第02講圓的方程及直線與圓圓與圓的位置關(guān)系（教師版）

第02講圓的方程及直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第6題,5分圓中切線問(wèn)題已知點(diǎn)到直線距離求參數(shù)切線長(zhǎng)給值求值型問(wèn)題余弦定理解三角形2023年新Ⅱ卷，第15題,5分直線與圓的位置關(guān)系無(wú)2022年新I卷，第14題,5分判斷圓與圓的位置關(guān)系圓的公切線方程2022年新Ⅱ卷，第15題,5分由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)直線關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題2021年新I卷，第11題,5分直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值切線長(zhǎng)2021年新Ⅱ卷，第11題,5分點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)判斷直線與圓的位置關(guān)系無(wú)2020年新I卷，第9題,5分二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系判斷方程是否表示橢圓判斷方程是否表示雙曲線2020年新Ⅱ卷，第10題,5分二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系判斷方程是否表示橢圓判斷方程是否表示雙曲線2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低或中等，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，并會(huì)基本量的相關(guān)計(jì)算處理點(diǎn)與圓、直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系求解3.能利用圓中關(guān)系進(jìn)行相關(guān)參數(shù)求解決圓中的最值問(wèn)題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般考查直線與圓和圓與圓的幾何綜合，需強(qiáng)化練習(xí)知識(shí)講解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中圓心坐標(biāo)為，半徑為圓的一般方程（）配方可得：，圓心坐標(biāo)為，半徑為表示圓的充要條件點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知點(diǎn)，圓的方程為：若，點(diǎn)在圓內(nèi)若，點(diǎn)在圓上若，點(diǎn)在圓外直線與圓的位置關(guān)系直線，圓代數(shù)關(guān)系，其中為聯(lián)立方程根的個(gè)數(shù)，幾何關(guān)系，其中為圓心到直線的距離圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為，設(shè)圓的半徑為，兩圓的圓心距為若，兩圓外離，若，兩圓外切，若，兩圓內(nèi)切若，兩圓相交，若，兩圓內(nèi)含，若，同心圓兩圓外離，公切線的條數(shù)為4條；兩圓外切，公切線的條數(shù)為3條；兩圓相交，公切線的條數(shù)為2條；兩圓內(nèi)切，公切線的條數(shù)為1條；兩圓內(nèi)含，公切線的條數(shù)為0條；弦長(zhǎng)公式設(shè)，，則或：圓上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)的距離的最值圓上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離的最值圓上一點(diǎn)到直線距離的最值過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦最長(zhǎng)弦：直徑；最短弦：垂直于直徑考點(diǎn)一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，，，則其外接圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意，列出方程組求解，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)的外接圓的方程為，因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，，，所以，解得，因此即為所求圓的方程.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓心為的圓與直線相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圓心到切線的距離等于半徑，求出圓的半徑，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)閳A心為的圓與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選：A3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圓心在直線x﹣2y﹣2＝0上，可設(shè)圓心C（2b+2，b），再根據(jù)圓心到兩點(diǎn)A（0，4）、B（4，6）的距離相等，求出b的值，即得圓心和半徑，從而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為C（2b+2，b），由圓過(guò)兩點(diǎn)A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，即，解得，可得圓心為（4，1），半徑為5，則所求圓的方程為．故選：D．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓的圓心為，其一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出半徑，再求出圓的方程即可.【詳解】設(shè)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別，圓心C為點(diǎn)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，解得∴半徑，∴圓的方程是即故選：A.5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）經(jīng)過(guò)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】當(dāng)所求圓的直徑就是圓與直線相交的弦時(shí)，所求圓的面積最?。缓髮⒔Y(jié)合圖形求解圓心和半徑即可求解；【詳解】

