傾斜角與斜率（教學(xué)設(shè)計(jì)）高二數(shù)學(xué)系列（人教A版2019選擇性）

傾斜角與斜率(教學(xué)設(shè)計(jì))

一、內(nèi)容及內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

本章內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》人教A版(2019)第二章《直線(xiàn)和

圓的方程》的包括兩部分.第一部分是直線(xiàn)的方程，包括“直線(xiàn)的傾斜角與斜率”“2.2直線(xiàn)的方程”

直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式"3節(jié)；第二部分是圓的方程，包括圓的方程”“2.5直線(xiàn)與圓、圓與

圓的位置關(guān)系”2節(jié).

2.內(nèi)容解析

(1)內(nèi)容的本質(zhì)

在學(xué)生親身體驗(yàn)直線(xiàn)的傾斜角與斜率這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念形成的過(guò)程。因?yàn)閿?shù)學(xué)課程要講邏輯

推理，更要講道理，要通過(guò)典型例子的分析和學(xué)生的自主探索活動(dòng)，促使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、

結(jié)論逐步形成的過(guò)程，從而體會(huì)蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法。

(2)蘊(yùn)含的思想與方法

本章研究直線(xiàn)、圓及其相關(guān)問(wèn)題，用的是坐標(biāo)法.坐標(biāo)法是解析幾何最基本的研究方法，

它建立了幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

(3)培育的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

通過(guò)直線(xiàn)的傾斜角和斜率的求解，以及在人們的生活、生產(chǎn)、科技中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)

用，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

(4)教學(xué)重點(diǎn)

(1)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率公式是建立直線(xiàn)方程的基礎(chǔ)；

(2)兩點(diǎn)間的距離公式是建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)；

(3)建立的直線(xiàn)的方程、圓的方程；

(4)研究?jī)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)；

(5)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系。

二、目標(biāo)與目標(biāo)解析

(一)本單元教學(xué)目標(biāo)

1.直線(xiàn)的方程

(1)在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線(xiàn)位置的幾何要素.

(2)理解直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線(xiàn)斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的

直線(xiàn)斜率的計(jì)算公式.

(3)能根據(jù)斜率判斷兩條直線(xiàn)平行或垂直.

(4)根據(jù)確定直線(xiàn)位置的幾何要素，探索并掌握直線(xiàn)方程的三種形式：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一

般式.

(5)能用解方程組的方法求兩條宜線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo).

(6)探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，會(huì)求兩條平行直線(xiàn)間的距

離.

2.圓的方程

(1)回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

(2)能根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程，判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系.

(3)能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.

(二)目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

(1)理解直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線(xiàn)斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直

線(xiàn)斜率的計(jì)算公式.

(2)能根據(jù)斜率判斷兩條直線(xiàn)平行或垂直.

(3)根據(jù)確定直線(xiàn)位置的幾何要素，探索并掌握直線(xiàn)方程的三種形式：點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般

式.

(4)能用解方程組的方法求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo).

(5)探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，會(huì)求兩條平行直線(xiàn)間的距離.

(6)能根據(jù)給定直線(xiàn)、圓的方程，判斷直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系.

(7)能用直線(xiàn)和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

1.問(wèn)題診斷

直線(xiàn)和圓是平面幾何中已經(jīng)研究過(guò)的圖形，本章用解析幾何的方法進(jìn)行再研究，可以使

學(xué)生體會(huì)解析幾何方法的特點(diǎn).本章首先在平面直角坐標(biāo)系中，探索確定直線(xiàn)位置和圓的幾何

要素；然后用代數(shù)方法刻畫(huà)直線(xiàn)的斜率、兩點(diǎn)間的距離.在此基礎(chǔ)上，建立直線(xiàn)和圓的方程；

用方程研究?jī)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離以及直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)

系；解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，初步感悟平面解析幾何蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

2.教學(xué)難點(diǎn)

用向量方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，以及對(duì)直線(xiàn)與直線(xiàn)的方程，圓與圓的方程之間關(guān)系的認(rèn)

識(shí)，學(xué)生理解可能會(huì)有一定的困難，它們是本章的難點(diǎn).

