量子力學的基本理論

量子力學初步iHeethYY量子力學初步量子力學初步第二十三章quantummechanicspreliminaryremarksofchapter231編輯ppt本章內容本章內容Contentschapter23波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋wavefunctionanditsstatisticalexplanation薛定諤方程Schrodingerequation隧道效應tunneleffect不確定關系uncertaintyrelation2編輯ppt第一節(jié)wavefunctionanditsstatisticalexplanation波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋23-1ssss3編輯ppt引言

量子力學是描述微觀粒子運動規(guī)律的學科。它是現(xiàn)代物理學的理論支柱之一，被廣泛地應用于化學、生物學、電子學及高新技術等許多領域。本章主要介紹量子力學的基本概念及原理，并通過幾個具體事例的討論來說明量子力學處理問題的一般方法。4編輯ppt波函數(shù)回顧：德布羅意關于物質的波粒二象性假設速度為v質量為m的自由粒子,Ep.,一方面可用能量

和動量

來描述它的粒子性nl另一方面可用頻率

和波長

來描述它的波動性一、波函數(shù)

波函數(shù)是描述具有波粒二象性的微觀客體的量子狀態(tài)的函數(shù)，知道了某微觀客體的波函數(shù)后，原則上可得到該微觀客體的全部知識。下面從量子力學的基本觀點出發(fā)，建立自由粒子的波函數(shù)。波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋5編輯ppt自由粒子波函數(shù)在量子力學中用復數(shù)表達式：應用歐拉公式取實部eifcosfisinf應用德布羅意公式phlhnEEnhl1php2hh1p2hh即即即的自由粒子的波函數(shù)為Y,()xteiAnp2l(tx)沿X方向勻速直線運動

在波動學中，描述波動過程的數(shù)學函數(shù)都是空間、時間二元函數(shù)一列沿X軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動方程A,y()xtcosp2Tl(tx)cosnp2l(tx)Aei,y()xtnp2l(tx)Aeih(tx)pEA沿方向勻速直線運動r的自由粒子的波函數(shù)為Y,()trei(t)pErhA6編輯ppt續(xù)上在量子力學中用復數(shù)表達式：應用歐拉公式取實部eifcosfisinf應用德布羅意公式phlhnEEnhl1php2hh1p2hh即即即沿方向勻速直線運動r的自由粒子的波函數(shù)為Y,()trei(t)pErh的自由粒子的波函數(shù)為Y,()xteiAnp2l(tx)沿X方向勻速直線運動

在波動學中，描述波動過程的數(shù)學函數(shù)都是空間、時間二元函數(shù)一列沿X軸正向傳播的平面單色簡諧波的波動方程A,y()xtcosp2Tl(tx)cosnp2l(tx)Aei,y()xtnp2l(tx)Aeih(tx)pExAAY,()tre(t)pErihA自由粒子的波函數(shù)

自由粒子的能量和動量為常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波是平面波。不是常量，其波函數(shù)所描述的德布羅意波就不是平面波。對于處在外場作用下運動的非自由粒子，其能量和動量外場不同，粒子的運動狀態(tài)及描述運動狀態(tài)的波函數(shù)也不相同。微觀客體的運動狀態(tài)可用波函數(shù)來描述，這是量子力學的一個基本假設。7編輯ppt概率密度二、波函數(shù)的統(tǒng)計解釋設描述粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)為，則Y,()tr空間某處波的強度與在該處發(fā)現(xiàn)粒子的概率成正比；在該處單位體積內發(fā)現(xiàn)粒子的概率（概率密度）P,()tr與的模的平方成正比。,()trYP,()trY,()tr2Y,()tr*Y,()tr*Y,()trY,()tr是的共軛復數(shù)德布羅意波又稱概率波波函數(shù)又稱概率幅取比例系數(shù)為1，即MaxBorn(1882~1969)玻恩1926年提出了對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋8編輯ppt波函數(shù)歸一化rXYzOxyzdVxddyzd因概率密度P,()trY,()tr2故在矢端的體積元內rdVxddyzd發(fā)現(xiàn)粒子的概率為dVxddyzdP,()trY,()tr2在波函數(shù)存在的全部空間V中必能找到粒子，即在全部空間V中