由題可知，當(dāng)所求圓的直徑就是圓與直線相交的弦時(shí)，所求圓的面積最小．圓，即圓，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為3，弦心距，弦長(zhǎng)為，則所求圓的半徑為2,接下來(lái)求解所求圓的圓心位置P：所以，過(guò)圓的圓心和直線垂直的直線方程為：，即．最小圓的圓心為與直線的交點(diǎn)，解方程組可得，所求面積最小的圓方程為．故選：C．1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則外接圓的圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)即得解.【詳解】解：由題得是直角三角形，且.所以的外接圓的圓心就是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得.故選：C2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)，，三點(diǎn)的圓的一般方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)所求的圓的方程為，代入已知點(diǎn)得方程組，求解可得圓的方程.【詳解】解：設(shè)所求的圓的方程為，因?yàn)?，，三點(diǎn)在圓上，所以解得于是所求圓的一般方程是.故選：D.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線：上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求解的中垂線方程，然后求解圓的圓心坐標(biāo)，求解圓的半徑，然后得到圓的方程.【詳解】圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，可得線段的中點(diǎn)為，又，所以線段的中垂線的方程為，即，由，解得，即，圓的半徑，所以圓的方程為.故選：A.4．（2023·貴州銅仁·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)、兩點(diǎn)，且與直線相切的圓的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分析可知，圓心在直線上，設(shè)圓心為，根據(jù)圓與直線相切以及圓過(guò)點(diǎn)可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出所求圓的方程.【詳解】因?yàn)?、，則線段的垂直平分線所在直線的方程為，設(shè)圓心為，則圓的半徑為，又因?yàn)?，所以，，整理可得，解得或，?dāng)時(shí)，，此時(shí)圓的方程為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圓的方程為.綜上所述，滿足條件的圓的方程為或.故選：C.5．（2023·寧夏·六盤山高級(jí)中學(xué)校考一模）圓心在直線上，且過(guò)點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】先求得點(diǎn)與點(diǎn)確定線段的中垂線，再根據(jù)直線上，兩方程聯(lián)立求得圓心，從而得到圓的半徑即可.【詳解】解：點(diǎn)與點(diǎn)確定直線的斜率為，其中點(diǎn)為，所以線段的中垂線方程為，即，又圓心在直線上，由，解得，所以圓心為，，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：考點(diǎn)二、圓的一般方程1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓：過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或1 B．2或1 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)圓的一般方程的定義，結(jié)合過(guò)原點(diǎn)列方程即可求解.【詳解】∵表示圓，∴∴.又圓過(guò)原點(diǎn)，∴，∴或（舍去）；.故選:C.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式即可.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，所以，解得.故選：D3．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用表示圓的條件和點(diǎn)和圓的位置關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.【詳解】依題意，方程可以表示圓，則，得；由點(diǎn)在圓的外部可知：，得.故.故選：C1．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線的方程，則“”是“曲線是圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件、必要不充分條件的定義可得答案.【詳解】，即，∴曲線是圓，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：A.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)在圓C：的外部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得，解不等式組即可得實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓C：的外部，所以，解得.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選:C.3．（2023·江西吉安·寧岡中學(xué)?？家荒＃┮阎c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．6 D．5【答案】A【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)x、y的參數(shù)方程，利用輔助角公式及正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】由，令，則，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：A考點(diǎn)三、直線與圓的位置關(guān)系1．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，若的最小值為2，則

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長(zhǎng)，根據(jù)弦長(zhǎng)最小值得出【詳解】由題可得圓心為，半徑為2，則圓心到直線的距離，則弦長(zhǎng)為，則當(dāng)時(shí)，取得最小值為，解得.故選：C.2．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若過(guò)點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實(shí)數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計(jì)算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）過(guò)點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.【詳解】方法一：因?yàn)椋?，可得圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，因?yàn)?，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，可得，則，因?yàn)榍?，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.4．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.5．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（多選）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（

