2024年初一下冊數學專項練習78實際問題與二元一次方程組（一）(提高) 知識講解

2024年初一下冊數學專項練習實際問題與二元一次方程組（一）（提高）知識講解【學習目標】1．以含有多個未知數的實際問題為背景，經歷“分析數量關系，設未知數，列方程組，解方程組和檢驗結果”的過程，體會方程組是刻畫現實世界中含有多個未知數問題的數學模型；2.熟練掌握用方程組解決和差倍分，配套，工程等實際問題．【要點梳理】要點一、常見的一些等量關系（一）1.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數×倍量.2.產品配套問題：解這類問題的基本等量關系是：加工總量成比例.3.工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量.4.利潤問題：商品利潤＝商品售價－商品進價，.要點二、實際問題與二元一次方程組1.列方程組解應用題的基本思想列方程組解應用題，是把“未知”轉換成“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的等量關系．一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量：②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數要相等.2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟：設：用兩個字母表示問題中的兩個未知數；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關系，根據等量關系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案．要點詮釋：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.【典型例題】類型一、和差倍分問題1.在一次數學測驗中，甲、乙兩校各有100名同學參加測試．測試結果顯示，甲校男生的優(yōu)分率為60％，女生的優(yōu)分率為40％，全校的優(yōu)分率為49.6％；乙校男生的優(yōu)分率為57％，女生的優(yōu)分率為37％．(男(女)生優(yōu)分率＝，全校優(yōu)分率＝)(1)求甲校參加測試的男、女生人數各是多少?(2)從已知數據中不難發(fā)現甲校男、女生的優(yōu)分率都相應高于乙校男、女生的優(yōu)分率，但最終的統(tǒng)計結果卻顯示甲校的全校優(yōu)分率比乙校的全校的優(yōu)分率低，請舉例說明原因．【思路點撥】(1)求甲校參加測試的男、女生人數需設兩個未知數，故可建立二元一次方程組求解．(2)由于甲校男、女生的優(yōu)分率相應高于乙校的男、女生的優(yōu)分率，要使乙校的全校優(yōu)分率比甲校的全校優(yōu)分率高，此時，只有乙校的男生較多時，才能提高全校的優(yōu)分率．【答案與解析】解：(1)設甲校參加測試的男生人數是x人，女生人數是y人．由題意可列方程組：解之得：．答：甲校參加測試的男生有48人，女生有52人．(2)如：乙校男生有70人，女生有30人，則乙校的全校優(yōu)分率為．51％＞49.6％(說明：只要所舉例子中男生人數多于63人，且女生優(yōu)分率合適，即可得全分．)【總結升華】解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．本題的第（2）問也可以用不等式求出甲乙兩校男生人數滿足什么關系時，才滿足甲校的全校優(yōu)分率比乙校的全校的優(yōu)分率低．舉一反三：【變式】為了拉動內需，全國各地汽車購置稅補貼活動在2009年正式開始．某經銷商在政策出臺前一個月共售出某品牌汽車的手動型和自動型共960臺，政策出臺后的第一個月售出這兩種型號的汽車共1228臺，其中手動型和自動型汽車的銷售量分別比政策出臺前一個月增長30％和25%．(1)在政策出臺前一個月，銷售的手動型和自動型汽車分別為多少臺?(2)若手動型汽車每臺價格為8萬元，自動型汽車每臺價格為9萬元．根據汽車補貼政策，政府按每臺汽車價格的5％給購買汽車的用戶補貼，問政策出臺后的第一個月，政府對這1228臺汽車用戶共補貼了多少萬元？【答案】解：(1)設政策出臺前一個月銷售的手動型汽車為x輛，自動型汽車為y輛，由題意可得：解之得：．答：政策出臺前一個月銷售的手動型汽車為560輛，自動型汽車為400輛．(2)[560×(1+30％)×8+400×(1+25％)×9]×5％＝516.2(萬元)答：政策出臺后的第一個月，政府對這1228臺汽車用戶共補貼了516.2萬元．類型二、配套問題2.某班學生到農村勞動，一名男生因病不能參加，另有三名男生體質較弱，教師安排他們與女生一起抬土，兩人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁擔，兩只筐），這樣安排勞動時恰需筐68個，扁擔40根，問這個班的男女生各有多少人？【答案與解析】解：設女生人，男生人，由題意得：解得：答：這個班的男生有32人，女生有21人.