粒子出現(xiàn)的概率為1。dVY,()tr2VVY,()tr*Y,()trdV1此條件稱為波函數(shù)的歸一化條件滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)波函數(shù)具有統(tǒng)計意義，其函數(shù)性質應具備三個標準條件：9編輯ppt概率波與經典波德布羅意波（概率波）不同于經典波（如機械波、電磁波）德布羅意波經典波是振動狀態(tài)的傳播不代表任何物理量的傳播波強（振幅的平方）代表通過某點的能流密度波強（振幅的平方）代表粒子在某處出現(xiàn)的概率密度概率密度分布取決于空間各點波強的比例，并非取決于波強的絕對值。能流密度分布取決于空間各點的波強的絕對值。因此，將波函數(shù)在空間各點的振幅同時增大C倍，不影響粒子的概率密度分布，即和C所描述德布羅意波的狀態(tài)相同。YY因此，將波函數(shù)在空間各點的振幅同時增大C倍，則個處的能流密度增大C倍，變?yōu)榱硪环N能流密度分布狀態(tài)。2波函數(shù)存在歸一化問題。波動方程無歸一化問題。波函數(shù)存在歸一化問題。10編輯ppt波函數(shù)標準條件波函數(shù)的三個標準條件：連續(xù)因概率不會在某處發(fā)生突變，故波函數(shù)必須處處連續(xù)；單值因任一體積元內出現(xiàn)的概率只有一種，故波函數(shù)一定是單值的；有限因概率不可能為無限大，故波函數(shù)必須是有限的；以一維波函數(shù)為例，在下述四種函數(shù)曲線中，只有一種符合標準條件YYYYXOXOOXOX符合不符合不符合不符合11編輯ppt算例例設某粒子的波函數(shù)為Y,()xt0exApasinithE()x0,xa()x0a求歸一化波函數(shù)概率密度概率密度最大的位置解法提要0aeAithExpasin((eAithExpasin((xd令YY*2Yxdxd0a0a1A,求2Yxd0aA20asinxpa2xd1積分得：a2A21,A2a得到歸一化波函數(shù)：Y,()xt0expasinithE()x0,xa()x0a2a概率密度P,()xtY,()xt2()x0,xa()x0a0sinxpa2a2P,()xt得令dPxd0求極大值的x坐標dxd0sinxpa2a2((2asinxpa2p2解得xa2((0,a另外兩個解x處題設Y0處P,()xt最大YP2Y0aXX0aa2a22a2a1112編輯ppt隨堂小議結束選擇請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案隨堂小議下列波函數(shù)中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）13編輯ppt小議鏈接1結束選擇請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案隨堂小議下列波函數(shù)中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）14編輯ppt小議鏈接2結束選擇請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案隨堂小議下列波函數(shù)中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）15編輯ppt小議鏈接3結束選擇請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案隨堂小議下列波函數(shù)中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）16編輯ppt小議鏈接4結束選擇請在放映狀態(tài)下點擊你認為是對的答案隨堂小議下列波函數(shù)中合理的是xsin((xY((xYex((xYex2((xYex20((x0((x0（1）；（2）；（3）；（4）17編輯ppt第二節(jié)Schrodingerequation23-2ssss薛定諤方程薛定諤方程18編輯ppt薛定諤方程引言經典力學牛頓力學方程pFmddtvddt根據(jù)初始條件可求出經典質點的運動狀態(tài)r()t,p()tr0p0r()tp()tXYzO經典質點有運動軌道概念不考慮物質的波粒二象性量子力學一、引言針對物質的波粒二象性微觀粒子無運動軌道概念zXYOYr(t,(運動狀態(tài)Yr(t,(波函數(shù)量子力學方程？是否存在一個根據(jù)某種條件可求出微觀粒子的薛定諤方程薛定諤方程19編輯ppt基本算符量子力學中的

