募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)2

第六章募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

第6.3.2節(jié)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)與應(yīng)用

教材分析

教材是以具體問題為背景，是從指數(shù)運算與對數(shù)運算的互逆關(guān)系出發(fā)，引進了對數(shù)的概念，進

而建立了對數(shù)函數(shù)的概念，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)與論證對數(shù)的運算性質(zhì)、研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)提供了方便.這

種圍繞核心問題，按照“問題情境——數(shù)學(xué)活動——意義建構(gòu)——數(shù)學(xué)理論——數(shù)學(xué)應(yīng)用——回顧反

思''的順序，不斷通過對問題串的探究學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度，用自相似的研究方式，對核心

問題進行多重研究.在體現(xiàn)基本初等函數(shù)工具性作用時，突出了理性分析和嚴格的推理過程.達到

培養(yǎng)創(chuàng)新思維和理性思維的目的.

教學(xué)目標與核心素養(yǎng)

課程目標學(xué)科素養(yǎng)

1.掌握對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法及a數(shù)學(xué)抽象：對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法.

單調(diào)性的判定方法.b邏輯推理：對數(shù)型復(fù)合函數(shù)奇偶性的判定.

2.掌握對數(shù)型復(fù)合函數(shù)奇偶性的判定方法.c數(shù)學(xué)運算：求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的參數(shù)的取值范圍、對

3.會解簡單的對數(shù)不等式.數(shù)型不等式的解法.

教學(xué)重難點

1.教學(xué)重點：對數(shù)型復(fù)合函數(shù)奇偶性的判定.

2.教學(xué)難點：對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法.

課前準備

1.已知a=logo.60.5,6=ln0.5,c=0.605,則()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

答案B

解析：丫二心8。"在(0,+co)上為減函數(shù)，

/.logo.60.6<logo,60.5,即a>l.

同理，ln0.5<lnl=0,即*0.

V0<0.6°-5<0.6°,即0<c<l,

a>c>b.

2.已知集合4=0丁=地(2—x)+lg尤},B={y\y=2x,尤>0},R是實數(shù)集，貝U(CR8)nA等于()

A.[0,1]B.(0,1]

C.(-00,0]D.以上都不對

答案B

［2-x>0,

解析由八得0<x<2,

卜>0,

故4={鄧）<%<2},由尤>0,得2工>1,

故”{%>1},CRB={J|J<1}；

則（CRB）ru={x|o〈啟1}.

3.設(shè)/（x）=lgx,若7（1—4）—八°）>0,則實數(shù)。的取值范圍為.

答案（。，0

解析因為人1—/a）,/（x）=lgx單調(diào)遞增，

1—a>a,

所以<1—'“乂），解得0<。?,

、。>0,

即實數(shù)。的取值范圍為

4.函數(shù)於）=log喬聲?>0,且存1）,共2）=3,則八一2）的值為

答案一3

3—x

解析：立一>0，，一3<x<3,

3十無

??/x）的定義域關(guān)于原點對稱.

3-Hx3—x

"?'/—X）=log宇G=.log可同=-fix），

函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，

.?優(yōu)—2）=一六2）=—3.

教學(xué)過程

類型一對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

命題角度1求單調(diào)區(qū)間

例1求函數(shù)y=log］（l—忖）的單調(diào)區(qū)間.

2

解令1一|尤|>0,即|尤|<1.

解得J=logl（l-|x|）的定義域為（一1,1）.

110§11+x—l<x<0,

y=log］（l-岡）=|’

21%l-x0<x<1.

在區(qū)間（一1,0］上，y=l+無為增函數(shù),

故y=log](l+x)為減函數(shù).

2

同理在區(qū)間(0,1)±y=logI(1-X)為增函數(shù)，

2

y=logi(l一國)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(一1,0].

2

點評：求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性要抓住兩個要點：(1)單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集，哪怕一個端點都

不能超出定義域.

(2次c),g(x)單調(diào)性相同，則Hg(x))為增函數(shù)；次尤)，g(x)單調(diào)性相異，則/(g(x))為減函數(shù)，簡稱“同增

異減”.

跟蹤訓(xùn)練1求y=ln二7的單調(diào)區(qū)間.

X—1

解y=ln■的定義域為(1，+℃)>在區(qū)間(L+8)上，為減函數(shù)，

**.j=ln也為減函數(shù)?

；.y=ln占的減區(qū)間為(1,+oo),沒有增區(qū)間.

