2023-2024學(xué)年廣東省惠州一中高一（下）第一次段考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年廣東省惠州一中高一（下）第一次段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量a=(1,m)，b=(A.12 B.?12 C.?2.復(fù)數(shù)z滿足(1?i)2z=A.14 B.12 C.23.已知sin(π6+α)A.?14 B.12 C.24.設(shè)f(x)=x3+lg(x+A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要5.已知a，b是夾角為120°的兩個(gè)單位向量，若向量a+λb在向量a上的投影向量為2aA.?2 B.2 C.?26.在△ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若A=120°，aA.263 B.2337.若函數(shù)f(x)=2xA.0 B.12 C.2 D.8.已知fx是定義在R上的函數(shù)，且fx+1關(guān)于直線x=?1對(duì)稱.當(dāng)x≥0時(shí)，fx=2A.?14,0 B.12,二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z1，z2，則下列結(jié)論正確的有(

)A.z12=z1?2 B.10.已知點(diǎn)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且AOA.AO=12AB+34AC

B.直線AO必過(guò)BC邊的中點(diǎn)

C.11.已知函數(shù)f(x)=sin(ωxA.f(2π3)=0

B.若f(5π6?x)=f(x)，則函數(shù)f(x)的最小正周期為π

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若集合A={(x,y)|y13.山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)(如圖1)，其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號(hào)“∞”完美嵌入其中，寓意無(wú)限未知、無(wú)限發(fā)展、無(wú)限可能和無(wú)限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測(cè)量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無(wú)人機(jī)在點(diǎn)C測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為75°，30°，隨后無(wú)人機(jī)沿水平方向飛行600米到點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A和點(diǎn)B的俯角分別為45°和60°(A,B,C,14.某同學(xué)向王老師請(qǐng)教一題：若不等式x?4ex?alnx≥x+1對(duì)任意x∈(1,+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=(1,2)．

(1)若|c|=25，且c//a，求向量16.(本小題15分)

△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，且AD?AC=0,sin∠BAC=217.(本小題15分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量m=(b,a+c)，n=(b?c,c?a)，m⊥n．

(1)若a=8，18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=2x，g(x)=(2?lnx)?lnx+b(b∈R)，記h(x)=f(19.(本小題17分)

對(duì)于集合A={θ1,θ2,…,θn}和常數(shù)θ0，定義：μ=cos2(θ1?θ0)+cos2(θ2?θ0)+…+cos2(θn?θ0答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由于a⊥b，

所以a?b=?1+2m=2.【答案】C

【解析】解：(1?i)2z=1+i，

則?2iz=1+i，

3.【答案】B

【解析】解：∵sin(π6+α)=14，

∴c4.【答案】C

【解析】解：∵f(x)=x3+lg(x+x2+1)，

∴f(?x)=?f(x)，

∴f(x)為奇函數(shù)，

∵x>0時(shí)，y=x3，y=lg(x5.【答案】A

【解析】解：向量a+λb在向量a上的投影向量為2a，

則(a+λb)?a|a|×a|a|=2a，即(a+6.【答案】B

【解析】解：由A=120°，a=1，代入余弦定理可得：

1=b2+c2+bc=7.【答案】A

【解析】解：當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=2x,x<14x2,x≥1，此時(shí)函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，選項(xiàng)A不合題意；

當(dāng)a=12時(shí)，f(x)=2x?12,x<14(x?128.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題，結(jié)合條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，以及利用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．

根據(jù)對(duì)稱性，先判斷函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式判斷函數(shù)f【解答】

解：∵f(x+1)關(guān)于直線x=?1對(duì)稱，∴向右平移一個(gè)單位得到f(x)關(guān)于直線x=0對(duì)稱，即f(x)是偶函數(shù)，

當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)=2?log2x為減函數(shù)，且f(x)≤2?log22=2?1=1，

當(dāng)0≤x<2時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知f(x)為減函數(shù)，且1<f(9.【答案】BC【解析】解：對(duì)于A，取z1=1+i，則z12=2i，z1?2=(1?i)2=?2i，z12≠z1?2，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，設(shè)z1=a+bi(a,b∈R10.【答案】AC【解析】【分析】本題考查了向量的加減與數(shù)乘混合運(yùn)算、

