分別作、軸的垂線,垂足分別為、,在矩形中隨機(jī)選取一點(diǎn),則它在陰影部分的概率為()A. B. C. D.4.若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng),且的最小值為,則()A. B. C. D.5.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A.6 B.5 C.4 D.36.已知函數(shù)是奇函數(shù),則的值為()A.-10 B.-9 C.-7 D.17.函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列,要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位8.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.9.已知函數(shù),不等式對(duì)恒成立,則的取值范圍為()A. B. C. D.10.一物體作變速直線運(yùn)動(dòng),其曲線如圖所示,則該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程為()m.A.1 B. C. D.211.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則()A. B. C. D.12.設(shè),其中a,b是實(shí)數(shù),則()A.1 B.2 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn),則的取值范圍為_____.14.若滿足約束條件,則的最小值是_________,最大值是_________.15.已知函數(shù),則過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為____________.16.若變量,滿足約束條件則的最大值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,,,,是正三角形,,是的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,,且數(shù)列前項(xiàng)和為,求的取值范圍.19.(12分)某企業(yè)現(xiàn)有A.B兩套設(shè)備生產(chǎn)某種產(chǎn)品,現(xiàn)從A,B兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本,檢測(cè)某一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品,否則為不合格品.圖1是從A設(shè)備抽取的樣本頻率分布直方圖,表1是從B設(shè)備抽取的樣本頻數(shù)分布表.圖1:A設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻率分布直方圖表1:B設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162(1)請(qǐng)估計(jì)A.B設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值;(2)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,并對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分,質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的定為一等品,每件利潤(rùn)240元;質(zhì)量指標(biāo)值落在或內(nèi)的定為二等品,每件利潤(rùn)180元;其它的合格品定為三等品,每件利潤(rùn)120元.根據(jù)圖1、表1的數(shù)據(jù),用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率.企業(yè)由于投入資金的限制,需要根據(jù)A,B兩套設(shè)備生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品每件獲得利潤(rùn)的期望值調(diào)整生產(chǎn)規(guī)模,請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù),從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮企業(yè)應(yīng)該對(duì)哪一套設(shè)備加大生產(chǎn)規(guī)模?20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)把曲線向下平移個(gè)單位,然后各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到曲線(縱坐標(biāo)不變),設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線的距離的最小值.21.(12分)已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點(diǎn)分別為P,Q,R,|CP|=2,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線G.(1)求曲線G的方程;(2)設(shè)直線l與曲線G交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)D在曲線G上,是坐標(biāo)原點(diǎn),判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷,規(guī)定凡在該超市購(gòu)物滿400元的顧客,均可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).摸獎(jiǎng)規(guī)則如下:獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球(紅、黃、黑、白).顧客不放回的每次摸出1個(gè)球,若摸到黑球則摸獎(jiǎng)停止,否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元,摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元,摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).(1)求1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率;(2)記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)表示出線段長(zhǎng)度,由勾股定理,解出每條線段的長(zhǎng)度,再由勾股定理構(gòu)造出關(guān)系,求出離心率.【詳解】設(shè),則由橢圓的定義,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查幾何法求橢圓離心率,是求橢圓離心率的一個(gè)常用方法,通過(guò)幾何關(guān)系,構(gòu)造出關(guān)系,得到離心率.屬于中檔題.2、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn),再由復(fù)數(shù)模的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?所以,由復(fù)數(shù)模的定義知,.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
設(shè)所求切線的方程為,聯(lián)立,消去得出關(guān)于的方程,可得出,求出的值,進(jìn)而求得切點(diǎn)的坐標(biāo),利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積,然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)所求切線的方程為,則,聯(lián)立,消去得①,由,解得,方程①為,解得,則點(diǎn),所以,陰影部分區(qū)域的面積為,矩形的面積為,因此,所求概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查定積分的計(jì)算以及幾何概型,同時(shí)也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.4、C【解析】展開式的通項(xiàng)為,因?yàn)檎归_式中含有常數(shù)項(xiàng),所以,即為整數(shù),故n的最小值為1.所以.故選C點(diǎn)睛:求二項(xiàng)展開式有關(guān)問(wèn)題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng),由特定項(xiàng)得出值,最后求出其參數(shù).5、A【解析】
根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再求出向量的坐標(biāo),根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ,k=0時(shí)解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的圖象,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于綜合題,但是難度不大,解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標(biāo),再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果,屬于簡(jiǎn)單題.6、B【解析】
根據(jù)分段函數(shù)表達(dá)式,先求得的值,然后結(jié)合的奇偶性,求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求函數(shù)值,考查數(shù)形結(jié)合思想.意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力,分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.7、A【解析】依題意有的周期為.而,故應(yīng)左移.8、A【解析】
確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,計(jì)算時(shí)的函數(shù)值可排除三個(gè)選項(xiàng).【詳解】時(shí),函數(shù)為減函數(shù),排除B,時(shí),函數(shù)也是減函數(shù),排除D,又時(shí),,排除C,只有A可滿足.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,可通過(guò)解析式研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等等排除,可通過(guò)特殊的函數(shù)值,函數(shù)值的正負(fù),函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除,最后剩下的一個(gè)即為正確選項(xiàng).9、C【解析】
確定函數(shù)為奇函數(shù),且單調(diào)遞減,不等式轉(zhuǎn)化為,利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值得到答案.【詳解】是奇函數(shù),,易知均為減函數(shù),故且在上單調(diào)遞減,不等式,即,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,即,設(shè),,故單調(diào)遞減,故,當(dāng),即時(shí)取最大值,所以.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式,參數(shù)分離求最值是解題的關(guān)鍵.10、C【解析】
