雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教案1 人教課標(biāo)版

《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》教案

撰寫：劉文文審核：胡海歐

三點(diǎn)剖析:

一、教學(xué)大綱及考試大綱要求：

.掌握雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、漸近線等幾何性質(zhì).

.掌握標(biāo)準(zhǔn)方程中a,。,c?的幾何意義.

.能利用上述知識(shí)進(jìn)行相關(guān)的論證、計(jì)算、作雙曲線的草圖以及解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

-.重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的漸近線、離心率、雙曲線的另一種定義及其得出過(guò)程.

教學(xué)難點(diǎn)：漸近線幾何意義的證明，離心率與雙曲線形狀的關(guān)系，雙曲線的另一種定義的得

出過(guò)程

三.（）本節(jié)知識(shí)理解

橢圓雙也3線

2丁22

X上+工=Y-1

方程——+—=11下『I

6Z2b-a2b2

(a>b>0)(a>b>0)(a>0,b>0)(a>0,b>0)

;1/干

圖形--------of-~X

T

頂點(diǎn)坐標(biāo)（±）（,±）(±)(,+)

（,±）（±）

對(duì)稱軸

焦點(diǎn)坐標(biāo)（±）（，士）(±)（，士）

對(duì)稱中心(,)

離心率6=￡且0<6<1e=￡且《<1

aa

a2a2,a2

準(zhǔn)線方程x=±—x—土——y=±-

c

漸近線方,b,a

y=±—xy=±—x

程ah

（）要點(diǎn)詮釋

.范圍、對(duì)稱性

由標(biāo)準(zhǔn)方程二-「=1,從橫的方向來(lái)看，直線之間沒(méi)有圖象，從縱的方向來(lái)看，隨著

a~b~

的增大，的絕對(duì)值也無(wú)限增大，所以曲線在縱方向上可無(wú)限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線?雙

曲線不封閉，但仍稱其對(duì)稱中心為雙曲線的中心.

.頂點(diǎn)

頂點(diǎn)：4（。,0）,4（-a,0）

特殊點(diǎn):用（0向,與（0,一6

實(shí)軸：44長(zhǎng)為2a,叫做實(shí)半軸長(zhǎng).

虛軸：與長(zhǎng)為，叫做虛半軸長(zhǎng).

雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異.

.漸近線

22

過(guò)雙曲線5-斗=1的兩頂點(diǎn)4,4，作軸的平行線％=乜，經(jīng)過(guò)片,名作軸的平行線

y^±b,四條直線圍成一個(gè)矩形.矩形的兩條對(duì)角線所在直線方程是y=±-x（-±^=0）,

aab

這兩條直線就是雙曲線的漸近線.

.等軸雙曲線

定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線.

等軸雙曲線的性質(zhì)：（）漸近線方程為：y=±x；（）漸近線互相垂直；（）離心率e=J5.

等軸雙曲線可以設(shè)為：x2-y2=2（20）,當(dāng)丸＞0時(shí)交點(diǎn)在軸，當(dāng)丸＜0時(shí)焦點(diǎn)在軸

上.

.共漸近線的雙曲線系

如果已知一雙曲線的漸近線方程為y=±2*=土及%（%＞（））,那么此雙曲線方程就一定

aka

X2222

是:春7伏〉0）或?qū)懻σ?

(ka)2

.雙曲線的草圖

具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點(diǎn)及第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)的位置,

然后過(guò)這兩點(diǎn)并根據(jù)雙曲線在第一象限從漸近線下方逐漸接近漸近線的特點(diǎn)畫出雙曲線的一

部分，最后利用雙曲線的對(duì)稱性畫出完整的雙曲線.

.離心率

雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比e=上^=￡,叫做雙曲線的離心率.范圍：e＞l

2aa

雙曲線形狀與的關(guān)系：k,即漸近線的斜率的

絕對(duì)值就大，這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊.由此可知，雙曲線的離心率越大，它

的開口就越闊.

.共輾雙曲線

以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共加雙曲

線.區(qū)別：三量中不同（互換）相同.

共用一對(duì)漸近線.雙曲線和它的共輒雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上.

確定雙曲線的共扼雙曲線的方法：將變?yōu)?

