奧數(shù)二次函數(shù)試題

二次函數(shù)6：中考?jí)狠S題

【例1】(2005年)已知二次函數(shù)y=ax?+bx+c.

(I)若a=2,c=-3,且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,-2),求b的值

(II)若a=2,b+c=—2,b>c,且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(p,-2),求證：b》0；

(DI)若a+b+c=0,a>b>c,且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(q,-a),

試問(wèn)自變量x=q+4時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y是否大于0?

并證明你的結(jié)論。

【例2】(2006年)已知拋物線y=ax?+bx+c的定點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4).

(I)試用含a的代數(shù)式分別表示b,c；

q1

(II)若直線y=kx+4(kWO)與y軸及該拋物線的交點(diǎn)依次為D、E、F,且"過(guò)=—,

SOEF3

其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試用含a的代數(shù)式表示k；

(III)在(H)的條件下，若線段EF的長(zhǎng)m滿足3&〈機(jī)W3，？，試確定a的取值范圍。

【例3】（2007年）已知關(guān)于x的一元二次方程/+匕龍+。=%有兩個(gè)實(shí)數(shù)根玉,%,且

滿足七>0,馬—玉>1。（1）試證明c>0;（2）證明。2>2（6+2c）；（3）對(duì)于二次函

數(shù)丁=/+。%+。，若自變量取值為與，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為打，則當(dāng)0</<天時(shí)，試

比較X）與%的大小。

解：（1）將已知的一元二次方程化為一般形式

即X1+（Jb-l）x+c=0

V七,馬是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

九1+%2=一3-1），（1分）

而再>O1%>再+1〉0?*-c>0（2分）

（2）（x2-玉產(chǎn)=（%2+天）2—4%1犬2

=（b—1）2—4c=/;2_2b—4c+l（3分）

%2—%>1（%2—王）2>1（4分）

于是人2一2人一4。+1>1,即Z?2—2b—4。>0

??.b2>2（b+2c）（5分）

（3）當(dāng)0</<時(shí)，有%>Xi

*.*y（）=%；+bx0+c，%;+6再+c=再

/.Vo—%]=XQ+bXg+c—（%；+bx、+c）

=（%0-玉）（％o+匹+。）（7分）

0<x0<Xjx0-%1<0

又?/X2-Xx>1/.x2>Xj+1,再+12〉2再+1

%]+%2=—（b—1）.,*—（b—1）〉2匹+1

于是2玉+/?<0*.*0<x0</.x0+%1+/?<0（9分）

由于工。一修<0,x0+%1+Z7<0

(x0-Xj)(x0++/?)>0,即—2〉0

當(dāng)時(shí)，有％)>為(10分)

【例4】(2008年)已知拋物線y=3ax2+2bx+c,

(I)^a=b=l,c=-l,求該拋物線與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；

(II)若。=6=1,且當(dāng)-1<X<1時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍;

(III)若a+/+c=0,且a=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的%>0;超=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的為>。，試判斷當(dāng)0<x<l

時(shí)，拋物線與x軸是否有公共點(diǎn)？若有，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若沒(méi)有，闡述理由.

解(I)當(dāng)a=b=l,c=—l時(shí)，拋物線為y=3/+2x—l,

方程3-+2x-l=0的兩個(gè)根為X]=-1,

???該拋物線與X軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是(—1,0)和.............................2分

(II)當(dāng)a=6=l時(shí)，拋物線為y=3,+2X+C,且與X軸有公共點(diǎn).

對(duì)于方程3—+2x+c=0,判別式A=4-12cN0,<c<-........................3分

3

①當(dāng)c=)時(shí)，由方程3/+2x+,=0,解得X]=x,=-L

333

此時(shí)拋物線為y=3f+2x+g與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)g,。]....................4分

②當(dāng)c<2時(shí)，

3

%]=-1,H=3—2+c=l+c,

超=1時(shí),為=3+2+。=5+。,

由已知-1VXV1時(shí)，該拋物線與X軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱軸為X=-工，

3

%W0,(1+cWO,

應(yīng)有廣即1

%>。.[5+00.

解得—5<cW—l.

綜上，c=!或一5<cW—1................................................6分

3

(III)對(duì)于二次函數(shù)y=3a%2+2/zx+c,

由已知陽(yáng)=0時(shí)，％=c>0；盯=1時(shí)，為=3〃+2b+c>0,

又Q+O+C=O,3a+2b+c=(ab+c)+2a+b=2ab.

2a+/?>€).rHjb——a—c,??2a—a—c>0,即a—c>0.

a>c>0..........................................................7分

???關(guān)于X的一元二次方程3依2+2Zzx+c=0的判別式

A=4b2-12ac=4(a+c)2-12ac=4[(〃-c)2+ac\>0,

???拋物線y=3以2+2for+c與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，頂點(diǎn)在不軸下方.................8分

又該拋物線的對(duì)稱軸x=-2，

3a

由Q+》+C=O,c>0,2a+b>0,

~vZ?v—a，

1<-

33a3

又由已知X1=O時(shí)，X>0；了2=1時(shí)，,2>0，觀察圖象,

可知在0<x<l范圍內(nèi)，該拋物線與X軸有兩個(gè)公共點(diǎn)..........................10分

2

【例5】（2009年）已知函數(shù)必=羽y2=x+bx+c,a,，為方程%-%=0的兩個(gè)根，

點(diǎn)M（l,T）在函數(shù)內(nèi)的圖象上.（I）若。=；，q=g，求函數(shù)內(nèi)的解析式；（II）在

（I）的條件下，若函數(shù)必與為的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)為AB,當(dāng)△ABM的面積為g時(shí)，

求f的值；（UD若0<夕<分<1,當(dāng)0</<1時(shí)，試確定T,?,萬(wàn)三者之間的大小關(guān)系，

并說(shuō)明理由.

