高三數(shù)學選修2-3(B版)-《離散型隨機變量的數(shù)學期望》導學案

1/12.3.1離散型隨機變量的數(shù)學期望【學習要求】1．通過實例理解離散型隨機變量數(shù)學期望的概念，能計算簡單離散型隨機變量的數(shù)學期望。2．理解離散型隨機變量數(shù)學期望的性質(zhì)。3．掌握兩點分布、二項分布的數(shù)學期望。4．會利用離散型隨機變量的數(shù)學期望，反映離散型隨機變量取值水平，解決一些相關(guān)的實際問題。【學法指導】離散型隨機變量的數(shù)學期望是離散型隨機變量取值的平均水平，可以利用離散型隨機變量的分布列求得數(shù)學期望。利用隨機變量的數(shù)學期望可以幫助我們對實際問題做出決策?！局R要點】1．離散型隨機變量的數(shù)學期望或期望若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝為隨機變量X的數(shù)學期望或期望，它反映了離散型隨機變量取值的。2．離散型隨機變量的數(shù)學期望的性質(zhì)如果X為(離散型)隨機變量，則Y＝aX＋b(其中a，b為常數(shù))也是(離散型)隨機變量，且P(X＝xi)＝，i＝1，2，3，…，n，E(Y)＝＝。3．兩點分布與二項分布的數(shù)學期望 （1）如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)＝(p為成功概率)。（2）如果隨機變量X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝?！締栴}探究】探究點一離散型隨機變量的數(shù)學期望公式及性質(zhì)問題1某商場要將單價分別為18元/kg、24元/kg、36元/kg的3種糖果按3∶2∶1的比例混合銷售，如何對混合糖果定價才合理？問題2離散型隨機變量的均值有什么作用？問題3若一組數(shù)據(jù)xi(i＝1,2，…，n)的平均數(shù)為eq\x\to(x)，那么另一組數(shù)據(jù)axi＋b(a、b是常數(shù)且i＝1,2，…，n)的平均數(shù)為aeq\x\to(x)＋b。那么離散型隨機變量Y＝aX＋b是否也具有類似性質(zhì)？如何證明？例1已知隨機變量X的分布列如下：X－2－1012Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)meq\f(1,20)（1）求m的值；（2）求E(X)；（3）若Y＝2X－3，求E(Y)。小結(jié)對于aX＋b型的隨機變量，可利用數(shù)學期望的性質(zhì)求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比較兩種方式顯然前者較方便。跟蹤訓練1已知隨機變量X的分布列為X123Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，求a的值。探究點二超幾何分布的數(shù)學期望例2在10件產(chǎn)品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品。從這10件產(chǎn)品中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學期望。小結(jié)隨機變量的數(shù)學期望是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，只要找清隨機變量及相應(yīng)的概率即可計算。跟蹤訓練2在本例中，求取出的3件產(chǎn)品中二等品件數(shù)ξ的數(shù)學期望。探究點三二項分布的數(shù)學期望問題1若隨機變量X～B(n，p)，怎樣證明E(X)＝np？問題2若隨機變量X服從兩點分布，怎樣計算E(X)？例3某運動員投籃命中率為p＝0.6。（1）求投籃1次時命中次數(shù)ξ的數(shù)學期望；（2）求重復5次投籃時，命中次數(shù)η的數(shù)學期望。小結(jié)(1)如果隨機變量X服從兩點分布，則其數(shù)學期望E(X)＝p(p為成功概率)。(2)如果隨機變量X服從二項分布即X～B(n，p)，則E(X)＝np。以上兩特例可以作為常用結(jié)論，直接代入求解，從而避免了繁雜的計算過程。跟蹤訓練3甲、乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為eq\f(1,2)，乙每次擊中目標的概率為eq\f(2,3)。記甲擊中目標的次數(shù)為ξ，乙擊中目標的次數(shù)為η。（1）求ξ的分布列；（2）求ξ和η的數(shù)學期望?！井斕脵z測】1．隨機拋擲一枚骰子，則所得骰子點數(shù)ξ的期望為（）A．0.6 B．1 C．3.5 D．22．若隨機變量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，則P(ξ＝1)的值是（）A．2×0.44 B．2×0.45C．3×0.44 D．3×0.643．設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,300)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))300－k(k＝0，1，2，…，300)，則E(X)＝________。4．袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1，2，3，4)。現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標號。（1）求ξ的分布列，數(shù)學期望；（2）若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值。【課堂小結(jié)】1．求離散型隨機變量數(shù)學期望的步驟：（1）確定離散型隨機變量X的取值；（2）