新湘教版七年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義

七年級(jí)上冊(cè)有理數(shù)第一講有理數(shù)益思對(duì)話(huà)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的中國(guó)面孔“一個(gè)國(guó)家只有數(shù)學(xué)蓬勃開(kāi)展，才能表現(xiàn)它的國(guó)力強(qiáng)大?！薄卜ā衬闷苼鲎?840年鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)始，腐敗的清王朝屢次對(duì)外戰(zhàn)爭(zhēng)的失敗，致使國(guó)門(mén)洞開(kāi)，一次次喪權(quán)辱國(guó)的割地賠款，使國(guó)人清醒地認(rèn)識(shí)到西方世界科學(xué)技術(shù)之強(qiáng)大，而科學(xué)技術(shù)的強(qiáng)大又是建立在根底科學(xué)的強(qiáng)大之上，而根底科學(xué)的語(yǔ)言與工具之一就是數(shù)學(xué)，雖然，中華民族有著淵遠(yuǎn)博大、自成一派的數(shù)學(xué)體系，甚至從公元一世紀(jì)至十一世紀(jì)初長(zhǎng)達(dá)一千多年的時(shí)間里傲立于世界數(shù)學(xué)之巔，但隨著十四世紀(jì)中葉明王朝建立之后，統(tǒng)治者奉行八股文的科舉制度，在國(guó)家科舉考試中大幅度削減數(shù)學(xué)內(nèi)容，自此中國(guó)古代數(shù)學(xué)開(kāi)始全面衰弱，而幾乎與此同時(shí)，西方世界正值文藝復(fù)興時(shí)期，崇尚科學(xué)之風(fēng)盛行，近代高等數(shù)學(xué)也在這種氣氛中開(kāi)始萌芽、開(kāi)展、壯大，并為科學(xué)技術(shù)的開(kāi)展提供了強(qiáng)有力的工具，而我國(guó)直至十九世紀(jì)末才開(kāi)始近代高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究，雖然經(jīng)過(guò)幾代數(shù)學(xué)工作者的奮力追趕，但時(shí)至今日仍能深切感受到與西方興旺國(guó)家之間不小的差距，世界著名華人數(shù)學(xué)家、沃爾夫獎(jiǎng)獲得者陳省身曾說(shuō)，我所做的一切只為實(shí)現(xiàn)一個(gè)理想——使中國(guó)成為21世紀(jì)數(shù)學(xué)大國(guó)，正是這種共同理想的鼓勵(lì)之下，一批又一批志士仁人前赴后繼投身其中。益思互動(dòng)1.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。2.有理數(shù)還可以這樣定義：形如〔其中均為整數(shù)，縣〕的數(shù)是有理數(shù)，這種表達(dá)形式被用來(lái)證明或判斷某個(gè)數(shù)是不是有理數(shù)。3．有理數(shù)的數(shù)系表：4．有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示。5．零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)；零不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。6．如果兩個(gè)數(shù)的和為0，那么稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，如果兩個(gè)數(shù)的積為1，那么稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。7．有理數(shù)的運(yùn)算法那么：〔1〕加法：兩數(shù)相加，同號(hào)的取原來(lái)的符號(hào)、并把絕對(duì)值相加；異號(hào)的取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值，絕對(duì)值相等時(shí)，和為0；一個(gè)數(shù)與0相加，仍得這個(gè)數(shù)?！?〕減法：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)?！?〕乘法：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；一個(gè)數(shù)與0相乘，積為0。乘方：求個(gè)相同因數(shù)口的積的運(yùn)算稱(chēng)為乘方，記為。〔4〕除法：除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。益思練場(chǎng)1．以下說(shuō)法中，正確的選項(xiàng)是〔〕A．負(fù)數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)B．正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為分?jǐn)?shù)C．正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)D．0不是有理數(shù)2．把以下各數(shù)填相應(yīng)的大括號(hào)里：正整數(shù)的有：{}；負(fù)整數(shù)的有：{}；正分?jǐn)?shù)的有：{}；負(fù)分?jǐn)?shù)的有：{}。3．?dāng)?shù)軸上原點(diǎn)及其左邊的點(diǎn)表示是〔〕A．負(fù)整數(shù)B．正整數(shù)C．負(fù)數(shù)D．負(fù)數(shù)和04．如以下圖，數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)A向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，再向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)C，假設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為1，那么點(diǎn)A表示的數(shù)為〔〕A.B.C.D. 5．?dāng)?shù)軸上到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)所表的數(shù)是。6．請(qǐng)你指出以下圖中哪些不是數(shù)軸？并說(shuō)出你判斷的理由。益思精析類(lèi)型一：有理數(shù)的概念【例1.1】有如下四個(gè)命題：①有理數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；②負(fù)數(shù)與正數(shù)的和為零；③兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的比值是正數(shù)；④兩個(gè)有理數(shù)的和的絕對(duì)值大于這兩個(gè)有理數(shù)絕對(duì)值的和。其中真命題有〔〕A．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．1個(gè)【例1.2】一組數(shù)按規(guī)律依次為：〔1〕請(qǐng)猜測(cè)：依此規(guī)律=；〔2〕如果我們定義一種新運(yùn)算；?！咀兪?】定義一種對(duì)正整數(shù)的“F運(yùn)算”： ①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為〔其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)〕，并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，例如，取=26，那么假設(shè)，那么第449次“F運(yùn)算”的結(jié)果是。類(lèi)型二：比擬大小【例2】比擬與的大小【變式2.1】有理數(shù)滿(mǎn)足，那么中最大數(shù)是，最小數(shù)是。【變式2.2】以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A．“黑”和“白”是具有相反意義的量 B．“快”和“慢”是具有相反意義的量C．“向北走4.5m”和“向南走8m”是具有相反意義的量D．“+15m”就表示向東走15m【例3.1】有如下4個(gè)判斷性語(yǔ)句：①符號(hào)相反的數(shù)互為相反數(shù)；②任何有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)；③一個(gè)數(shù)的相反數(shù)一定是負(fù)數(shù)；④如果一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，那么這個(gè)數(shù)是正數(shù)，其中正確的有〔〕個(gè)。A．1 B．2 C．3 D．4【變式3.1】數(shù)在數(shù)軸位置如以下圖所示，那么大小順序?yàn)?。〔用不等?hào)連接〕【變式3.2】有理數(shù)等于它的倒數(shù)，有理數(shù)等于它的相反數(shù)，那么類(lèi)型二：科學(xué)計(jì)數(shù)法【例4.1】據(jù)統(tǒng)計(jì)全球每分鐘大約會(huì)有340000名嬰兒誕生，嬰兒出生數(shù)用科學(xué)計(jì)數(shù)法可表示為名?！纠?.2】盡管受到國(guó)際金融危機(jī)的影響，但長(zhǎng)沙市經(jīng)濟(jì)依然保持了平衡增長(zhǎng)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，截止到今年4月底，我市金融機(jī)構(gòu)存款余額約為1193億元，用科學(xué)記數(shù)法應(yīng)記為〔〕A．元B．元C．元D．元【變式4】橫跨深圳及香港之間的深圳灣大橋〔ShellzhenBayBridge〕是中國(guó)唯一傾斜的獨(dú)塔單索面橋，大橋全長(zhǎng)4770米，這個(gè)數(shù)字用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為〔保存兩個(gè)有效數(shù)字〕〔〕A．B．C． D．【例4.3】一個(gè)四位數(shù)的正整數(shù)用科學(xué)計(jì)數(shù)法，在保存三位有效數(shù)字以后為，那么滿(mǎn)足該條件的四位數(shù)有〔〕個(gè)。A．8B．9C．10D．11【變式4.1】一個(gè)五位數(shù)的正整數(shù)用科學(xué)計(jì)數(shù)法，在保存三位有效數(shù)字以后為，那么滿(mǎn)足該條件的五位數(shù)有個(gè)。類(lèi)型三：找規(guī)律【例5】觀察下面一組數(shù)據(jù)，探求其規(guī)律：〔1〕寫(xiě)出第7、8、9項(xiàng)的三個(gè)數(shù)；〔2〕第2010個(gè)數(shù)是什么？〔3〕如果這一組數(shù)據(jù)無(wú)限排列下去，與哪兩個(gè)數(shù)越來(lái)越近？【變式5】時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；….那么的值為。益思拓展A．夯實(shí)根底1．如果兩個(gè)數(shù)的和為正數(shù)，那么〔〕A．這兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)B．一個(gè)數(shù)為正，一個(gè)數(shù)為0C．兩個(gè)數(shù)一正一負(fù)，且正數(shù)絕對(duì)值大D．必屬上面三種之一2．以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是〔〕A．負(fù)數(shù)沒(méi)有倒數(shù)B．大于1的正數(shù)的倒數(shù)比自身小C．任何有理數(shù)都有倒數(shù)D．的倒數(shù)是3．某市水質(zhì)檢測(cè)部門(mén)2008年全年共監(jiān)測(cè)水量達(dá)萬(wàn)噸，將數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法〔保存兩位有效數(shù)字〕表示為〔〕A. B．C．D．4．今年某市約有名應(yīng)屆初中畢業(yè)生參加中考，用科學(xué)記數(shù)法〔〕A．B．C．D．B．能力拓展5．一個(gè)數(shù)的平方是，這個(gè)數(shù)的立方是〔〕A． B．C．或 D．或6．有如下三個(gè)結(jié)論甲：中至少有兩個(gè)互為相反數(shù)，那么；乙：中至少有兩個(gè)互為相反數(shù)，那么；丙：中至少有兩個(gè)互為相反數(shù)，那么。其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是〔〕A． B．C． D．7．如果一個(gè)有理數(shù)的偶次冪是正數(shù)，那么這個(gè)有理數(shù)〔〕A．一定是正數(shù)B．一定是負(fù)數(shù)C．是正數(shù)或是負(fù)數(shù)D．可以是任意的有理數(shù)8．甲數(shù)是的相反數(shù)，乙數(shù)比甲數(shù)的相反數(shù)大，那么乙數(shù)比甲數(shù)大。C．綜合創(chuàng)新9．在等式□□的兩個(gè)方格內(nèi)分別填一個(gè)數(shù)，使這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)且等式成立，那么第一個(gè)方格內(nèi)的數(shù)是。10.互為相反數(shù),互為倒數(shù)，的絕對(duì)值等于3，求的值。aadbec在五環(huán)圖案內(nèi)，分別填寫(xiě)五個(gè)數(shù),如圖,其中是三個(gè)連續(xù)偶數(shù)225476〔〕,是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)()，且滿(mǎn)足,例如，請(qǐng)你在0到20之間選擇另一組符合條件的數(shù)填入以下圖：12．互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，且。13．三個(gè)互不相等的有理數(shù)，既可以表示為的形式，也可以表示為的形式，試求的值。