）A．點(diǎn)到直線的距離小于B．點(diǎn)到直線的距離大于C．當(dāng)最小時(shí)，D．當(dāng)最大時(shí)，【答案】ACD【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，可得出點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．【答案】【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：7．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)直線與圓和圓均相切，則；b=．【答案】【分析】由直線與兩圓相切建立關(guān)于k，b的方程組，解方程組即可.【詳解】設(shè)，，由題意，到直線的距離等于半徑，即，，所以，所以（舍）或者，解得.故答案為：【點(diǎn)晴】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如圖，又，所以，又由圓心到直線的距離可求出的最小值，進(jìn)而求解.【詳解】如下圖所示：由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，又因?yàn)?，所以，所以，又圓心到直線的距離為，所以，所以不妨設(shè)，則，又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)即，即當(dāng)且僅當(dāng)直線垂直已知直線時(shí)，有最大值.故選：A.2．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知⊙M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)共圓，且，根據(jù)可知，當(dāng)直線時(shí)，最小，求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識(shí)即可求出直線的方程．【詳解】圓的方程可化為，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時(shí)，，，此時(shí)最?。嗉?，由解得，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．7【答案】C【分析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過(guò)整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設(shè)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.【詳解】法一：令，則，代入原式化簡(jiǎn)得，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，化簡(jiǎn)得，解得，故的最大值是，法二：，整理得，令，，其中，則，，所以，則，即時(shí)，取得最大值，法三：由可得，設(shè)，則圓心到直線的距離，解得故選：C.4．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）（多選）已知直線，圓的圓心坐標(biāo)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線恒過(guò)點(diǎn)B．C．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為D．當(dāng)時(shí)，圓上存在無(wú)數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ABD【分析】求解直線系結(jié)果的定點(diǎn)判斷A；圓的圓心求解、判斷B；求解直線被圓截的弦長(zhǎng)判斷C，利用圓的圓心到直線的距離判斷D．【詳解】直線，恒過(guò)點(diǎn)，所以A正確；圓的圓心坐標(biāo)為，，，所以B正確；圓的圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為2．直線，恒過(guò)點(diǎn)，圓的圓心到定點(diǎn)的距離為：，直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為，所以C不正確；當(dāng)時(shí)，直線方程為：，經(jīng)過(guò)圓的圓心，所以圓上存在無(wú)數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以D正確．故選：ABD．5．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為．【答案】5【分析】根據(jù)圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式，即可求得．【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，由可得，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．6．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則．【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【詳解】設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)，由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，則，解得或，所以，因?yàn)?，?故答案為：.7．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）若直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則．【答案】【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，因?yàn)?，解?故答案為：.考點(diǎn)四、圓與圓的位置關(guān)系1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓與圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．外切 C．外離 D．內(nèi)含【答案】B【分析】確定兩圓的圓心和半徑，由圓心間的距離與半徑的關(guān)系即可得解.【詳解】圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為，圓，圓心，半徑為，，圓與圓的位置關(guān)系為外切，故選：B2．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓和交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得相交弦所在直線方程，然后根據(jù)圓的弦長(zhǎng)的求法求得.【詳解】將和相減得直線，點(diǎn)到直線的距離，所以．故選：B3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先根據(jù)題意得到兩圓相外切，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑；圓：，即，其圓心為，半徑，兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，其公切線條數(shù)有3條．故選：C．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若圓與圓有且僅有3條公切線，則m=（

）A．14 B．28 C．9 D．【答案】A【分析】分別求出兩圓的圓心及半徑，再根據(jù)圓與圓有且僅有3條公切線，可得兩圓外切，則，從而可得答案.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)閳A與圓有且僅有3條公切線，所以兩圓外切，則，即，解得.故選：A.5．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知M是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線：與直線：（，）相交于點(diǎn)P，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)及垂直關(guān)系確定P軌跡，結(jié)合圓的位置關(guān)系求最值即可.【詳解】

由兩直線方程可知分別過(guò)定點(diǎn)，且兩直線互相垂直，設(shè)的中點(diǎn)為，則，如圖所示，則兩直線的交點(diǎn)的軌跡為以為圓心為直徑的圓，，可知兩圓相離，設(shè)直線交圓于E，交圓于D，顯然.故選：D6．（2023·廣西北?！そy(tǒng)考一模）已知圓：與：恰好有4條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩圓有4條公切線，得到兩圓外離，然后根據(jù)外離列不等式，解不等式即可得的取值范圍.【詳解】因?yàn)閳A：與：恰好有4條公切線，所以圓與外離，所以，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，則與的位置關(guān)系是（

