輔導(dǎo)八：銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題

銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與訓(xùn)練1、勾股定理：直角三角形兩直角邊、的平方和等于斜邊的平方。2、如下圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，則∠A的銳角三角函數(shù)為(∠A可換成∠B)：定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)SinA=cosAtanA對(duì)邊鄰邊斜邊AC對(duì)邊鄰邊斜邊ACB4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數(shù)值(重要)三角函數(shù)0°30°45°60°90°011001-5、正弦、余弦的增減性：當(dāng)0°≤≤90°時(shí)，sin隨的增大而增大，cos隨的增大而減小。6、正切的增減性：當(dāng)0°<<90°時(shí)，tan隨的增大而增大，7、解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個(gè)，其中必有一邊）→所有未知的邊和角。依據(jù)：①邊的關(guān)系：；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義。(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)8、應(yīng)用舉例：(1)仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。(2)坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般寫成的形式，如等。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。3、從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC、OD的方向角分別是：45°、135°、225°。4、指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4,OA、OB、OC、OD的方向角分別是：北偏東45°（東北方向），南偏東45°（東南方向），南偏西45°（西南方向），北偏西45°（西北方向）。類型一：直角三角形求值例1．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．例2．已知：如圖，⊙O的半徑OA＝16cm，OC⊥AB于C點(diǎn)，求：AB及OC的長(zhǎng)．例3.已知是銳角，，求，的值對(duì)應(yīng)訓(xùn)練：1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=，則tanA的值為A．B．C．D．21．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinA=_______.2．正方形網(wǎng)格中，如圖放置，則tan的值是（）A．EQ\F(EQ\R(,5),5) B.EQ\F(2EQ\R(,5),5)C.EQ\F(1,2)D.2類型五:取特殊角三角函數(shù)的值1）.計(jì)算：．2）計(jì)算：.3)計(jì)算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°4)．計(jì)算：．5)．計(jì)算：；類型六：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用例1．如圖，從熱氣球C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30°、45°，如果此時(shí)熱氣球C處的高度CD為100米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．已知：如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在A點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在B點(diǎn)；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在D點(diǎn)．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．點(diǎn)D到地面的垂直距離，求點(diǎn)B到地面的垂直距離BC．例3如圖，一風(fēng)力發(fā)電裝置豎立在小山頂上，小山的高BD=30m．從水平面上一點(diǎn)C測(cè)得風(fēng)力發(fā)電裝置的頂端A的仰角∠DCA=60°，測(cè)得山頂B的仰角∠DCB=30°，求風(fēng)力發(fā)電裝置的高AB的長(zhǎng)．對(duì)應(yīng)訓(xùn)練:1.如圖，為測(cè)量某物體AB的高度，在D點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°，朝物體AB方向前進(jìn)20米，到達(dá)點(diǎn)C，再次測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，則物體AB的高度為（）A．10米B．10米C．20米D．米2．如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向，距離燈塔100海里的A處，它計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處.（1）B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（2）圓形暗礁區(qū)域的圓心位于PB的延長(zhǎng)線上，距離燈塔200海里的O處．已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里，進(jìn)入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險(xiǎn)．請(qǐng)判斷若海輪到達(dá)B處是否有觸礁的危險(xiǎn)，并說明理由．類型七:三角函數(shù)與圓：例1．已知：如圖，BC是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)C，AB交⊙O于點(diǎn)D，若AD︰DB＝2︰3，AC＝10，求sinB的值．例2.已知：在⊙O中,AB是直徑，CB是⊙O的切線，連接AC與⊙O交于點(diǎn)D,求證：∠AOD=2∠C若AD=8，tanC=，求⊙O的半徑。對(duì)應(yīng)訓(xùn)練:1.如圖，DE是⊙O的直徑，CE與⊙O相切，E為切點(diǎn).連接CD交⊙O于點(diǎn)B，在EC上取一個(gè)點(diǎn)F，使EF=BF.（1）求證:BF是⊙O的切線;（2）若,DE=9，求BF的長(zhǎng)．2．已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)B作⊙O的切線，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠EBC＝2∠C．①求證：AB＝AC；②若tan∠ABE＝，（?。┣蟮闹担唬áⅲ┣螽?dāng)AC＝2時(shí)，AE的長(zhǎng)．復(fù)習(xí)題如圖4，沿折疊矩形紙片，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處．已知，，AB=8,則的值為()Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．圖4圖5圖6如圖5，在直角坐標(biāo)系中，將矩形沿對(duì)折，使點(diǎn)落在處，已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）如圖6，在等腰直角三角形中，，，為上一點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為()A．B．C．D．如圖8，中，,是直角邊上的點(diǎn)，且,，則邊的長(zhǎng)為．如圖10，在矩形中，、、、分別為、、、的中點(diǎn)，若，四邊形的周長(zhǎng)為，則矩形的面積為______．圖10圖10圖圖12圖8如圖12所示，中，，于，，，則____．等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，則底角的余弦值為______.等腰三角形的三邊的長(zhǎng)分別為1、1、，那么它的底角為A.15° B.30°C.45°D.60°ABC中，∠A=60°，AB=6cm，AC=4cm，則△ABC的面積是A.2cm2 B.4cm2C.6cm2 D.12cm2在菱形ABCD中，，AC=4,則BD的長(zhǎng)是（）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分線AD=求∠B的度數(shù)及邊BC、AB的長(zhǎng).圖13在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，海桂學(xué)校初三數(shù)學(xué)老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)萬(wàn)泉河河寬，如圖13所示，某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)處觀測(cè)到河對(duì)岸水邊有一點(diǎn)，測(cè)得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行20米到達(dá)處，測(cè)得在北偏西的方向上，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助該同學(xué)計(jì)算出這條河的寬度．圖13（參考數(shù)值：tan31°≈，sin31°≈）