算符是表示對某一函數(shù)進行某種數(shù)學運算的符號。在量子力學中，一切力學量都可用算符來表示。這是量子力學的一個很重要的特點。算符劈形算符數(shù)學運算符號拉普拉斯算符seexi+yjee+zeekeex++22yee22zee22s2動量算符pihs動能算符T2mh2s2哈密頓算符()含動、勢能H2mh2s2+()rU,t位矢算符rr力學量算符統(tǒng)稱舉例F()若作用在某函數(shù)上的效果FY和與某一常量的乘積相當，YF即FYFY則F稱為的本征值FY稱為的本征函數(shù)FY所描述的狀態(tài)稱為本征態(tài)力學量的可能值是它的本征值力學量的平均值由下述積分求出FFY*FYxyzddd20編輯ppt薛定諤方程二、薛定諤方程二、薛定諤方程1925年德國物理學家薛定諤提出的非相對論性的量子力學基本方程獲1933年諾貝爾物理學獎薛定諤EnwinSchrodinger:（1887-1961）薛定諤EnwinSchrodinger:當其運動速度遠小于光速時它的波函數(shù)所滿足的方程為Y質量為的粒子m在勢能函數(shù)為的勢場中運動()trU,它反映微觀粒子運動狀態(tài)隨時間變化的力學規(guī)律，又稱含時薛定諤方程。2mh2eex++22yee22zee22()()rU,t+H式中，為哈密頓算符，H2mh22s()rU,t+iHeethYY薛定諤方程薛定諤方程21編輯ppt三、定態(tài)薛定諤方程可分離變量，寫成解釋：U()rU若則Y()r,tY()r,tY()rf()tihf()tdtdEf()t積分f()t解得CteihEC將常量歸入中，得Y()rYY()rteihE定態(tài)波函數(shù)此外，對得HYEY定態(tài)薛定諤方程ihY()reetf()tHY()rf()t故ihY()rf()tHY()rE常量()時間的函數(shù)空間的函數(shù)tf()tddHEY()rY()r由對應一個可能態(tài)有一常量E定態(tài)薛定諤方程勢場只是空間函數(shù)U()rU即若粒子所在的E有一個能量定值HYEYY()r,tiHeethYY含時薛定諤方程HU()r,t+2mh22sYHU()r+2mh22sYY()rteihE定態(tài)波函數(shù)對應于一個可能態(tài)，則定態(tài)薛定諤方程22編輯ppt其概率密度P(),trY(),trY(),tr*2Y(),trY()rteihEY()retihEY()r2與時間無關所描述的狀態(tài)。它的重要特點是：所謂“定態(tài)”，就是波函數(shù)具有形式Y()rteihEY(),tr定態(tài)波函數(shù)Y()rteihEY(),tr中的稱為振幅函數(shù)Y()r（有時直稱為波函數(shù)）。Y()rY()r的函數(shù)形式也應滿足統(tǒng)計的條件連續(xù)、單值、有限的標準條件；歸一化條件；對坐標的一階導數(shù)存在且連續(xù)（使定態(tài)薛定諤方程成立）。定態(tài)問題是量子力學最基本的問題，我們僅討論若干典型的定態(tài)問題。HYEY若已知勢能函數(shù)，應用定態(tài)薛定諤方程()rU可求解出，并得到定態(tài)波函數(shù)Y()rY()rteihEY(),tr續(xù)上23編輯ppt態(tài)跌加原理四、態(tài)疊加原理

為薛定諤方程的兩個解，分別代表體系的兩個可能狀態(tài)。Y12Y設Y為它們的線性疊加即Y+1CY12C2Y1C2C為復常數(shù)將上式兩邊對時間ih求偏導數(shù)并乘以eetihYih1CeetY1+2C2Yeet因Y12Y都滿足薛定諤方程iheetY1HY1i2YeethH2Y即1CHY1+2CHY2(H1CY1+2CY2(HY這表明：體系兩個可能狀態(tài)的疊加仍為體系的一個可能態(tài)。稱為態(tài)疊加原理24編輯ppt一維無限深勢阱五、一維無限深勢阱粒子在某力場中運動，若力場的勢函數(shù)U具有下述形式該勢能函數(shù)稱作一維無限深勢阱。0U()x8L(x0)L(x0,x)0LX88U()x應用定態(tài)薛定諤方程可求出運動粒微觀系統(tǒng)中，有關概率密度、能量這是一個理想化的物理模型，子的波函數(shù)，有助于進一步理解在量子化等概念。25編輯ppt續(xù)上求解2mh22x2Y()xddEY()x阱內U()x0阱外U()x8Y()x只有0因Y()xY()xddx及要連續(xù)、有限，薛定諤方程才成立，在阱外故粒子在無限深勢阱外出現(xiàn)的概率為零。m設質量為的微觀粒子，處在一維無限深勢阱中，該勢阱的勢能函數(shù)為0U()x8L(x0)L(x0,x)阱外阱內建立定態(tài)薛定諤方程HYEY一維問題H+U()x2mh22eex2+U()xY()x2mh22x2Y()xddEY()x0LUX88()x26編輯ppt續(xù)上求解求定態(tài)薛定諤方程的通解阱內2mh22x2Y()xddEY()x即02x2Y()xdd+Y()xE2mh2令2kE2mh2得2x2Y()xdd+2k0Y()x此微分方程的通解為+Y()xAexkiBxkie其三角函數(shù)表達形式為()Y()xsindAxk+A式中和為待定常數(shù)d根據(jù)標準條件確定常數(shù)d和k,并求能量的可能取值EAsinkL0以及x0在邊界和xL處Y()xA0又因d0,得Y()0Asind0()Y()LAsinkL+d0的取值應與阱外連續(xù)，Y()x0邊界處的Y()x故得及kLpn,()n0+1,2+,n0時阱內不合理舍去,Y()x0n的負值和正值概率密度相同。同一取kpnL()n1,2,得Epnh222L22m()n1,2,n27編輯ppt續(xù)求解求歸一化定態(tài)波函數(shù)()Y()xsindAxk+由上述結果L(x0,x)阱外Y()x0阱內L(x0)及kpnL()n1,2,d0,得AsinxpnLY()xn()n1,2,Y()xn應滿足歸一化條件88Y()xnx2d2xdA0LsinxpnL21得積分2dA0LsinxpnL2pnLxpnL()xpnL()2ApnL12241sin2xpnL()0L22AL1A2L歸一化定態(tài)波函數(shù)Y()xn0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)概率密度PY()xnn()x20L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)228編輯ppt勢阱問題小結能量量子化極不明顯，可視為經典連續(xù)。間距太小在微觀粒子可能取Esn()2+n1ph22L22m如，電子m9.1×10–31kg處在寬度10-10m(原子線度)的勢阱中L算得Esn()2+n1×37.7eV能量量子化明顯處在寬度10–2m(宏觀尺度)的勢阱中L算得Esn()2+n1×37.7×10