）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離【答案】C【分析】算出兩圓圓心的距離，然后與兩圓半徑之和、差比較即可.【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，所以所以圓與的位置關(guān)系是相交.故選:C.2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程．【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過(guò)兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點(diǎn)為，設(shè)過(guò)該點(diǎn)的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)椋?，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，故答案為：或或.3．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【分析】先根據(jù)題意求得，從而得到兩圓的圓心和半徑，進(jìn)而求得圓心距等于兩半徑的差，得知兩圓內(nèi)切，即可知道公切線只有1條.【詳解】圓：的圓心為，半徑為a，所以圓心到直線的距離為，解得或．因?yàn)椋?所以圓：的圓心為，半徑為．圓：的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心距，所以兩圓相內(nèi)切．所以兩圓的公切線只有1條.故選：B．4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓與圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A．6 B． C． D．7【答案】B【分析】由兩個(gè)圓的方程相減消去平方項(xiàng)可得直線的方程，根據(jù)直線的方程可得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，再求出圓心的坐標(biāo)和圓的半徑，求出圓心到直線的距離的最大值可得點(diǎn)到直線距離的最大值.【詳解】因?yàn)?，所以，由和可得直線的方程為，變形得，由，得，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)閳A的圓心為，半徑，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為.故選：B5．（2023春·吉林白山·高三統(tǒng)考期中）已知圓與圓外切，直線與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A．4 B．2 C． D．【答案】D【分析】由兩圓外切列方程求，再求圓心到直線的距離，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).【詳解】圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)閳AO與圓C外切，所以所以.設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，從而.故選：D.6．（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓與圓相交所得的公共弦長(zhǎng)為，則圓的半徑（

）A． B． C．或1 D．【答案】D【分析】?jī)蓤A方程相減可得公共弦所在直線方程，后由垂徑定理結(jié)合圓圓心與半徑表達(dá)式可得答案.【詳解】與兩式相減得，即公共弦所在直線方程.圓方程可化為，可得圓心，半徑.則圓心到的距離為，半弦長(zhǎng)為，則有，解得或（舍），此時(shí)故選：.考點(diǎn)五、圓中的最值問(wèn)題綜合1．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線上的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】找到圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值作為的高，再由面積公式求解即可.【詳解】把圓變形為，則圓心，半徑，圓心到直線的距離，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，又，∴的面積的最大值為．故選：A．2．（2023·福建寧德·?？家荒＃┮阎獔A與直線，P，Q分別是圓C和直線l上的點(diǎn)且直線PQ與圓C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】，的最小值為圓心到直線的距離，可求的最小值.【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓C的圓心為，半徑，則，直線PQ與圓C相切，有，因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線l上，所以，則．即的最小值是.故選：A3．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則（）的最小值是（

）A． B．2 C．4 D．16【答案】C【分析】由題意求出點(diǎn)P的軌跡方程，則可以看成圓上動(dòng)點(diǎn)與定直線上動(dòng)點(diǎn)的距離，求得其最小值，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，，?dòng)點(diǎn)滿足，則，整理得，可以看成圓上動(dòng)點(diǎn)與定直線上動(dòng)點(diǎn)的距離，其最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑2，即，因此，的最小值是，故選：C.4．（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡方程為，定點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取，連接，，確定，變換得到，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：取，連接，，則，故，故，，當(dāng)三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)等號(hào)成立，故選：C5．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，若點(diǎn)是的外接圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值為（