由圖像用分段函數(shù)表示,該物體在間的運(yùn)動(dòng)路程可用定積分表示,計(jì)算即得解【詳解】由題中圖像可得,由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式,可得.所以物體在間的運(yùn)動(dòng)路程是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的實(shí)際應(yīng)用,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、B【解析】
求得復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標(biāo)的對(duì)應(yīng),考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考驗(yàn)計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的等價(jià)命題是方程在區(qū)間上有解,化簡(jiǎn)方程在區(qū)間上有解,構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),求出單調(diào)區(qū)間,利用函數(shù)性質(zhì)得解.【詳解】解:根據(jù)題意,若函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn),則方程在區(qū)間上有解,即方程在區(qū)間上有解,設(shè)函數(shù),其導(dǎo)數(shù),又由,可得:當(dāng)時(shí),為減函數(shù),當(dāng)時(shí),為增函數(shù),故函數(shù)有最小值,又由;比較可得:,故函數(shù)有最大值,故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?;若方程在區(qū)間上有解,必有,則有,即的取值范圍是;故答案為:;【點(diǎn)睛】本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問(wèn)題,函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的拓展.由于函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的根,在研究方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí),可以將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決.此類問(wèn)題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的圖象,采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.14、06【解析】
作不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,即可求出結(jié)果.【詳解】作出可行域,如圖中的陰影部分:求的最值,即求直線在軸上的截距最小和最大時(shí),當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),軸上截距最大,即z取最小值,.當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),軸上截距最小,即z取最大值,.故答案為:0;6.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中的最值問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的基本方法,屬于中檔題.15、【解析】
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在切點(diǎn)的切線方程,將原點(diǎn)代入切線方程,求出的值,于此可得出所求的切線方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,,,,則曲線在點(diǎn)處的切線方程為,由于該直線過(guò)原點(diǎn),則,得,因此,則過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線方程,求解思路是:(1)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),并利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程;(2)將所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程,求出參數(shù)的值,可得出切點(diǎn)的坐標(biāo);(3)將參數(shù)的值代入切線方程,可得出切線的方程.16、7【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合,即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖陰影部分所示.觀察可知,當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),有最大值,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃,主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見證明;(2)【解析】
(1)設(shè)是的中點(diǎn),連接、,先證明是平行四邊形,再證明平面,即(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S的正方向,建空間直角坐標(biāo)系,分別計(jì)算各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算平面法向量,利用向量的夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:設(shè)是的中點(diǎn),連接、,是的中點(diǎn),,,,,,,是平行四邊形,,,,,,,,由余弦定理得,,,,平面,,;(2)由(1)得平面,,平面平面,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S的正方向,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則,,令,則,,,直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直,線線垂直,利用空間直角坐標(biāo)系解決線面夾角問(wèn)題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.18、(1)(2)【解析】
(1)由,可求,然后由時(shí),可得,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求(2)由,而,利用裂項(xiàng)相消法可求.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),①②②①得,即,數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,;(2)∴,∴,,.【點(diǎn)睛】本題考查遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.19、(1)30.2,29;(2)B設(shè)備【解析】
(1)平均數(shù)的估計(jì)值為組中值與頻率乘積的和;(2)要注意指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品才視為合格品,列出A、B設(shè)備利潤(rùn)分布列,算出期望即可作出決策.【詳解】(1)A設(shè)備生產(chǎn)的樣本的頻數(shù)分布表如下質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)41640121810.根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計(jì)A設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)平均值為30.2.B設(shè)備生產(chǎn)的樣本的頻數(shù)分布表如下質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162根據(jù)樣本質(zhì)量指標(biāo)平均值估計(jì)B設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)平均值為29.(2)A設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)記為X,B設(shè)備生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)記為Y,X240180120PY240180120P若以生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)作為決策依據(jù),企業(yè)應(yīng)加大B設(shè)備的生產(chǎn)規(guī)模.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的估計(jì)值、離散隨機(jī)變量的期望,并利用期望作決策,是一個(gè)概率與統(tǒng)計(jì)綜合題,本題是一道中檔題.20、(1),;(2).【解析】
(1)在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程,在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以得,進(jìn)而可化簡(jiǎn)得出曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)根據(jù)變換得出的普通方程為,可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【詳解】(1)由(為參數(shù)),得,化簡(jiǎn)得,故直線的普通方程為.由,得,又,,.所以的直角坐標(biāo)方程為;(2)由(1)得曲線的直角坐標(biāo)方程為,向下平移個(gè)單位得到,縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得到曲線的方程為,所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).故點(diǎn)到直線的距離為,當(dāng)時(shí),最小為.【點(diǎn)睛】本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化,同時(shí)也考查了利用橢圓的參數(shù)方程解決點(diǎn)到直線的距離最值的求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.21、(1).(2)四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【解析】
(1)根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證得,由此判斷出點(diǎn)的軌跡為橢圓,并由此求得曲線的方程.(2)將直線的斜率分成不存在或存在兩種情況,求出平行四邊形的面積,兩種情況下四邊形的面積都為,由此證得四邊形的面積為定值.【詳解】(1)因?yàn)閳AE為△ABC的內(nèi)切圓,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=
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