四、教學(xué)支持條件分析

1.技術(shù)支持

利用電腦、互聯(lián)網(wǎng)，可以非常方便快捷地查找到有關(guān)史料故事、拓寬視野，感悟數(shù)學(xué)的文化

價(jià)值,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)；借助計(jì)算器或電腦，可以計(jì)算較大數(shù)目的數(shù)量，獲得比較精準(zhǔn)的

數(shù)值；借助實(shí)物投影或PPT,展示學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，

2.知識(shí)儲(chǔ)備

直線(xiàn)和圓是平面幾何中已經(jīng)研究過(guò)的圖形，本章用解析幾何的方法進(jìn)行再研究，可以使學(xué)生體

會(huì)解析幾何方法的特點(diǎn).

五、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

直線(xiàn)的傾斜角與斜率（第1課時(shí)）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

（一）內(nèi)容

直線(xiàn)的傾斜角、斜率的概念，過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式.

（二）內(nèi)容解析

直線(xiàn)的傾斜角和斜率分別從形和數(shù)刻畫(huà)了直線(xiàn)的方向：相對(duì)于1軸的傾斜程度，一點(diǎn)和傾

斜角，或一點(diǎn)和斜率確定了平面直角坐標(biāo)系中直線(xiàn)的位置.過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率公式把直線(xiàn)的傾

斜角（方向或傾斜程度）與其上兩點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)直線(xiàn)幾何特征的代數(shù)刻畫(huà).它是解

析幾何中的基本公式，是建立直線(xiàn)方程的基礎(chǔ).

為了用代數(shù)方法研究直線(xiàn)的有關(guān)問(wèn)題，首先需要探索在平面直角坐標(biāo)系中確定直線(xiàn)位置

的幾何要素，然后用代數(shù)方法把這些幾何要素表示出來(lái).通過(guò)一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線(xiàn)，

引入直線(xiàn)傾斜角的概念刻畫(huà)直線(xiàn)的方向；進(jìn)而通過(guò)向量法，用直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫(huà)直線(xiàn)傾斜

角的正切值，把它表示為這兩點(diǎn)縱橫坐標(biāo)的差商，引出直線(xiàn)斜率的概念；最后建立過(guò)兩點(diǎn)的直

線(xiàn)的斜率公式，以及直線(xiàn)的斜率與其方向向量的關(guān)系.這一過(guò)程了體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思想.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

(-)目標(biāo)

(1)初步了解解析幾何的產(chǎn)生及其意義，初步認(rèn)識(shí)坐標(biāo)法思想.

(2)理解直線(xiàn)的傾斜角與斜率的概念.

(3)掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式.

(二)目標(biāo)解析

達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

(1)通過(guò)介紹章引言，學(xué)生能夠說(shuō)出坐標(biāo)法的基本思想，知道笛卡兒、費(fèi)馬是解析幾何的創(chuàng)立

者，了解解析幾何在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展中的作用.

(2)通過(guò)對(duì)平面直角坐標(biāo)系中直線(xiàn)的分析，認(rèn)識(shí)一點(diǎn)和一個(gè)方向唯一確定一條直線(xiàn).過(guò)同一點(diǎn)的

直線(xiàn)的方向不同，其傾斜程度就不同，直線(xiàn)就不同；對(duì)于傾斜程度，可以用傾斜角刻畫(huà)，也可

以用斜率(傾斜角的正切值垓IJ畫(huà)；進(jìn)一步，斜率可以用直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)定量刻畫(huà).