共用同一對(duì)漸近線y=±Zx的雙曲線的方程具有什么樣的特征：可設(shè)為

---4=2（200）,當(dāng)2>0時(shí)交點(diǎn)在軸，當(dāng)；1<0時(shí)焦點(diǎn)在軸上.

［及2

?雙曲線的第二定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線/的距離之比為常數(shù)e=￡（c>a>0）的點(diǎn)

a

的軌跡是雙曲線.其中，定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線.常數(shù)是雙曲線的

離心率.

.準(zhǔn)線方程:

對(duì)于二?-三=1來(lái)說(shuō)，相對(duì)于左焦點(diǎn)大（-。,0）對(duì)應(yīng)著左準(zhǔn)線人：x=-三，相對(duì)于右焦點(diǎn)

abc

2

F2(C,0)對(duì)應(yīng)著右準(zhǔn)線12-.X=—；

c

位置關(guān)系：忖2。><>°?焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離/?=發(fā)（也叫焦參數(shù)）.

CC

對(duì)于「一餐=1來(lái)說(shuō)，相對(duì)于上焦點(diǎn)￡（0，—c）對(duì)應(yīng)著上準(zhǔn)線4：卜=一幺；相對(duì)于下焦點(diǎn)

crbc

a2

入（o,c）對(duì)應(yīng)著下準(zhǔn)線乙：丁

.雙曲線的焦半徑

定義：雙曲線上任意一點(diǎn)與雙曲線焦點(diǎn)大，入的連線段，叫做雙曲線的焦半徑?

焦半徑公式的推導(dǎo)：利用雙曲線的第二定義，設(shè)雙曲線

22

―f-—1（6/>0,/?>0）,

ab-

月,尸2是其左右焦點(diǎn)?

則由第二定義：網(wǎng)”=eMF

???,^'\,=e:.\MFt\=\a+ex0\

4h+y

同理1A/閭=|a-ex0|.

即有焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的焦半徑公式：

.用=|a+ex0|

,[MH"%|

同理有焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的焦半徑公式：

/ME|=|「+e)，oI(其中FF,分別是雙曲線的下上焦點(diǎn))

\\MF2\^\a-ey0\-

點(diǎn)評(píng)：雙曲線焦半徑公式與橢圓的焦半徑公式的區(qū)別在于其帶絕對(duì)值符號(hào)，如果要去絕對(duì)值,

需要對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行討論。兩種形式的區(qū)別可以記為：左加右減，上減下加(帶絕對(duì)值號(hào)).

.焦點(diǎn)弦：

定義：過(guò)焦點(diǎn)的直線割雙曲線所成的相交弦.

焦點(diǎn)弦公式：可以通過(guò)兩次焦半徑公式得到：

設(shè)兩交點(diǎn)A(xt,yt)B(x2,y2)

當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí)，

焦點(diǎn)弦只和兩焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān)：

過(guò)左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時(shí)：=-2a-e(xi+x2).

過(guò)右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時(shí)：q=-2a+e(X1+x2).

當(dāng)雙曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí)，

過(guò)左焦點(diǎn)與左支交于兩點(diǎn)時(shí)：|AS|=-2a-e(y|+%)?

過(guò)右焦點(diǎn)與右支交于兩點(diǎn)時(shí)：|4@=-2。+6(,+%)。

.通徑：

定義：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的相交弦.

直接應(yīng)用焦點(diǎn)弦公式，得到d=空.

a

.直線與雙曲線的位置關(guān)系

精題精講

【例】求雙曲線％2-匕=1的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和漸近線方程，并

4

作出草圖.

分析：只要緊扣有關(guān)概念和方法，就易解答.

X2y~

解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程J-二=1

由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)=,虛半軸長(zhǎng)=.

頂點(diǎn)坐標(biāo)是（一，），（，）

c7a2+及=J〃+22=君焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（一石,）,（V5,）.

漸近線方程為±±上=0,即丁=±2北

12?

22

【例】求與雙曲線看一^=1共漸近線且過(guò)A（3j5,-3）的雙曲線的方程.

分析：因所求的雙曲線與已知雙曲線共漸近線，故可先設(shè)出雙曲線系，再把已知點(diǎn)代入，求

得的值即可.

22

解：設(shè)與二一與,=1共漸近線且過(guò)43石3）的

4232

22

雙曲線的方程為「一t=

4232

（3回（_3/11

則---r------7—=，，從而有X=—.

