吉林省長(zhǎng)春市榆樹(shù)弓棚中學(xué)校高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

吉林省長(zhǎng)春市榆樹(shù)弓棚中學(xué)校高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在棱長(zhǎng)為的正方體中，若為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為.

. .

.參考答案：A略2.設(shè)過(guò)曲線(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上任意一點(diǎn)處的切線為，總存在過(guò)曲線上一點(diǎn)處的切線，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．[－1,1] B．[－2,2] C．[－1,2] D．[－2,1]參考答案：C成立即 3.已知a，b是實(shí)數(shù)，則“”是“”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

參考答案：A略4.公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若是的等比中

項(xiàng),,則等于

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的模為（

）A．1

B．2

C．

D．參考答案：C略6.若一個(gè)棱錐的三視圖如右圖所示，則它的體積為(

)

A．

B．

C．1

D．參考答案：A略7.已知，其中是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則A．3

B．2

C．1

D．參考答案：A8.拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上的點(diǎn)，若三角形的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36，則的值為A．2

B．4

C．6

D．8參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．H7【答案解析】D

解析：：∵△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，

∴△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑∵圓面積為36π，∴圓的半徑為6，

又∵圓心在OF的垂直平分線上，∴p=8，故選：D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，可得△OFM的外接圓的圓心到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，由此可求p的值．9.如圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積等于（）A．34+6 B．44+12 C．34+6 D．32+6參考答案：A【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】一個(gè)底面是矩形的四棱錐，矩形的長(zhǎng)和寬分別是6，2，底面上的高與底面交于底面一條邊的中點(diǎn)，四棱錐的高是4，根據(jù)勾股定理做出三角形的高，寫(xiě)出所有的面積表示式，得到結(jié)果．【解答】解：由三視圖知，這是一個(gè)底面是矩形的四棱錐，矩形的長(zhǎng)和寬分別是6，2底面上的高與底面交于底面一條邊的中點(diǎn)，四棱錐的高是4，∴四棱錐的表面積是2×6+2×+6×+=34+6，故選A．10.平面向量的夾角為等于A. B. C.12 D.參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義F2

由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12，∴|a+2b|=．故選：B．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量的坐標(biāo)求出向量的模，最后結(jié)論要求模，一般要把模平方，知道夾角就可以解決平方過(guò)程中的數(shù)量積問(wèn)題，題目最后不要忘記開(kāi)方．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若雙曲線的漸近線方程為y=x，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是．參考答案：（）

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意知，m=3．由此可以求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：由題意知，∴m=3．∴c2=4+3=7，∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）．故答案：（）．12.已知雙曲線的離心率，則其漸近線的方程為

．參考答案：13.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____.參考答案：[0,+∞)【分析】由函數(shù)有意義，得到，即可求解函數(shù)的定義域，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)有意義，則滿足，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解，其中解答中根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出相應(yīng)的不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為

．參考答案：由題得，代入已知得，兩邊除以得當(dāng)且僅當(dāng)ab=1時(shí)取等.所以即的最小值為.故答案為：

15.包括甲、乙、丙三人在內(nèi)的4個(gè)人任意站成一排，則甲與乙、丙都相鄰的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．分析：先求出基本事件總數(shù)，再求出甲與乙、丙都相鄰包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能示出甲與乙、丙都相鄰的概率．解：包括甲、乙、丙三人在內(nèi)的4個(gè)人任意站成一排，基本事件總數(shù)n=，甲與乙、丙都相鄰包含的基本事件個(gè)數(shù)m==4，∴甲與乙、丙都相鄰的概率p=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．16.為了得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的（

）A．縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B．縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度C．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度參考答案：17.以雙曲線的左焦點(diǎn)為圓心，并與其漸近線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是__▲__.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（滿分12分）如右圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：B1C//平面A1BD；（Ⅰ）求二面角A—A1B—D的余弦值。參考答案：解：(1)證明：連交于點(diǎn)，連.則是的中點(diǎn)，∵是的中點(diǎn)，∴∵平面，平面，∴∥平面.…6分(2)法一：設(shè),∵,∴,且，作，連∵平面⊥平面，∴平面，∴∴就是二面角的平面角，在中，，在中，，即二面角的余弦值是.…………12分解法二：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.∴，，，設(shè)平面的法向量是，則由，取設(shè)平面的法向量是，則由，取記二面角的大小是，則，即二面角的余弦值是.…………12分

略19.（本小題滿分12分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線ly=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．L4

【答案解析】（1）（2）解析：（1）解：由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，可得：a+c=3，a﹣c=1，∴a=2，c=1∴b2=a2﹣c2=3∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，則又因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），∴kADkBD=﹣1，即∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴∴7m2+16mk+4k2=0解得：，且均滿足3+4k2﹣m2＞0當(dāng)m1=﹣2k時(shí)，l的方程y=k（x﹣2），直線過(guò)點(diǎn)（2，0），與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，l的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)所以，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【思路點(diǎn)撥】（1）由已知橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1，可得：a+c=3，a﹣c=1，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D（2，0），結(jié)合根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解，即可求得結(jié)論．20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為且，數(shù)列滿足且．（１）求的通項(xiàng)公式；（２）求證：數(shù)列為等比數(shù)列;（３）求前n項(xiàng)和．參考答案：解：(1)由得,∴

(2)∵,∴,∴;，∴由上面兩式得,又。∴數(shù)列是以-30為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.(3)由(2)得，∴,（求和的最小值）：=，∴是遞增數(shù)列.當(dāng)n=1時(shí),<0；當(dāng)n=2時(shí),<0；當(dāng)n=3時(shí),<0；當(dāng)n=4時(shí),>0，∴,從第4項(xiàng)起的各項(xiàng)均大于0,故前3項(xiàng)之和最小.略21.（本小題滿分12分）如圖，焦距為2的橢圓E的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為和，且與共線.（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線與橢圓E有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，且原點(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，∴，∵與共線，∴，又

（3分）∴，∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（5分）（Ⅱ）設(shè),把直線方程代入橢圓方程，消去y，得，,∴,

（7分）(*)

（8分）∵原點(diǎn)O總在以PQ為直徑的圓內(nèi)，∴，即

（9分）又由得，依題意且滿足(*)

（11分）故實(shí)數(shù)m的取值范圍是

（12分）22.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)，．（注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．）(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)(i)設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，在上恰有—個(gè)使得(ii)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的，恒有成立．參考答案：解：(1)當(dāng)時(shí)，

…………1分，令得：；令得：所以函數(shù)的減區(qū)間是；增區(qū)間是

…………3分(2)(i)證明：

………4分，且，令得：；令得：則函數(shù)在上遞減；在上遞增

………6分，又所