第二講數(shù)形結(jié)合話(huà)數(shù)軸益思對(duì)話(huà)笛卡爾〔ReneDescartes,1596-1650〕，法國(guó)數(shù)學(xué)家，笛卡爾在數(shù)學(xué)上的最大奉獻(xiàn)是提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法，并指明了其開(kāi)展方面，他在《幾何學(xué)》中，將邏輯、幾何、代數(shù)方法結(jié)合來(lái)，通過(guò)討論作圖問(wèn)題，勾勒出解析幾何的輪廓，從此，數(shù)和形就走到了一起。數(shù)形結(jié)合切換體驗(yàn)想體驗(yàn)一下數(shù)形相結(jié)合嗎？問(wèn)題是笛卡爾與歐拉都研究過(guò)的，你想試一試嗎？如圖，四個(gè)圖都稱(chēng)作平面圖，觀察圖和表中對(duì)應(yīng)數(shù)值，探究其中的規(guī)律并作答?！?〕數(shù)一數(shù)每個(gè)圖各有多少個(gè)頂點(diǎn)、多少條邊，這些邊圍出多少區(qū)域，并將結(jié)果填入表中〔其中已填好〕?！?〕根據(jù)表中的數(shù)值，寫(xiě)出平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間的一種關(guān)系。數(shù)學(xué)符號(hào)的嚴(yán)歷在和科學(xué)的開(kāi)展過(guò)程中，人類(lèi)創(chuàng)造了用符號(hào)代替語(yǔ)言、文字的方法，這是因?yàn)榉?hào)比語(yǔ)言、文字更簡(jiǎn)練、更直觀、更具一般性?？v觀歷史，數(shù)學(xué)的開(kāi)展創(chuàng)造了數(shù)學(xué)符號(hào)，新的教學(xué)符號(hào)的使用又反過(guò)來(lái)促進(jìn)了數(shù)學(xué)的開(kāi)展，歷史就是這樣一步一步走過(guò)來(lái)的，并將這樣一步一步繼續(xù)走下去，數(shù)學(xué)的每個(gè)進(jìn)步都伴隨著新的數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生?！?”是15世紀(jì)德數(shù)數(shù)學(xué)家魏德美創(chuàng)造的，它的意思是：在橫線(xiàn)上加上一豎，表示增加?！埃币彩堑聡?guó)數(shù)學(xué)家魏德美創(chuàng)造的，它的意思是：從加號(hào)中減去一豎，表示減少?！啊痢笔?8世紀(jì)美國(guó)教學(xué)家歐德萊最先使用的，它的意思是：表示增加的另一種方法，因而把加號(hào)斜過(guò)來(lái)寫(xiě)。“÷”是18世紀(jì)瑞士人哈納創(chuàng)造的，它的含義是分解的意思，因此用一條橫線(xiàn)把兩個(gè)圓點(diǎn)分開(kāi)?！?”是16世紀(jì)英國(guó)學(xué)者列科爾德創(chuàng)造的，列科爾德認(rèn)為世界上再也沒(méi)有比這兩條平行且相等的直線(xiàn)更相同的東西了，所以用來(lái)表示兩數(shù)相等。17世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾在他的《幾何學(xué)》中，第一次使用“”表示根號(hào)。17世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨在幾何學(xué)中用“∽”表示相鄰似，用“≌”表示全等。益思互動(dòng)為了學(xué)好有理數(shù)的概念，使思維適應(yīng)數(shù)集的擴(kuò)充，我們把現(xiàn)實(shí)生活中大量的在關(guān)模型，如直尺，杠桿、溫度計(jì)、儀表上的刻度，所具有的本質(zhì)屬性抽象化，建立起數(shù)軸(numberaxis)模型，數(shù)軸的建立，賦予了抽象的代數(shù)概念以直觀表象。數(shù)學(xué)一開(kāi)始就是研究“數(shù)”和“形”的，從古希臘時(shí)期起，人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來(lái)。數(shù)與形有著密切的聯(lián)系，我們常用代數(shù)的方法研究圖形問(wèn)題；另一方面，也利用圖形來(lái)處理代數(shù)問(wèn)題，這種數(shù)與形相互作用，是一種重要的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合思想。利用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段，數(shù)軸是聯(lián)系數(shù)與形的橋梁，主要表達(dá)在：1．運(yùn)用數(shù)軸直觀地表示有理數(shù)(rationalnumber)；2．運(yùn)用數(shù)軸形旬地解釋數(shù)相反數(shù)(oppositenumber)；3．運(yùn)用數(shù)軸準(zhǔn)確地比擬有理數(shù)的大??；4．運(yùn)用數(shù)軸恰當(dāng)?shù)亟鉀Q與絕對(duì)值有關(guān)聯(lián)的問(wèn)題。益思練場(chǎng)1．的值是〔〕A． B．C． D．2．假設(shè)，那么以下不等式中，成立的是〔〕A． B．C． D．3．實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置如下圖，那么以下各式中，正確的選項(xiàng)是〔〕A． B．C．D．4．如圖，在數(shù)軸上表示到原點(diǎn)的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)是〔〕A．點(diǎn)D B．點(diǎn)AC．點(diǎn)A和點(diǎn)DD．點(diǎn)B和點(diǎn)C5．假設(shè)，那么等于〔〕A．0 B．C． D．以上答案都不對(duì)6．絕對(duì)值小于的整數(shù)有〔〕A．個(gè) B．個(gè)C．個(gè) D．個(gè)7．假設(shè),那么的值為〔〕A．B．C． D．8．如果與1互為相反數(shù)，那么等于〔〕A． B．C． D．9．實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置如下圖，那么以下結(jié)論中，正確的選項(xiàng)是〔〕 B．C．D．益思精析類(lèi)型一：絕對(duì)值的幾何意義【例1】〔1〕數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，如果點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是，且A、B兩點(diǎn)的距離為，那么點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是。〔2〕點(diǎn)A、B分別是數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，使線(xiàn)段AB沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)到A＇B＇，且線(xiàn)段A＇B＇的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，那么點(diǎn)A＇對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)A移動(dòng)的距離是?！咀兪?.1】將，，，，按從小大的順序排列，并用“<”連接：.【變式1.2】把滿(mǎn)足中的整數(shù)表示在數(shù)軸上，并用不等號(hào)連接?！咀兪?.3】2008年8月8日，第29屆奧運(yùn)會(huì)在北京開(kāi)幕，5個(gè)城市的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間〔單位：時(shí)〕在如圖的數(shù)軸上表示，那么北京時(shí)間2008年8月8日20時(shí)應(yīng)是〔〕。A．倫敦時(shí)間2008年8月8日11時(shí)B．巴黎時(shí)間2008年8月8日13時(shí)C．紐約時(shí)間2008年8月5時(shí)D．首爾時(shí)間2008年8月8日19時(shí)【例2】閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示數(shù)、，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為|AB|,當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不防設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖①，|AB|=|OB|；當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)：〔1〕如圖②上，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊，|AB|=|OB||OA|；〔2〕如圖③，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，|AB|=|OB||OA|；〔3〕如圖④，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)兩邊|AB|=|OA|+|OB.綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB|.答復(fù)以下問(wèn)題：〔1〕數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是；〔2〕數(shù)軸上表示和的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果|AB|=2，那么為；〔3當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí)，相應(yīng)的的取值范圍是?！咀兪?.1】如以下圖，數(shù)軸上的三點(diǎn)A、B、C分別表示有理數(shù)、、，那么表示〔〕A.A、B兩點(diǎn)間的距離B.A、C兩點(diǎn)間的距離C.A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和D.A、C兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和【變式2.2】求的最小值。【變式2.3】假設(shè)，那么?！咀兪?.4】設(shè)，那么下面四個(gè)結(jié)論中正確的選項(xiàng)是〔〕。A．沒(méi)有最小值B．只有一個(gè)使取最小值C．有有限個(gè)使取最小值D．有無(wú)限多個(gè)使取最小值類(lèi)型二：絕對(duì)值的應(yīng)用【例3】李明家在一條東西走向的街道上，他家東面100米處有一家超市A，西面600米處有一家醫(yī)院B，李明在東面離家800米的學(xué)校C上學(xué)，假設(shè)李明家為原點(diǎn)，向東為正方向，以100米為單位長(zhǎng)度，畫(huà)出數(shù)軸?！?〕超市A、醫(yī)院B、學(xué)校C各表示的數(shù)是多少？〔2〕超市A到醫(yī)院B的路程是多少？〔3〕一天李明從家去醫(yī)院打針，然后趕回學(xué)校上課，最后回家，李明這天所走的路程是多少？【變式3.1】按照要求在數(shù)軸上完成點(diǎn)的移動(dòng)，并說(shuō)明移動(dòng)后的點(diǎn)所表示的數(shù)?！?〕點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，將點(diǎn)A向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)S表示的新數(shù)是多少？如圖〔1〕，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的有理數(shù)的和是。實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置如圖〔2〕所示，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A．B．C．D．【變式3.2】在數(shù)軸上和有理數(shù)、、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如以下圖所示。有下面四個(gè)結(jié)論：①;②；③；④，其中，正確的結(jié)論有〔〕。A．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．1個(gè)【變式3.3】、為理數(shù)，且將四個(gè)數(shù)按由小到大的順序排列是?！咀兪?.4】?jī)蓴?shù)、，如果比大，試判斷與的大小。類(lèi)型三：數(shù)軸與絕對(duì)值【例4】，且，那么。【變式4.1】，求的值。【變式4.2】，求的值?！咀兪?.3】：，在數(shù)軸上給出關(guān)于、的四種情況如下圖，那么成立的是，〔寫(xiě)出所有正確的序號(hào)〕【例5】電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)，第一步由向左跳一個(gè)單位，第二步由向右跳兩個(gè)單位到，第三步由向左跳三個(gè)單位到，第四步由向右跳四個(gè)單位到……按以上規(guī)律跳100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)恰是19.94，試求電子跳蚤的初始位置點(diǎn)所表示的數(shù)?！咀兪?】〔1〕工作流水線(xiàn)上順次排列5個(gè)工作臺(tái)A、B、C、D、E，一只工具箱應(yīng)該放在何處，才能使工作臺(tái)上操作機(jī)器的人取工具所走的路程最短？〔2〕如果工作臺(tái)由5個(gè)改為6個(gè)，那么工具箱應(yīng)如何放置能使6個(gè)操作機(jī)器的人取工具所走的路程之和最短？〔3〕當(dāng)流水線(xiàn)上有個(gè)工作臺(tái)時(shí)，怎樣放置工具箱最適宜？益思拓展A．夯實(shí)根底1．〔1〕如果數(shù)軸上一點(diǎn)A所表示的數(shù)是3，那么與點(diǎn)A相距4個(gè)單位的點(diǎn)所表示的數(shù)是?！?〕數(shù)軸上，在表示到的點(diǎn)之間，表示整數(shù)的點(diǎn)共有個(gè)，在表示到的點(diǎn)之間，表示整數(shù)的點(diǎn)總共有個(gè)。2．如以下圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)、，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕 B．C． D．3．、在數(shù)軸上的位置如下圖，把、、、按照從小到大的順序排列，并用“<”連接起來(lái)。4．文具店、書(shū)店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書(shū)店西邊處，玩具店在書(shū)店?yáng)|邊100處，小明從書(shū)店沿街向東走了，接著又向東走了，此時(shí)小明的位置在〔〕A．文具店B．玩具店C．文具店西邊D．玩具店?yáng)|邊B．能力拓展5．試求的最小值。6．假設(shè)，那么使成立的的取值范圍是。7．父親是兒子現(xiàn)在年齡時(shí)，兒子已經(jīng)10歲了，當(dāng)兒子是父親現(xiàn)在年齡時(shí)，父親將82歲，問(wèn)父子相差幾歲？.數(shù)軸上有A、B之間的距離為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3，那么點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是。C．綜合創(chuàng)新9．，比擬與的大小。10．，那么。11．假設(shè)，那么使成立的的取值范圍是。