423216

所求雙曲線的方程為占-4二=1.

1199

【例】求雙曲線9y2-16/=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.

解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程

4232

由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)=,虛半軸長(zhǎng)=.

c=7?2+b2=，下+3）=5

焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（，-）,（,）.

離心率e————

a4

34

漸近線方程為X=±[＞，即丁=±1》.

【例】雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小

半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高55m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確

到1m）.

分析：本題建立合適的坐標(biāo)系是關(guān)鍵。注意到通風(fēng)塔有三個(gè)特殊的截口圓：上口、下口、最

小的一個(gè)截口。顯然，最小截口圓的圓心是雙曲線的中心，直徑是雙曲線的實(shí)軸，所以以最

小截口直徑所在直線為軸，圓心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則雙曲線的方程具有最簡(jiǎn)單的形式。

解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，使小圓的直徑'在軸上，圓心與原點(diǎn)重合.這時(shí)，上、下

口的直徑'、'平行于軸，且'X（）,'x（）.

設(shè)雙曲線的方程為0―2虧=1（a>0,b>0）.

a-b-

令點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）,則點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-）.因?yàn)辄c(diǎn)、在雙曲線上，所以

222

250-55)2=1①且丁13y/1②

127八2

解方程組，得

5b

y=—（負(fù)值舍去）

12

252

代入方程①，得二一-J—=1.

122h2

化簡(jiǎn)得

H—=③

解方程③（使用計(jì)算器計(jì)算），得

%（）.

22

所以所求雙曲線方程為e--工=i.

144625

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)有實(shí)際意義的題目.解這類題目時(shí)，首先要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：（）選擇

適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（）將實(shí)際問(wèn)題中的條件借助坐標(biāo)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái).

【例】點(diǎn)（）與定點(diǎn)（）的距離與到/：X=幺的距離之比為常數(shù)￡（c>a〉0），求的軌跡方程.

ca

解：設(shè)是點(diǎn)到直線/的距離.根據(jù)題意得

7（x-c）2+y2c

化簡(jiǎn)，得「一鼻=1（。>0力>0）

ab

這是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

［例］】已知雙曲線的離心率為，求它的兩條漸近線的夾角.

【解】設(shè)實(shí)軸與漸近線的夾角為。，則。，即。4

2

,九.2

??<7—a—JI

33

...兩漸近線的夾角為〃一女2〃王冗.

33

【點(diǎn)評(píng)】（）離心率與。的關(guān)系即。工.

e

2

O要注意兩直線夾角的范圍，否則將有可能誤答為上兀

3

【例】設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)（，）、（，）的距離之差為2m,到軸、軸的距離之比為，求的取值范

由期意儲(chǔ)列

【解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），即土G）.

|x|

二、、三點(diǎn)不共線

*/>,?.

22

.?.點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)、實(shí)軸長(zhǎng)為的雙貢線上".二-一J

m\—m

2/1八

把土代入并整理得哈彩

22

???￡>,?,?一m-(~l-~m~)

l-5/n25

u(,好),

即的取值范圍是（"V5，）

5

X2

【點(diǎn)評(píng)】審清題意,列出土（W）及丁一的解題的關(guān)鍵.

m1-m2

【例】如圖一，已知梯形中，II=II,點(diǎn)分有向線段AC所成的比為3雙曲線過(guò)、、

三點(diǎn)，且以、為焦點(diǎn)，當(dāng)上2W4〈3三時(shí)，求雙曲線離心率的取值范圍.

34

X2

【解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)雙曲線方程為三=.圖一

a

?.?雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，且以、為焦點(diǎn),由雙曲線的對(duì)稱性知、關(guān)于軸對(duì)稱.

依題意，記(一，)，(￡,力)，E(,),

2

其中,，是梯形的高.

2

由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得=(A~2)CAh

2(1+2)T+I

??,點(diǎn)、在雙曲線上，將點(diǎn)、的坐標(biāo)和上代入雙曲線方程

a

得：

①

~4

e2A-2尸-七可②

4A+1

2

由①得：^=---1代入②并整理得：4=e-l

bz4e2+2

2322

又會(huì)444士，得：e-I3

343e?+24

解得V7ww回

...雙曲線離心率的取值范圍為［6,廂］

r?'17、.e1—1'—risfrTfaAL_1+22—2+2,A,+33

.［點(diǎn)評(píng)］4=F——也可整理為=------=-------------=-------2

e2+21-21-21-A

觀察知行WW回.