）A． B． C． D．14【答案】C【分析】設(shè)所求圓的方程為，根據(jù)的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，代入求得方程，再判斷直線與圓的位置關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】解：設(shè)所求圓的方程為，因?yàn)榈娜齻€(gè)頂點(diǎn)分別為，，，則，解得，所以外接圓的一般方程為，其圓心為，半徑為5，因?yàn)橹本€，即，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與的外接圓相離，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故選：.6．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D為邊BC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M滿足.則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．線段BM長(zhǎng)度的最大為 B．的最大值為C．面積的最小值為 D．的最小值為【答案】BD【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)圓上得點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離的最值問(wèn)題即可判斷AC；由即可判斷B；取最小值時(shí)，取最大值，也即與圓相切時(shí)，即可判斷D.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以圓心為，半徑的圓不含原點(diǎn)，A項(xiàng)：，所以，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)：，故B正確；C項(xiàng)：直線，即，圓心到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為，所以面積的最小值為，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：由題意得為銳角，則取最小值時(shí)，取最大值，也即與圓相切時(shí)，此時(shí)，故，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，是解決本題的關(guān)鍵.7．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知圓和圓的交點(diǎn)為，直線：與圓交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線的方程為B．圓上存在兩點(diǎn)和，使得C．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為D．若，則或【答案】CD【分析】將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而判斷兩圓相交，將兩圓方程作差得到公共弦方程，即可判斷A，再利用弦長(zhǎng)公式判斷B，求出到的距離，即可判斷C，圓心到直線的距離為，即可得到方程，判斷D.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，所以兩圓相交，所以將兩圓的方程作差可得，即直線的方程為，故A錯(cuò)誤；圓心到直線的距離為，所以，對(duì)于圓上的任意兩點(diǎn)，，故B錯(cuò)誤；圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故C正確；因?yàn)?，所以圓心到直線的距離為，所以，故或，故D正確.故選：CD1．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）若直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，再求出圓上的點(diǎn)P到直線距離的最值，代入三角形面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，因?yàn)橹本€與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，，則，圓的圓心C為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)P到直線的距離的最小值為，最大距離為，所以面積的最小值為，最大值為，即面積的取值范圍為.故選：C.2．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是直線：和：的交點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可知點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)，半徑的圓，結(jié)合圓的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)橹本€：，即，令，解得，可知直線過(guò)定點(diǎn)，同理可知：直線過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)椋芍?，所以直線與直線的交點(diǎn)的軌跡是以的中點(diǎn)，半徑的圓，因?yàn)閳A的圓心，半徑，所以的最大值是.故選：B.3．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】設(shè)，得出的關(guān)系，結(jié)合其幾何意義求解最值.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋韵喈?dāng)于圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離，所以的最大值為圓心到點(diǎn)距離與圓的半徑的和，即.故選：C.4．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，再求出點(diǎn)P到直線距離的最大值作答.【詳解】圓的圓心，半徑，直線的方程為：，于是點(diǎn)到直線：的距離，而點(diǎn)在圓上，因此點(diǎn)到直線距離的最大值為，又，所以面積的最大值為.故選：D5．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·嘉積中學(xué)?？既＃┮阎菆A：上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則的取值范圍為．【答案】【分析】為和到直線距離之和的倍，是的中點(diǎn)到直線距離的倍，利用點(diǎn)軌跡，求取值范圍.【詳解】由題知，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為2，因?yàn)椋裕O(shè)為的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為．點(diǎn)的軌跡是以為圓心半徑為的圓.設(shè)點(diǎn)，，到直線的距離分別為，，，所以，，，所以．因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，即，所以．所以的取值范圍為．故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用的幾何意義，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為為和到直線距離之和，再轉(zhuǎn)化為的中點(diǎn)到直線距離，由點(diǎn)軌跡是圓，可求取值范圍.6．（2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖所示，該曲線W是由4個(gè)圓：，，，的一部分所構(gòu)成，則下列敘述正確的是（

）A．曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2πB．若圓與曲線W有8個(gè)交點(diǎn)，則C．與的公切線方程為D．曲線W上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為4【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)可將曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和四個(gè)半徑為1的相同的半圓，即可判斷；B選項(xiàng)可直接由圖討論判斷對(duì)錯(cuò)；C選項(xiàng)可由圓心到直線的距離等于半徑，求出公切線；D選項(xiàng)可先找到，的公切線方程為，曲線W上的點(diǎn)到直線的距離的最小值即為平行線間的距離.【詳解】曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和四個(gè)半徑為1的相同的半圓，所以其面積為，故A選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為B，D，F(xiàn)，H；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為A，C，E，G；當(dāng)或時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為8，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)與的公切線方程為，由直線和圓相切的條件可得，解得，（舍去），則其公切線方程為，即，故C選項(xiàng)正確.同理可得，的公切線方程為，則兩平行線的距離，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.7．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）已知圓的圓心在直線上，且與相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦，記線段的中點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓的方程為 B．四邊形面積的最大值為C．弦的長(zhǎng)度的取值范圍為 D．直線恒過(guò)定點(diǎn)【答案】ACD【分析】利用待定系數(shù)法求出圓E的方程，判斷A；根據(jù)圓的幾何性質(zhì)表示出四邊形面積，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)求得其最大值，判斷B；利用圓的幾何性質(zhì)可求得弦的長(zhǎng)度的取值范圍，判斷C；結(jié)合四邊形為矩形，可判斷D.【詳解】由題意可設(shè)圓心為，半徑為，故，解得，則，故圓的方程為，A正確；連接,則,設(shè),則,則，故，所以，當(dāng)時(shí)，四邊形面積取到最大值，B錯(cuò)誤；當(dāng)弦過(guò)圓心時(shí)最長(zhǎng)，最大值為4；當(dāng)弦時(shí)最短，最小值為，即弦的長(zhǎng)度的取值范圍為，C正確；由題意知，，故四邊形為矩形，則為矩形的對(duì)角線，二者互相平分，而，故過(guò)的中點(diǎn)，D正確，故選：ACD【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)】一、單選題1．（2023·北京海淀·?？既＃┤糁本€是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】首先得到圓心坐標(biāo)，即可得到圓心在直線上，從而求出參數(shù)的值.【詳解】圓的圓心為，因?yàn)橹本€是圓的一條對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，所以，解得.故選：A2．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）過(guò)直線上的一點(diǎn)作圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，當(dāng)直線，關(guān)于對(duì)稱時(shí)，線段的長(zhǎng)為（

