量子力學(xué)教程(第二版)6.3 Landau能級_第1頁
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文檔簡介

一、電子的Hamilton量

考慮電子（質(zhì)量M，荷電-e）在均勻磁場B中運動,則相應(yīng)的矢勢A可取為

取磁場方向為z軸方向，則6.3Landau能級電子的Hamilton量表示為為方便，以下把電子沿z軸方向的自由運動分離出去，集中討論電子在xy平面中的運動，此時為Larmor頻率.

式(3)中,B(即wL)的線性項表示電子的軌道磁矩與外磁場的相互作用,而B2項則為反磁項.在Zeeman效應(yīng)中,由于電子局限在原子內(nèi)部運動,在通常實驗室所用磁場強度下,反磁項很小,常忽略不計.但對于自由電子,或磁場極強時,B2項就必須考慮.

二、電子的本征態(tài)和本征值征態(tài)，即（采用平面極坐標(biāo)）代入能量本征方程，可求得徑向方程

電子的能量本征態(tài)可取為守恒量完全集的共同本可解出能量本征值E(Landau能級)相應(yīng)的能量本征函數(shù)（徑向部分）為F為合流超幾何函數(shù)，nr表示徑向波函數(shù)的節(jié)點數(shù)(r＝0,∞除外).

三、能級的簡并度1.Landau能級簡并度二維各向同性諧振子（自然頻率為w0）能級簡并度均勻磁場中的電子∞對于較低的幾條能級的簡并度分析NEN/?ωLnρm0100,-1,-2,-3,…0,-1,-2,-3,…2301145021120,-1,-2,-3,…2136701320,-1,-2,-3,…(6)式所示電子能量(＞0)可以看成電子在外磁場B中感應(yīng)而產(chǎn)生的磁矩mz與外磁場的相互作用-mzB，而上式中的負號表示自由電子在受到外磁場作用時具有的反磁矩。2.Landau能級的簡并度不因規(guī)范選擇而異對于Landau曾經(jīng)選用過的規(guī)范電子在xy平面內(nèi)運動的Hamilton量為此時，H的本征態(tài)可取為對易守恒量完全集的共同本征態(tài)，即滿足令上式化為回旋角頻率(13)式描述的是一個一維諧振子，平衡點在點，其能量本征值為相應(yīng)的能量本征函數(shù)為

本征函數(shù)依賴于n和y0,而y0依賴于Px,可取(-∞,+∞)中一切實數(shù)值,但能級En不依賴于y0

.因而能級為無窮度簡并.有趣的現(xiàn)象

在均勻磁場中運動的電子,可以出現(xiàn)在無窮遠處(y0

→±

∞),即為非束縛態(tài)(x方向為平面波，也是非束縛態(tài)),但電子的能級卻是離散的,而通常一個二維非束縛態(tài)粒子的能量則是連續(xù)變化的.

Landau能級對于

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