-15eV能量量子化是微觀世界的固有現(xiàn)象從能級絕對間隔看，從能級相對間隔sEnEn()2+n1n2看，則n8sEnEn()0的各種能態(tài)中，隨著值增大，逐漸向經典過渡。n一維無限深勢阱中的微觀粒子（小結）()n1,2,n2ph22L22mEn能量量子化Enph22L22mE1稱基態(tài)能或零點能相鄰能級的能量間隔EsnEn+1En()2+n1ph22L22mEnn1E1n24E1E19n3波函數(shù)Y()xn0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)0LX1Y()x3Y()x0LXn3Y20LX()xn2n1Y()xn,tY()xnteihEn好比駐波Enwnh0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)2概率密度Pn()xY()xn20LX1()xn120LX()xn2PP30LXPn3()xPn()x0的稱節(jié)點位置Pn()x極大的稱最概然位置xxn增大,節(jié)點數(shù)增多,最概然位置間隔變小。很大，概率n密度趨近經典均勻分布。29編輯ppt勢壘一、勢壘()xU0a0UX()xU0U0a))x0,x))x0a粒子在某力場中運動，若力場的勢函數(shù)U具有下述形式該勢能函數(shù)稱作一維矩形勢壘。按經典力學觀點，在量子力學中，能量的粒子E0U不可能穿越勢壘。后才能下結論。應求解定態(tài)薛定諤方程隧道效應隧道效應23-3ssss30編輯ppt隧道效應二、勢壘貫穿隧道效應E2mh22k102x2Ydd+Y2k102x2Ydd+Y2k2E2mh22k0U()2))x0aa))x0,x區(qū)YB2+xAekixkieA12+xekixkie1+xekixkie1CBCIIIIII(((區(qū)區(qū)(((,式中得上述微分方程的解為1()xU0a0UXIIIIII設：一矩形勢壘的()xU0U0a))x0,x))x0a勢能函數(shù)在勢函數(shù)定義的全部空間粒子的波函數(shù)都應滿足薛定諤方程HYEYHU+2mh22x2dd()x,一質量為、能量為E0Um的粒子由區(qū)向勢壘運動I31編輯ppt續(xù)上YB+xAekiA2xkie1+xeki1+xeki1xkieC2xkieBC區(qū)IIIIII((((((區(qū)區(qū)1入射波()xUX0aIIIIII+反射波透射波CIII區(qū)無反射，0Y入入射波反Y反射波透Y透射波根據(jù)邊界條件和處x0axY和xdYd必須連續(xù)，可求方程中各系數(shù)的關系。透射粒子數(shù)入射粒子數(shù)透射系數(shù)D透YY入22AC22為描述粒子透過勢壘的概率引入e2a2kD8h2mE0U()k2為原設a為勢壘寬度估算表明,,可見，粒子能穿過比其能量更高的勢壘，這種現(xiàn)象稱為勢壘貫穿亦稱隧道效應。這是微觀粒子波動性的表現(xiàn)。隧道效應已被許多實驗所證實，并在半導體器件、超導器件、物質表面探測等現(xiàn)代科技領域中有著重要的應用。32編輯ppt掃描隧道顯微鏡三、掃描隧道顯微鏡（STM）兩金屬的平均逸出電勢壘高度210U120U+()0Ud0U120U金屬1金屬2逸出電勢壘高金屬1逸出電勢壘高金屬2金屬中的電子由于隧道效應有可能穿越比其能量更高的表面勢壘（逸出電勢壘）而逸出金屬表面，在金屬外表面附近形成電子云，電子云的分布形式與金屬晶體的結構和表面性質有關。