12、在某寄宿制中學(xué)，有十位同學(xué)要去洗衣服，而洗衣服的地方只有一個(gè)水龍頭，每次只能讓一位同學(xué)洗衣服，其他同學(xué)得等待，這十位同學(xué)洗衣服所花的時(shí)間分別是現(xiàn)在要你幫他們安排一下洗衣服的順序，使得他們等待的時(shí)間總和最小，怎樣安排？最少等待時(shí)間為多少？13．在數(shù)軸上，N點(diǎn)與原點(diǎn)的距離是N點(diǎn)與30所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離的4倍，那么N點(diǎn)表示的數(shù)是多少？

第三講絕對(duì)值益思對(duì)話(huà)?cǎi)R丁·加德納(MartinGardner,1914-)，當(dāng)代美國(guó)作家，《科學(xué)美國(guó)人》雜志的主編，他以撰寫(xiě)趣味數(shù)學(xué)文章而聞名于世，有“數(shù)學(xué)園丁”、“數(shù)學(xué)傳教士”的美稱(chēng)，《科學(xué)美國(guó)人》雜志數(shù)學(xué)游戲?qū)?0余年的連載文章，使他成為“數(shù)學(xué)神廟的守護(hù)神”，著有《數(shù)學(xué)游戲》、《啊哈！靈機(jī)一動(dòng)》等。茶杯與硬幣這是一道如今稱(chēng)為“急轉(zhuǎn)彎”的問(wèn)題，它自身的喻義已打破人們傳統(tǒng)的思維，而向著詭辨方向開(kāi)展，這也許正是靈機(jī)一動(dòng)！【題】如圖，四枚硬幣放在三只玻璃杯中，使每只玻璃杯中的硬幣數(shù)都是奇數(shù)?！窘狻科鏀?shù)個(gè)奇數(shù)和仍是奇數(shù)，這樣的問(wèn)題似乎無(wú)解，但請(qǐng)你注意下面的解法——將其中兩只玻璃杯摞起來(lái)，就找到答案了。〔注：此題還有其他解答，讀者不妨一試〕。益思互動(dòng)1．在數(shù)軸上，數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離稱(chēng)為數(shù)的絕對(duì)值，記作。2．任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，也就是說(shuō)，任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都不小于零，即。3．任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都不小于這個(gè)數(shù)，也不小于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即，且。4．一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而?。粌蓚€(gè)數(shù)，假設(shè)絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)可能相等，也可能互為相反數(shù)。6．常用公式：；；在數(shù)軸上，的意義是數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；的意義是數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離。益思練場(chǎng)1．在以下語(yǔ)句：①是相反數(shù)；②與互為相反數(shù)；③是的相反數(shù)；④和互為相反數(shù)；⑤0的相反數(shù)是0，其中正確的選項(xiàng)是〔〕A．①② B．②③⑤C．①④⑤ D．③④⑤2．一個(gè)數(shù)的相反數(shù)小于它本身，這個(gè)數(shù)是〔〕A．有理數(shù) B．正數(shù)C．負(fù)數(shù) D．零3．假設(shè),b互為相反數(shù)，且，那么有〔〕A．B．C．D．4．在所有的有理數(shù)中，絕對(duì)值最小的是。5．在數(shù)軸上，與表示5的點(diǎn)的距離等于10的點(diǎn)有個(gè)，它們表示的數(shù)分別是。6．當(dāng)時(shí)，；假設(shè)，那么為。7．化簡(jiǎn)的結(jié)果是〔〕A． B.C． D．益思精析類(lèi)型一：去絕對(duì)值問(wèn)題【例1】三個(gè)數(shù)、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如下圖，化簡(jiǎn)【變式1.1】化簡(jiǎn)：【變式1.2】、、在數(shù)軸上表示的數(shù)如圖年示，請(qǐng)化簡(jiǎn)：類(lèi)型二：求值問(wèn)題【例2】,且，那么為。【變式2】的值等于。類(lèi)型三：非負(fù)數(shù)問(wèn)題【例3】假設(shè)與互為相反數(shù)，求的值?！咀兪?】如果|，那么方程的解是。類(lèi)型四：分類(lèi)討論問(wèn)題【例4】、、滿(mǎn)足，且，那么代數(shù)式的值為?！咀兪?】假設(shè)，那么不能等于，，，這四個(gè)數(shù)中的〔〕A．B．C．D．類(lèi)型五：幾何意義問(wèn)題【例5】具有非負(fù)性，其最小值為了，試探究為有理數(shù)時(shí)，有沒(méi)有最小值？如果有，求出這個(gè)最小值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由。【變式5】代數(shù)式的最小值為?！咀兪?.1】試求的最小值。類(lèi)型六：條件絕對(duì)值問(wèn)題【6】、、、是有理數(shù)，，且，那么?！咀兪?】,且，那么。益思拓展A．夯實(shí)根底1．的值是〔〕A． B．C． D．2．?dāng)?shù)是〔〕A．正數(shù) B．負(fù)數(shù)C．非正數(shù) D．零3．假設(shè)為有理數(shù)，那么以下說(shuō)法中，正確的選項(xiàng)是〔〕A．的值是正數(shù)B．的值是負(fù)數(shù)C．的值是正數(shù)D．的值小于1B．能力拓展4．使代數(shù)式的值為正整數(shù)的值是〔〕A．正數(shù) B．負(fù)數(shù)C．非零的數(shù) D．不存在的5．的相反數(shù)是最大的負(fù)數(shù)，的絕對(duì)值是最小的正整數(shù)，那么。6．、、為有理數(shù)，且，求的值。如果，，那么的絕對(duì)值等于。C．綜合創(chuàng)新8．假設(shè)，那么以下不等式中，成立是〔〕A． B．C． D．9．，且，求的值。10．、、都是負(fù)數(shù)，并且，那么是〔〕A．負(fù)數(shù) B．非負(fù)數(shù)C．正數(shù) D．非正數(shù)

11．假設(shè)，那么.12．試求的值。13．為四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，在它們之間添加上“+”，“—”符號(hào)，并依次計(jì)算，所得可能的最小非負(fù)數(shù)是多少？假設(shè)只能用“—”和絕對(duì)值，但不需要依次〔自然順序〕，那么所得的最小非負(fù)數(shù)是多少？