【例】等軸雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、，垂直于雙曲線實(shí)軸的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn).

求證：

()/+/=°：

()_L,±,

x2

【證明】()不妨設(shè)等軸雙曲線的方程為'

a

設(shè)直線的方程為(>)

如圖一易求得

7a2+〃)圖一

a+b

y/b2-a2lb-i-a

b-ah-a

]

tanNA2X

=（土一N）

2

又N,/均為銳角

???N=0-Z,即N+N=°

根據(jù)對(duì)稱性，：.ZIM+Z2M=°

（）仿（）可求得（，—“2_。2）

--〃2“2―〃2

**kMA.=-7~-------------------7----------------=一

-b+ab-a

同理可證，.

【點(diǎn)評(píng)】利用對(duì)稱性把要證等式轉(zhuǎn)化為證明N+/=°為本題證明的突破口，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化

意識(shí).

22

【例】已知雙曲線＞）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（一）和（）（）是雙曲線上的任一點(diǎn)，求

a'b'

證III1,1II-I,其中是雙曲線的離心率.

22

【證明】雙曲線三一與的兩焦點(diǎn)（一）、（），

a~h~

22

相應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是一幺和幺.

CC

??,雙曲線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離的比等于這個(gè)雙曲線的離心率.

閘II叫

-------7T=e,-------r=e.

a~cr

X（）+——工0-----------

C|C

化簡(jiǎn)得：IIII,III-I.

【點(diǎn)評(píng)】II、II都是雙曲線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離，習(xí)慣稱作焦半徑.IgI,III—I

稱作焦半徑公式.

X2V2

【例】在雙曲線2-上求一點(diǎn)，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍.

169

【解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（），、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn).

:雙曲線的準(zhǔn)線方程為土史.

VIIII,

...在雙曲線的右支上,

?2|PF2|_|PF2|.48

**16-16'5?

%+—x-

55

把史代入方程工-上得：

5169

±|VH9.

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為（日，±|Vn9）

【點(diǎn)評(píng)】此題也可用焦半徑解答.

【例】己知、是過(guò)點(diǎn)（血，）的兩條互相垂直的直線，且、與雙曲線各有兩個(gè)交點(diǎn)，且分別

為、和、.

o求的斜率的取值范圍；

o若恰是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，求的值.

分析：本題涉及了兩個(gè)基本問(wèn)題：一是直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)的判定問(wèn)題，二是直線

被雙曲線截得的弦長(zhǎng)問(wèn)題（連續(xù)曲線上兩點(diǎn)的線段叫曲線的弦）.前一個(gè)問(wèn)題的思想是：直線

,直線方程

與雙曲線相交于兩點(diǎn)O方程組4有兩解；丫一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)根

‘雙曲線方程

O判別式△＞；后一個(gè)問(wèn)題的通常解法是不求交點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)方程組經(jīng)過(guò)消元化為一元二次方程

后，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解，即

一工2）-+（,-、2）-

22

y11+k?yj（x]+x2）—4X1X2

（其中為直線的斜率）.

解：（）據(jù)題意，、的斜率都存在，

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（、反，），且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程組

y=&i（x+&）（&]*0）,

y2-X1=1

有兩個(gè)不同的解.

在方程組①中，消去，整理得

（）V2.②

若，直線與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，與題設(shè)矛盾.故W,即W.

方程②的判別式為

△（V2）（）（）

0.

設(shè)的斜率為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（、分，），且與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程組

y=k2(x+y/2\k2^0),

y2-x2-1

有兩個(gè)不同的解.

在方程組③中消去，整理得

()V2.④

同理有#,△().

因?yàn)?，，所以?，于是、與雙曲線各有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是

3占2-1>。，

3網(wǎng)2-1>0,

喧叫=-1,解得《〈出上點(diǎn)

I

L，

也1*1.

G("\/3，)U(,------)U(-------J)U(,y/3).

33

()雙曲線的頂點(diǎn)為(，)、(，)，取(，)時(shí)，有

(V2).

解得V一2.

2

...工=一行，代入方程④得

V2.⑤

設(shè)與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為()、(),

則山.