若兩塊金屬表面相距很近，至使表面的電子云發(fā)生相互重疊，此時若在兩金屬間加一微弱電壓（操作電壓），則會有微弱的電流（隧道電流）從一金屬流向另一金屬，并可表示為dVTIT實驗表明，只要改變0.1nm(原子直徑線度），就會引起變化一千倍左右。掃描隧道顯微鏡利用隧道效應中的這種靈敏特性，將一金屬做成極細的探針（針尖細到一個原子大?。?，在另一金屬樣品表面附近掃描，它能夠以原子級的空間分辨率去觀察物質表面的原子結構。dITIT8VTed0UAd0U若勢壘寬度和勢壘平均高度分別以nm和eV為單位時，約為1。A33編輯ppt續(xù)上測試樣品測試樣品掃描探針掃描探針電子云dITVTSi(111)表面7×7元胞的STM圖像亮點表示突起，暗部表示下凹IT8VTed0UA電子測控及數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)計算機顯示系統(tǒng)XYz橫向()XY分辨率達0.1nmz縱向()分辨率達0.005nm真空或介質沿XY逐行掃描的同時，自控系統(tǒng)根據(jù)反饋信號調節(jié)針尖到樣品表層原子點陣的距離，IT使保持不變。針尖的空間坐標的變化反映了樣品表面原子陣列的幾何結構及起伏情況。經微機編碼可顯示表面結構圖像。STM可用于金屬、半導體、絕緣體和有機物表面的研究。是材料科學、生命科學和納米科學與技術的有力武器。AtomicResolutionSTMonSi(111)34編輯ppt不確定關系海森伯因創(chuàng)立用矩陣數(shù)學描述微觀粒子運動規(guī)律的矩陣力學，獲1932年諾貝爾物理獎rxprx（注：不確定關系又稱測不準關系，在上述表達式中的和都具有統(tǒng)計含義，分別代表有關位置和動量的方均根偏差。）位置和動量的不確定關系rxprx2h稱為海森伯位置和動量的不確定關系，它說明，同時精確測定微觀粒子的位置和動量是不可能的。微觀粒子不能同時具有確定的位置和動量，位置的不確定量rx該方向動量的不確定量prx同一時刻的關系1927年，德國物理學家海森伯提出WernerHeisenberg(1901~1976)海森伯不確定關系不確定關系23-4ssss35編輯ppt續(xù)上電子束j縫寬X衍射圖樣rxprxp電子通過單縫時發(fā)生衍射，概略地用一級衍射角所對應的動量變化分量粗估其動量的不確定程度prxrx得rxprxphp即rxprxh考慮到高于一級仍會有電子出現(xiàn)取rxprxh從電子的單縫衍射現(xiàn)象不難理解位置和動量的不確定關系j衍射圖樣prxp單縫衍射一級暗紋條件ljsinrx德布羅意波長lhpprxsinjprx縫寬可用來粗估電子通過單縫時其位置x的不確定程度。根據(jù)右圖可粗估為了減小位置測量的不確定程度，可以減小縫寬，但與此同時，被測電子的動量的不確定量卻變大了。rxprxrxprx與的關系。同時為零，即微觀粒子的位置和動量不可能同時精確測定，這是微觀粒子具有波粒二象性的一種客觀反映。不確定關系可用來劃分經典力學與量子力學的界限，如果在某一具體問題中，普朗克常數(shù)可以看成是一個小到被忽略的量，則不必考慮客體的波粒二象性，可用經典力學處理。rxprxh通常也作為不確定關系的一種簡明的表達形式，它表明rxprx和不可能36編輯ppt例題一質量速度速度不確定量某飛行中的子彈m=0.01kgv

=500m/s△v