【總結升華】兩人抬土需要一根扁擔，一只筐；一人挑土需要一根扁擔，兩只筐．題中的等量關系是：參加勞動的同學一共用去籮筐68個和40根扁擔，從而列出方程組，解出即可．舉一反三：【變式】某工廠有工人60人，生產某種由一個螺栓和兩個螺母的配套產品，每人每天生產螺栓14個或螺母20個，應分配多少人生產螺栓，多少人生產螺母，才能使生產出的螺栓和螺母剛好配套？【答案】解：設分配x人生產螺栓，y人生產螺母，則根據題意可得： 答：應分配25人生產螺栓，35人生產螺母.類型三、工程問題3.一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元，若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元，問：（1）甲、乙兩組工作一天，商店各應付多少錢？（2）已知甲單獨完成需12天，乙單獨完成需24天，單獨請哪個組，商店所需費用最少？（3）若裝修完后，商店每天可贏利200元，你認為如何安排施工更有利于商店？請你幫助商店決策．（可用（1）（2）問的條件及結論）【思路點撥】（1）本題的等量關系是：甲做8天需要的費用+乙作8天需要的費用=3520元．甲組6天需付的費用+乙做12天需付的費用=3480元，由此可得出方程組求出解．（2）根據（1）得出的甲乙每工作一天，商店需付的費用，然后分別計算出甲單獨做12天需要的費用，乙單獨做24天需要的費用，讓兩者進行比較即可．（3）本題可將每種施工方法的施工費加上施工期間商店損失的費用，然后將不同方案計算出的結果進行比較，損失最少的方案就是最有利商店的方案．【答案與解析】解：（1）設：甲組工作一天商店應付x元，乙組工作一天商店付y元．由題意得解得答：甲、乙兩組工作一天，商店各應付300元和140元．（2）單獨請甲組需要的費用：300×12=3600元．單獨請乙組需要的費用：24×140=3360元．答：單獨請乙組需要的費用少．（3）請兩組同時裝修，理由：甲單獨做，需費用3600元，少贏利200×12=2400元，相當于損失6000元；乙單獨做，需費用3360元，少贏利200×24=4800元，相當于損失8160元；甲乙合作，需費用3520元，少贏利200×8=1600元，相當于損失5120元；因為5120＜6000＜8160，所以甲乙合作損失費用最少．答：甲乙合作施工更有利于商店．【總結升華】解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系：甲做8天需要的費用+乙作8天需要的費用=3520元．列出方程組，再求解．類型四、利潤問題4.甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤，將甲服裝按50%的利潤定價，乙服裝按40%的利潤定價．在實際出售時，應顧客要求，兩件服裝均按定價的9折出售，這樣商店共獲利157元．求甲、乙兩件服裝的成本各是多少元？【思路點撥】設甲服裝的成本是x元，則乙服裝的成本是y元，根據“甲、乙兩件服裝共獲利157元、將甲服裝按50%的利潤定價，乙服裝按40%的利潤定價，兩件服裝均按定價的9折出售，這樣商店共獲利157元”，列方程組解決問題．【答案與解析】解：設甲服裝的成本是x元，則乙服裝的成本是y元，依題意有解得：答：甲服裝的成本為300元，乙服裝的成本為200元．【總結升華】考查了二元一次方程組的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程組，再求解．舉一反三：【變式】為處理甲、乙兩種積壓服裝，商場決定打折銷售，已知甲、乙兩種服裝的原單價共位880元，現將甲服裝打八折，乙服裝打七五折，結果兩種服裝的單價共為684元，則甲、乙兩種服裝的原單價分別是多少？【答案】解：設甲、乙兩種服裝的原單價分別是x元、y元．根據題意，得：，解得：，即：甲、乙兩種服裝的原單價分別是480元、400元．實際問題與二元一次方程組（二）（基礎）知識講解【學習目標】1．熟悉行程、方案、數字等問題的解決方法；2.進一步研究用二元一次方程組解決實際問題．【要點梳理】要點一、常見的一些等量關系（二）行程問題速度×時間=路程.順水速度=靜水速度+水流速度.逆水速度=靜水速度-水流速度.2．存貸款問題利息=本金×利率×期數.本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數＝本金×(1＋利率×期數).年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×.3.數字問題已知各數位上的數字，寫出兩位數，三位數等這類問題一般設間接未知數，例如：若一個兩位數的個位數字為a，十位數字為b，則這個兩位數可以表示為10b+a．4．方案問題在解決問題時，常常需合理安排．需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網絡的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案．