(3)能夠運(yùn)用向量法，承過(guò)對(duì)過(guò)原點(diǎn)及其上一具體點(diǎn)、不過(guò)原點(diǎn)過(guò)兩個(gè)其他具體點(diǎn)，以及過(guò)任

意兩點(diǎn)的直線(xiàn)傾斜角正切后的獲得過(guò)程，體會(huì)從特殊到一般，從具體到抽象的研究方法；建立

直線(xiàn)傾斜角的正切值與直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而獲得斜率的概念；經(jīng)歷上述用坐

標(biāo)法刻畫(huà)直線(xiàn)斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

本小節(jié)《直線(xiàn)的傾斜角與斜率》。主要內(nèi)容是直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念，傾斜角與斜

率之間的關(guān)系，過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率公式，以及運(yùn)用直線(xiàn)的斜率判斷兩條直線(xiàn)平行或垂直的位置

關(guān)系.為了用代數(shù)方法研究直線(xiàn)的有關(guān)問(wèn)題，教科書(shū)首先探索在平面直角坐標(biāo)系中確定直線(xiàn)位

置的幾何要素，然后用代數(shù)方法表示這些幾何要素.通過(guò)一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線(xiàn)，引入

直線(xiàn)傾斜角刻畫(huà)直線(xiàn)的傾斜程度(方向)；然后通過(guò)具體實(shí)例，由具體到一般，通過(guò)向量法，

用直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫(huà)傾斜角；把傾斜角的正切值表示為這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的差與橫坐標(biāo)的差的

商，進(jìn)而引出直線(xiàn)斜率的概念；建立過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率公式，以及直線(xiàn)的斜率與其方向向量的

關(guān)系.由于兩條直線(xiàn)平行或垂直取決于它們的方向，所以由它們斜率的關(guān)系可以判斷兩條直線(xiàn)

平行或垂直的位置關(guān)系.

解析幾何的創(chuàng)立與對(duì)數(shù)的發(fā)明、微積分的建立被恩格斯并稱(chēng)為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就,

其意義不言而喻.學(xué)生初次接觸解析幾何內(nèi)容，需要教師通過(guò)章引言的教學(xué)，讓他們了解解析

幾何創(chuàng)立的背景、內(nèi)涵、思想方法，以及歷史意義，初步認(rèn)識(shí)坐標(biāo)法.

在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生知道兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，以及一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線(xiàn)，

但對(duì)于如何把這種確定直線(xiàn)位置的幾何要素轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的代數(shù)刻畫(huà)存在困難.其

中，將兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)歸結(jié)為一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線(xiàn)，以及把直線(xiàn)的方向轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)

的傾斜角，都是本節(jié)課的難點(diǎn).教學(xué)中，要結(jié)合前面方向向量的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生將兩點(diǎn)確定一

條直線(xiàn)歸結(jié)為一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線(xiàn)；引導(dǎo)學(xué)生觀察過(guò)一點(diǎn)的不同直線(xiàn)的區(qū)別，幫助學(xué)

生建立直線(xiàn)的方向和傾斜角之間的聯(lián)系.

傾斜角是對(duì)直線(xiàn)傾斜程度的幾何度量，是個(gè)幾何量；而斜率公式中的縱橫坐標(biāo)的差商，

是個(gè)代數(shù)量，是對(duì)直線(xiàn)傾斜程度的代數(shù)度量.建立兩者之間的關(guān)系，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，也有一定

的困難.教學(xué)中，要借助向量工具，通過(guò)從特殊到一般的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)地理解用點(diǎn)

的縱橫坐標(biāo)的差商刻畫(huà)直線(xiàn)傾斜角的方法，建立直線(xiàn)的斜率公式.

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念，過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率公式.

