北京房山區(qū)第二職業(yè)中學高一數(shù)學理下學期摸底試題含解析

北京房山區(qū)第二職業(yè)中學高一數(shù)學理下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.數(shù)列1,3,7,15,…的一個通項公式是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據所給數(shù)據的特點，歸納出一個通項公式即可．【詳解】經過觀察，，，，，……故推測，故選D．【點睛】本題主要考查了歸納法得到數(shù)列的通項公式，屬于基礎題．2.對于實數(shù)m，n定義運算“⊕”：m⊕n=，設f（x）=（2x﹣1）⊕（x﹣1），且關于x的方程f（x）=a恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是（） A．（﹣，0） B．（﹣，0） C．（0，） D．（0，）參考答案：A【考點】函數(shù)的零點與方程根的關系． 【專題】綜合題；函數(shù)的性質及應用． 【分析】由新定義，可以求出函數(shù)的解析式，進而求出x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根時，實數(shù)m的取值范圍，及三個實根之間的關系，進而求出x1x2x3的取值范圍． 【解答】解：由2x﹣1≤x﹣1，得x≤0，此時f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=﹣（2x﹣1）2+2（2x﹣1）（x﹣1）﹣1=﹣2x， 由2x﹣1＞x﹣1，得x＞0，此時f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=（x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x﹣1）=﹣x2+x， ∴f（x）=（2x﹣1）⊕（x﹣1）=， 作出函數(shù)的圖象可得， 要使方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，不妨設x1＜x2＜x3， 則0＜x2＜＜x3＜1，且x2和x3，關于x=對稱， ∴x2+x3=2×=1．則x2+x3≥2，0＜x2x3＜，等號取不到． 當﹣2x=時，解得x=﹣， ∴﹣＜x1＜0， ∵0＜x2x3＜， ∴﹣＜x1x2x3＜0， 即x1x2x3的取值范圍是（﹣，0）， 故選：A． 【點評】本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，根據已知新定義，求出函數(shù)的解析式，并分析出函數(shù)圖象是解答的關鍵． 3.設，向量且，則A．

B. C.

D.10參考答案：B由題意可知：，則，

4.設min{p，q，r}為表示p，q，r三者中較小的一個，若函數(shù)f（x）=min{x+1，﹣2x+7，x2﹣x+1}，則不等式f（x）＞1的解集為（）A．（0，2） B．（﹣∞，0） C．（1，+∞） D．（1，3）參考答案：D【考點】函數(shù)的圖象．【分析】由題意得f（x）=，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，根據圖象可得答案．【解答】解：由題意得f（x）=，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則f（x）＞1的解集為（1，3）．故選：D．5.一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何體的表面積是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D解：根據三視圖可知該幾何體是半個圓錐躺放在平面上，可知底面半徑為2，高為，母線長為6，這樣可以得到該幾何體的表面積為

6.閱讀如右圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果是(

)

A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：C略7.定義行列式運算，將函數(shù)的圖象向左平移t（t＞0）個單位，所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則t的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】根據已知中行列式運算，我們易寫出函數(shù)的解析式，利用輔助角公式，可將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，結合函數(shù)f（x）的圖象向左平移t（t＞0）個單位后圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，易得平移后，初相角的終邊落在y軸上，寫出滿足條件的t的取值，即可得到答案．【解答】解：∵，∴=cos2x﹣sin2x=2sin（2x+）將函數(shù)f（x）=2sin（2x+）的圖象向左平移t（t＞0）個單位后可以得到函數(shù)f（x）=2sin（2x++2t）的圖象則所得圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則+2t=+kπ，k∈N*當k=1時，t取最小值為故選C8.函數(shù)的定義域為()A．(1,3]

B．(1,2)∪(2,3]

C．(1,9]

D．(1,2)∪(2,9]參考答案：D9.設，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A10.若2弧度的圓心角所對的弧長為2cm，則這個圓心角所夾的扇形的面積是（）A．4cm2 B．2cm2 C．4πcm2 D．1cm2參考答案：D【考點】扇形面積公式．【分析】結合弧長公式，求圓的半徑，再利用扇形的面積公式，可得結論．【解答】解：弧度是2的圓心角所對的弧長為2，所以根據弧長公式，可得圓的半徑為1，所以扇形的面積為：×2×1=1cm2，故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的圖象過點，則的值為

．參考答案：212.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則

。參考答案：513.若動直線x=a與函數(shù)f（x）=sinx和g（x）=cosx的圖象分別交于M、N兩點，則|MN|的最大值為．參考答案：【考點】H2：正弦函數(shù)的圖象；H7：余弦函數(shù)的圖象．【分析】設x=a與f（x）=sinx的交點為M（a，y1），x=a與g（x）=cosx的交點為N（a，y2），求出|MN|的表達式，利用三角函數(shù)的有界性，求出最大值．【解答】解：設x=a與f（x）=sinx的交點為M（a，y1），x=a與g（x）=cosx的交點為N（a，y2），則|MN|=|y1﹣y2|=|sina﹣cosa|=|sin（a﹣）|≤．故答案為：．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質，在解決三角函數(shù)周期等問題時，我們往往構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象解題．14.已知是三個不同的平面，命題“且”是真命題，如果把中的任意兩個換成直線，另一個保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有▲個；參考答案：2

略15.在△ABC中，若，則等于

．參考答案：2【考點】HP：正弦定理．【分析】首先根據正弦定理可得：a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，然后化簡所求即可得解．【解答】解：由正弦定理可得：==2，可得：a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，則==2，故答案為：2．16.已知函數(shù)