要點詮釋：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案．要點二、實際問題與二元一次方程組1.列方程組解應用題的基本思路2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟設：用兩個字母表示問題中的兩個未知數；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關系，根據等量關系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案．要點詮釋：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.【典型例題】類型一、行程問題1.A、B兩地相距480千米，一列慢車從A地開出，一列快車從B地開出．(1)如果兩車同時開出相向而行，那么3小時后相遇；如果兩車同時開出同向(沿BA方向)而行，那么快車12小時可追上慢車，求快車與慢車的速度；(2)如果慢車先開出l小時，兩車相向而行，那么快車開出幾小時可與慢車相遇?【思路點撥】這兩個問題均可以利用路程、速度和時間之間的關系列方程(組)求解．(1)“同時開出相向而行”可用下圖表示．“同時開出同向而行”可用下圖表示．(2)慢車先開出1小時，兩車相向而行，仿照（1）用示意圖表示出來，并用等式表示出來．【答案與解析】解：(1)設快車和慢車的速度分別為x千米/時和y千米/時．根據題意，得，解得答：快車和慢車的速度分別為100千米/時和60千米/時．(2)設快車開出x小時可與慢車相遇，則此時慢車開出(x+1)小時，根據題意，得60(x+1)+100x＝480．解得．答：快車開出小時兩車相遇．【總結升華】比較復雜的行程問題可以通過畫“線條”圖幫助分析，求解時應分清相遇、追及、相向、同向等關鍵詞．舉一反三：【變式】兩列火車從相距810km的兩城同時出發(fā)，出發(fā)后10h相遇；若第一列火車比第二列火車先出發(fā)9h，則第二列火車出發(fā)5h后相遇，問這兩列火車的速度分別是多少？【答案】解：設這兩列火車的速度分別為km/h，km/m．由題意得，答：這兩列火車的速度分別為45km/h和36km/h．類型二、存貸款問題2.蔬菜種植專業(yè)戶徐先生要辦一個小型蔬菜加工廠，分別向銀行申請了甲，乙兩種貸款，共13萬元，徐先生每年須付利息6075元，已知甲種貸款的年利率為6%，乙種貸款的年利率為3.5%，則甲，乙兩種貸款分別是多少元？【思路點撥】本題的等量關系：甲種貸款+乙種貸款＝13萬元；甲種貸款的年利息+乙種貸款的年利息＝6075元.【答案與解析】解：設甲，乙兩種貸款分別是x，y元，根據題意得：解得：

答：甲，乙兩種貸款分別是61000元和69000元．【總結升華】利息＝貸款金額×利息率.類型三、數字問題3.一個兩位數的數字之和為11，若把十位數字與個位數字對調，所得的兩位數比原來大63，則原來兩位數為（）A．92 B．38 C．47 D．29【思路點撥】設這個兩位數十位為x，個位為y，根據個位數字與十位數字之和為11，把這個兩位數的個位數字與十位數字對調，所得的新數比原數大63，列方程組求解．【答案】D．【解析】解：設這個兩位數十位為x，個位為y，由題意得，，解得：，則這個兩位數為：29．故選：D．【總結升華】對于兩位數、三位數的數字問題，關鍵是明確它們與各數位上的數字之間的關系：兩位數＝十位數字×10+個位數字；三位數＝百位數字×100+十位數字×10+個位數字．舉一反三：【變式】一個兩位數的十位數字與個位數字之和是7，如果把這個兩位數加上45，那么恰好成為把個位數字和十位數字對調后組成的數，那么這個兩位數是（）A．16 B．25 C．52 D．61【答案】A解：設個位數字為a，十位數字為b，則這個兩位數是（10b+a），由題意，得，解得．所以這個兩位數是：10×1+6=16．類型四、方案選擇問題4.某種飲料有大箱和小箱兩種包裝，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．求：①2大箱、5小箱分別有飲料多少瓶？②若一大箱、一小箱飲料分別標價48元、25元，且兩種包裝的飲料質量完全相同，請問購買哪種包裝的飲料更合算？【思路點撥】①設大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，根據3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶即可列出二元一次方程組求出即可；②利用①中所求分別求出平均每瓶的價格進而得出答案．【答案與解析】解：①設大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，根據題意可知3大箱、2小箱共92瓶，可列式為3x+2y=92，又知5大箱、3小箱共150瓶，故可列式為5x+3y=150，即列方程組為，解得：，故2大箱有24×2=48（瓶）、5小箱有飲料：10×5=50（瓶），答：2大箱有48瓶、5小箱有飲料50瓶；②∵一大箱、一小箱飲料分別標價48元、25元，∴大箱平均每瓶：48÷24=2（元），小箱平均每瓶：25÷10=2.5（元），所以買大箱合算．【總結升華】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是要讀懂題意，要注意抓住題目中的一些關鍵性詞語，找出等量關系，列出方程組．