難點(diǎn)：用直線(xiàn)的傾斜角和斜率刻畫(huà)直線(xiàn)的幾何特征，建立直線(xiàn)的傾斜角、斜率及直線(xiàn)上任意兩

點(diǎn)縱橫坐標(biāo)差商之間的關(guān)系.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

引導(dǎo)語(yǔ)：十六、十七世紀(jì)，為了描述現(xiàn)實(shí)世界中的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，如行星的運(yùn)動(dòng)、平面

拋體的運(yùn)動(dòng)等，需要對(duì)它們的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行精確的代數(shù)刻畫(huà)，運(yùn)動(dòng)變化進(jìn)入了數(shù)學(xué)，變量觀念

成為數(shù)學(xué)中的重要理念.在眾多數(shù)學(xué)家工作的基礎(chǔ)上，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒、費(fèi)馬集其大成，創(chuàng)

立了坐標(biāo)系，用坐標(biāo)刻畫(huà)運(yùn)動(dòng)變化.這是解析幾何的創(chuàng)始.

我們知道，點(diǎn)是構(gòu)成直線(xiàn)的基本元素.在平面直角坐標(biāo)系中，可以用坐標(biāo)表示點(diǎn)，那么，

如何用坐標(biāo)表示直線(xiàn)呢？為了用代數(shù)方法研究直線(xiàn)的有關(guān)問(wèn)題，本節(jié)我們首先在平面直角坐標(biāo)

系中探索確定直線(xiàn)位置的幾何要素，然后用代數(shù)方法把這些幾何要素表示出來(lái).

問(wèn)題1:回顧平面幾何的學(xué)習(xí)，我們主要研究了哪些類(lèi)型的圖形？所用的研究方法是什么？

我們知道，平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)，那么平面中的圖形和怎樣的

代數(shù)對(duì)象對(duì)應(yīng)呢？從本章開(kāi)始的解析幾何就要解決這個(gè)問(wèn)題，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，實(shí)

現(xiàn)通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)研究幾何圖形性質(zhì)的目的.

交通工程上一般用“坡度”來(lái)描述一段道路對(duì)

于水平方向的傾斜程度，如圖，一輛汽車(chē)沿某條道路

從A點(diǎn)前進(jìn)到B點(diǎn)，在水平方向前進(jìn)的距離為AD,

豎直方向上升的高度為DB（如果是下降，則DB的值

為負(fù)實(shí)數(shù)）,則坡度=*k>0表示上坡,k<0

表示下坡,為了實(shí)際應(yīng)用與安全，在道路鋪設(shè)時(shí)常要

規(guī)劃坡度的大小.

追問(wèn)：那么“坡度”是如何來(lái)刻畫(huà)道路的傾斜程度的呢?

為了用代數(shù)方法研究直線(xiàn)的有關(guān)問(wèn)題，需要把直線(xiàn)代數(shù)化.也就是教科書(shū)中提到的“直線(xiàn)如

何表示?”，這個(gè)表示指的就是代數(shù)化.何為代數(shù)化？如何代數(shù)化？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧平面幾何中的研究對(duì)象、研究方法的基礎(chǔ)上，指出本章要用坐標(biāo)

法對(duì)這些對(duì)象進(jìn)行再研究，并說(shuō)明坐標(biāo)法與綜合法的異同，特別要強(qiáng)調(diào)坐標(biāo)法實(shí)現(xiàn)了對(duì)圖形性

質(zhì)的定量化研究.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回顧，明確解析幾何學(xué)的研究對(duì)象，使學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法形成初步印象，并引出本

節(jié)的研究?jī)?nèi)容.

環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念

問(wèn)題2：直線(xiàn)是最簡(jiǎn)單的幾何圖形之一，確定一條直線(xiàn)的幾何要素是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考并回答.學(xué)生的最常見(jiàn)的回答是“兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)

追問(wèn)：還有沒(méi)有其他確定一條直線(xiàn)的方法？

思考

確定一條直線(xiàn)的兒何要素是什么？對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的一條直線(xiàn)/（圖2.1-1）,如何利用

坐標(biāo)系確定它的位置？

圖2.1-1

我們知道，兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，一點(diǎn)和一個(gè)方向也可以確定一條直線(xiàn).

