3 空間向量基本定理

專題1.3空間向量基本定理【玩前必備】知識(shí)點(diǎn)一空間向量基本定理如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量小存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使得p=xa＋yb＋zc.我們把｛a，b，c｝叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量.知識(shí)點(diǎn)二空間向量的正交分解1．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪保议L(zhǎng)度都是1,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用",j,k｝表示.2．向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量a,均可以分解為三個(gè)向量xi,yj,zk使得a=xi+yj+zk.像這樣把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．知識(shí)點(diǎn)三證明平行、共線、共面問(wèn)題(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,b(bW0),a〃b的充要條件是存在實(shí)數(shù)九使a=Xb.(2)如果兩個(gè)向量a,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb.知識(shí)點(diǎn)四求夾角、證明垂直問(wèn)題a?b⑴0為a,b的夾角，則cos0=ia||bi.(2)若a,b是非零向量，則a±b。a?b=0.知識(shí)點(diǎn)五求距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題Ia1=\后(1AB1=\尻AB).【玩轉(zhuǎn)題型】【題型1空間向量基底的判斷】【基底的判斷思路】(1)判斷蛆向量能否作為空間的個(gè)基底.實(shí)質(zhì)是判斷這三個(gè)向量是否共面，若不共面，就可以作為一個(gè)基底.(2)判斷基底時(shí)，常常依托正方體.長(zhǎng)方體、平行六面體,四面體等幾何體，用它們從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱對(duì)應(yīng)的向量為基底,并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進(jìn)行相關(guān)的判斷.【例1】(2020秋?嘉祥縣校級(jí)期中)已知｛落b,c｝是空間向量的一個(gè)基底，則與向量萬(wàn)=日+唬彳=4-3

TOC\o"1-5"\h\z可構(gòu)成空間向量基底的是（ ）—~^ ~^ ———A.a B.b C.a+2b D.a+2c【變式1-1］（2020秋?桃城區(qū)校級(jí)期中）已知｛或，耳，耳｝是空間的一個(gè)基底，下列四組向量中，能作為空間一個(gè)基底的是（ ）①《，2,,，-馬②26a，,一,，歐+2,③2,+青，5+q，-，+5］乙 乙 ? J- ?④即1十即小段.A.①② B.②④ C.③④ D.①③【變式1-2］（2020秋?赤峰校級(jí)期末）｛a,a，a｝=是空間向量的一個(gè)基底，設(shè)a=a+a，a=a+a,a=a+乙給出下列向量組：①｛a,b,討，②｛b,a,a｝,③｛a，a，a｝,④｛a，a，a+b+a｝，其中可以作為空間向量基底的向量組有（ ）組.A.1 B.2 C.3 D.4【變式1-3］已知｛時(shí)卻1｝為空間的一個(gè)基底，且用4=a+262-%旅=-3弓+瑪+2%八=6+馬-%能否以｛應(yīng)，0B，無(wú)｝作為空間的一組基底？【題型2空間向量基本定理的應(yīng)用（表示向量）】【用基底表示向量的步驟】（1）定基底:根據(jù)已知條件,確定三個(gè)不共血的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.（2）找目標(biāo)：用確定的基底（或已知基底）去示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則,結(jié)介相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn),最后求出結(jié)果.（3）下結(jié)論：利川空間的個(gè)基底｛小氏司可以我示出空間所有向量.我示要徹底，結(jié)果中只能含有各b,c，不能含有其他形苴的向量.［例2］（2020秋?南開區(qū)校級(jí)月考）在平行六面體ABCD-A1B1clD1中，44=3，AB=b，初=a，E是BC的中點(diǎn)，用a，b，c表示4了為（ ）D.1a-b+c21 1a,D.1a-b+c2A.2a+b-cB.a+b-c C.2a-b-c【變式2-1］（2020秋?南陽(yáng)期末）已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線OB、AC，M、N分別是邊OA、CB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且使MG=2GN，用向量dA，dB，應(yīng)，表示向量應(yīng)是（ ）

A.公=)1+灑+3應(yīng)血1-3+加1-3+1-6--*cbA.公=)1+灑+3應(yīng)血1-3+加1-3+1-6--*cb.公=2)1+3南+|近+3加+3應(yīng)1-6