第四講有理數(shù)及其運(yùn)算益思對(duì)話(huà)數(shù)學(xué)中的兩大“諾貝爾獎(jiǎng)”大家都知道諾貝爾獎(jiǎng)中沒(méi)有數(shù)學(xué)這個(gè)科學(xué)之王的份額，這無(wú)疑使在數(shù)學(xué)中取得成就的人失去了受表彰的時(shí)機(jī)，正是在這種情況下，世界上先后樹(shù)起了兩個(gè)數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)：一個(gè)是四年頒發(fā)一次的菲爾茲獎(jiǎng)，另一個(gè)是每年頒發(fā)的沃爾夫大獎(jiǎng)，這兩個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)被人們稱(chēng)為“數(shù)學(xué)中的諾貝爾獎(jiǎng)”。菲爾茲獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)是用已故加拿大數(shù)學(xué)家、教育學(xué)家J.C菲爾茲的姓氏命名的，為了使北美洲數(shù)學(xué)迅速開(kāi)展并趕上歐洲，他第一個(gè)在加拿大推進(jìn)研究生教育，并全力籌備和主持了1924年在多倫多召開(kāi)的第屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，這是在歐洲之外召開(kāi)的第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家家大會(huì)，正是這次大會(huì)使他過(guò)分勞累，從此健康狀況再也沒(méi)有好轉(zhuǎn)，當(dāng)他得知這次大會(huì)的經(jīng)費(fèi)有結(jié)余時(shí)，就萌發(fā)了把它作為基金設(shè)立一個(gè)國(guó)際數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的念頭，他為此積極奔波于歐美各國(guó)謀求廣泛支持，并打算于1932年在蘇黎民召開(kāi)的第九屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上親自提出建議，但不幸的是未等到大會(huì)開(kāi)幕他就去世了，他立下遺囑，把自己留下的遺產(chǎn)加到上述剩余的經(jīng)費(fèi)中，第九屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)立即接受了這一建議，為贊菲爾茲的遠(yuǎn)見(jiàn)卓識(shí)，組織才能和他為促進(jìn)數(shù)學(xué)事業(yè)的國(guó)際交流的所表現(xiàn)的無(wú)私奉獻(xiàn)的偉大精神，大會(huì)一致同意將該獎(jiǎng)命為“菲爾茲獎(jiǎng)”。它的產(chǎn)生很特點(diǎn)：數(shù)學(xué)界的國(guó)際權(quán)威學(xué)術(shù)團(tuán)體——國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì)主持，從全世界第一流40歲以下的數(shù)學(xué)家中評(píng)選；在每隔4年召開(kāi)一次的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上隆重頒獎(jiǎng)，開(kāi)始時(shí)每次獲獎(jiǎng)?wù)咧挥?人，1965年，得到一位不希望透露姓名的人的贊助后而從1966年起獲獎(jiǎng)?wù)咴黾拥?～4人，因此獲獎(jiǎng)的時(shí)機(jī)比諾貝爾和沃爾夫獎(jiǎng)還要少；獲獎(jiǎng)?wù)呤钱?dāng)時(shí)最著名的、成果最卓著的數(shù)學(xué)家。沃爾夫獎(jiǎng)1976年1月1日，沃爾夫及其家族捐獻(xiàn)1000萬(wàn)美元成立了沃爾夫根底會(huì)，其宗旨主要是為了促進(jìn)全世界科學(xué)藝術(shù)的開(kāi)展。沃爾夫1897年生于德國(guó)，其父是德車(chē)漢諾威城的一位五金商人，也是該城猶太社會(huì)的名流，沃爾夫曾在德國(guó)研究化學(xué)，并獲得博士學(xué)位，第一次世界大戰(zhàn)前，他移居古巴，他用近20年的時(shí)間，做了大量實(shí)驗(yàn)，歷近艱辛，成功地創(chuàng)造了一種熔煉廢渣回收鐵的方法，從而成為萬(wàn)百富翁，1961～1973年，他曾任古巴駐以色列大使，他沃爾夫基金會(huì)的倡導(dǎo)者和主要捐獻(xiàn)人，活爾夫于1981年逝世。沃爾夫基金會(huì)的理事會(huì)主席由以色列政府官員擔(dān)任，評(píng)獎(jiǎng)委員會(huì)由世界著名的科學(xué)家組成，以前沃爾夫基金會(huì)只設(shè)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)5個(gè)獎(jiǎng)，后增設(shè)藝術(shù)獎(jiǎng)，于是現(xiàn)在有6個(gè)獎(jiǎng)，1978年開(kāi)始頒發(fā)，通常是每年頒發(fā)一次，由于沃爾夫數(shù)學(xué)關(guān)具有終身成就獎(jiǎng)的性質(zhì)，所以獲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家都是蜚聲數(shù)壇的當(dāng)代數(shù)大師，他們的成就在相當(dāng)程度上代表了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的水平和進(jìn)展。一、有理數(shù)的運(yùn)算歸根結(jié)底是運(yùn)用符號(hào)法那么，確定結(jié)果的符號(hào)后再運(yùn)算各項(xiàng)的絕對(duì)值是根本法，在有理數(shù)的運(yùn)算過(guò)程中，雖然掌握運(yùn)算法那么是關(guān)鍵，但是由于題目的種類(lèi)繁多，特點(diǎn)不一，別是有些數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，往往數(shù)值大，項(xiàng)數(shù)多，次數(shù)高，顯得很復(fù)雜，其實(shí)大多數(shù)有隱含的某種規(guī)律，因此運(yùn)算技巧不可無(wú)視，而技巧來(lái)自細(xì)心的觀察和大膽的探索，有理數(shù)滿(mǎn)足的運(yùn)算律：①加法交換律：；②加法結(jié)合律：；③乘法交換律：；④乘法結(jié)合律：；⑤乘法對(duì)加法的分配律：。二、有理數(shù)的運(yùn)算是代數(shù)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。對(duì)于數(shù)學(xué)這門(mén)根底性很強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)會(huì)巧算，有利于打牢根底，提高代數(shù)解題能力，培養(yǎng)我們思維的靈活性和敏捷性。有理數(shù)的計(jì)算常用的技巧與方法有：1．拼湊法；〔1〕一般把同號(hào)的數(shù)加在一起；〔2〕遇到分?jǐn)?shù)可反分母相同的結(jié)合起來(lái)相加；〔3〕遇到小數(shù)應(yīng)當(dāng)把當(dāng)中相加得整數(shù)的小數(shù)結(jié)合起來(lái)；〔4〕代數(shù)和為零的數(shù)加在一起；〔5〕遇到因數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，可把便于約分的因數(shù)結(jié)合在一起；〔6〕遇到因數(shù)是小數(shù)時(shí)，可把相乘得整數(shù)的因數(shù)結(jié)合在一起。2．活用分配律：〔1〕遇到個(gè)分母不同的分?jǐn)?shù)的代數(shù)和乘以一個(gè)數(shù)時(shí)，假設(shè)通分較繁，可分配律簡(jiǎn)化計(jì)算；〔2〕遇到個(gè)積的代數(shù)和，而每個(gè)積里恰好有相同的因數(shù)，可逆用分配律使計(jì)算簡(jiǎn)化。3．?dāng)?shù)列求和。益思練場(chǎng)1．寫(xiě)成省略加號(hào)和括號(hào)的形式后為的式子是〔〕A．B．C．D．2．有理數(shù)、在數(shù)軸對(duì)應(yīng)的位置如圖1-5所示，那么的值〔〕大于0B．小于0C．等于0D．大于3．一只螞蟻從某點(diǎn)M出發(fā)，在一條直線(xiàn)上來(lái)回爬行，把它向右爬行的路程記為正數(shù)，向左爬行的路程記為負(fù)數(shù)，爬過(guò)的各路路程分別為：cm，cm，cm，cm，cm，cm，cm。〔1〕這只螞蟻?zhàn)詈笫欠窕氐匠霭l(fā)點(diǎn)M？〔2〕螞蟻離出發(fā)點(diǎn)M最遠(yuǎn)時(shí)是多少？4．假設(shè)干個(gè)不等于0的有理數(shù)相乘，積的符號(hào)〔〕A．由因數(shù)的個(gè)數(shù)決定B．由正因數(shù)的個(gè)數(shù)決定C．由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定D．由負(fù)因數(shù)和正因數(shù)的個(gè)數(shù)決定5．假設(shè)兩個(gè)有理數(shù)的和與它們的積都是正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)〔〕A．都是正數(shù)B．是符號(hào)相同不為0的數(shù)C．都是負(fù)數(shù)D．都是非負(fù)數(shù)6．計(jì)算：益思精析類(lèi)型一：加減運(yùn)算問(wèn)題【例1】【變式1】類(lèi)型二：乘除運(yùn)算問(wèn)題【例2】計(jì)算：【變式2】類(lèi)型三：裂項(xiàng)相消問(wèn)題【例3】【變式3.1】【變式3.2】類(lèi)型四：數(shù)列求和問(wèn)題【例4】【變式4.1】【變式4.2】〔為自然數(shù)〕類(lèi)型五：整體相除問(wèn)題【例5】【變式5】類(lèi)型六：乘法運(yùn)算問(wèn)題【例6】【變式6.1】?！咀兪?.2】計(jì)算的結(jié)果為。益思拓展A．夯實(shí)根底1．甲數(shù)減去乙數(shù)的差與甲數(shù)比擬，必為〔〕A．差一定小于甲數(shù)B．差不能大于甲數(shù)C．差一定大于甲數(shù)D．差的大小取決于乙是什么樣的數(shù)2．B．能力拓展6.8.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算.