2

J1+/?-J(X1+x2)-4x^2

7(-4A/2)2-12=2V15.

當(dāng)取(，)時(shí)，由雙曲線關(guān)于軸對(duì)稱，知

過(guò)雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，岳.

注意：直線方程與雙曲線方程消去后，得()、歷，絕對(duì)不能忽視對(duì)是否為零的討論,

僅僅從形式上認(rèn)為是二次方程而去談?wù)摗骱透c系數(shù)的關(guān)系是毫無(wú)意義的，所以在解題過(guò)程

中用反證法證一下W是非常必要的.

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：

.（年高考文科卷第小題）雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)\、，,則雙曲線的離心

率為（）

-^6

'~T'~T'~T

答案：

.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為9的圓錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，則它的漸近線方程為（）

3

±5±1±1±3

453-4

【解析】

a3a29a3

?.?雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，

雙曲線的漸近線方程為土區(qū).

b

???所求雙曲線的漸近線方程為土三3.

4

【答案】

2

以土一為漸近線的雙曲線方程不可能是（）

3

X（XW且入W）

【答案】

2

,焦點(diǎn)為（，）且與雙曲線三一有相同漸近線的方程是（

)

2

廠22222工2廠22

------y--=]-y------x-=[--y------=[-------y-=]

1224,1224-2412,2412

22

【解析】設(shè)所求雙曲線的方程為二-匯.

222

二?雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（，）在軸上,

:.HV,——A——A9A——.

22

，所求雙曲線方程是匯-二=1.

1224

【答案】

2222

?雙曲線4與與-jy入（入H）有相同的（

a2b2a2

.實(shí)軸.焦點(diǎn).漸近線.以上都不對(duì)

【答案】

.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的五倍，且一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），則雙曲線

的標(biāo)準(zhǔn)方程為（)

22222222

%y-y廠i>廠1y

T~48~~8r

a=2

【解析】由方程組上〃+2。=收?2。

a2+b2=c2

得.

??,雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，

22

.?.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-L.

44

【答案】

.雙曲線與楠圓二+”有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線為一，則雙曲線方程為（）

1664

---160----

22

【解析】由橢圓二+2-得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，一石）、（，V3）.

1664

，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，

?.?雙曲線的一條漸近線為一，

而5

：.（y/3）2a,

,,，

...雙曲線的方程為一.

【答案】

.實(shí)軸長(zhǎng)為右且過(guò)點(diǎn)（，一）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

x2y22yx22xy22yx2

20-7620-l6T6-207?-20

【解析】:Z石,石，

雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則應(yīng)有雙曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)滿足II》店.

而點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不滿足II》店.

.?.雙曲線的焦點(diǎn)應(yīng)在軸上.

27

設(shè)雙曲線的方程為"-0.

20b2

；點(diǎn)（，一）在雙曲線上，

.254.

20b2

...雙曲線的方程為廣—2.

2016

【答案】

.雙曲線的離心率為正，則雙曲線的兩條漸近線的夾角是（）

【解析】由特征三角形知，,

V22

二/。，

???兩漸近線的夾角為。.

【答案】

22

?雙曲線的準(zhǔn)線方程為（）

a2h2

土±"±±從

>ja2+b2yJa2+b2y/a2+b2yla2+b2

【解析】???雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，

2

???雙曲線的準(zhǔn)線方程為土導(dǎo)

yja2+Z?

【答案】

2

.雙曲線^/--V'的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）

97

7257T2523T9

444444

【解析】

雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（土，），準(zhǔn)線方程是土乙9.

.?.雙曲線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為一=0='7和+N925.

4444

【答案】

.準(zhǔn)線方程為土，離心率為五的雙曲線的方程是（）

-----2---------

【解析】?.?雙曲線的準(zhǔn)線方程為土，離心率為五，，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，方程是標(biāo)

準(zhǔn)方程，且空,￡=啦.

.??雙曲線的方程為一二+匯.

22

即一.

【答案】

22

.如果雙曲線二-二上一點(diǎn)到它的右焦點(diǎn)的距離為，那么到它的右準(zhǔn)線距離是（）

6436

75

【解析】雙曲線的離心率設(shè)所求距離為，則§=』,...四.