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D上，且OM=3MA,N為BC中點(diǎn)，用落b,c表示疝，則疝等于.【變式2-3]（2020秋?珠海期末）四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)O,用基底｛Z,b,c｝表示向量Bh=p【題型3空間向量基本定理的應(yīng)用（求參數(shù)）】[例3]（2020秋?江蘇期末）在三棱錐O-ABC中，Ab=^B,油=2兩若應(yīng)=%OA+yOB+zOC,用基底｛Z,b,c｝表示向量Bh=p【題型3空間向量基本定理的應(yīng)用（求參數(shù)）】[例3]（2020秋?江蘇期末）在三棱錐O-ABC中，Ab=^B,油=2兩若應(yīng)=%OA+yOB+zOC,則（a.11%=i，y=-6b.11x=-i,y=6【變式3-1]（2020秋?資陽(yáng)期末）如圖，M,N是分別是四面體O-ABC的棱OA,BC的中點(diǎn)，設(shè)oA=Z,OB=b,OC=c，若疝=xa+yb+zc，則x,y,z的值分別是( )1112，2，2A.B1112，2，2A.B.1-2C.11_12，2，-2D.1112,2,2【變式3-2］（2020秋?白水縣期末）在四面體ABCD中，E、G分別是CD、BE的中點(diǎn)，若4G=娛B+y4D+【變式3-3］（2020秋?番禺區(qū)期末）在平行六面體ABCD-A1B1clD1中，E，F(xiàn)，分別在棱B1B和D1D上,且BE=1&紇，DF=2。。1.若前=%肪+丫勸+244，貝|x+y+z=【題型4【題型4利用空間向量基本定理解決幾何問(wèn)題】L利用厘時(shí)向量基本定理解決幾何問(wèn)題的思路1（1）平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問(wèn)題；點(diǎn)稅共面可以轉(zhuǎn)化為向越共面「爪（”幾何中的求夾珀、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題，解題中要注意珀的范圈:（3）幾何中求距離（長(zhǎng)度）都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，川數(shù)量枳可以求得.［例4］如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD—A1B1C1D1,其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°，下列說(shuō)法中正確的是.（填序號(hào)）Pl ClPl Cl口（西+AB+AD）2=2（AC）2；□X^（AB—AD尸0；①向量——?與高的夾角是60°；□BD1與AC所成角的余弦值為乎.2n【變式4-1】如圖，二面角aT—B等于至，A,B是棱l上兩點(diǎn)，BD,AC分別在平面a,B內(nèi)，AC□l,BD□l，且2AB=AC=BD=2,則CD的長(zhǎng)等于（ ）A.2v3 B.'v'T3C．4 D．5【變式4-2】如圖所示，在三棱錐A—BCD中，DA,DB,DC兩兩垂直，且DB=DC=DA=2,E為BC的中點(diǎn).（1）證明：AE□BC；（2）求直線AE與DC的夾角的余弦值.【變式4-3】如圖，正方體ABCD—A1B1clD1中，P是DD1的中點(diǎn)，。是底面ABCD的中心.求證：B1O□平面PAC.【課后檢測(cè)】一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1.（3分）（2020秋?煙臺(tái)期中）下列說(shuō)法正確的是（ ）A.任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底B.空間的基底有且僅有一個(gè)C.兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底D.直線的方向向量有且僅有一個(gè)2.（32.（3分）（2020秋?碑林區(qū)校級(jí)月考）若夜、b.c｝為空間的一組基底，則下列各項(xiàng)中，能構(gòu)成基底的一A.{a,A.{a,aaC.{c,a+b,a—b}a.T1a,1a.aA.—2a+2b+cB.2a+]b+c1a—1 1a1a_aC.—2a—2b+c D.2a—2b+c組向量是（ ）aaaB.{b,a+b,a—b}aaa{a+b,a—b,2a+b}3.（3分）（2020秋?棗莊期末）如圖：在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1,B1D1的交點(diǎn).若AB=a,AD=b,AA1=c，則向量俞=( )4.AB=a,AD=b,AA4.AB=a,AD=b,AA1=c,則下列向量中與A互相等的向量是（)（3分）（2020秋?榆林期末）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若C.—1a—1b+cD.乙 乙-a--b+c22C.—1a—1b+cD.乙 乙-a--b+c22A.-々a+ab+a B.2a+^b+c5.（3分）（2020秋?安順期末）如圖，在四面體OABC中，D是BC的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，則應(yīng)等于（）3332341C>A+-O>B+-O，C