）A．4 B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，觀察圖形可知圓心與點(diǎn)的連線垂直于直線，利用這一關(guān)系即可得到切線的長(zhǎng).【詳解】如圖所示，圓心為，連接，因?yàn)橹本€，關(guān)于對(duì)稱，所以垂直于直線，故，而，所以.故選：C3．（2023·新疆喀什·?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓，直線，則圓C與直線l（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交且直線過(guò)圓C的圓心【答案】B【分析】根據(jù)題意只需判斷圓心到直線的距離與半徑比較大小即可判斷．【詳解】由可得，故圓心，半徑，則圓心到直線的距離，故直線與圓C相切．故選：B4．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）若直線與圓：相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線過(guò)的定點(diǎn)并判斷與圓的位置關(guān)系，再求出垂直于經(jīng)過(guò)該定點(diǎn)的圓的直徑的弦長(zhǎng)作答.【詳解】直線，即恒過(guò)定點(diǎn)，而，即點(diǎn)在圓內(nèi)，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，而圓的圓心，半徑，，所以.故選：B5．（2023·河北·校聯(lián)考一模）直線與圓相切，則的最大值為（

）A．16 B．25 C．49 D．81【答案】C【分析】利用圓與直線的位置關(guān)系得出的方程，根據(jù)方程分析利用表示的幾何意義求解即可.【詳解】由直線與圓相切可得：圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，故，即點(diǎn)在圓O上，的幾何意義為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方，由圓心為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為圓心到的距離與圓半徑之和，即，所以的最大值為.故選：C.二、填空題6．（2023·廣東深圳·校考二模）過(guò)點(diǎn)且被圓所截得的弦長(zhǎng)為的直線的方程為.【答案】【分析】首先將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，由弦長(zhǎng)求出圓心到直線的距離，分析可得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，即可得解.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，若弦長(zhǎng)，則圓心到直線的距離，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，即，所以，解得，所以直線方程為.故答案為：7．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓和圓，則過(guò)點(diǎn)且與都相切的直線方程為.（寫出一條即可）【答案】或（寫出一條即可）【分析】由直線與圓的位置關(guān)系通過(guò)幾何法計(jì)算即可.【詳解】若過(guò)M的切線斜率不存在，即為，此時(shí)顯然與兩圓都相切；若過(guò)M的切線斜率存在，不妨設(shè)為，則到的距離分別為，即.綜上過(guò)M與兩圓都相切的直線為：或故答案為：或（寫出一個(gè)即可）8．（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線的準(zhǔn)線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則．【答案】2【分析】首先求拋物線的準(zhǔn)線方程，再根據(jù)直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】的準(zhǔn)線方程為，圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng).故答案為：29．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，利用點(diǎn)到直線距離公式和兩點(diǎn)距離公式求解即可.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A與直線相切于點(diǎn)，所以，可得：，解得，所以所求圓的圓心為，半徑，所以所求圓的方程為.故答案為：.10．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）圓心在直線上，且與直線相切的一個(gè)圓的方程為.【答案】（答案不唯一）【分析】依題意可得直線與直線平行，則兩平行線之間的距離即為圓的半徑，再取一個(gè)點(diǎn)確定圓心，即可得到圓的方程.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A心到直線的距離等于圓的半徑r，所以，取，則圓的方程為.故答案為：（答案不唯一）【能力提升】一、單選題1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓，過(guò)直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長(zhǎng)度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，可得，而的最小值是圓心到直線的距離，然后列方程可求出實(shí)數(shù)m的值.【詳解】圓，設(shè)，則，則，，則，所以圓心到直線的距離是，，得，．故選：A．2．（2023·廣東廣州·華南師大附中?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，若拋物線的準(zhǔn)線與圓相切于點(diǎn)，直線與拋物線切于點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線與圓相切可求得的值，可得出拋物線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角恒等變換可求得的取值范圍.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，圓的圓心為，半徑為，直線與圓相切，則，因?yàn)?，解得，所以，拋物線的方程為，故拋物線的準(zhǔn)線與圓相切于點(diǎn)，若直線與軸重合，則直線與拋物線不相切，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，解得，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，則有，解得，此時(shí)，即點(diǎn)，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，設(shè)點(diǎn)，則，所以，.故選：C.3．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ械谝恢袑W(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓，點(diǎn)，若圓M上存在兩點(diǎn)B，C，使得是等邊三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】條件可轉(zhuǎn)化為存在點(diǎn)B使得，然后過(guò)點(diǎn)A作圓M的切線，切點(diǎn)為T，連接MT，則，然后可求出的范圍，然后可得答案.【詳解】由題知，圓M和正組成的圖形關(guān)于直線AM對(duì)稱，若存在點(diǎn)B，C滿足題意等價(jià)于存在點(diǎn)B使得，過(guò)點(diǎn)A作圓M的切線，切點(diǎn)為T，連接MT，則，又，所以，則，解得．故選：D4．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知圓和點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)分別為，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用可得，再由利用配方法可得答案.【詳解】設(shè)，連接，則，可得，所以，即，可得，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：C.二、多選題5．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)為直線與軸交點(diǎn)，為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則（