?84445

【答案】

22

.雙曲線^--匕?=1的實(shí)軸長(zhǎng)等于，虛軸長(zhǎng)等于，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，離心率是，漸近線方程是.

54

3752^/5

答案：眄F(,),(,)

.雙曲線一的一條準(zhǔn)線是，則的值為.

【解析】可知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上

22

雙曲線方程可化為卷-今，

mm

:準(zhǔn)線是???

即_21口

mVm

解得一M4.

3

【答案】一上4

3

.已知雙曲線的離心率等于，且過(guò)點(diǎn)(,),此雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是.

222

答案：/_"=1或5_二=]

32323

T

.雙曲線的焦距是兩準(zhǔn)線間距離的倍，則此雙曲線的離心率等于.

ry2

【解析】???2cX旦.??4%

c

V

【答案】

3

.已知雙曲線的漸近線方程為土則雙曲線的離心率為.

4

【解析】?.?雙曲線的漸近線方程為士±3，，b上;三3或b巳=4?.當(dāng)b巳=3?時(shí)，5-；當(dāng)b上=二4

4a4a3a44a3

時(shí)，-

3

【答案】2或9

43

y~

.若點(diǎn)在雙曲線1上，則到雙曲線的漸近線的距離的取值范圍是.

9

【解析】雙曲線的一條漸近線的方程是，由漸近線的性質(zhì)知，當(dāng)點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)

時(shí)，到漸近線的距離最大，雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（土，），.?.到漸近線的距離的最大值為

|3-0|3V10

VioHo_1

,3加,

【答案】［,-—］

.已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等，則雙曲線的離心率為.

［解析】2a,^a2+b2V2.A-V2.

a

【答案】V2

22

.求與雙曲線之一匕有共同的漸近線，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一，百）的雙曲線方程.

916

22

【解】J?所求雙曲線與雙曲線工-匯有相同的漸近線，

916

22

可設(shè)所求雙曲線的方程為二-二女兒W）.

916

丁點(diǎn)（一，百）在雙曲線上，

..（-3）2（2石）21

??A---------=—.

9164

...所求雙曲線的方程為《-亡.

94

4

.雙曲線《—片與直線一只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值.

94

【解】直線一過(guò)（，一）點(diǎn)，若使直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，必須直線與雙曲線的漸

近線平行或直線與雙曲線相切.

當(dāng)直線與漸近線平行時(shí)，雙曲線的漸近線方程是土』.

3

：.±-.

3

’22

三-上=1

當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，94一=（一）+—=

y=kx-\

△=即()+?(—)?=

解之：=±—

3

綜上可知：=±2或=土』I.

33

22

.過(guò)雙曲線二-匯=的右焦點(diǎn)作一條漸近線的平行線，它與此雙曲線交于一點(diǎn)，求與雙曲線

916

的兩個(gè)頂點(diǎn)、'所構(gòu)成的三角形的面積.

【解】雙曲線的右焦點(diǎn)為（，）,漸近線方程為1±±=.

尸*5）

由22得二—三?

x2V15

=1

916

,SAW，=^2a-|y|=y.

.雙曲線與圓有公共點(diǎn)（，），圓在點(diǎn)的切線與雙曲線的漸近線平行，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解】：點(diǎn)與圓心的連線的斜率為,，.?.過(guò)的切線的斜率為.

4

雙曲線的漸近線方程為土.

2

設(shè)雙曲線方程為x二人.???點(diǎn)（，）在雙曲線上，???1」-入，人2上55.

161616

2,2

.?.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為青-J.

255255

16

綜合發(fā)展：

一對(duì)共輒雙曲線的離心率分別是和，則的最小值為（）

.V2V2

解析：設(shè)這對(duì)共軌雙曲線的方程為

龍2y2y2x2

-5------=1和-------=1(>>)

a2b1b2a2

.y/a2+b2J/+b-

ah

..a2+b2a2+b2,a2+h2

：.0——；—+———+2----------

a"b~ab

=2+瑪+4)+2心+令

ab~ab

》x

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

從而當(dāng)時(shí)，取得最小值，

而且最小值為行.

