高三數(shù)學(xué)立體幾何、平面與平面位置關(guān)系(文)人教版知識(shí)精講

wordword/word高三數(shù)學(xué)立體幾何、平面與平面位置關(guān)系（文）人教版【同步教育信息】一.本周教學(xué)內(nèi)容：立體幾何、平面與平面位置關(guān)系二.知識(shí)結(jié)構(gòu)：三.難點(diǎn)：1.兩個(gè)平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用。2.求二面角的平面角。3.異面直線上兩點(diǎn)間距離公式。二面角是從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，二面角的平面角是以棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角二面角是一個(gè)空間概念，而二面角的平面角是一個(gè)平面概念。二面角是通過(guò)它的平面角來(lái)度量的。二面角的平面角是多少度，就稱二面角是多少度，二面角的取值X圍是。書中給出了異面直線上兩點(diǎn)間距離公式由此可知，因此，兩條異面直線的距離，是分布在兩條異面直線上的兩點(diǎn)的距離中的最小的?！镜湫屠}】[例1]如圖1，ABCD兩對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，過(guò)O的線段PQ恰被平面ABCD垂直平分，E、G分別是PB、QA的中點(diǎn)，求證：平面ADE//平面BGC。圖1解：由PQ與AC垂直平分，則四邊形PAQC為菱形，則又由E、G分別為PB、AQ中點(diǎn)，則故四邊形AGCF為平行四邊形，則在平行四邊形ABCD中，故平面ADE//平面BGC小結(jié)：兩個(gè)平面平行的判定定理是兩個(gè)平面平行的基本方法，此外，還可以利用以下方法判定面面平行：（1）如果兩個(gè)平面都與同一條直線垂直，則這兩個(gè)平面平行；（2）如果兩個(gè)平面都與同一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。[例2]已知長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，，，。（1）證明：平面AB1C//平面A1C1D；（2）求平面AB1C與平面A1C圖2解：（1）如圖2所示∵∴四邊形A1B1CD為∴B1C//A1D同理AB1//C1D∴平面AB1C//平面A1C（2）設(shè)平面AB1C與平面A1C1D的距離為，由面面距離的定義知，點(diǎn)D到平面AB1C的距離即等于平面AB1C與平面A1C1D的距離，又由平面AB1C過(guò)線段DB的中點(diǎn)O，則點(diǎn)B和D到平面AB1作于E，連結(jié)B1E，由三垂線定理在中，在中，故由三棱錐B—AB1C與三棱錐B1—即平面AB1C與平面A1C1小結(jié)：（1）面面距離、線面距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，而點(diǎn)面距離除直接求垂線段長(zhǎng)外，還可以利用間接法，如本例使用體積變換求得。（2）易證如果兩條異面直線分別位于兩個(gè)互相平行的平面內(nèi)，則這兩個(gè)平面的距離與異面直線的距離相等，利用這個(gè)事實(shí)，我們可以把求異面直線的距離轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面的距離，如本例異面直線AB1與A1C1[例3]過(guò)點(diǎn)S引三條長(zhǎng)度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且，，求證：平面平面BSC。圖3解：證法1：如圖3由作平面BSC于D，由射影長(zhǎng)定理，有即D為的外心，故D為斜邊BC的中點(diǎn)，則平面ABC，所以平面平面BSC。證法2：設(shè)由取D為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AD、SD，則，故為二面角A—BC—S的平面角在中，，由，則在中，由則，故平面平面BSC小結(jié)：證明兩個(gè)平面垂直常使用判定定理或定義，如證法1和證法2。[例4]如圖4，已知為等腰直角三角形，，，將沿BC折起，使二面角A—BC—D為直二面角。（1）求證：平面平面ADC；（2）求二面角A—BD—C的大小。圖4解：（1）由又由（2）作于E，則E為等腰的中點(diǎn)，過(guò)E作于F，連結(jié)AF。由則為二面角A—BD—C的平面角設(shè)，則，，在中，，故二面角A—BD—C為小結(jié)：（1）在平面圖形翻折成空間圖形的問(wèn)題中，要充分注意翻折前、后各元素的相對(duì)位置和數(shù)量關(guān)系的變化，分清哪些發(fā)生了變化，哪些沒(méi)有變化。（2）利用三垂線定理作出二面角的平面角，再解三角形求該角，這是求二面角平面角的常用方法。[例5]已知矩形ABCD中，，，以BD為棱折成大小為的二面角A—BD—C，使得，求二面角A—BD—C的大小。圖5解：解法1：如圖5，過(guò)A作，過(guò)C作于F，過(guò)E作，連結(jié)AG、CG，則為二面角A—BD—C的平面角。由題設(shè)，易求得，，由，即為直角三角形。在中，由余弦定理，得即，所以二面角A—BD—C為解法2：把AE與CF看成兩條異面直線則EF為公垂線段，利用異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，有，故小結(jié)：解法2給出了利用異面直線上兩點(diǎn)間距離公式間接求二面角平面角的方法。異面直線上兩點(diǎn)間距離公式的內(nèi)容如下：如圖6，已知兩條異面直線所成的角為，它們的公垂線段的長(zhǎng)為。E、F分別在、上，且，，則圖6公式中有、、、、EF五個(gè)量，若已知四個(gè)，便可求出另一個(gè)。若為平面與平面所成的二面角的平面角，則公式為【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘）一.選擇題1.一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面是兩個(gè)平面平行的（）A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.正方體ABCD—A1B1C1D1中，以每?jī)蓷l棱確定的平面中，與對(duì)角面AA1A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)3.