問(wèn)題3：下面我們利用直角坐標(biāo)系進(jìn)一步研究確定直線(xiàn)位置的幾何要素.觀察圖2.1-2中經(jīng)過(guò)定

點(diǎn)P的直線(xiàn)束，它們的區(qū)別是什么？你能用利用直角坐標(biāo)系中的一些元素將這些直線(xiàn)區(qū)分開(kāi)

來(lái)嗎？

設(shè)4,8為直線(xiàn)上的兩點(diǎn)，則在就是這條直線(xiàn)的方向向量.所以，兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)

可以歸結(jié)為一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線(xiàn).

在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)P可以作無(wú)數(shù)條直線(xiàn)/2,4…，它們組成一個(gè)直線(xiàn)束（圖

2.1-2）,這些直線(xiàn)的區(qū)別是什么？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，得出一點(diǎn)和一個(gè)方向也能確定一條直線(xiàn)，并把兩點(diǎn)確定一條直

線(xiàn)歸結(jié)為一點(diǎn)和一個(gè)方向確定一條直線(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)到“一點(diǎn)和一個(gè)方向”也可以唯一確定

一條直線(xiàn)，方向是直線(xiàn)的一個(gè)重要幾何要素.

在上述探究過(guò)程中，學(xué)生的第一反應(yīng)是與x軸的夾角.教師要做好引導(dǎo)，說(shuō)明方向與夾

角之間的關(guān)系，兩者都描述了直線(xiàn)的傾斜程度.

在平面直角坐標(biāo)系中，我們規(guī)定水平直線(xiàn)的方向向右，其他直線(xiàn)向上的方向?yàn)檫@條直線(xiàn)

的方向.因此，這些直線(xiàn)的區(qū)別是它們的方向不同.如何表示這些直線(xiàn)的方向？

我們看到，這些直線(xiàn)相對(duì)于X軸的傾斜程度不同，也就是它們與X軸所成的角不同.因

此，我們可以利用這樣圖的角來(lái)表示這些直線(xiàn)的方向.

師生活動(dòng)：學(xué)生可能會(huì)指出這些直線(xiàn)的區(qū)別在于它們的方向不同，也可能會(huì)說(shuō)這些直線(xiàn)與1

軸所成的角不同.在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，以平面直角坐標(biāo)系中坐

標(biāo)軸為基準(zhǔn)規(guī)定直線(xiàn)的方向，并用直線(xiàn)與］軸形成的角刻畫(huà)直線(xiàn)的方向，在此基礎(chǔ)上引入傾斜

角的概念.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)觀察過(guò)同一點(diǎn)的不同位置的直線(xiàn)，并強(qiáng)調(diào)以直角坐標(biāo)系為參照系，探究

區(qū)分不同位置直線(xiàn)的方法，引導(dǎo)學(xué)生感受在直角坐標(biāo)系中利用傾斜角刻畫(huà)直線(xiàn)方向的合理性.

問(wèn)題4:你認(rèn)為直線(xiàn)的傾斜角在什么范圍內(nèi)變化？

當(dāng)直線(xiàn)/與x軸相交時(shí),我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線(xiàn)/向上的方向之間所成的角Q

叫做直線(xiàn)/的傾斜角.圖中直線(xiàn)4的傾斜角必為銳角，直線(xiàn)r的傾斜角優(yōu)為鈍角.當(dāng)直線(xiàn)/與x

軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0。.因此，直線(xiàn)的傾斜角a的取值范圍為

0°^a<180°

這樣，在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線(xiàn)都有一個(gè)確定的傾斜角，而且方向相同的直線(xiàn)，其傾

斜程度相同，傾斜角相等；方向不同的直線(xiàn)，其傾斜程度不同，傾斜角不相等.因此，我們可

以用傾斜角表示平面直角坐標(biāo)系中一條直線(xiàn)的傾斜程度，也就表示了直線(xiàn)的方向.

