數(shù)學(xué)：122《組合(三)》(人教版選修2-3)

1.2.2組合（三）——習(xí)題課復(fù)習(xí)鞏固：1、組合定義:

一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示.2、組合數(shù):3、組合數(shù)公式:性質(zhì)1性質(zhì)2一、平均分組與部分平均分組問題例1、6本不同的書，按下列條件，各有多少種不同的分法；（1）將6本書分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本；（2）將6本書分給三個人，甲一本，乙兩本，丙三本；（3）將6本書分給三個人，一人1本，一人2本，一人3本（4）將6本書平均分給三個人，每人兩本（5）將6本書平均分成三堆，每堆兩本；（6）將6本書分給甲，乙，丙三人，甲四本，乙丙各一本；（7）將6本書分成三堆，一堆四本，其余兩堆各一本；

(8)將6本書分給甲，乙，丙三人，一人四本，其余2人各一本。一、分類組合,隔板處理例、從6個學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?例1.把個30相同球放入6個不同盒子(盒子不能空的)有幾種放法?解:采用“隔板法”得:解:采用“隔板法”得:名額問題采用“隔板法”。元素相同問題隔板策略例.有10個運(yùn)動員名額，再分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？解：因?yàn)?0個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為例2、（1）10個優(yōu)秀指標(biāo)分配給6個班級，每個班級至少一個，共有多少種不同的分配方法？（2）10個優(yōu)秀指標(biāo)分配到1、2、3三個班，若名額數(shù)不少于班級序號數(shù)，共有多少種不同的分配方法？分析：（1）這是同種元素的“不平均分組”問題.本小題可構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，用5個隔板插入10個指標(biāo)中的9個空隙，既有種方法。按照第一個隔板前的指標(biāo)數(shù)為1班的指標(biāo)，第一個隔板與第二個隔板之間的指標(biāo)數(shù)為2班的指標(biāo)，以此類推，因此共有種分法.（2）先拿3個指標(biāo)分給二班1個，三班2個，然后，問題轉(zhuǎn)化為7個優(yōu)秀指標(biāo)分給三個班，每班至少一個.由（1）可知共有種分法隔板法：待分元素相同，去處不同，每處至少一個。

例3．（1）四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共有多少種不同的放法？（2）四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種？解：（1）根據(jù)分步計數(shù)原理：一共有（2）（捆綁法）第一步：從四個不同的小球中任取兩個“捆綁”在一起看成一個元素有種方法；第二步：從四個不同的盒中任取三個將球放入有種方法，所以，一共有＝144種方法捆綁法種方法；二、不相鄰問題插空法例4．馬路上有編號為1，2，3，…，10的十盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不可以同時關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，有多少種不同的關(guān)燈方法？解：（插空法）本題等價于在7只亮著的路燈之間的6個空檔中插入3只熄掉的燈，故所求方法總數(shù)為種方法例2、某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（）（A）種（B）種（C）種（D）種二、不相鄰問題插空法（四）順序固定問題例（1）7人排成一列，甲必須在乙的右面（可以不相鄰），有多少種不同的排法？解：（1）解法一:7人排隊，2人順序固定，共有解法二：先從7個位置中選5個位置，排上其余5人，剩下2人直接插入。共有（2）有5個節(jié)目的節(jié)目單中要插入2個新節(jié)目，保證原有節(jié)目順序不變的排法有多少種？解：（1）解法一:相當(dāng)于7個節(jié)目全排列且要求5個順序固定，因而有解法二：兩個節(jié)目一個一個地插入，先插第一個，有6種插法，再插第二個節(jié)目，有7種插法。因此總共有例5．

（遼寧卷9）一生產(chǎn)過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（）A．24種 B．36種C．48D．72種

B例題解讀：例6．（海南卷9）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面。不同的安排方法共有（）A.20種 B.30種C.40種D.60種

A例7．（重慶卷16)某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如題（16）圖所示的6個點(diǎn)A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有

種（用數(shù)字作答）.

216課堂練習(xí)：2、從6位同學(xué)中選出4位參加一個座談會，要求張、王兩人中至多有一個人參加，則有不同的選法種數(shù)為

。3、要從8名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選5人組成一個醫(yī)療隊，如果其中至少有2名男醫(yī)生和至少有2名女醫(yī)生，則不同的選法種數(shù)為（）4、從7人中選出3人分別擔(dān)任學(xué)習(xí)委員、宣傳委員、體育委員，則甲、乙兩人不都入選的不同選法種數(shù)共有（）1、把6個學(xué)生分到一個工廠的三個車間實(shí)習(xí)，每個車間2人，若甲必須分到一車間，乙和丙不能分到二車間，則不同的分法有

種。99CD6.高二某班第一小組共有12位同學(xué)，現(xiàn)在要調(diào)換座位，使其中有3個人都不坐自己原來的座位，其他9人的座位不變，共有

種不同的調(diào)換方法7.某興趣小組有4名男生，5名女生：（1）從中選派5名學(xué)生參加一次活動，要求必須有2名男生，3名女生，且女生甲必須在內(nèi)，有

種選派方法；（2）從中選派5名學(xué)生參加一次活動，要求有女生但人數(shù)必須少于男生，有____種選派方法；（3）分成三組，每組3人，有_______種不同分法.3645280課堂練習(xí)：8.九張卡片分別寫著數(shù)字0，1，2，…，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數(shù)，如果6可以當(dāng)作9使用，問可以組成多少個三位數(shù)？解：可以分為兩類情況：①若取出6，則有種方法；②若不取6，則有種方法，根據(jù)分類計數(shù)原理，一共有+＝602種方法課堂練習(xí)：9.某餐廳供應(yīng)盒飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同的品種.現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需準(zhǔn)備不同的素菜_____種.(結(jié)果用數(shù)值表示)7【解題回顧】由于化為一元二次不等式n2－n－40≥0求解較繁，考慮到n為正整數(shù)，故解有關(guān)排列、組合的不等式時，常用估算法.10.某電視臺邀請了6位同學(xué)的父母共12人，請這12位家長中的4位介紹對子女的教育情況，如果這4位中恰有一對是夫妻，那么不同選擇方法的種數(shù)是()(A)60(B)120(C)240(D)270C11.某次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中，學(xué)號是i(i=1、2、3、4)的四位同學(xué)的考試成績f(i)∈{86,87,88,89,90}，且滿足f(1)＜f(2)≤f(3)＜f(4)，則四位同學(xué)的成績可能情況有()(A)5種(B)12種(C)15種(D)10種CB12.表達(dá)式可以作為下列哪一問題的答案()(A)n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有一個盒子放兩個球的方法數(shù)(B)n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有一個盒子空著的方法數(shù)(C)n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有兩個盒子放兩個球的方法數(shù)(D)n個不同的球放入不同編號的n個盒子中，只有兩個盒子空著的方法數(shù)1．按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，是處理組合應(yīng)用題的基本思想方法；2．對于有限制條件的問題，要優(yōu)先安排特殊元素、特殊位置；3．對于含“至多”、“至少”的問題，宜用排除法或分類解決；4．按指定的一種順序排列的問題，實(shí)質(zhì)是組合問題.

課堂小結(jié)5.需要注意的是，均勻分組（不計組的順序）問題不是簡單的組合問題，如：將