2 4 4-CM+-OB+-OC

4 4 66.（3分）（2020秋?新鄉(xiāng)期末）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1clD1中，P是線段D1B上一點(diǎn)，且BP=2D1P,)D.12B.)D.12B.一34C.一35A.一3若力=x腦+歹AD+z笳1，貝U%+y+z=（7.（7.（3分）（2020秋?皇姑區(qū)校級(jí)期末）若。、A、B、C為空間四點(diǎn)，且向量近1，OB,應(yīng)不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（ ）CM,CM,OB,OC共線OA,OB共線CC.OB,OC共線D.O,A,B,C四點(diǎn)共面8.（3分）（2020秋?吉林期末）在四面體OABC中，點(diǎn)M,N分別為OA,BC的中點(diǎn)，若應(yīng)=-OA+%OB+yOC,且G,M,N三點(diǎn)共線，則%+y=（ ）A.-B.- C.- D.—；|3 3 3 3二.填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）.（4分）（2021春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）在平行六面體ABCD-A1B1clD1中，設(shè)aB=N,AD=b,AA^=c,用入%、c作為基底向量表示D；B=..（4分）（2020秋?沈陽(yáng)期中）已知M,N分別是四面體OABC的棱OA,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段MN上，且MP=2PN,設(shè)向量區(qū)4=%,OB=b,OC=c，則臥=.（用{%,3,c}表示）.（4分（2020秋?浙江月考）已知正方體ABCD-A1B1clD1中,還="匕若疝=%叫+丫腦+z顯，貝°x=,y+z=..（4分）（2020?閔行區(qū)校級(jí)模擬）在正方體ABCD-A1B1clD1中，點(diǎn)M和N分別是矩形ABCD和BB1cle的中心，若點(diǎn)P滿足力＞=m病+nDM+k.亦，其中m、n、kCR,且m+n+k=1,則點(diǎn)P可以是正方體表面上的點(diǎn).三.多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13.（4分）（2020秋?淄博期末）已知空間向量％,7,%都是單位向量，且兩兩垂直，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量％+%+%的模是3b.{3+7,7-7,%}可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底TOC\o"1-5"\h\z?一％ "- 3C.向量i+7+k和k夾角的余弦值為二D.向量i+j與k—j共線14.（4分）（2020秋?荔灣區(qū)期末）在空間四邊形OABC中，E、F分別是OA、BC的中點(diǎn)，P為線段EF上一點(diǎn)，且PF=2EP,設(shè)以=乙OB=b,OC=c，則下列等式成立的是（ ）71—1一 7 1- 1—1一A.OF=^b+1c B.EP=--^a+^b+-^cC.FP=-1a+1b+1c D.OP=1a+1b+1C333 3- -15.（4分）（2020秋?山東月考）設(shè)｛優(yōu)b,c｝是空間的一組基底，則下列結(jié)論正確的是（ ）a.c,b,c可以為任意向量B.對(duì)空間任一向量萬(wàn)，存在唯一有序?qū)崝?shù)組（x,歹，z）,使C=xb+yb+zb。.若2，入，b±c，則b，bD.｛C+2bb+2c,2+2砂可以作為構(gòu)成空間的一組基底16.（4分）（2020秋?乳山市校級(jí)月考）給出下列命題，其中正確命題有（ ）A.空間任意三個(gè)不共面的向量都可以作為一個(gè)基底B.已知向量C〃b，則存在向量可以與C,b構(gòu)成空間的一個(gè)基底C.A,B,M,N是空間四點(diǎn)，若屈!，BM,而不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A,B,M,N共面D.已知向量組｛b,b,C｝是空間的一個(gè)基底，若餡=b+b，則｛b,b,in｝也是空間的一個(gè)基底四.解答題（共6小題，滿分44分）.（6分）已知｛落b,b｝是空間的一個(gè)基底，求證：｛b+b,b+b,b+b｝可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底..（6分）（2020秋?樂(lè)山期中）如圖，在平行六面體ABCD-A'B'C'D中，AB=4,AD=3,AA'=5,ZBAD=90°,ZBAA'=ZDAA=60°,且點(diǎn)F為BC與BC的交點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上，有