師生活動(dòng)：教師可通過(guò)信息技術(shù)演示直線(xiàn)/與x軸平行或重合時(shí)開(kāi)始繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，讓

學(xué)生感受直線(xiàn)的傾斜角的變化范圍是使學(xué)生確認(rèn)0°Wa<180。范圍內(nèi)的角能表示所有直線(xiàn)的

方向.

設(shè)計(jì)意圖：借助信息技術(shù)的直觀，引導(dǎo)學(xué)生討論在直角坐標(biāo)系中直線(xiàn)的傾斜角取值的各種情況,

進(jìn)一步確認(rèn)用傾斜角刻畫(huà)一條直線(xiàn)傾斜程度的合理性.

環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念

問(wèn)題5：直線(xiàn)/的傾斜角刻畫(huà)了它的傾斜程度，是否還能用其他方法刻畫(huà)直線(xiàn)的傾斜程度呢？

我們知道，直線(xiàn)/可由其上任意兩點(diǎn)小司,必），6（々,外）唯一確定，可以推斷，直線(xiàn)/的

傾斜角一定與片,2兩點(diǎn)的坐標(biāo)有內(nèi)在聯(lián)系.到底具有怎樣的聯(lián)系？

下面我們利用向量來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線(xiàn)/的傾斜角為a.

（1）已知直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)。（0,0）,P也1）,a與。，尸的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

（2）類(lèi)似地，如果直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)［（-1,1）,￡（后,0）,a與4，￡的坐標(biāo)又有什么關(guān)系？

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)向量法的優(yōu)勢(shì)，以及為什么要用正切函數(shù)來(lái)建立角a

與給定兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系（作為比較，必要時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生分析用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的弊

端）

追問(wèn)：你能將上述方法進(jìn)行一般性的推廣嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，將問(wèn)題推廣到一般情形，并自主探究解答.當(dāng)職的方向不同

時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生討論傾斜角與片，，兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，得到計(jì)算公式后追問(wèn)下面的問(wèn)題.

一般地，如果直線(xiàn)/經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)6（演,凹），鳥(niǎo)（4,歹2）（玉W/），那么a與6，鳥(niǎo)的坐標(biāo)有怎

樣的關(guān)系？

環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念

下面我們利用向量法探究上述問(wèn)題

對(duì)于問(wèn)題⑴，如圖向量無(wú)=（行,1）,且直線(xiàn)OP的傾斜角為a.由正切函數(shù)的定義,

有

1V3

tana=-i==——

733

對(duì)于問(wèn)題（2）,如圖2.1-3（2）,筋=（-1-及,1-0）=（-1-垃,1）.平移向量箭到而,

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-1-板,1）,且直線(xiàn)OP的傾斜角也是a.由正切函數(shù)的定義，有

tana=——-i==\-42.

-1-V2

一般地，如圖，當(dāng)向量月月的方向向上時(shí)，月月=（%-%,%-弘），平移向量五耳到麗,

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（9-4力-%），且直線(xiàn)OP的傾斜角也是《，由正切函數(shù)的定義，有

tana=-~.

X2-%!

同樣，當(dāng)向量“的方向向上時(shí)，如圖，麗=（七-々，%-歹2），也有

Bii-s

問(wèn)題6：tana=上二及這個(gè)公式對(duì)任何給定的兩點(diǎn)都適用嗎？這個(gè)公式的意義是什么？與我

x2-Xx

們?nèi)粘Ｉ钪锌坍?huà)斜面傾斜程度的坡度有聯(lián)系嗎？

思考

當(dāng)直線(xiàn)62與x軸平行或重合時(shí)，上述式子還成立嗎？為什么？

綜上可知，直線(xiàn)/的傾斜角a與直線(xiàn)/上的兩點(diǎn)片區(qū),乂），鳥(niǎo)*2，%）（玉片》2）的坐標(biāo)有

如下關(guān)系：

tana=—~.

