觀測(cè)誤差理論

觀測(cè)誤差理論§6.1測(cè)量誤差概述§6.2衡量誤差值精度的標(biāo)準(zhǔn)§6.3誤差傳播定律§6.4等精度直接觀測(cè)平差*§6.5不等精度直接觀測(cè)平差第2頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天§6.1測(cè)量誤差概述測(cè)量誤差定義：真誤差=觀測(cè)值-真值即第3頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天§6.1.1測(cè)量誤差的來(lái)源產(chǎn)生測(cè)量誤差的原因很多，其來(lái)源概括起來(lái)有以下三個(gè)方面。1、儀器誤差：測(cè)量工作中要使用測(cè)量?jī)x器。任何儀器只 具有一定限度的精密度，使觀測(cè)值的精密度 受到限制。2、觀測(cè)者： 由于觀測(cè)者的視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)等感官的鑒別能 力有一定的局限，所以在儀器的安置、使 用中會(huì)產(chǎn)生誤差，如整平誤差、照準(zhǔn)誤差 、讀數(shù)誤差等。第4頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天 測(cè)量工作由于受到上述三方面因素的影響，觀測(cè)結(jié)果總會(huì)產(chǎn)生這樣或那樣的觀測(cè)誤差，即在測(cè)量工作中觀測(cè)誤差是不可避免的。測(cè)量外業(yè)工作的責(zé)任就是要在一定的觀測(cè)條件下，確保觀測(cè)成果具有較高的質(zhì)量，將觀測(cè)誤差減少或控制在允許的范圍內(nèi)。相同觀測(cè)條件的觀測(cè)成為等精度觀測(cè)；不同觀測(cè)條件的觀測(cè)成為不等精度觀測(cè)。3、外界條件的影響：測(cè)量工作都是在一定的外界環(huán)境條件 下進(jìn)行的，如溫度、風(fēng)力、大氣折光 等因素，這些因素的差異和變化都會(huì) 直接對(duì)觀測(cè)結(jié)果產(chǎn)生影響，必然給觀 測(cè)結(jié)果帶來(lái)誤差。第5頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天§6.1.2測(cè)量誤差的種類(lèi)先作兩個(gè)前提假設(shè)①觀測(cè)條件相同;②對(duì)某一量進(jìn)行一系列的直接觀測(cè)。在此基礎(chǔ)上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值、符號(hào)及變化規(guī)律。第6頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天按測(cè)量誤差對(duì)觀測(cè)結(jié)果影響性質(zhì)的不同，可將測(cè)量誤差分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三類(lèi)。1、系統(tǒng)誤差定義：在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行的一系列 觀測(cè)中，數(shù)值大小和正負(fù)符號(hào)固定不變，或 按一定規(guī)律變化的誤差，稱(chēng)為系統(tǒng)誤差。第7頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天 系統(tǒng)誤差具有累積性，對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響很大，但它們的符號(hào)和大小有一定的規(guī)律。因此，系統(tǒng)誤差可以采用適當(dāng)?shù)拇胧┫驕p弱其影響。通?？刹捎靡韵氯N方法： 1）測(cè)定系統(tǒng)誤差的大小，對(duì)觀測(cè)值加以改正; 2）采用對(duì)稱(chēng)觀測(cè)的方法; 3）儀器檢校。第8頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，單 個(gè)誤差的出現(xiàn)沒(méi)有一定的規(guī)律性，其數(shù)值的大小 和符號(hào)都不固定，表現(xiàn)出偶然性，這種誤差稱(chēng)為 偶然誤差，又稱(chēng)隨機(jī)誤差。偶然誤差反映了觀測(cè)結(jié)果的精密度。2、偶然誤差精密度：指在同一觀測(cè)條件下，用同一觀測(cè)方法 對(duì)某量多次觀測(cè)時(shí)，各觀測(cè)值之間相互 的離散程度。第9頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天粗差：也稱(chēng)為錯(cuò)誤，是由于觀測(cè)者使用儀器不 正確或疏忽大意，如測(cè)錯(cuò)、讀錯(cuò)、聽(tīng)錯(cuò)、 算錯(cuò)等造成的錯(cuò)誤，或因外界條件發(fā)生 意外的顯著變動(dòng)引起的差錯(cuò)。3、粗差 粗差在測(cè)量結(jié)果中是不允許存在的。為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施或進(jìn)行多余觀測(cè)。測(cè)量誤差可以通過(guò)“多余觀測(cè)”反映出來(lái)。第10頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天 在觀測(cè)過(guò)程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差往往是同時(shí)存在的。當(dāng)觀測(cè)值中有顯著的系統(tǒng)誤差時(shí)，偶然誤差就居于次要地位，觀測(cè)誤差呈現(xiàn)出系統(tǒng)的性質(zhì)；反之，呈現(xiàn)出偶然的性質(zhì)。因此，對(duì)一組剔除了粗差的觀測(cè)值，首先應(yīng)尋找、判斷和排除系統(tǒng)誤差，或?qū)⑵淇刂圃谠试S的范圍內(nèi)，然后根據(jù)偶然誤差的特性對(duì)該組觀測(cè)值進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，求出最接近未知量真值的估值，稱(chēng)為最或是值；同時(shí)，評(píng)定觀測(cè)結(jié)果質(zhì)量的優(yōu)劣，即評(píng)定精度。這項(xiàng)工作在測(cè)量上稱(chēng)為測(cè)量平差，簡(jiǎn)稱(chēng)平差。結(jié)論第11頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天§6.1.3偶然誤差的特性例1：在相同的條件下獨(dú)立觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，每個(gè)三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計(jì)算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。誤差區(qū)間—△+△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△0.00~0.20450.1260.630460.1280.6400.20~0.40400.1120.560410.1150.5750.40~0.60330.0920.460330.0920.4600.60~0.80230.0640.320210.0590.2950.80~1.00170.0470.235160.0450.2251.00~1.20130.0360.180130.0360.1801.20~1.4060.0170.08550.0140.0701.40~1.6040.0110.05520.0060.030>1.60000000和1810.5051770.495第12頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2：在相同的條件下獨(dú)立觀測(cè)了421個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角，每個(gè)三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于180度，但由于誤差的影響往往不等于180度，計(jì)算各內(nèi)角和的真誤差，并按誤差區(qū)間的間隔0.2秒進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。誤差區(qū)間—△+△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△個(gè)數(shù)K頻率K/n(K/n)/d△0.00~0.20400.0950.475460.0880.4400.20~0.40340.0810.405410.0850.4250.40~0.60310.0740.370330.0690.3450.60~0.80250.0590.295210.0640.3200.80~1.00200.0480.240160.0430.2151.00~1.20160.0380.190130.0400.200…………………….………………2.40~2.6010.0020.01020.0050.0025>2.60000000和2100.4992110.501第13頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天(K/n)/d△00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差概率密度函數(shù)曲線用直方圖表示:面積=[(K/n)/d△]*d△=K/n所有面積之和=k1/n+k2/n+…..=1第14頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.630頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差0.475頻數(shù)/d