已知下列四個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)為（）（1）直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)到平面的距離都相等，則；（2）過(guò)平面外三個(gè)不同的點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與垂直；（3）三條共點(diǎn)的直線兩兩垂直，則所得的三個(gè)平面兩兩垂直；（4）直線和平面、、都成等角，則A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)4.在一個(gè)銳二面角的一個(gè)面內(nèi)有一點(diǎn)，它到棱的距離等于它到另一個(gè)面距離的2倍，則這個(gè)二面角的度數(shù)為（）A.B.C.D.以上都不對(duì)5.一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角（）A.相等B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)D.不能確定6.一條線段與一個(gè)直二面角的兩個(gè)面都相交，這條線段與這兩個(gè)平面所成角的和為（）A.B.不大于C.大于D.不小于7.、、、分別表示不同的直線，、、表示不同的平面，下面四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）（1），（2），（3），（4），A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)8.直二面角的棱上取一點(diǎn)P，過(guò)P在、內(nèi)分別作與棱成角的射線，則兩射線所成的角為（）A.B.C.D.或9.在空間，下列命題中正確的是（）A.如果兩直線、與直線所成的角相等，那么B.如果兩直線、與平面所成的角相等，那么C.如果直線與兩平面、所成的角都是直角，那么D.如果平面與兩平面、所成的二面角都是直二面角，那么10.下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是（）（1）過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面平行于已知平面；（2）過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面垂直于已知平面；（3）過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面平行于已知直線；（4）過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面垂直于已知直線；A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)11.四面體的四個(gè)面中，直角三角形最多有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)12.已知直線平面，直線平面，有下面四個(gè)命題，正確的有（）（1）（2）（3）（4）A.（2）與（4）B.（3）與（4）C.（1）與（2）D.（1）與（3）二.填空題1.在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)O是側(cè)面正方形BCC1B12.若點(diǎn)A為直二面角的棱上一點(diǎn)，兩條長(zhǎng)都等于的線段AB、AC分別在、內(nèi)，且都與成，則BC的長(zhǎng)為。3.已知菱形ABCD的對(duì)角線，沿BD把面ABD折起與面BCD成的二面角，則點(diǎn)A到面BCD的距離為。4.已知空間四邊形ABCD中，，，則二面角A—BD—C的大小為。二面角A—BC—D的大小為。5.是正三角形，P是外一點(diǎn)，，若，則二面角P—AB—C的大小為。6.已知，，于M1，，NA是的斜線，若，，，，則。7.正方體ABCD—A1B1C1D1中M、N分別是棱B1C1和AA8.已知、是直線，、是平面，給出下列命題（1）若垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則；（2）若平行于，則平行于內(nèi)的所有直線；（3）若，，且，則；（4）若，且，則；（5）若，，且，則，其中正確的命題的序號(hào)是。三.解答題如圖1，在三棱柱ABC—A1B1C1，四邊形A1ABB1是菱形，四邊形BCC1B1是矩形，并且。（1）求證平面；（2）若，，，求與平面所成角的大小。圖1試題答案一.選擇題1.B2.C提示：含兩個(gè)底面和一個(gè)對(duì)角面共有三個(gè)平面3.C提示：命題（1）和（3）是真命題4.A5.D提示：當(dāng)滿足題設(shè)的兩個(gè)二面角的棱不平行時(shí)，這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系不確定。6.B提示：可用特殊情形驗(yàn)證。當(dāng)線段有一個(gè)端點(diǎn)在棱上時(shí)也滿足題設(shè)條件，此時(shí)線段在二面角的一個(gè)面內(nèi)，則線段與這個(gè)平面所成的角為。因此線段與二面角兩個(gè)面所成角之和即為線段與另一個(gè)面所成的角，故應(yīng)選B，并且當(dāng)線段與另一個(gè)面垂直時(shí)取得。7.A提示：只有命題（4）是真命題8.D提示：由于是兩射線所成的角，故應(yīng)分銳角和鈍角兩種情形。9.C10.B提示：命題（1）和（4）是正確的，而（2）和（3）是錯(cuò)誤的。11.D提示：如答圖所示，平面BCD，為，，則由三垂線定理可知，則也為。因此四面體ABCD的四個(gè)面可以都是直角三角形，故選D。12.D二.填空題1.提示：由OC⊥OB，又OC⊥OA⊥平面AOB，又平面AOC，故平面平面AOC。2.或提示：設(shè)直線與AC所成銳角為，則，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故BC的長(zhǎng)為或。3.答圖1提示：如答圖1即AH為A到面BCD的距離由，則，在中，AH=AO4.，提示：如答圖2所示，取E為BD中點(diǎn)，連結(jié)AE、CE則AE⊥BD，CE⊥BD，即為二面角的平面角，，，，則由知取F為BC中點(diǎn)，連結(jié)EF、AF即為二面角的平面角，，則答圖25.提示：設(shè)P在上的射影為O，由PA=PB=PC，則O為正的中心，則，故，故。答圖36.提示：如答圖4，作于，連結(jié)、，由AN⊥MN，則由三垂線定理的逆定理知。在中，，，則在中，AN=，則在中，則答圖47.提示：如答圖5，設(shè)面BMN交棱于F，由于，則答圖5設(shè)FN與