1

解（I）X=%，y2=x-\-bx-\-c,y—％=0，

/.x2+(Z?-l)x+c=0.................................................1分

將tz=g,〃=g分別代入f+0—l)x+c=0,得

+0-l)xg+c=0,

解得b=Lc——.

66

51

函數(shù)》2的解析式為>2=X9——九+一?.....................................3分

66

(II)由已知，得AB=U設(shè)的高為/z,

6

SAABM即夜/?='.

△ABM212123144

根據(jù)題意，卜一刀=同，

1

由丁=產(chǎn)-|—t—，得

6666144

5

當(dāng)廠—t—=--------時(shí)，解得§=t>

661441212

5-0_5+V2

當(dāng)=——時(shí)，解得J—12%-12

661443

.?/的值為95-拒5+0

6分

1212'12

(III)由已知，得

a—夕？+ba+c,B=/J?+Z?/+c,T-*—Z-2+bt+c.

:,T-a=(t-a]{t-￥a+b]，

T_尸二?_￡)(.+￡+Z?),

a-p=(〃+b@+c)_(￡2+人尸+c),化簡(jiǎn)得(q_4)(q+6+人—i)=0

0<cif</?<1,得o-/?wO,cc+/3-\-b—1—0.

有e+Z?=l—/?>0,p-\-b—\—cc>0.

又0<，v1,/.，+a+Z?>0,%+/?+Z?>0,

當(dāng)0<，WQ時(shí)，TW。WB；

當(dāng)tzv%W/7時(shí)，a<TW/3?,

當(dāng)/Jvtvl時(shí)，a</3<T..................................................10分

【例6】（2010）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-f+6尤+。與*軸交于點(diǎn)4、3（點(diǎn)

A在點(diǎn)3的左側(cè)），與），軸的正半軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為E.

（I）若6=2,c=3,求此時(shí)拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（II）將（I）中的拋物線向下平移，若平移后，在四邊形ABEC中滿足

SABCE=SAABC，求此時(shí)直線BC的解析式；

（ID）將（I）中的拋物線作適當(dāng)?shù)钠揭?，若平移后，在四邊形A5EC中滿足

SABCE=2SAAOC，且頂點(diǎn)E恰好落在直線y=-4x+3上，求此時(shí)拋物線的解析式.

解：（I）當(dāng)6=2,c=3時(shí)，拋物線的解析式為y=-f+2x+3,即y=+4.

，拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,4）...................................2分

（II）將（I）中的拋物線向下平移，則頂點(diǎn)E在對(duì)稱軸x=l上，有6=2,

拋物線的解析式為>+2x+c（c>0）.

此時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為C（0,c）,頂點(diǎn)為E（l,1+c）.

方程—x2+2尤+c=O的兩個(gè)根為X]=1—,無(wú)2=1+Jl+c，

...此時(shí)，拋物線與無(wú)軸的交點(diǎn)為4（1-71X20）,5（1+71+^0）.

如圖，過(guò)點(diǎn)E作斯〃C8與x軸交于點(diǎn)/，連接CF,則S"CE=SABCF.

S叢BCE=SAABC，

S/\BCF=SAABC-

：.BF=AB=2A/1+C.

設(shè)對(duì)稱軸x=1與x軸交于點(diǎn)D,

1----------

貝4￡）尸=-AB+3P=3^/^Tc.

2

由所〃CB,得ZEFD=NCBO.

pnCO

：.RtAEDF^RtACOB.W—

DF

1+c_c

結(jié)合題意，解得c=-.

3Jl+c1+Jl+c4

???點(diǎn)C（0,-），B（-,0）.

42

【例7】（2011年）已知拋物線。1：%=；必—x+i,點(diǎn)

（I）求拋物線q的頂點(diǎn)坐標(biāo);

（II）①若拋物線G與y軸的交點(diǎn)為A,連接AW,并延長(zhǎng)交拋物線G于點(diǎn)8,

求證二-+°-=2；

AFBF

②取拋物線G上任意一點(diǎn)0（尤?，yj（o<~<1）,連接PF,并延長(zhǎng)交拋物線G于

點(diǎn)。（％，y。），試判斷工+二一=2是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

\）PFQF

1）

（III）將拋物線C］作適當(dāng)?shù)钠揭?得拋物線。2：%=5（X—/，），若2〈尤W加時(shí)，為WX

恒成立，求冽的最大值.

1c1,1

解：（I）V,=—x2-x+1=—+-,

122V'2

拋物線C｝的頂點(diǎn)坐標(biāo)為［1,g）.

（II）①根據(jù)題意，可得點(diǎn)A（0,l）,

網(wǎng)1,1)，

軸，得AF=3產(chǎn)=1,

11c

----1----=2.

AFBF

@—+—=2^AL.

PFQF

理由如下：

如圖，過(guò)點(diǎn)%)作RVf_LAB于點(diǎn)M,

則府=1—%PM=l-yp,(O<xP<l)

.?.RtAPM/中，由勾