平面向量知識(shí)點(diǎn)

1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或稱模平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\fa,|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則或幾何意義運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算1交換律：a＋b＝b＋a.2結(jié)合律：a＋b＋c＝a＋b＋c.減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋－b數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算1|λa|＝|λ||a|；2當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí),λa＝0λμa＝λμa；λ＋μa＝λa＋μa；λa＋b＝λa＋λb3.共線向量定理向量aa≠0與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使b＝λa.4．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2,使a＝λ1e1＋λ2e2.其中,不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．5．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝x1,y1,b＝x2,y2,則a＋b＝x1＋x2,y1＋y2,a－b＝x1－x2,y1－y2,λa＝λx1,λy1,|a|＝eq\rx\o\al2,1＋y\o\al2,1.2向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,則eq\oAB,\s\up6→＝x2－x1,y2－y1,|eq\oAB,\s\up6→|＝eq\rx2－x12＋y2－y12.6．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝x1,y1,b＝x2,y2,其中b≠∥b?x1y2－x2y1＝0.7．平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積,記作a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為__0__.兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是a·b＝0,兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是a·b＝±|a||b|.8．平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．9．平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)1e·a＝a·e＝|a|cosθ；2非零向量a,b,a⊥b?a·b＝0；3當(dāng)a與b同向時(shí),a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí),a·b＝－|a||b|,a·a＝|a|2,|a|＝eq\ra·a；4cosθ＝eq\fa·b,|a||b|；5|a·b|__≤__|a||b|.10．平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律1a·b＝b·a交換律；2λa·b＝λa·b＝a·λbλ為實(shí)數(shù)；3a＋b·c＝a·c＋b·c.11．平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝x1,y1,b＝x2,y2,則a·b＝x1x2＋y1y2,由此得到1若a＝x,y,則|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\rx2＋y2.2設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2,則A、B兩點(diǎn)間的距離|AB|＝|eq\oAB,\s\up6→|＝eq\rx2－x12＋y2－y12.3設(shè)兩個(gè)非零向量a,b,a＝x1,y1,b＝x2,y2,則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.12．向量在平面幾何中的應(yīng)用1用向量解決常見(jiàn)平面幾何問(wèn)題的技巧：?jiǎn)栴}類型所用知識(shí)公式表示線平行、點(diǎn)共線等問(wèn)題共線向量定理a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0,其中a＝x1,y1,b＝x2,y2垂直問(wèn)題數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0,a＝x1,y1,b＝x2,y2,其中a,b為非零向量夾角問(wèn)題數(shù)量積的定義cosθ＝eq\fa·b,|a|·|b|θ為向量a,b的夾角長(zhǎng)度問(wèn)題數(shù)量積的定義|a|＝eq\ra2＝eq\rx2＋y2,其中a＝x,y平面向量單元測(cè)試卷一、選擇題：本題共10小題,每小題4分,共40分1．下列命題中的假命題是A、的長(zhǎng)度相等； B、零向量與任何向量都共線；C、只有零向量的模等于零； D、共線的單位向量都相等;2．A、①④⑤ B、③ C、①②③⑤ D、②③⑤3．圍成一個(gè)三角形;則命題甲是命題乙的A、充分不必要條件 B、必要不充分條件C、充要條件 D、非充分也非必要條件4．A、 B、C、 D、5．A、 B、C、 D、6．如圖1,△ABC中,D、E、F分別是邊BC、CA和AB的中點(diǎn),G是△ABC中的重心,則下列各等式中不成立的是A、 B、 C、 D、7．A、 B、 C、 D、8．A、 B、3 C、 D、-29．A、 B、 C、 D、10．的模之比值為A、 B、 C、 D、二、填空題本題共4小題,每題5分,共20分11．12．13．x=;14．三、解答題：本題共4小題,每題10分,共40分15．已知記.1求的周期和最小值；2若按平移得到,求向量.17．設(shè)1計(jì)算18．已知向量EQ\oa,\s\up5→＝cosEQ\f3,2x,sinEQ\f3,2x,EQ\ob,\s\up5→＝cosEQ\fx,2,－sinEQ\fx,2,其中x∈0,EQ\fπ,2

1求EQ\oa,\s\up5→·EQ\ob,\s\up5→及|EQ\oa,\s\up5→＋EQ\ob,\s\up5→|；2若fx＝EQ\oa,\s\up5→·EQ\ob,\s\up5→－2λ|EQ\oa,\s\up5→＋EQ\ob,\s\up5→|的最小值為－EQ\f3,2,求λ的值參考答案一、1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．B 7．A 8．A 9．D 10．A二、11．0,2 12． 13．-1 14．±15三、15．16．解：1∵=4cos,3sin,=3cos,4sin∴||=||=1又∵+·－=2－2=||2－||2=0∴+⊥－2|+|2=+2=||2+||2+2·=2+2··=又·=cos=∴∵∴＜＜0∴sin=∴sin=sin·cos=17．解：18．解：1EQ\oa,\s\up5→·EQ\ob,\s\up5→＝cosEQ\f3,2xcosEQ\fx,2－sinEQ\f3,2xsinEQ\fx,2＝cos2x,|EQ\oa,\s\up5→＋EQ\ob,\s\up5→|＝EQ\r2＋2cos2x＝2cosx

2fx＝EQ\oa,\s\up5→·EQ\ob,\s\up5→－2λ|EQ\oa,\s\up5→＋EQ\ob,\s\up5→|＝cos2x－4λcosx＝2cos2x－1－4λcosx＝2cosx－λ2－2λ2－1

注意到x∈0,EQ\fπ,2,故cosx∈0,1,若λ＜0,當(dāng)c