舉一反三：【變式】某高校共有5個大餐廳和2個小餐廳，經過測試同時開放1個大餐廳、2個小餐廳，可供1680名學生就餐；同時開放2個大餐廳、1個小餐廳，可供2280名學生就餐.（1）求1個大餐廳、1個小餐廳分別可供多少名學生就餐；（2）若7個餐廳同時開放，能否供全校的5300名學生就餐？請說明理由.【答案】解：(1)設1個大餐廳可供x名學生就餐，1個小餐廳可供y名學生就餐.則根據題意可得：解得：答：1個大餐廳可供960名學生就餐，1個小餐廳可供360名學生就餐.∴能供全校的5300名學生就餐.實際問題與二元一次方程組（二）（提高）知識講解【學習目標】1．熟悉行程、方案、數字等問題的解決方法；2.進一步研究用二元一次方程組解決實際問題．【要點梳理】要點一、常見的一些等量關系（二）行程問題速度×時間=路程.順水速度=靜水速度+水流速度.逆水速度=靜水速度-水流速度.2．存貸款問題利息=本金×利率×期數.本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數＝本金×(1＋利率×期數).年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×.3.數字問題已知各數位上的數字，寫出兩位數，三位數等這類問題一般設間接未知數，例如：若一個兩位數的個位數字為a，十位數字為b，則這個兩位數可以表示為10b+a．4．方案問題在解決問題時，常常需合理安排．需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網絡的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案．

要點詮釋：方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案．要點二、實際問題與二元一次方程組1.列方程組解應用題的基本思路2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟設：用兩個字母表示問題中的兩個未知數；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關系，根據等量關系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案．要點詮釋：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.【典型例題】類型一、行程問題1.某人要在規(guī)定的時間內由甲地趕往乙地，如果他以每小時50千米的速度行駛，就會遲到24分鐘，如果他以每小時70千米的速度行駛，則可提前24分鐘到達乙地，求甲乙兩地間的距離.【思路點撥】本題中的等量關系為：50×（規(guī)定時間+）＝兩地距離，75×（規(guī)定時間－）＝兩地距離．通過解方程組即可得出兩地間距離．【答案與解析】解：設規(guī)定的時間為x小時，甲乙兩地間的距離為y千米.則由題意可得：解得：答：甲乙兩地間的距離為140千米.【總結升華】比較復雜的行程問題可以通過畫“線條”圖幫助分析，求解時應分清相遇、追及、相向、同向等關鍵詞．舉一反三：【變式】已知一鐵路橋長1000米，現有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到車身過完橋共用1分鐘，整列火車完全在橋上的時間為40秒，求火車的速度及火車的長度．【答案】解：設火車速度為xm/s，火車長度為ym．根據題意，得：解得:答：火車速度是20m/s，火車的長度是200m．類型二、存貸款問題2.某公司向銀行申請了甲、乙兩種貸款，共計50萬元，每年需付出4.4萬元利息，已知甲種貸款每年的利率為10%，乙種貸款每年的利率為8%，則該公司甲、乙兩種貸款的數額分別為多少？【答案與解析】解：設該公司甲、乙兩種貸款的數額分別為x萬元、y萬元，由題意得解得：，答：該公司甲、乙兩種貸款的數額分別為20萬元、30萬元．【總結升華】此題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程組求解．舉一反三：【變式】在銀行存款準備金不變的情況下，銀行的可貸款總量與存款準備金率成反比例關系．當存款準備金率為7.5%時，某銀行可貸款總量為400億元，如果存款準備金率上調到8%時，該銀行可貸款總量將減少多少億（）．A.20B.25C.30D.35【答案】B類型三、數字問題3.小明和小亮做游戲，小明在一個加數的后面多寫了一個0，得到的和為242；小亮在另一個加數后面多寫了一個0，得到的和為341.原來的兩個數分別為多少？【思路點撥】在后面多寫一個0，實際就是擴大了10倍．兩個等量關系為：10×一個加數+另一個加數=242；一個加數+10×另一個加數=341．【答案與解析】解：設原來的兩個數分別為和，則：，解得．

答：原來兩個加數分別是21，32．【總結升華】解決本題的關鍵是弄清在后面多寫一個0，實際就是擴大了10倍．舉一反三：【變式】一個兩位數十位上的數字是個位上的數字為2倍，若交換十位與個位上的數字，則所得新兩位數與原數的和為99，則這個兩位數是．【答案】63．