利用向量的數(shù)量積求向量的模、向量的數(shù)量積的概念及其運(yùn)算、向量的數(shù)量積與向量的垂直關(guān)系、平面向量共線定理與三點(diǎn)共線問(wèn)題，屬于較難題．

①根據(jù)題意利用向量的加減與數(shù)乘混合運(yùn)算，即可判斷A選項(xiàng)．②設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D，連接OD，并延長(zhǎng)OD交AB于點(diǎn)E，設(shè)AO與BC交于點(diǎn)F，利用向量的加減與數(shù)乘混合運(yùn)算，結(jié)合A選項(xiàng)的結(jié)論判斷OD與OA是否共線，即可判斷B選項(xiàng)．③由△ODF∽△ACF推導(dǎo)|BF||FC|=32，進(jìn)而可得S△【解答】

解：①因?yàn)锳O+2OB+3OC=0，所以AO+2(OA+AB)+3(OA+AC)=0，

所以4AO=2AB+3AC，所以AO=12AB+34AC，故A正確．

②如圖所示，設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D，連接OD，并延長(zhǎng)OD交AB于點(diǎn)E，設(shè)AO與BC交于點(diǎn)F，

則OD=12(OB+OC)=12(OA+AB11.【答案】AB【解析】解：A，∵(7π12,3π4)?(7π12,5π6)，∴f(x)在(7π12,3π4)上單調(diào)，

又f(7π12)=?f(3π4),7π12+3π42=2π3，∴f(2π3)=0，故A正確；

B，區(qū)間(7π12,5π6)右端點(diǎn)x=5π6關(guān)于x=2π3的對(duì)稱點(diǎn)為x=π2，

∵f(2π3)=0,f(x)在(7π12,5π6)上單調(diào)，根據(jù)正弦函數(shù)圖像特征可知f(x)在(π2,5π6)上單調(diào)，

∴5π6?π2=π3?T2=12?2π|ω|(T為f(x)的最小正周期，即|ω|?3，

又ω>0，∴0<ω?3.若f(5π6?x)=f(x)，

12.【答案】3

【解析】解：∵集合A={(x,y)|y=2x2?3x+1}，

B={(x,y)|y=x}13.【答案】100【解析】解：由題意，∠DCB=30°，∠CDB=60°，所以∠CBD=90°，

所以在Rt△CBD中，BD=12CD=300BC=32CD14.【答案】(?【解析】解：x?4ex?alnx≥x+1，即exx4?alnx≥x+1，

令f(x)=exx4?alnx?x?1，(x>1)，

函數(shù)h(x)=x?4lnx在(1,+∞)有零點(diǎn)，設(shè)為x0，

則h(x0)=x0?4lnx0=015.【答案】解：(1)設(shè)c=λa，∴|c|=|λ||a|，

∵a=(1,2)．

∴25=|λ|?5

∴λ【解析】(1)設(shè)c=λa，則|c|=|λ||a|，求出λ，即可求向量c16.【答案】解：(Ⅰ)由AD?AC=0得到：AD⊥AC，

所以sin∠BAC=sin(π2+∠BAD)=cos∠BAD，

所以cos∠BAD=223．

在△ABD中，由余弦定理可知，BD2【解析】(Ⅰ)直接利用向量垂直的充要條件和余弦定理求出結(jié)果．

(Ⅱ)利用正弦定理和三角形函數(shù)關(guān)系式的變換求出結(jié)果．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量垂直的充要條件，余弦定理的正弦定理的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．17.【答案】解：∵m⊥n.∴m?n=(b,a+c)?(b?c,c?a)=b2?bc+c2?a2=0，即有bc=b2+c2?a2，

則cosA=b2+c2?a2bc=12，所以A=π3，

(1)∵AB?AC=8，即bccosA=8，

∴12bc=8【解析】(1)由條件可得A=π3，bc=16，進(jìn)而由余弦定理可求出b2+c2=80，分別利用余弦定理表示出cos∠ADB，cos18.【答案】解：(1)若h(x0)=83，即為2x0?12x0=83，

即有(2x0?3)(3?2x0+1)=0，

可得2x0=3，解得x0=log23；

(2)h(x)=2x?2?x，h′(x)=2xln2+2?xln2>0，

h(x)在[1,【解析】(1)由h(x)和f(x)的解析式，解方程可得；

(2)分別求得h(x)的單調(diào)性，可得最小值，g(x)19.