）A．取得最小值時(shí)， B．與圓相切時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．的最大值為【答案】ABD【分析】A：取得最小值時(shí)位于即軸上，根據(jù)三角形面積公式可得.B：直接在直角三角形利用勾股定理可得.C：運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示和對(duì)于坐標(biāo)運(yùn)算可得.D：根據(jù)正弦定理，將求的最大值轉(zhuǎn)化為求外接圓半徑最小，此時(shí)，外接圓與圓相內(nèi)切，根據(jù)內(nèi)切半徑差等于圓心距可得外接圓半徑，進(jìn)而可得.【詳解】因，令，得，故，，圓心，半徑選項(xiàng)A：如圖，根據(jù)圓的性質(zhì)當(dāng)位于軸上時(shí)，取得最小值，此時(shí)，故A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)與圓相切時(shí)，，故B正確；選項(xiàng)C：設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，故，又，得，，，若，則，又得，，，此時(shí)，這與點(diǎn)在圓上矛盾，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：設(shè)外接圓圓心為，半徑為由題意可得在中垂線上，可設(shè)其坐標(biāo)為，則，，由正弦定理知，所以，當(dāng)最小，即外接圓與圓相內(nèi)切時(shí)，的最大值，此時(shí)圓心距等于兩圓半徑之差，則，兩邊同時(shí)平方可得，，故D正確.故選：ABD.6．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線：，：，圓C：，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若經(jīng)過(guò)圓心C，則B．直線與圓C相離C．若，且它們之間的距離為，則D．若，與圓C相交于M，N，則【答案】AC【分析】將圓心代入直線的方程，求得k，判斷A；求得直線過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)，判斷B；利用平行線間的距離公式可判斷C；根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可求得，判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，A正確；對(duì)于B，因?yàn)橹本€恒過(guò)點(diǎn)，且，即點(diǎn)在圓C內(nèi)，所以與圓C相交，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，則，故與之間的距離，所以，C正確；對(duì)于D，時(shí)，直線：，即，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以，D錯(cuò)誤，故選：AC.7．（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)二中校考模擬預(yù)測(cè)）已知，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則下列命題中真命題是（