則f(1),f(2)，c三者之間的大小關系為

參考答案：17.已知是第二象限的角，，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，求的值．參考答案：【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】根據誘導公式化解后，即可計算的值．【解答】解：由==2cosα．則=2cos（）=2cos（）=．19.已知三棱錐P-ABC，底面ABC是以B為直角頂點的等腰直角三角形，PA⊥AC，BA=BC=PA=2，二面角P-AC-B的大小為120°.（1）求直線PC與平面ABC所成角的大小；（2）求二面角P-BC-A的正切值.參考答案：解（Ⅰ）過點P作PO⊥底面ABC，垂足為O，連接AO、CO，則∠為所求線面角，，平面.則∠PAO為二面角P-AC-B平面角的補角∴∠，又，，直線PC與面ABC所成角的大小為30°.

（Ⅱ）過作于點,連接，則為二面角P-BC-A的平面角，平面,,設與相交于,在中，則二面角P-BC-A的正切值為.

20.（12分）已知O為坐標原點，向量=（sinα，1），=（cosα，0），=（﹣sinα，2），點P滿足=（1）記f（α）=?，α∈（﹣，），求函數(shù)f（α）的值域；（2）若O，P，C三點共線，求|+|的值．參考答案：考點： 平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角．分析： （1）設出P的坐標，由向量的坐標得到點的坐標，再由點的坐標求出所用向量的坐標，結合=求出P的坐標，代入f（α）=?化簡，由α的范圍可求函數(shù)f（α）的值域；（2）由O，P，C三點共線，由向量共線的充要條件求出tanα的值，結合|+|=，利用萬能公式，代入即可求出|+|的值．解答： （1）設點P的坐標為（x，y），∵=（sinα，1），=（cosα，0），=（﹣sinα，2），∴A（sinα，1），B（cosα，0），C（﹣sinα，2），∴=（cosα﹣sinα，﹣1），=（x﹣cosα，y），由=，得cosα﹣sinα=x﹣cosα，y=﹣1．∴x=2cosα﹣sinα，y=﹣1，∴點P的坐標為（2cosα﹣sinα，﹣1），∴，．則f（α）=?=2sinαcosα﹣2sin2α+1=sin2α+cos2α=．∵α∈（﹣，），∴，∴f（α）∈（﹣1，]；（2）∵O，P，C三點共線，∴﹣1×（﹣sinα）=2×（2cosα﹣sinα），∴tanα=，∴sin2α=，∴|+|=．點評： 本題考查的知識點是平面向量數(shù)量積的坐標表示，正弦型函數(shù)的單調性，兩角和與差的正弦，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三點共線，解題的關鍵是根據向量共線的充要條件求出tanα的值，是中檔題．21.已知函數(shù)f（x）=x﹣．（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明；（2）用定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)；（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，a]上的最大值與最小值之和不小于，求a的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)奇偶性的性質；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】（1）判斷出函數(shù)是奇函數(shù)再證明，確定函數(shù)定義域且關于原點對稱，利用奇函數(shù)的定義可判斷；（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，證明按照取值、作差、變形定號、下結論步驟即可；（3）根據（2）的結論得函數(shù)在區(qū)間[2，a]上的單調性，再求出最大值、最小值，根據條件列出不等式求出a得范圍．【解答】解：（1）函數(shù)是奇函數(shù)．…∵定義域：（﹣∞，0）∪（0，+∞），定義域關于原點對稱，…且

…∴函數(shù)是奇函數(shù)．…（2）證明：設任意實數(shù)x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2

…則﹣（）══==

…∵x1＜x2，x1，x2∈[1，+∞）∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2+1＞0，…∴＜0

…∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）

…∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)．…（3）∵[2，a]?[1，+∞）∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，a]上也為增函數(shù)．…∴，

…若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，a]上的最大值與最小值之和不小于，則

…解得a≥4，∴a的取值范圍是[4，+∞）．…22.（9分）經市場調查，某超市的一種小商品在過去的近20天內的銷售量（件）與價格（元）均為時間t（天）的函數(shù)，且銷售量近似滿足g（t）=80﹣2t（件），價格近似滿足f（t）=20﹣|t﹣10|（元）．（1）試寫出該種商品的日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的函數(shù)關系表達式；（2）求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．參考答案：考點： 分段函數(shù)的應用；函數(shù)解析式的求解及常用方法．專題： 計算題；應用題；分類討論；函數(shù)的性質及應用．分析： （1）根據y=g（t）?f（t），可得該種商品的日銷售額y與時間t（0≤t≤20）的函數(shù)表達式；（2）分段求最值，可求該種商品的日銷售額y的最大值和最小值．解答： （1）依題意，可得：，所以；（2）當0≤t≤10時，y=（30+t）（40﹣t）=﹣（t﹣5）2+1225，y的取值范圍是，在t=5時，y取得最大值為1225；當10＜t≤20時，=（50﹣t）（40﹣t）=（t﹣45）2﹣25，y的取值范圍是解答： （1）∵f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），∴f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，∵f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），且f（1）＜0，∴，又∵a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1．∵ax單調遞減，a﹣x單調遞增，∴f（x）在R上單調遞減．不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0化為：f（x2+tx）＜f（x﹣4），∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得：﹣3＜t＜5．（2）∵f（1）=，∴，即2a2﹣3a﹣2=0．∴