10..C.綜合創(chuàng)新.12.、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，試求的值。14．試求的值。代數(shù)式第五講從數(shù)到式益思對(duì)話(huà)G·波利亞〔Georgepolya,18871985〕，著名美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家1976年中選美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士，其烽學(xué)研究涉及復(fù)變函數(shù)、概率論、數(shù)論、教學(xué)分析、組合數(shù)學(xué)等眾多領(lǐng)域長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)思維的一般規(guī)律有深入的研究，這方面的名著有《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜測(cè)》等，它們被譯成多種文字，廣為流傳。算式的規(guī)律一次數(shù)學(xué)課上，俄國(guó)數(shù)學(xué)家拉欽斯基講完正課內(nèi)容，看看還有些時(shí)間，便即興在黑板上寫(xiě)了下面一串算式：1 =133+5=237+9+11=3213+15+17+19=53“誰(shuí)能看出這些算式里有些什么規(guī)律？”拉欽斯基寫(xiě)完算式便向他的學(xué)生發(fā)問(wèn)，不一會(huì)兒，學(xué)生們一一講出自己的發(fā)現(xiàn)。“非常棒！”拉氏稱(chēng)贊道：“規(guī)律正是如此，請(qǐng)問(wèn)，誰(shuí)能說(shuō)出它的道理？”教室里鴉雀無(wú)聲，〔你也想試一試嗎？〕“第k個(gè)等式的起止項(xiàng)誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)？”拉氏又問(wèn)道。好一陣后，一個(gè)男孩舉起了手說(shuō)：“它從第個(gè)奇數(shù)起，到個(gè)奇數(shù)止。”“很好！”拉氏鼓勵(lì)道，接著他又補(bǔ)充說(shuō)：“，而，這樣第個(gè)等式的左邊為?！闭f(shuō)著他在黑板上寫(xiě)道：“利用上面一串等式，我們還可以推導(dǎo)出的求和公式，這個(gè)留給大家去考慮?！币嫠蓟?dòng)“算術(shù)”可以理解為“計(jì)算的方法”，而“代數(shù)”(algebra)可以理解為“以符號(hào)替代數(shù)字”，即“數(shù)學(xué)符號(hào)化”，著名數(shù)學(xué)教育家玻利亞曾說(shuō)：“代數(shù)是一種不同詞句而只用符號(hào)所構(gòu)成的語(yǔ)言?！庇米帜副硎緮?shù)是數(shù)學(xué)開(kāi)展史上的一件大事，是由算術(shù)跨越到代數(shù)的橋梁，是人類(lèi)開(kāi)展史上的一個(gè)飛躍，也是代數(shù)與算術(shù)的最顯著的區(qū)別。字母表示數(shù)使得數(shù)學(xué)具有簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言，能更普遍地說(shuō)明數(shù)量關(guān)系，在列代數(shù)式(algebraex-pression)，求代數(shù)式的值、形成公式等方面有廣泛的應(yīng)用。益思練場(chǎng)1．假設(shè)“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并用1！=1，2！=2×1，=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，那么的值為〔〕A． B．99！C．9900 D．2！2．某種長(zhǎng)途的收費(fèi)方式如下：接通的第一分鐘收費(fèi)元，之后的每一分鐘收費(fèi)元，如果某人打該長(zhǎng)途被收費(fèi)元，那么此人打長(zhǎng)途的時(shí)間是〔〕A．分鐘 B．分鐘C．分鐘 D．分鐘3．某商品原價(jià)為元，春節(jié)促銷(xiāo)，降價(jià)20%，如果節(jié)后恢復(fù)到原價(jià)，那么應(yīng)將現(xiàn)售價(jià)提高〔〕A．15% B．20%C．25% D．30%針對(duì)藥品市場(chǎng)價(jià)格不標(biāo)準(zhǔn)的現(xiàn)象，藥監(jiān)部門(mén)對(duì)局部藥品的價(jià)格進(jìn)行了調(diào)整，某藥品原價(jià)為，經(jīng)過(guò)調(diào)整后，藥價(jià)降低了60%，那么該藥品調(diào)整后的價(jià)格為元。按程序→平方→→→進(jìn)行運(yùn)算，結(jié)果用的代數(shù)式表示是?！蔡钊诉\(yùn)算結(jié)果的最簡(jiǎn)形式〕6．是整數(shù)，現(xiàn)在有兩個(gè)代數(shù)式：〔1〕；〔2〕，其中，能表示“任意奇數(shù)”的〔〕A．只有〔1〕 B．只有〔2〕C．有〔1〕和〔2〕D．一個(gè)也沒(méi)有益思精析類(lèi)型一：定義新運(yùn)算【例1】規(guī)定，試計(jì)算[][]的值?！咀兪?.1】在數(shù)的原有運(yùn)算法那么中，我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“”如下：當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,那么當(dāng)時(shí)，〔〕()的值為(“”和“”仍為有理數(shù)運(yùn)算中的乘號(hào)和減號(hào))。【變式1.2】現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算“*”：=，如==，那么〔〕A． B．8C． D．類(lèi)型二：用字母表示數(shù)量關(guān)系【例2】某商店進(jìn)了一批奧運(yùn)“福娃”小頭飾，每件“福娃”小頭飾的進(jìn)價(jià)為元，假設(shè)要獲利20%，那么每件“福娃”小頭飾的零售價(jià)應(yīng)定為〔〕A．(元)B．〔元〕C．〔元〕D．〔元〕【變式2.1】濃度為的鹽水公斤與濃度為的鹽水公斤混合后的溶液濃度是()A.B.C.D..【變式2.2】某商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一批電視機(jī)，進(jìn)價(jià)為每臺(tái)元，原零售價(jià)比進(jìn)價(jià)高%，后根據(jù)市場(chǎng)變化，把零售價(jià)調(diào)整為原零售價(jià)的%，調(diào)整后的零售價(jià)為每臺(tái)()元。A．B．C．D．類(lèi)型三：算式的規(guī)律【例3】有一組是單項(xiàng)式：請(qǐng)觀察它們的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出第10個(gè)單項(xiàng)式為?！咀兪?.1】瑞士中學(xué)教師巴爾未成功從光譜數(shù)據(jù)中得到巴爾末公式，從而翻開(kāi)了光譜微妙的大門(mén)，請(qǐng)按這種規(guī)律寫(xiě)出第七個(gè)數(shù)據(jù)是?！咀兪?.2】一列數(shù)：將這列數(shù)排成以下形式。第1行第2行第3行第4行第5行……按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊第5個(gè)數(shù)等于。類(lèi)型四：密碼學(xué)中的規(guī)律【例4】為確保信息平安，信息需加密為密文傳輸給接收方，接收方收到密文后解密復(fù)原為明文，某種加密規(guī)那么為：明文對(duì)應(yīng)的密文為，，例如，明文，對(duì)應(yīng)的密文是，，當(dāng)接收方收到密文是時(shí)，解密得到的明文是〔〕A． B．C．1 D．【變式4.1】在密碼學(xué)中，直接可以看到的內(nèi)容為明碼，對(duì)明碼進(jìn)行某種處理后得到的內(nèi)容為密碼，有一種密碼，將英文26個(gè)字母〔不管大小寫(xiě)〕依次對(duì)應(yīng)1，2，3，…，26這26個(gè)自然數(shù)〔見(jiàn)表格〕，當(dāng)明碼對(duì)應(yīng)的序號(hào)為奇數(shù)時(shí)，密碼對(duì)應(yīng)的序號(hào)；當(dāng)明碼對(duì)應(yīng)的序號(hào)為偶數(shù)時(shí)，密碼對(duì)應(yīng)的序號(hào).字母abcdefghijklm序號(hào)12345678910111213序號(hào)nopqrstuvwxyz序號(hào)14151617181920212223242526按上述規(guī)定，將明碼“l(fā)ove”譯成密碼是〔〕A．gawq B．shxcC．sdri D．love【變式4.2】為確保信息平安，信息需要加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文〔加密〕，接收方由密文→明文〔解密〕，加密規(guī)那么為：明文、、對(duì)應(yīng)的密文為，，，例如明文1,2,3對(duì)應(yīng)的密文為2,8,18。如果接收方收到密文7，18，15，那么解密得到的明文為〔〕A．4,5,6 B．6,7,2C．2,6,7 D．7,2,6類(lèi)型五：數(shù)列中的規(guī)律【例5】.【變式5.1】【變式5.2】觀察右圖尋找規(guī)律，在“？”處填上的數(shù)字是〔〕A．128B．136C．162D．188類(lèi)型六：信息學(xué)中的規(guī)律【例6】下表是表示數(shù)字輸入的計(jì)算程序：nn平方+n÷n-n答案計(jì)算當(dāng)時(shí)，輸出的結(jié)果是〔〕A． B．C． D．【變式6.1】按如以下圖所示的程序運(yùn)算，叵開(kāi)始輸入的值為48，我們發(fā)現(xiàn)第一次得到的結(jié)果為24，第二次得到的結(jié)果為12，…，請(qǐng)你探索第2009交得到的結(jié)果為?！咀兪?.2】線(xiàn)路出以下程序且當(dāng)輸入的的值為1時(shí)，輸出值為1；輸入的值為時(shí)，輸出值為，那么當(dāng)輸入的值為時(shí)，輸出值為。益思拓展A．夯實(shí)根底1．如果是一個(gè)三位數(shù)，現(xiàn)在把1放在它的右邊得到一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)是〔〕A． B．C． D．2．圖中的三角形是有規(guī)律地從里到外逐層排列的，設(shè)為第個(gè)〔為正整數(shù)〕正方形中三角形的個(gè)數(shù)，那么以下關(guān)系式中正確的選項(xiàng)是〔〕A． B．C． D．3．有甲、乙兩種糖果，原價(jià)分別為每千克元和元，根據(jù)柜臺(tái)組調(diào)查，將兩種糧果按甲種糖果千克與乙種糖果千克的比例混合，取得了較好的銷(xiāo)售效果，現(xiàn)面糖果價(jià)格有了調(diào)整，甲種糖果單價(jià)上漲，乙種糖果單價(jià)下跌，但按原比例混合的糖果單價(jià)恰好不變，那么等于〔〕A． B．C． D．4.給出依次排列的一列數(shù)這一列數(shù)的第項(xiàng)是。B．能力拓展5．?dāng)?shù)學(xué)的美無(wú)處不在，數(shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，彈拔琴弦發(fā)出聲音上下，取決于弦的長(zhǎng)度，繃得一樣緊的幾根弦，如果長(zhǎng)度的比能夠表示成整數(shù)的比，發(fā)出的聲音就比擬和諧，例如，三根弦長(zhǎng)度之比是15:12:10，把它們繃得一樣緊，用同樣的力彈拔，它們將分別發(fā)出很調(diào)和的樂(lè)聲do、mi、so，研究15、12、10這三個(gè)數(shù)的倒數(shù)發(fā)現(xiàn)：我們稱(chēng)15、12、10這三個(gè)數(shù)為一組調(diào)和數(shù)，現(xiàn)有一組。6．觀察以下等式：，，，，……請(qǐng)你把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母表示出來(lái)，.7．有這樣的兩位數(shù)，交換該數(shù)數(shù)碼所得到的兩位數(shù)與原數(shù)的和是一個(gè)完全平方數(shù)，例如，29就是這樣的兩位數(shù)，因?yàn)椋?qǐng)你找出所有這樣的兩位數(shù)。8．對(duì)于數(shù)和，規(guī)定☆運(yùn)算如下：☆=，請(qǐng)比擬5.1☆2.32.3☆5.1C．綜合創(chuàng)新9．計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是適16進(jìn)1的記數(shù)制，采用數(shù)字0~9和字母A~F共16個(gè)記數(shù)符號(hào)，這些記數(shù)符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：例如：十進(jìn)制中的36=16+10，可用十六進(jìn)制表示1A；在十六進(jìn)制中，E+D=1B等，由上可知，在十六進(jìn)制中，求2×F的值。10．根據(jù)如圖1-8所示的程序計(jì)算，假設(shè)輸入的值為1,那么輸入出的值為。11．從1開(kāi)始，連續(xù)的奇數(shù)相加，和的情況如下：1=12，1+3=4=22，1+3+5=9+32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52?！?〕請(qǐng)你推測(cè)出，從1開(kāi)始，個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相加，它們的和的公式是什么？〔2〕計(jì)算：①1+3+5+7+9+11+13+15+17+19；②11+13+15+17+19+21+23+25?！?〕，求整數(shù)的值。〔4〕請(qǐng)你提出一個(gè)類(lèi)似的問(wèn)題，并探索其中的規(guī)律。12．先閱讀下面的材料，再解答后面的問(wèn)題?，F(xiàn)代社會(huì)對(duì)保密要求越來(lái)越高，密碼正在成為人們生活的一局部，有一種密碼的明文〔真實(shí)文〕按計(jì)算機(jī)鍵盤(pán)字母排列分解，其中Q，W，E，…，N，M這26個(gè)字母依次對(duì)應(yīng)1，2，3，…25，26這26個(gè)自然數(shù)，〔見(jiàn)下表〕③給出一個(gè)變換公式：將明文轉(zhuǎn)換成密文，如即A變?yōu)镾；將密文轉(zhuǎn)換成明文，如，即X變?yōu)镻，13→3×〔13-8〕-1=14，即D變?yōu)镕?！?〕按上述方法將明文“NEI”為密文；〔2〕按上述方法將密文“DWN”復(fù)原成明文。13．設(shè)(為大于0的自然數(shù))?！?〕探究是否為8的倍數(shù)，并用文字語(yǔ)言表述你所獲得的結(jié)論；〔2〕假設(shè)一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)是“完全平方數(shù)”，試找出這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)，并指出當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，為完全平方數(shù)〔不必說(shuō)明理由〕。

