2023-2024學(xué)年甘肅天水一中高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年甘肅天水一中高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．2．展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為A．1 B．11 C．-19 D．513．設(shè)，，則（）A． B．C． D．4．函數(shù)的最大值為，最小正周期為，則有序數(shù)對為（）A． B． C． D．5．一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大小是（）A． B． C． D．6．函數(shù)的最小正周期是，則其圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是（）A． B． C． D．7．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”意思為有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請問第二天比第四天多走了（）A．96里 B．72里 C．48里 D．24里8．己知函數(shù)的圖象與直線恰有四個(gè)公共點(diǎn)，其中，則（）A． B．0 C．1 D．9．若為虛數(shù)單位，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（）A．E B．F C．G D．H10．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．21 B．22 C．11 D．1211．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動的概率為A． B． C． D．12．已知函數(shù)（），若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在平面四邊形中，點(diǎn)，是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，記和的面積分別為，，則______.14．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為__________.15．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，則__________.16．如圖，四面體的一條棱長為，其余棱長均為1，記四面體的體積為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是____；最大值為____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，，且．（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，直線的斜率都存在，且，求的值．18．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）在如圖所示的多面體中，平面平面，四邊形是邊長為2的菱形，四邊形為直角梯形，四邊形為平行四邊形，且，，（1）若分別為，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若，與平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值．20．（12分）如圖，已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率，過右焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率分別為，求證：為定值.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，將曲線經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）說明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，又直線上有兩點(diǎn)和，且，又點(diǎn)的極角為，點(diǎn)的極角為銳角.求：①點(diǎn)的極角；②面積的取值范圍.22．（10分）設(shè)，，，.（1）若的最小值為4，求的值；（2）若，證明：或.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

求出，進(jìn)而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知，.則所以，則向量與的夾角為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時(shí)，通常代入公式進(jìn)行計(jì)算.2、B【解析】

展開式中的每一項(xiàng)是由每個(gè)括號中各出一項(xiàng)組成的，所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，有3種情況：（1）5個(gè)括號都出1，即；（2）兩個(gè)括號出，兩個(gè)括號出，一個(gè)括號出1，即；（3）一個(gè)括號出，一個(gè)括號出，三個(gè)括號出1，即；所以展開項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理知識的生成過程，考查定理的本質(zhì)，即展開式中每一項(xiàng)是由每個(gè)括號各出一項(xiàng)相乘組合而成的.3、D【解析】

由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，，則，且，所以，，又,即,則，即，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】函數(shù)（為輔助角）∴函數(shù)的最大值為，最小正周期為故選B5、D【解析】

設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式,進(jìn)而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由三角函數(shù)的周期可得，由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為，再求其對稱軸方程即可.【詳解】解：函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)，經(jīng)過平移后得到函數(shù)解析式為，由，得，當(dāng)時(shí)，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.7、B【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，計(jì)算，代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，則，解得，從而可得，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.8、A【解析】

先將函數(shù)解析式化簡為，結(jié)合題意可求得切點(diǎn)及其范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，即可求得的值.【詳解】函數(shù)即直線與函數(shù)圖象恰有四個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象知直線與函數(shù)相切于，，因?yàn)椋?，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由交點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)值，屬于難題.9、C【解析】

由于在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，然后將代入化簡后可找到其對應(yīng)的點(diǎn).【詳解】由，所以，對應(yīng)點(diǎn).故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對就關(guān)系，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

由題意知成等差數(shù)列，結(jié)合等差中項(xiàng)，列出方程，即可求出的值.【詳解】解：由為等差數(shù)列，可知也成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差中項(xiàng).對于等差數(shù)列，一般用首項(xiàng)和公差將已知量表示出來，繼而求出首項(xiàng)和公差.但是這種基本量法計(jì)算量相對比較大，如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，可使得計(jì)算量大大減少.11、B【解析】

求得基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動的基本事件個(gè)數(shù)為,利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動，基本事件的總數(shù)為，其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動的基本事件個(gè)數(shù)為,所以乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動的概率為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算問題，其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識求得基本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

分段求解函數(shù)零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，分類討論即可求得結(jié)果.【詳解】作出和，的圖像如下所示：函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與有三個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)?，且由圖可知，當(dāng)時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，故只需當(dāng)時(shí)，與有一個(gè)交點(diǎn)即可.若當(dāng)時(shí)，時(shí)，顯然??=??(??)與??=4|??|有一個(gè)交點(diǎn)??，故滿足題意；時(shí)，顯然??=??(??)與??=4|??|沒有交點(diǎn)，故不滿足題意；時(shí)，顯然??=??(??)與??=4|??|也沒有交點(diǎn)，故不滿足題意；時(shí)，顯然與有一個(gè)交點(diǎn)，故滿足題意.綜上所述，要滿足題意，只需.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上，然后設(shè)出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo)，再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，直徑為，又A、C關(guān)于x軸對稱，所以圓心E在x軸上，設(shè)圓心E為，則圓的方程為，聯(lián)立橢圓方程消y得，解得，故B的橫坐標(biāo)為，又B、D中點(diǎn)是E，所以D的橫坐標(biāo)為，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問題，考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo)，是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.14、【解析】