我們把一條直線(xiàn)的傾斜角a的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率.斜率常用小寫(xiě)字母左表示，即

左=tana②

注釋?zhuān)喝粘Ｉ钪谐Ｓ闷露缺硎緝A斜面的傾斜程度：坡度=萼魯3.當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為銳角

水平寬度

時(shí)，直線(xiàn)的斜率與坡度是類(lèi)似的.

師生活動(dòng)：學(xué)生在觀察與分析中能發(fā)現(xiàn)公式對(duì)垂直于X軸的直線(xiàn)不適用，其他都適用；并能在

討論交流中認(rèn)識(shí)到該公式是通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫(huà)傾斜角，也就是直線(xiàn)的方向，這正是我們最希望

得到的一個(gè)量——用點(diǎn)的坐標(biāo)表示直線(xiàn)的方向.從而引導(dǎo)學(xué)生將其命名為斜率（顧名思義，就

是傾斜程度的一個(gè)比值），并用小寫(xiě)字母人表示，即k=tana|.最后引導(dǎo)學(xué)生回憶日常生活中

坡度的計(jì)算方法：坡度=魯舞，感知直線(xiàn)的斜率與坡度有相似的地方.

水平寬度

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)特殊問(wèn)題一般化的抽象得到傾斜角的正切值，即斜率的計(jì)算公式，并通過(guò)師

生對(duì)該公式意義的分析，發(fā)現(xiàn)它正是我們尋求的刻畫(huà)直線(xiàn)方向的代數(shù)表達(dá).這種形式能直接參

與代數(shù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的目的.

問(wèn)題7：當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角變化時(shí)，直線(xiàn)的斜率如何變化？當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角是0?；?0。時(shí)，直

線(xiàn)的斜率是多少？

傾斜角是90。的直線(xiàn)沒(méi)有斜率，傾斜角不是90。的直線(xiàn)都有斜率，例如，傾斜角《=30。時(shí)，這

條直線(xiàn)的斜率

k=tan30°=—.

3

傾斜角a=120。時(shí)，這條直線(xiàn)的斜率

k=tan120°=-tan60°=一6.

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)正切函數(shù)的概念以及單調(diào)性回答，可以畫(huà)出正切函數(shù)的圖象，幫助學(xué)

生理解其中的變化情況和特殊點(diǎn)的取值.

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合正切函數(shù)的概念及其單調(diào)性，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)隨著傾斜角的變化，斜率的變化情

況，理解其中斜率不存在的情況，使得學(xué)生對(duì)傾斜角和斜率的概念有更清晰的認(rèn)識(shí).

注釋?zhuān)寒?dāng)直線(xiàn)的傾斜角由明逐漸增大到恒時(shí)，其斜率如何變化？為什么？

由正切函數(shù)的單調(diào)性，傾斜角不同的直線(xiàn)，其斜率也不同.因此，我們可以用斜率表

示傾斜角不等于90。的直線(xiàn)相對(duì)x軸的傾斜程度，進(jìn)而表示直線(xiàn)的方向.

如果直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)片（事,乂），巴（迎,8）3*%），那么由①②可得如下的斜率公式:

攵=9

我們發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角和斜率分別從形和數(shù)兩個(gè)角度刻畫(huà)了直線(xiàn)相對(duì)

于X軸的傾斜程度.

思考

(1)已知直線(xiàn)上的兩點(diǎn)4)，B(b\,bD,運(yùn)用上述公式計(jì)算直線(xiàn)的斜率時(shí)，與48兩

點(diǎn)的順序有關(guān)嗎？

(2)當(dāng)直線(xiàn)平行于歹軸，或與y軸重合時(shí)，上述公式還適用嗎？為什么？

問(wèn)題8：你能發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)的方向向量與斜率之間的關(guān)系嗎？

我們知道，直線(xiàn)［鳥(niǎo)上的向量而以及與它平行的向量都是直線(xiàn)的方向向量.直線(xiàn)［6的方向

向量片￡的坐標(biāo)為

。2一石，為一弘)?