第六講代數(shù)式初步益思對(duì)話(huà)德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特〔1862-1943〕是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他的奉獻(xiàn)是巨大而又多方面的，研究領(lǐng)域涉及代數(shù)不變式、代數(shù)數(shù)域、幾何根底、變分法、積分方程、無(wú)窮維空間、物理學(xué)和數(shù)學(xué)根底等，他的《幾何根底》是近公代理化方法的代表作，且由此推動(dòng)形成了“教學(xué)公里化學(xué)派”。財(cái)產(chǎn)問(wèn)題牛頓所在的鄉(xiāng)村有一個(gè)百貨商，他在一次年終結(jié)算后發(fā)現(xiàn)自己的財(cái)產(chǎn)增加了一倍，細(xì)細(xì)想來(lái)，三年的經(jīng)營(yíng)中，除掉每年100鎊用于開(kāi)銷(xiāo)外，他每年可嫌到當(dāng)年財(cái)產(chǎn)1/3，他的最初財(cái)產(chǎn)數(shù)卻對(duì)人秘而不宣。當(dāng)他把經(jīng)營(yíng)情況告訴前來(lái)購(gòu)物的小牛頓后，牛頓默默算了一陣后說(shuō)：“你家最初財(cái)產(chǎn)是1480鎊”。商人聽(tīng)后愕然不解：“你是如何猜到的？”牛頓是用解方程得到的，設(shè)商人的最初財(cái)產(chǎn)為鎊。第一年后財(cái)產(chǎn)：第二年財(cái)產(chǎn)：第三年財(cái)產(chǎn)：這樣有方程益思互動(dòng)一、整式1．單項(xiàng)式描述性定義數(shù)與字母的積的代數(shù)式是單項(xiàng)式2．單項(xiàng)式中的系數(shù)和次數(shù)單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)單項(xiàng)中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)3．多項(xiàng)式的定義幾個(gè)單項(xiàng)式的和就是多項(xiàng)式多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式是多項(xiàng)式的項(xiàng)。多項(xiàng)的次數(shù)：多項(xiàng)式中，多項(xiàng)式的次數(shù)是次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)。4．多項(xiàng)式的排列把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母的升冪排列；把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來(lái)，叫做把多項(xiàng)式按這個(gè)字母的升冪排列。二、同類(lèi)項(xiàng)1．同類(lèi)項(xiàng)定義同類(lèi)項(xiàng)是所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)。2．合并同類(lèi)項(xiàng)法那么合并同類(lèi)項(xiàng)法那么：同類(lèi)的項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。三、去括號(hào)與添括號(hào)1．去括號(hào)法那么括號(hào)前是“+”，把括號(hào)的它前面的“+”號(hào)去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都不改變符號(hào)；括號(hào)前是“-”號(hào)，把括號(hào)和它前面的“-”去掉，括號(hào)里各項(xiàng)都改變符號(hào)。2．添括號(hào)法那么添括號(hào)后，括號(hào)前面是“+”號(hào)，那么括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不改變符號(hào)。添括號(hào)后，括號(hào)前面是“-”號(hào)，那么括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。四、整式的加減1．直接的整式加減問(wèn)題注意：整式加減實(shí)質(zhì)就是合并同類(lèi)項(xiàng)，在運(yùn)算中，如果遇到括號(hào)，就要運(yùn)用去括號(hào)法那么〔或分配律〕，去掉括號(hào)再合并同類(lèi)項(xiàng)，只要算式中沒(méi)有同類(lèi)項(xiàng)，就是運(yùn)算結(jié)果。2．間接的整式加減問(wèn)題幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來(lái)，再用加減號(hào)連接，其一般步驟是：〔1〕根據(jù)題意列出代數(shù)式；〔2〕用加減號(hào)連接成整式加減；〔3〕去括號(hào)及合并同類(lèi)項(xiàng)。3．化簡(jiǎn)求值問(wèn)題求代數(shù)式的值，一般不直接把字母的取值代入代數(shù)式求值，而是先把代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后再代入求值。益思練場(chǎng)1．在代數(shù)式中不是整式的共有〔〕個(gè)A．0 B．1 C．2 D．42．分別說(shuō)出以下多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、最高次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)?！?〕〔2〕3．。4．〔1〕代數(shù)式與是同類(lèi)型，那么?！?〕假設(shè)與的和是單項(xiàng)式，那么。5．〔1〕一個(gè)長(zhǎng)方形的一邊的長(zhǎng)是，另一邊的長(zhǎng)是，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是?！?〕比少的代數(shù)式是?！?〕，那么等于。〔4〕假設(shè)互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，的絕對(duì)值是，那么方程的解是。6．〔1〕以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是〔〕A．B．C．D．〔2〕以下式中去括號(hào)正確的選項(xiàng)是〔〕A．B．C．D．〔3〕代數(shù)式的值〔〕A．與的大小無(wú)關(guān)B．與的大小有關(guān)C．僅與的大小有關(guān)D．僅與的大小有關(guān)〔4〕以下說(shuō)法中，正確的有〔〕①②是次項(xiàng)式，它的常項(xiàng)是，把它按的升冪排列是。益思精析類(lèi)型一：同類(lèi)項(xiàng)的概念【例1】單項(xiàng)式是類(lèi)項(xiàng)，那么?！咀兪?.1】合并的結(jié)果為。【變式1.2】假設(shè)單項(xiàng)式的和仍為單項(xiàng)式，求的值。類(lèi)型二：合并同類(lèi)項(xiàng)【例2】合并多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)?！咀兪?.1】合并同類(lèi)項(xiàng)類(lèi)型三：整式的加減【例3】一個(gè)多項(xiàng)式與的和是，求這個(gè)多項(xiàng)式?！咀兪?.1】，求〔1〕；〔2〕【變式3.2】，且,求類(lèi)型四：化簡(jiǎn)求值【例4】化簡(jiǎn)求值：【變式4.1】，求的值【變式4.2】關(guān)于的式子的值與字母的取值無(wú)關(guān)，求式子的值。類(lèi)型五：等比求值【例5】假設(shè)【變式5】類(lèi)型六：特殊值求值【例6】求【變式6】，求的值類(lèi)型七：整式求值【例7】?！咀兪?.1】時(shí)的值是64；當(dāng)時(shí)的值為1，求當(dāng)時(shí)該代數(shù)式的值。益思拓展A．夯實(shí)根底1．假設(shè)單項(xiàng)是同類(lèi)項(xiàng)，那么，。2．假設(shè)多項(xiàng)式合并同類(lèi)項(xiàng)后是三次二項(xiàng)式，那么應(yīng)滿(mǎn)足的條件是。3．計(jì)算4．=。B．能力拓展5．一個(gè)多項(xiàng)式加上。6．先化簡(jiǎn)再求值：，其中。7．.求.8..C.綜合創(chuàng)新，.，求.

.12、假設(shè)的值與字母的取值無(wú)關(guān)，求的值。13、，求〔1〕；〔2〕。一元一次方程第七講一元一次方程益思對(duì)話(huà)羅蒙諾索夫(JIOMOHOCOB,1711-1965),俄國(guó)學(xué)者、詩(shī)人。俄國(guó)唯物主義哲學(xué)和自然科學(xué)的奠基人，生于俄國(guó)北部庫(kù)爾島的一個(gè)漁民家庭。生卒年份羅蒙諾索夫去世后，有人為他的生平撰寫(xiě)了一道趣題：羅蒙諾索夫生活在18世紀(jì)，他出生年份的四個(gè)數(shù)字之和等于10，且個(gè)位與十位數(shù)字相同；他去世年份的四個(gè)數(shù)字之和為19，且這個(gè)年份的十位數(shù)字被個(gè)位數(shù)字除后，商為1且余1，求他的生卒年份。他的出生年份應(yīng)為17××或16××，又由題設(shè)知為而或。前者無(wú)整數(shù)解，后者有解，從而知羅氏生于1711年，類(lèi)似地，我們可以求得他卒于1765年。益思互動(dòng)1．方程含有未知數(shù)的等式叫做方程，判斷一個(gè)式子是不是方程，只需看兩點(diǎn)：一是等式，二是含有未知數(shù)，二者缺一不可。2．方程與等式的區(qū)別方程是等式，而等式不一定是方程。3．方程的解使方程左、右兩邊的值相等的末知數(shù)的值叫方程的解，只含有個(gè)末知數(shù)的方程的解，也叫方程的根。注意：判斷一個(gè)數(shù)〔或一組數(shù)〕是不是某方程的解，只需看兩點(diǎn)：〔1〕它〔或它們〕是方程中未知數(shù)的值；〔2〕將它〔或它們〕分別代入方程的左邊和右邊，假設(shè)左邊等右邊，那么〔或它們〕是方程的解，二者缺一不可。4．解方程求方程解的過(guò)程叫解方程。注意：〔1〕求方程的解有多種方法，不管用什么方法，求方程的解的過(guò)程都叫解方程?！?〕方程的解和解方程是不同的概念，方程的解實(shí)質(zhì)上是求得的結(jié)果，它是一個(gè)數(shù)值〔或幾個(gè)數(shù)值〕，而解方程的含義是指求出方程的解或判斷方程無(wú)解的過(guò)程，所以“方程的解”中的“解”是一個(gè)名詞，“解方程”中的“解”是一個(gè)動(dòng)詞。一元一次方程的最簡(jiǎn)形式及標(biāo)準(zhǔn)形式方程(，其中、是數(shù)，是未知數(shù))叫一元一次方程的最簡(jiǎn)形式。方程(是未知數(shù)，、是數(shù)，且)叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。注意：方程或，只有浸透時(shí)，才是一元一次方程，反之，如果明確指出方程或是一元一次方程，就隱含著條件。解一元一次方程的一般步驟:變形名稱(chēng)具體做法依據(jù)1．去分母方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)等式性質(zhì)12．去括號(hào)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)乘法分配率3．移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，其他項(xiàng)移到方程的另一邊移項(xiàng)法那么4．合并同類(lèi)項(xiàng)把方程化為的形式合并同類(lèi)項(xiàng)法那么5．系數(shù)化為1方程兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)，得到方程的解等式性質(zhì)2益思練場(chǎng)1．以下方程的變形是移項(xiàng)的是〔〕A．B．C．D．方程是一元一次方程，那么為〔〕A．B．C．D．3．假設(shè)方程的解也是方程的解，那么為〔〕A．B．C．D．4．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程的解是零。5．解以下方程①②③④益思精析類(lèi)型一：去括號(hào)解方程解方程【變式1.1】解方程【變式1.2】解方程類(lèi)型二：分?jǐn)?shù)方程【例2】解方程【變式2.1】解方程類(lèi)型三：一元一次方程解的討論【例3】解方程，其中為數(shù)。【變式3】解關(guān)于的方程：

類(lèi)型四：利用同解方程的原理求字母系數(shù)。【例4】關(guān)于的方程與有相同的解，求這個(gè)相同的解?！咀兪?】為何值時(shí)，關(guān)于的方程是同解方程。類(lèi)型五：整數(shù)解問(wèn)題【例5】假設(shè)為整數(shù)，那么使方程的解也是整數(shù)的值有個(gè)?！咀兪?】關(guān)于的方程有整數(shù)解，那么滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)有。類(lèi)型六：對(duì)稱(chēng)輪換式一元一次方程的解法。【例6】解關(guān)于的方程【變式6】假設(shè)，解

A．夯實(shí)根底1．檢驗(yàn)以下各數(shù)是不是方程的解〔1〕；〔2〕；〔3〕2．解方程3．關(guān)于的方程是一元一次方程，求方程的解。B．能力拓展4．關(guān)于的方程的解是正整數(shù)，求正整數(shù)的值，并求出此時(shí)方程的解。5．解方程

6．設(shè)為正整數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，解方程7．假設(shè)關(guān)于的方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，試求的值。C．綜合創(chuàng)新8．對(duì)有理數(shù)規(guī)定運(yùn)算*的意義是：的解是。9．.解關(guān)于的方程：10．是關(guān)于的一元一次方程，且有唯一解，那么。