答案：

3

.一條雙曲線的兩條漸近線的夾角為一，則該雙曲線的離心率為（）

2

4

解析：兩條直線夾角指的是兩條直線相交所成的銳角或直角，設(shè)兩條漸近線的夾角是0,

則。士，從而

424

一，或巴

2ah

a4h4

或e=

即：±或2

43

答案：

.雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是（，一）、（，），離心率為，則雙曲線的方程為（）

9x29y29y29x29x29y29y29x2

而一正而一商F-而72?-7OO

【解析】V,-,

.12

"T

125

V

:雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,

雙曲線的方程為樂(lè)

~9~V

【答案】

.平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)2a,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）

.雙曲線.雙曲線或兩條射線

?兩條射線.橢圓

【解析】2?II時(shí)為兩條射線；2?<II時(shí)為雙曲線.

【答案】

.如果雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，有），且它的兩條漸近線方程是土，那么該雙曲線的方程是（）

x2x2x2x2y2

VTT

【解析】設(shè)雙曲的方程為二人，???點(diǎn)（，J5）在雙曲線上，...二（、回）入，X.

99

【答案】

22

.設(shè)雙曲線毛-勺=（<<）的半焦距為，設(shè)直線過(guò)（）和（，）兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線的距離

crb~

為旺,則雙曲線的離心率為（）

4

,73.V2.迪

3

【解析】由題意：—,/.（-）=—

416

整理得：一+=,解之得=或=?4

3

又<<=><—2=>c>2a=>>

故=,.

【答案】

.已知雙曲線的漸近線方程為土，一條準(zhǔn)線方程為，則雙曲線的方程為（）

>2x2x2y2y2x2x2y2

VI?Tl?V25T-25

b4a292x2

【解析】由2=2及L=得，，，.?.雙曲線的方程為2v----------.

a3c5916

【答案】

%2y2

.如果雙曲線——二上一點(diǎn)陣字庫(kù)到左焦點(diǎn)的距離為，則到右準(zhǔn)線的距離為（）

25144

702595

-B1313

【解析】雙曲線的離心率為二13.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則由焦半徑公式得

5

B13.70

5513

右準(zhǔn)線的方程為一，，到右準(zhǔn)線的距離為-------.

【答案】

.雙曲線的焦點(diǎn)是(土病)，漸近線方程是±3,則它的兩條準(zhǔn)線間的距離是()

2

【解析】?/726,-=-',二=2,兩準(zhǔn)線間的距離為生=芻宿.

a2a24-c13

【答案】

.雙曲線的兩條準(zhǔn)線把兩焦點(diǎn)所連線段三等分，則它的離心率為()

【解析】VX—=lx2c,

c3

:.3=6

a

【答案】

.已知點(diǎn)在雙曲線-------上，則(

916

到雙曲線中心的距離的最小值為

到雙曲線的準(zhǔn)線的最小距離為

到雙曲線的焦點(diǎn)的最小距離為

到雙曲線的焦點(diǎn)既沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值

【解析】???，，.?.....雙曲線的一個(gè)焦半徑公式為上c士5.

：2或?，.?.當(dāng)時(shí)，.

【答案】

.對(duì)于雙曲線>J4?+從)填充下列各題:

()它的準(zhǔn)線與漸近線交點(diǎn)到中心的距離等于；

()它的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于；

()它的虛軸的端點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于；

()它的焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離等于；

()當(dāng)離心率并五時(shí)，用表示兩漸近線的夾角的正切的表達(dá)式是.

b22-Je2-1

【答案】()()()()—()；「

c2"

.準(zhǔn)線方程為，相應(yīng)的焦點(diǎn)為(,)的等軸雙曲線方程是.

【解析】等軸雙曲線的離心率后，由雙曲線的第二定義,

K+y-1

得方程為7(x-l)2+(y-l)2=V2.，化簡(jiǎn)吟

【答案】-

2

22

.雙曲線「-與的準(zhǔn)線和漸近線的交點(diǎn)到雙曲線中心的距離等于.

02h2

【答案】

22

.雙曲線二-2-上有點(diǎn)，、是雙曲線的焦點(diǎn)，且/工，則△的面積是.

1693

【解析】,：2a2c,

/.（I1-1I）,①

在中，由余弦定理得IIII-II?II工②

3

①一②并整理得II?II.

*'?S&F、PF,^???II?

~23

3

【答案】V3

.已知雙曲線一上一點(diǎn)到左右焦點(diǎn)的距離之比為：，求點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離.

閥1=小用

【解】設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則有