當(dāng)直線(xiàn)々鳥(niǎo)與X軸不垂直時(shí)，X,*x2,此時(shí)向量」一職也是直線(xiàn)6鳥(niǎo)的方向向量，且它的

々一玉

坐標(biāo)為一--乂)，即1產(chǎn)一凹.=(1,6，其中左是直線(xiàn)48的斜率.因此，若直線(xiàn)

x2-石I工2一%

/的斜率為左，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x,y),則人=』.

X

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生建立直線(xiàn)的方向向量與其斜率之間的關(guān)系，利用直線(xiàn)的方向向量

設(shè)計(jì)意圖：利用斜率公式和直線(xiàn)的方向向量的坐標(biāo)表示，建立二者之間的聯(lián)系，為今后相關(guān)問(wèn)

題的解決奠定基礎(chǔ).

環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化

例1如圖，已知1(3,2),5(-4,1),C(O,-1),求直線(xiàn)BC,C4的斜率，并判斷這些直線(xiàn)

的傾斜角是銳角還是鈍角.

1-21-1-1_-2

解：直線(xiàn)的斜率3=工=于直線(xiàn)8C的斜率限

0-(-4)-T2

直線(xiàn)CA的斜率kCA=2一（-1）=2=1,

口3-03

由七百＞0＞及左0〉。可知，直線(xiàn)48與C4的傾斜角均為銳角；由品°＜0可知，直線(xiàn)6C的傾斜

角為鈍角.

師生活動(dòng)：例1由學(xué)生自己完成，可以請(qǐng)一位同學(xué)上講臺(tái)板書(shū)解題過(guò)程；思考題為備選題，

視學(xué)生學(xué)情而定，可以師生共同分析完成..

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例1幫助學(xué)生鞏固掌握斜率公式，熟悉斜率大小與傾斜角的關(guān)系；思考題是為

基礎(chǔ)比較好的班級(jí)學(xué)生設(shè)計(jì)的，也可以留作學(xué)生課后思考討論.例1分為兩步，第一步是根據(jù)

兩點(diǎn)的坐標(biāo)，直接求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率，是過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率公式的直接應(yīng)用，目的是讓

學(xué)生了解公式的結(jié)構(gòu)；第二步由斜率的正負(fù)以及正切函數(shù)的取值規(guī)律，可以得到直線(xiàn)的傾斜角

是銳角或鈍角，它是由斜率判斷傾斜角，目的是讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)傾斜角與斜率的關(guān)系.教學(xué)

時(shí)，要適當(dāng)復(fù)習(xí)正切函數(shù)的概念和性質(zhì)，包括自變量的取值范圍，函數(shù)值的取值規(guī)律，區(qū)間上

的單調(diào)性，等等.至于角度是用角度制，還是用弧度制，沒(méi)有特別的要求，兩種度量值都可以.

環(huán)節(jié)六歸納總結(jié)，反思提升

課堂小結(jié)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，并讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課的研究對(duì)象與結(jié)論、研究的

基本思路與思想進(jìn)行梳理.

問(wèn)題9：請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并回答下列問(wèn)題：

1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？

2.在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？

1.知識(shí)總結(jié)：

2.學(xué)生反思:

(1)通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)?

(2)在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？

設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和

邏輯推理能力。

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，先由學(xué)生梳理，其他同學(xué)補(bǔ)充，師生再一起整理出本節(jié)課研究問(wèn)題

的基本流程框圖.教師再結(jié)合框圖，總結(jié)本節(jié)課蘊(yùn)含的主要數(shù)學(xué)思想方法：類(lèi)比聯(lián)想、分類(lèi)討

論、坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合思想.

環(huán)節(jié)七目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置

完成教材：布置作業(yè)

教科書(shū)習(xí)題第1,2,3,4,7,8題.

練習(xí)(第55頁(yè))

1.已知下列直線(xiàn)的傾斜角，求直線(xiàn)的斜率：

27r34

(1)a=30。；(2)a=45°；(3)?=—；(4)=—.