第八講情景應(yīng)用題〔一〕益思對(duì)話(huà)柯西〔Canchy,1789-1857〕,法國(guó)數(shù)學(xué)家，他的純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功力相當(dāng)深礙，很多數(shù)學(xué)定理和公式都以他的名字命名，如柯西不等式、柯面積分公式等，在數(shù)學(xué)寫(xiě)作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人。平路與坡路的距離一個(gè)旅行者從下午三點(diǎn)步行到當(dāng)天晚上八點(diǎn)鐘，他先走的是平路一然后爬山，到達(dá)山頂后就沿原路先下坡，再走平路，回到出發(fā)，最，他在平路上每小時(shí)走4英里，爬山每小時(shí)走3英里，下坡每小時(shí)走6英里，請(qǐng)問(wèn)旅行者一共走了多少英里路？我們的探索可以從這里開(kāi)始，首先畫(huà)一個(gè)圖形〔如圖〕，我們的目標(biāo)是：求AB+BC+CB+BA，即2(AB+BC)代數(shù)化處理：設(shè)平路AB=英里，斜坡BC=英里，那么去時(shí)，平路花時(shí)故2〔AB+BC〕=5×4=20〔英里〕，即旅行者共走了20英里。益思互動(dòng)列二元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟是：一、審題在讀題的根底上，弄清題意，找出題目中的等量關(guān)系式，并在此根底上，選擇某個(gè)等量關(guān)系式進(jìn)行“翻譯”。二、設(shè)元在“翻譯”等量關(guān)系的過(guò)程中，對(duì)未知的某個(gè)量用字母〔如〕表示，〔1〕直接設(shè)元(2)間接設(shè)元〔3〕輔助設(shè)元。三、列出方程用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出題目中的數(shù)量關(guān)系，列出方程。四、解方程解所列出的方程，求出未知數(shù)的值。五、檢驗(yàn)員檢驗(yàn)所求出的解是否是所列方程的解，另外還要檢驗(yàn)方程的解是否符合題意，不符合題意的解舍去。六、寫(xiě)出答句。在以上六個(gè)步驟中，“審題”是最重要的一個(gè)步驟，其中找出等量關(guān)系式，并合理“翻譯”又是這一步的核心。益思練場(chǎng)1．一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和為11，如果把十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，那么得到的新數(shù)就比原數(shù)大63，求這兩位數(shù)為。2．有人問(wèn)一位老師，他教的班有多少學(xué)生，老師說(shuō)：“一半的學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)，四分之一的學(xué)生在學(xué)音樂(lè)，七分之一的學(xué)生在念外語(yǔ)，還剩缺乏六位學(xué)生正在操場(chǎng)上踢足球?！蹦敲催@個(gè)班共有學(xué)生人。3．一批商品假設(shè)進(jìn)貨價(jià)降低8%而售出價(jià)不變，那么利潤(rùn)率〔按進(jìn)貨價(jià)而定〕可由目前的%增加到()%，那么原來(lái)的利潤(rùn)是。4．某商店將某種電腦按進(jìn)價(jià)提高35%，然后打出“九折酬賓，外送50元出租費(fèi)”的廣告，結(jié)果每臺(tái)電腦仍獲利208元，那么每臺(tái)電腦的進(jìn)價(jià)是元。益思精析類(lèi)型一：數(shù)字問(wèn)題要正確區(qū)分“數(shù)”與“數(shù)字”兩個(gè)概念，這類(lèi)問(wèn)題通常采用間接設(shè)法，常見(jiàn)的解題思路分析是抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系尋找等量關(guān)系，列方程的前提還必須正確地表示多位數(shù)的代數(shù)式，一個(gè)多位數(shù)是各位上數(shù)字與該位計(jì)數(shù)單位的積之和?！纠?】一個(gè)六位數(shù)，最左邊的數(shù)字是1，假設(shè)把這個(gè)數(shù)字1移到最右邊，那么新數(shù)是原數(shù)的3倍，求原數(shù)。【變式1.1】為了給一本厚書(shū)標(biāo)上頁(yè)碼，印刷工人用了2989個(gè)數(shù)字，這本書(shū)共有多少頁(yè)？【變式1.2】某編輯用0-9這10個(gè)數(shù)字給一本書(shū)的各頁(yè)標(biāo)上頁(yè)碼，假設(shè)共寫(xiě)了636個(gè)數(shù)字，那么該書(shū)有頁(yè)。【變式1.3】《思齊數(shù)學(xué)題典》有序言2項(xiàng)，目錄2頁(yè)，分別用1、2編頁(yè)碼，正文用1，2，3，……編頁(yè)碼，此書(shū)一共用了1999個(gè)數(shù)字來(lái)編頁(yè)碼，那么這本書(shū)的正文共有頁(yè)。類(lèi)型二：匹配問(wèn)題【例2】某車(chē)間22名工人生產(chǎn)螺釘和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺釘1200個(gè)或螺母2000個(gè)，一個(gè)螺釘要配兩個(gè)螺母，為了使每天的產(chǎn)品剛好配套，應(yīng)該分配多少名工人生產(chǎn)螺釘，多少名工人生產(chǎn)螺母？【變式2.1】某車(chē)間每天能生產(chǎn)甲種零件120個(gè)，或乙種零件100個(gè)，甲、乙兩種零件分別取3個(gè)、2個(gè)才能配成一套，現(xiàn)要在30天內(nèi)生產(chǎn)最多的成套產(chǎn)品，問(wèn)怎樣安排生產(chǎn)甲、乙兩種零件的天數(shù)？【變式2.2】用白鐵皮伏特加罐頭盒，每張鐵片可制盒身10個(gè)或制盒底30個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套罐頭盒，現(xiàn)有100張白鐵皮，用多少?gòu)堉坪猩?，多少?gòu)堉坪械?，可以即使做出的盒身和盒底配套，又能充分利用白鐵皮？

類(lèi)型三：相遇與追及問(wèn)題【例3】某人沿電車(chē)路線(xiàn)行走，每12分鐘有一輛電車(chē)從后面追上，每4分鐘有一輛電車(chē)迎面開(kāi)來(lái)，假定此人和電車(chē)都是勻速前進(jìn)，那么電車(chē)是每隔多少分鐘從起點(diǎn)站開(kāi)出一輛？【變式3.1】在公路上，汽車(chē)A、B、C分別以每小時(shí)80千米、70千米、50千米的速度勻速行駛，A從甲站開(kāi)往乙站，同時(shí)，B、C從乙站開(kāi)往甲站，A在與B相遇后兩小時(shí)又與C相遇，那么甲、乙兩站相距千米?！咀兪?.2】在路上，一輛長(zhǎng)4米，速度為110千米/小時(shí)，時(shí)的轎車(chē)準(zhǔn)備超越長(zhǎng)12米，速度為100千米/小時(shí)的卡車(chē)，那么轎車(chē)從開(kāi)始追及到超越的時(shí)間為秒?！咀兪?.3】甲、乙兩人在周長(zhǎng)是400米的環(huán)行跑道上跑步，甲比乙跑得快，如果兩人從同一地點(diǎn)出發(fā)，背向而行，那么經(jīng)過(guò)2分鐘相遇，如果兩人從同一地點(diǎn)同向而，那么經(jīng)過(guò)20分鐘甲追上乙，求甲、乙各自的速度是多少？類(lèi)型四：順逆風(fēng)問(wèn)題【例4】一輪船往返A(chǔ)，B兩港之間，逆水航行需3時(shí)，順?biāo)叫行?時(shí)，水流速度是3千米/時(shí)，那么輪船在靜水中的速度是多少？【變式4】架飛機(jī)在兩城之間飛行，風(fēng)速為24千米/小時(shí)，順風(fēng)飛行需要2小時(shí)50分，逆風(fēng)飛行需要3小時(shí)，求無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速和兩城之間的航程。

類(lèi)型五：錯(cuò)車(chē)問(wèn)題【例5】在一段雙軌鐵道上，兩列車(chē)同時(shí)駛過(guò)，A列車(chē)車(chē)速為20米/秒，B列車(chē)車(chē)速為24米/秒，假設(shè)A列全長(zhǎng)180米，B列車(chē)全長(zhǎng)160米，兩列車(chē)錯(cuò)車(chē)的時(shí)間是多長(zhǎng)時(shí)間？【變式5.1】一列火車(chē)勻速行駛，經(jīng)過(guò)一條長(zhǎng)300m的隧道需要20秒的時(shí)間，隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車(chē)上的時(shí)間是10秒，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能求出火車(chē)的長(zhǎng)度？【變式5.2】在一列火車(chē)經(jīng)過(guò)一座橋梁，列車(chē)車(chē)速為20米/秒，全長(zhǎng)189米，假設(shè)橋梁長(zhǎng)為3260米，那么列車(chē)通過(guò)橋梁需要多長(zhǎng)時(shí)間？類(lèi)型六：矩形面積問(wèn)題【例6.1】如以下圖，8塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一長(zhǎng)方形圖安〔地磚間的縫隙忽略不計(jì)〕，求每塊磚的長(zhǎng)和寬?！咀兪?.2】在矩形ABCD中，放入六個(gè)形狀，大小相同的長(zhǎng)方形，所標(biāo)尺寸如以下圖所示，試求圖中陰影局部的總面積?！咀兪?】如以下圖，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的長(zhǎng)方形色塊圖，由6個(gè)不同顏色的正方形組成，中間最小的一個(gè)正方形邊長(zhǎng)是1厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方形色塊圖的面積為。類(lèi)型七：工程問(wèn)題【例7】一件工作，甲單獨(dú)完成需要20天，乙單獨(dú)完成需要15天，假設(shè)甲幫假設(shè)干天后乙接著做，共用18天完成，求甲工作了多少天？【變式7.1】一件工作，甲單獨(dú)做要50天完成，乙單獨(dú)做要60天完成，現(xiàn)甲、乙兩人合做，乙中途休息了假設(shè)干天，到完成工作時(shí)，用了30天，求乙中途休息了幾天？【變式7.2】一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要30天完成，單獨(dú)做要20天完成，假設(shè)由甲做了假設(shè)干天后，做完，從開(kāi)始到完工共用了26天，求甲、乙兩人各做了多少天？益思拓展A．夯實(shí)根底1．一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之和是7，如果把這個(gè)兩位數(shù)加上45，恰好成為個(gè)位上數(shù)字與十位上數(shù)字對(duì)調(diào)后組成的兩位數(shù)，試求這個(gè)兩位數(shù)。2．幾個(gè)同學(xué)買(mǎi)了一些練習(xí)本，如果4個(gè)同學(xué)，各分6本，其余的同學(xué)各分3本，恰好分完；如果每人分5本，那么有一個(gè)人只得到3本，問(wèn)一共有幾個(gè)同學(xué)？買(mǎi)了多少本練習(xí)本？3．龜兔賽跑，同時(shí)出發(fā)，全程7000米，龜以每分鐘30米的速度爬行，兔每分鐘跑330米，兔跑了10分鐘就停下來(lái)睡了200分鐘，醒來(lái)后立即以原來(lái)的速度繼續(xù)往前跑，當(dāng)兔追及龜時(shí)，離終點(diǎn)還有多少米？4．客輪和貨輪同進(jìn)從甲乙兩港相向開(kāi)出，6小時(shí)后客輪和貨輪相遇，但離兩港中點(diǎn)還有6千米，客輪在靜水中的速度是每小時(shí)30千米，貨輪是每小時(shí)24千米，求水流速度是多少？B．能力拓展5．某河流相距90千米的上下兩個(gè)碼頭，每天定時(shí)油甲乙兩嫂船速相同的客輪分別從兩個(gè)，碼頭同時(shí)出發(fā)相向而行，一天甲船從上游出發(fā)時(shí)掉下一物，此物浮于水面順?biāo)h下，2分鐘后與甲船相距1千米，預(yù)計(jì)乙船出發(fā)后幾小時(shí)可以和此物相遇？6．一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每個(gè)小時(shí)滲入的水量是固定的，翻開(kāi)甲管，8小時(shí)擬將滿(mǎn)池的水放空，翻開(kāi)丙管，12小時(shí)可以將滿(mǎn)池水放空，如果翻開(kāi)甲乙兩根水管，4小時(shí)可以將水放空，如果翻開(kāi)丙乙兩根水管，需要幾小時(shí)能把滿(mǎn)池水放空？7．某一縫紉師做成一件襯衣、一條褲子、一件上衣所用的時(shí)間之比為1：2：3，他用十個(gè)工時(shí)能做2件襯衣、3條褲子和4件上衣，那么他要做成14件襯衣，10條褲子和2件上衣，共需工時(shí)。8．甲、乙、丙三人先后從A地出出發(fā)，沿同一路線(xiàn)都到B地，甲步行每小時(shí)；公里，上午8點(diǎn)出發(fā)；乙騎自行車(chē)每小時(shí)15公里，上午9點(diǎn)30分出發(fā)；丙騎摩托車(chē)每小時(shí)60公里，假設(shè)恰好他們?nèi)送瑫r(shí)到達(dá)B地，那么丙出發(fā)的時(shí)間是上午點(diǎn)分。C．綜合創(chuàng)新9．為使某項(xiàng)工程，提前20天完成任務(wù)，需將原定的工作效率提高25%，那么原方案完成這項(xiàng)工程需天。10．足球一般是由許多黑白相間的小皮塊縫合而成的，黑塊是五邊形，白塊是六邊形〔如圖〕黑塊有12塊，那么白塊有〔〕A．32塊 B．20塊C．12塊 D．10塊11．在環(huán)形自行車(chē)賽場(chǎng)內(nèi)，甲、乙、丙三人騎自行車(chē)進(jìn)行訓(xùn)練，他們同時(shí)出發(fā)，速度、方各及起點(diǎn)如下圖，那么在出發(fā)后分鐘三人第一次同時(shí)相遇。12．如以下圖所示，兩個(gè)長(zhǎng)方形疊局部的面積相當(dāng)于大長(zhǎng)方形面積的六分之一，相當(dāng)于小長(zhǎng)方形面積的四分之一，陰影局部的面積為224cm3,求重疊局部面積。13．某工廠(chǎng)的一個(gè)生產(chǎn)小組，生產(chǎn)一批零件，當(dāng)每個(gè)工人在自己原崗位工作時(shí)，9小時(shí)可完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)，如果交換工人A和B的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變時(shí)，可提前一小時(shí)完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)；如果交換工人C和D的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變時(shí)，也可以提前一小時(shí)完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)，問(wèn)：如果同時(shí)交換A與B，C與D的工作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變，可以提前幾分鐘完成這項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)？14．時(shí)速4千米的A追趕時(shí)速3千米的B，兩人相距0.5千米，有一只蜜蜂從A的帽子上來(lái)回在兩人中間飛，直飛到A追及到B為止，假設(shè)蜜蜂時(shí)速是10千米。問(wèn)蜜蜂飛了多少千米？