由題意可知半球的半徑與正四棱錐的高相等，可得正四棱錐的棱與半徑的關(guān)系，進(jìn)而可寫出半球的半徑與四棱錐體積的關(guān)系，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】設(shè)所給半球的半徑為，則四棱錐的高，則，由四棱錐的體積，半球的體積為：.【方法點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.15、【解析】

根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，首先求得，然后求得.【詳解】設(shè)的公比為，由，得，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.16、(或?qū)懗?【解析】試題分析：設(shè)，取中點(diǎn)則,因此,所以，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，最大值為所以單調(diào)增區(qū)間是，最大值為考點(diǎn)：函數(shù)最值，函數(shù)單調(diào)區(qū)間三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）不妨設(shè)，，計(jì)算得到，根據(jù)面積得到，計(jì)算得到答案.（2）設(shè)，，，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理得到，，代入化簡計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由題意不妨設(shè)，，則，．∵，∴，∴．又，∴，∴，，故的方程為．（2）設(shè)，，，則．∵，∴，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得．∵在上，∴，∴上式可化為．∴，，，∴，，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，定值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18、（1）；（2）【解析】

（1）分類討論去絕對值號，即可求解；（2）原不等式可轉(zhuǎn)化為在R上恒成立，分別求函數(shù)與的最小值，根據(jù)能同時(shí)成立，可得的最小值，即可求解.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí),不等式可化為,得，無解；②當(dāng)-2≤x≤1時(shí),不等式可化為得x>0,故0<x≤1;③當(dāng)x>1時(shí),不等式可化為,得x<2,故1<x<2.綜上，不等式的解集為（2）由題意知在R上恒成立，所以令，則當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，取得最小值，且又所以當(dāng)時(shí)，與同時(shí)取得最小值.所以所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對值不等式的解法，分類討論，函數(shù)的最值，屬于中檔題.19、(1)見解析(2)【解析】試題分析：（1）第（1）問，轉(zhuǎn)化成證明平面,再轉(zhuǎn)化成證明和.(2)第（2）問，先利用幾何法找到與平面所成角，再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標(biāo)系，求出二面角的余弦值.試題解析：（1）連接,因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平?又平面，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以平?因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以，所以平面（2）設(shè)，由（1）得平面.由，，得，.過點(diǎn)作，與的延長線交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示，又，所以為等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，故平面.因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，所以，所以平?又因?yàn)?，所以平?因?yàn)?，所以平面平?由（1），得平面，所以平面，所以.因?yàn)?，所以平面，所以是與平面所成角.因?yàn)?，，所以平面，平面，因?yàn)椋云矫嫫矫?所以，，解得.在梯形中，易證，分別以，，的正方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，由，及，得，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得令，得m=(3,1,2)設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得令，得.所以又因?yàn)槎娼鞘氢g角，所以二面角的余弦值是.20、（1）；（2）詳見解析.【解析】

（1）由橢圓離心率、系數(shù)關(guān)系和已知點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)建方程組，求得，代入標(biāo)準(zhǔn)方程中即可；（2）依題意，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)其為，則直線的方程為，設(shè)，，通過聯(lián)立直線方程與橢圓方程化簡整理和中點(diǎn)的坐標(biāo)表示用含k的表達(dá)式表示，，進(jìn)而表示；由韋達(dá)定理表示根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)而表示用含k的表達(dá)式表示，最后做比即得證.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，即，所以.依題意，，即，解得，所以，.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：依題意，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)其為，則直線的方程為，設(shè)，.與橢圓聯(lián)立整理得，故所以，，所以.又，所以為定值，得證.【點(diǎn)睛】本題考查由離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了橢圓中的定值問題，屬于較難題.21、（1）曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.的極坐標(biāo)方程為（2）①②【解析】

（1）求得曲線伸縮變換后所得的參數(shù)方程，消參后求得的普通方程，判斷出對應(yīng)的曲線，并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）①將的極角代入直線的極坐標(biāo)方程，由此求得點(diǎn)的極徑，判斷出為等腰三角形，求得直線的普通方程，由此求得，進(jìn)而求得，從而求得點(diǎn)的極角.②解法一：利用曲線的參數(shù)方程，求得曲線上的點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的知識求得的最小值和最大值，由此求得面積的取值范圍.解法二：根據(jù)曲線表示的曲線，利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點(diǎn)到直線的