）A．B．直線的方程為C．圓與共有4條公切線D．若過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則當(dāng)面積最大時(shí)，.【答案】ABD【分析】由圓的方程確定圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合切線性質(zhì)求，判斷A，求過(guò)點(diǎn)的圓的方程，再求其與圓的公共弦可得直線的方程，判斷B，判斷圓與圓的位置關(guān)系，判斷C，結(jié)合三角形面積公式求的面積的最大值，求，判斷D，【詳解】因?yàn)閳A的方程為，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為，所以，又，所以，由已知，所以，A正確，因?yàn)椋渣c(diǎn)四點(diǎn)共圓，且圓心為的中點(diǎn)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以圓的方程為，即，因?yàn)椋詧A與圓相交，又圓的方程可化為所以圓與圓的公共弦方程為，故直線的方程為，B正確，圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)椋?，所以圓與圓相交，故兩圓只有2條公切線，C錯(cuò)誤；設(shè)，則，的面積，所以當(dāng)時(shí)，的面積取最大值，最大值為，此時(shí)，D正確.故選：ABD.8．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M，N在圓O：上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且，Q為線段M，N的中點(diǎn)，則（

）A．過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線與圓O相切B．C．點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)D．的最大值為【答案】BD【分析】首先判斷與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合判斷A、B；再應(yīng)用兩點(diǎn)距離、中點(diǎn)公式及已知求得在直線上判斷C；由幾何法求得，結(jié)合點(diǎn)線距離求的最大值.【詳解】由，故在圓外，故過(guò)點(diǎn)P有兩條直線與圓O相切，A錯(cuò)；由為線段的中點(diǎn)，為圓的弦，故，B對(duì)；由，又都在圓上，所以，即，而，，所以，即點(diǎn)在直線上，C錯(cuò)；由，當(dāng)最小時(shí)，最大，而最小值為到的距離為，此時(shí)Q在圓的內(nèi)部，所以，D對(duì).故選：BD9．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的直線與過(guò)定點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動(dòng)弦，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．一定垂直B．的最大值為4C．點(diǎn)的軌跡方程為D．的最小值為【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)兩直線垂直滿足的關(guān)系式進(jìn)行判斷；B選項(xiàng)，求出和，由⊥，得到，再結(jié)合基本不等式得到答案；C選項(xiàng)，分析得到，點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，求出軌跡方程；D選項(xiàng)，設(shè)的中點(diǎn)為，求出，得到點(diǎn)軌跡方程，進(jìn)而得到的最小值為圓心距減去兩半徑，結(jié)合求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以一定垂直，A正確；B選項(xiàng)，變形得到，從而，變形得到，從而，由⊥，由勾股定理得，由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；C選項(xiàng)，由B可知，點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，其中線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，半徑為，故軌跡方程為（不包含點(diǎn)），C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的圓心為，半徑為2，設(shè)的中點(diǎn)為，由垂徑定理得，故點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)辄c(diǎn)軌跡方程為，則的最小值為圓心距減去兩半徑，即，其中，所以的最小值為，D錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題10．（2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模）已知拋物線：，圓：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是.【答案】【分析】利用拋物線的定義和圓的性質(zhì)得到，轉(zhuǎn)化為，即可解得.【詳解】因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：，所以圓心即為拋物線的焦點(diǎn)F，設(shè)，∴，∴.∵，∴，，∴，∴.故答案為：【真題感知】一、單選題1．（山東·統(tǒng)考高考真題）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】圓的圓心為，半徑為，得到圓方程.【詳解】根據(jù)題意知圓心為，半徑為，故圓方程為：.故選：B.2．（北京·統(tǒng)考高考真題）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】求出圓心的軌跡方程后，根據(jù)圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1可得答案.【詳解】設(shè)圓心，則，化簡(jiǎn)得，所以圓心的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)取得等號(hào)，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.3．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】若直線是圓的對(duì)稱軸，則直線過(guò)圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解．【詳解】由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選：A．4．（全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知⊙M：，直線：，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊙M的切線，切點(diǎn)為，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)共圓，且，根據(jù)可知，當(dāng)直線時(shí)，最小，求出以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識(shí)即可求出直線的方程．【詳解】圓的方程可化為，點(diǎn)到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時(shí)，，，此時(shí)最?。嗉矗山獾?，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．（全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知圓，過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線被該圓所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】當(dāng)直線和圓心與點(diǎn)的連線垂直時(shí)，所求的弦長(zhǎng)最短，即可得出結(jié)論.【詳解】圓化為，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線和直線垂直時(shí)，圓心到過(guò)點(diǎn)的直線的距離最大，所求的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)根據(jù)弦長(zhǎng)公式得最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.6．（全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若直線l與曲線y=和x2+y