第九講情景應(yīng)用題〔二〕益思對(duì)話(huà)帕斯卡〔Pascal,1623-1662〕，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家帕斯卡的數(shù)學(xué)造詣很深，在代數(shù)研究中，他發(fā)表過(guò)多篇關(guān)于算術(shù)級(jí)數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)的論文，發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律，他與費(fèi)馬共同建立了概率論和組合論的根底，并得出了關(guān)于概率論問(wèn)題的一系列解法。一個(gè)數(shù)學(xué)家等于十個(gè)師在第二次世界大戰(zhàn)中，盟軍為了和德國(guó)法西斯作戰(zhàn)，大量軍需物品要穿過(guò)大西洋運(yùn)送到各個(gè)戰(zhàn)場(chǎng)，可是在1934年以前，負(fù)責(zé)運(yùn)送物資的盟軍船隊(duì)常常受到德國(guó)潛艇的襲擊，損失沉重，在這進(jìn)退兩難之際，有位美國(guó)海軍將領(lǐng)專(zhuān)門(mén)去請(qǐng)教了一位數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家運(yùn)用概率論分析后發(fā)現(xiàn)，運(yùn)輸船隊(duì)與敵潛艇相遇是一個(gè)隨機(jī)事件，即船隊(duì)是否被襲擊，取決于航行過(guò)程中是否與敵潛艇相遇，而與敵潛艇相遇是有可能發(fā)生，又有可能不發(fā)生的，從數(shù)學(xué)角度來(lái)看這一問(wèn)題，它具有一定的規(guī)律。1．一定數(shù)量的船只，編隊(duì)規(guī)律越小，批次就越多；批次越多，與敵潛艇相遇的概率就越大。2．一旦與敵潛艇相遇，船隊(duì)的規(guī)律越小，每艘船被擊中的可能性就越大。這是因?yàn)榈萝姖撏У臄?shù)量與船隊(duì)的數(shù)量相比總是少的，潛艇所載彈藥有限，每次襲擊，不管船隊(duì)規(guī)模多大，被擊沉的數(shù)目根本相等，假設(shè)運(yùn)輸船的總量為100艘，按每隊(duì)20艘船編隊(duì)，就要編成5隊(duì)；而按每隊(duì)10嫂船編隊(duì)，就要編成10隊(duì)，兩種編隊(duì)方式與敵潛艇相遇的可能性之比為5：10，即1：2，假設(shè)每次遭到敵潛艇襲擊損失5艘運(yùn)輸船，那么，上述兩種編隊(duì)方式中每嫂運(yùn)輸船與敵潛艇相遇并被擊沉的可能性之比為1：4，這說(shuō)明，100艘運(yùn)輸船，編成5隊(duì)比編成10隊(duì)的危險(xiǎn)性小。盟軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，改良了運(yùn)輸船由各個(gè)港口分散起航的做法，命令船隊(duì)在指定海域集合，再集體通過(guò)危險(xiǎn)海區(qū)，然后各自駛向預(yù)定港口，奇跡出現(xiàn)了，盟軍船隊(duì)遭襲擊被擊沉的概率由原來(lái)的25%降低為1%，大大減少了損失，保證了戰(zhàn)略物資的供給。于是，盟軍軍主宣稱(chēng)：一名優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的作用，超過(guò)十個(gè)師的兵力！解情景應(yīng)用題分以下步驟：〔1〕熟悉題目我應(yīng)該從哪里開(kāi)始？從題目的表達(dá)開(kāi)始；我能做什么？盡可能清晰、生動(dòng)地使整個(gè)題目形象化，暫時(shí)拋開(kāi)細(xì)節(jié)；這樣做我能得到什么呢？理解題目、熟悉題目，將目標(biāo)印人腦海?！?〕深入理解題目我應(yīng)該從哪里開(kāi)始？仍然從題目的表達(dá)開(kāi)始；我能做什么？將題目的主要局部別離出來(lái)，未知量、量和條件是一個(gè)“解題”的主要局部，即什么？求什么？樣做我能得到什么呢？哪些是以后很可能會(huì)起作用的細(xì)節(jié)？情景應(yīng)用題它是一段圖文并茂的生活對(duì)話(huà)；它是一場(chǎng)妙趣橫生的游戲片段；它是一張經(jīng)濟(jì)生活的真實(shí)表格；它寓數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法于其中；它集趣味性、益智性、娛樂(lè)性于一體；它激活你學(xué)習(xí)的能動(dòng)性；它啟迪你思維的廣闊性；當(dāng)你用代數(shù)語(yǔ)言去把它翻譯過(guò)來(lái)時(shí)，你就揭開(kāi)了它的面紗，它的真面目就是方程。情景應(yīng)用題已成為各類(lèi)考試的熱點(diǎn)，而方程又是情景應(yīng)用題常考之處。益思練場(chǎng)1．某家電腦商場(chǎng)一次售出兩種不同品牌的電視機(jī)，其中一臺(tái)賺了12%，另一臺(tái)賠了12%，且這次售出的兩臺(tái)電視機(jī)的售價(jià)都是3080元，那么，在這次買(mǎi)賣(mài)中商場(chǎng)的利潤(rùn)為〔〕A．不賠不賺 B．賺90元C．賠90元 D．賺60元2．某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費(fèi)：所用煤氣如果不超過(guò)60立方米，按每立方米0.8元收費(fèi)；如果超過(guò)60立方米，超過(guò)局部按每立方米1.2元收費(fèi)，某用戶(hù)4月份的煤氣費(fèi)平均每立方米0.88元，那么，該用戶(hù)4月份應(yīng)交煤氣費(fèi)〔〕A．60元 B．66元C．75元 D．78元3．甲比乙大11歲，5年前甲的年齡是乙的年齡的兩倍，乙現(xiàn)在的年齡是。4．甲、乙兩商讓共有練習(xí)本200本，某日甲店售出19本，乙店售出97本，甲乙兩店所剩的練習(xí)本數(shù)相乖，那么甲店原有練習(xí)本本；乙店原有練習(xí)本本。5．有一含鹽15%的鹽水100千克，假設(shè)要使此鹽水含鹽百分比增加5%，需加純鹽千克；假設(shè)要使此鹽百分比降低5%，需加水千克。益思精析類(lèi)型一：利潤(rùn)率問(wèn)題其數(shù)量關(guān)系是：商品的利潤(rùn)=商品售價(jià)-商品的進(jìn)價(jià)，商品利潤(rùn)率=商品利潤(rùn)÷商品進(jìn)價(jià)×100%，注意打折銷(xiāo)售就是按原價(jià)的百分之幾出售，商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)×折扣率【例1】如果某商品的進(jìn)價(jià)降低5%，而售價(jià)不變，利潤(rùn)率可提高15個(gè)百分點(diǎn)，求此商品的原來(lái)的利潤(rùn)率？【變式1.1】甲、乙兩種商品的單價(jià)和為100，因市場(chǎng)變化，甲商品九折銷(xiāo)售，乙商品提價(jià)5%，調(diào)價(jià)后，甲、乙兩種商品的單價(jià)和比原單價(jià)和提高了2%，求甲、乙兩種商品的原單價(jià)各是多少元？【變式1.2】據(jù)了解，家具店經(jīng)銷(xiāo)商銷(xiāo)售家具，只要高出進(jìn)價(jià)的20%便可盈利，但經(jīng)銷(xiāo)商常以高出進(jìn)價(jià)的50%至100%標(biāo)價(jià)，假設(shè)你準(zhǔn)備買(mǎi)一種標(biāo)價(jià)為1000元的家具，應(yīng)在什么范圍內(nèi)還價(jià)？類(lèi)型二：年齡問(wèn)題年齡問(wèn)題其根本數(shù)量關(guān)系：大小兩個(gè)年齡差不會(huì)變。這類(lèi)問(wèn)題主要尋找的等量關(guān)系是：抓住年齡增長(zhǎng)，一年一歲，人人平等。【例2】學(xué)生問(wèn)老師今年多少歲，老師說(shuō)：“當(dāng)我像你這么大時(shí)，你剛3歲，當(dāng)你像我這么大時(shí)，我已經(jīng)39歲”，那么這位老師今年多少歲？【變式2】小華的爸爸現(xiàn)在的年齡比小華大25歲，8年后小華爸爸的年齡是小華的3倍多5歲，求小華現(xiàn)在的年齡。類(lèi)型三：溶液配制問(wèn)題其根本數(shù)量關(guān)系是：溶液質(zhì)量=溶質(zhì)質(zhì)量+溶劑質(zhì)量；溶質(zhì)質(zhì)量=溶液中所含溶的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，這類(lèi)問(wèn)題常根據(jù)配制前后的溶質(zhì)質(zhì)量或溶劑質(zhì)量找等量關(guān)系，分析時(shí)可采用列表的方法來(lái)幫助理解題意?！纠?】甲、乙兩種酒精的濃度分別為60%和35%，現(xiàn)要配成濃度為50%的酒精溶液5000克