命題角度2已知復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍

例2已知函數(shù)y=log](x2—ax+a)在區(qū)間(一oo,也)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

2

解令g(無尸%2—(zr+a,g(x)在(一8,卷上是減函數(shù)，

y=log]g(x)是減函數(shù)，而已知復(fù)合函數(shù)y=logi(x2—mba)在區(qū)間(一8,陋)上是增函數(shù)，

22

只要g(%)在(一④，表)上單調(diào)遞減，且g(x)>0在xd(—8,g)上恒成立，

即，-2=r(22—y[2a+a>0,))

〔gr(2

：.2y[2<a<2(y[2+l),

故所求a的取值范圍是[2吸，2(^2+1)].

點評：若a>l,則y=log/x)的單調(diào)性與y=/(x)的單調(diào)性相同，若則y=log次x)的單調(diào)性

與>=/(尤)的單調(diào)性相反.另外應(yīng)注意單調(diào)區(qū)間必須包含于原函數(shù)的定義域.

跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)式x)=log“(6—依)在[0,2]上為減函數(shù)，則a的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,3)

C.(1,3]D.[3,+oo)

答案B

解析函數(shù)由y=loga","=6—ar復(fù)合而成，因為a>0,所以〃=6—ax是減函數(shù)，那么函數(shù)y=loga〃

就是增函數(shù)，所以。>1,因為[0,2]為定義域的子集，所以當尤=2時，a=6一3取得最小值，所以6

~2a>Q,解得a<3,所以l<a<3.故選B.

類型二對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性

例3判斷函數(shù)八元）=In彳二;的奇偶性.

解由U>0可得一2<X<2,

所以函數(shù)的定義域為（一2,2）,關(guān)于原點對稱.

、、上2+x(2—x2-x

萬法一y(—x)=ln^ZG=ln|

2+x,

=一/（x）,

即五-x）=-Ax），

2—JC

所以函數(shù)式x）=ln不是奇函數(shù).

D—YQ-X

方法二八無)+/(—%)=In汗^+ln或Q

(2—x2+xA

=ln(2+x2-xJ=ln1=0,

即人一無）=-A%），

所以函數(shù)式x）=ln4是奇函數(shù).

引申探究

Z7--X

若已知知）=ln4為奇函數(shù)，則正數(shù)a,6應(yīng)滿足什么條件?

〃一工

解由>0得一b<x<a.

b~\~x

??7（x）為奇函數(shù)，：.~（~b）=a,即〃=6.

a—JQ

當a=b時,危）=ln丁jQ.

,a-\-x,a~x

fi-x）+危）=In-----+In?

八八a-xa-rx

（a-\~xg—x\

叫〃一1a-\-x）

=ln1=0,

???有/（—%）=—#x），

?,?此時月%）為奇函數(shù).

故危）為奇函數(shù)時，a=b.

點評：（1）指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)都是非奇非偶函數(shù)，但并不妨礙它們與其他函數(shù)復(fù)合成奇函數(shù)（或偶

函數(shù)）.

⑵含對數(shù)式的奇偶性判斷，一般用1%）切：—x）=0來判斷，運算相對簡單.

跟蹤訓(xùn)練3判斷函數(shù)/u)=ig(qiT)一尤)的奇偶性.

解方法一由，F(xiàn)”一X>0可得XGR,

所以函數(shù)的定義域為R且關(guān)于原點對稱，

又八一X)=lg(。1+f+x)

=lg錯誤！

=lgVifc

=—IgC,l+x2—X)=-fix),

即人-x)=-7(x).

所以函數(shù)/(尤)=lgNl+x2—x)是奇函數(shù).

方法二由Nl+f一彳>0可得xeR,

fix)+1穴一X)=IgN1+——x)+lg(-\J14-X2+x)

=lg[(61+f—x)(61+6+x)]

=lg(l+x2—

所以八—x)=一/(x)，

所以函數(shù)式尤)=Igc/l+x2—X)是奇函數(shù).

類型三簡單的對數(shù)型不等式的解法

例4已知函數(shù)ytr)=loga(l一爐)(a>0,且(#1),解關(guān)于X的不等式loga(l一爐)>式1).

解"."y(x)=logfl(l—^)..\/U)=loga(l—。)，

；.1一。>0,.?.0<a<l,

1

；?不等式可化為loga(1—tr)>loga(1—a).

：.\BP..,.0<x<l.

x

〔11爐VI—〃，[a>af

.??不等式的解集為(0,1).

點評：對數(shù)不等式解法要點

(1)化為同底log忒X