2022年湖南省長沙市瀏陽第四中學高二數(shù)學文期末試題含解析

2022年湖南省長沙市瀏陽第四中學高二數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設，則（

）

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A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.甲、乙、丙、丁四人做相互傳球練習，第一次甲傳給其他三人中的一人，第二次由拿球者再傳給其他三人中的一人，這樣共傳了4次，則第4次仍傳回到甲的概率是

A. B.

C. D.

參考答案：A3.設直線x=t與函數(shù)，的圖像分別交與點M、N，則當達到最小時t的值為

（

）

A.1

B.

C.

D.參考答案：C4.設橢圓的離心率為e＝，右焦點為F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩個實根分別為x1和x2，則點P(x1，x2)

（

）A．必在圓x2＋y2＝2內

B．必在圓x2＋y2＝2上C．必在圓x2＋y2＝2外

D．以上三種情形都有可能參考答案：A略5.若等差數(shù)列的前5項和，且，則(

)A．12

B．13C.14

D．15參考答案：B6.圖2是某城市11月1日至14日的空氣質量指數(shù)趨勢圖,空氣質量指數(shù)小于100表示空氣質量優(yōu)良,空氣質量指數(shù)大于200表示空氣重度污染,某人隨機選擇11月1日至11月13日中的某一天到達該城市,并停留2天.此人到達當日空氣質量優(yōu)良的概率為，此人在該城市停留期間只有1天空氣重度污染的概率為，則、的值分別為（

）A.，B．，C．，D．，參考答案：C7.已知∈R，則下列正確的是A．

B．C.

D.參考答案：C8.某程序框圖如圖所示，若輸出的S＝57，則判斷框內為（）A．k＞4

B．k＞5

C．k＞6

D．k＞7參考答案：A9.關于空間直角坐標系O﹣xyz中的一點P（1，2，3），有下列說法：①點P到坐標原點的距離為；②OP的中點坐標為（）；③點P關于x軸對稱的點的坐標為（﹣1，﹣2，﹣3）；④點P關于坐標原點對稱的點的坐標為（1，2，﹣3）；⑤點P關于坐標平面xOy對稱的點的坐標為（1，2，﹣3）．其中正確的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：A【考點】空間中的點的坐標．【分析】由點P到坐標原點的距離求出①錯誤；由中點坐標公式得②正確；由對稱的性質得與點P關于x軸對稱的點的坐標為（﹣1，2，3），與點P關于坐標原點對稱的點的坐標為（﹣1，﹣2，﹣3），與點P關于坐標平面xOy對稱的點的坐標為（1，2，﹣3）．【解答】解：由空間直角坐標系O﹣xyz中的一點P（1，2，3），知：在①中，點P到坐標原點的距離為d==，故①錯誤；在②中，由中點坐標公式得，OP的中點坐標為（，1，），故②正確；在③中，由對稱的性質得與點P關于x軸對稱的點的坐標為（1，﹣2，﹣3），故③不正確；在④中，由對稱的性質得與點P關于坐標原點對稱的點的坐標為（﹣1，﹣2，﹣3），故④錯誤；在⑤中，由對稱的性質得與點P關于坐標平面xOy對稱的點的坐標為（1，2，﹣3），故⑤正確．故選：A．10.已知橢圓C：的長軸長、短軸長、焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的方程是（）A． B．C． D．參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質．【專題】計算題；方程思想；數(shù)學模型法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】設橢圓焦距為2c，由已知可得5+c=2b，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求．【解答】解：設焦距為2c，則有，解得b2=16，∴橢圓．故選：C．【點評】本題考查橢圓的簡單性質，考查等差數(shù)列性質的應用，是基礎的計算題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線與曲線有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是_____．參考答案：【分析】由直線與曲線有兩個公共點可得方程有兩不等實根，即有兩不等實根，令，求出函數(shù)的值域即可.【詳解】因為直線與曲線有兩個公共點，所以方程有兩不等實根，即有兩不等實根，令，則與函數(shù)有兩不同交點，因為，所以由得；由得或；因此函數(shù)在和上單調遞減，在上單調遞增，作出函數(shù)的簡圖大致如下：因為；又與函數(shù)有兩不同交點，所以由圖像可得，只需.故答案為【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，只需將函數(shù)有交點的問題，轉化為方程有零點來處理即可，屬于?？碱}型.12.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則P－DCE三棱錐的外接球的體積為-________.

參考答案：略13.設，，則下列不等式中一定成立的是

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C14.命題“”的否定是

參考答案：略15.設(是兩兩不等的常數(shù))，則的值是______________.參考答案：略16.若拋物線y2=2px的焦點與橢圓的右焦點重合，則該拋物線的準線方程為___________________.參考答案：17.命題“若，則”的否命題為

．參考答案：若，則否命題即同時否定命題的條件和結論，據(jù)此可得：命題“若，則”的否命題是若，則.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花園AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米.（I）要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則AN的長應在什么范圍內？

（II）若AN的長不小于4米，試求矩形AMPN的面積的最小值以及取得最小值時的長度.參考答案：解：設，

∵，∴.∴.

……3分（I）由得.∵，∴，即.解得，即長的取值范圍是.

…………6分（Ⅱ）由條件AN的長不小于4，所以.

…………………9分當且僅當，即時取得最小值，且最小值為24平方米．

…………………11分答：（略）

…………………12分略19.（12分）已知拋物線C；y2=2px過點A（1，1）．（1）求拋物線C的方程；（2）過點P（3，﹣1）的直線與拋物線C交于M，N兩個不同的點（均與點A不重合），設直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1?k2為定值．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】（1）利用待定系數(shù)法，可求拋物線的標準方程；（2）設過點P（3，﹣1）的直線l的方程為x﹣3=m（y+1），即x=my+m+3，代入y2=x利用韋達定理，結合斜率公式，化簡，即可求k1?k2的值．【解答】解：（1）由題意拋物線y2=2px過點A（1，1），所以p=，所以得拋物線的方程為y2=x；（2）證明：設過點P（3，﹣1）的直線l的方程為x﹣3=m（y+1），即x=my+m+3，代入y2=x得y2﹣my﹣m﹣3=0，設M（x1，y1），N（x2，y2），則y1+y2=m，y1y2=﹣m﹣3，所以k1?k2===﹣【點評】本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．20.如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，垂足為，在上，且，是的中點.（1）求異面直線與所成的角的余弦值;（2）若是棱上一點，且，求的值.參考答案：

.…………12分

略21.如圖，已知矩形ABCD，，，點P為矩形內一點，且，設.（1）當時，求證：；（2）求的最大值.參考答案：（1）見解析（2）2【分析】（1）以為坐標原點建立平面直角坐標系，求出各點的坐標，即得，得證；（2）由三角函數(shù)的定義可設，，再利用三角函數(shù)的圖像和性質求解.【詳解】以為坐標原點建立平面直角坐標系，則，，，.當時，，則，，∴.∴.（2）由三角函數(shù)的定義可設，則，，，從而，所以，因為，故當時，取得最大值2.【點睛】本題主要考查平面向量的坐標表示和運算，考查向量垂直的坐標表示，考查平面向量的數(shù)量積運算和三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平