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差提示：觀測(cè)值定了其分布也就確定了，因此一組觀測(cè)值對(duì)應(yīng)相同的分布。不同的觀測(cè)序列，分布不同。但其極限分布均是正態(tài)分布。

00.40.60.8-0.8-0.6-0.4閉合差第15頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性4） 在相同的條件下，對(duì)同一量進(jìn)行重復(fù)觀測(cè)，偶然誤差 的算術(shù)平均值隨著觀測(cè)次數(shù)的無(wú)限增加而趨于零，即1） 在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì) 超過(guò)一定的限度，即偶然誤差是有界的2） 絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)大3） 絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等式中[]表示求和第16頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天精度：所謂精度是指偶然誤差分布的密集離散程度。一組觀測(cè)值對(duì)應(yīng)一種分布，也就代表這組觀測(cè)值精度相同。不同組觀測(cè)值，分布不同，精度也就不同。提示：一組觀測(cè)值具有相同的分布，但偶然誤差各不相同。§6.2衡量觀測(cè)值精度的指標(biāo)第17頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天§6.2.1中誤差中誤差的幾何意義：

偶然誤差分布曲線兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。方差的定義：中誤差的定義：中誤差的估值：第18頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天例： 甲、乙兩組，各自在同精度條件下對(duì)某一三角 形的三個(gè)內(nèi)角觀測(cè)5次，求得三角形閉合差Δi 列于下表，試問(wèn)哪一組觀測(cè)值精度高？解：用中誤差公式計(jì)算，得因，故有理由認(rèn)為甲組觀測(cè)值的精度較乙組高。甲：+4、-2、0、-4、+3乙：+6、-5、0、+1、-1第19頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天兩組觀測(cè)值的誤差絕對(duì)值相等m1<m2，第一組的觀測(cè)成果的精度高于第二組觀測(cè)成果的精度次序第一組觀測(cè)第二組觀測(cè)觀測(cè)值真誤差Δ"Δ２觀測(cè)值真誤差Δ"Δ２１180°00ˊ03"-39180°00ˊ00"00２180°00ˊ02"-24179°59ˊ59"+11３179°59ˊ58"+24180°00ˊ07"-749４179°59ˊ56"+416180°00ˊ02"-24５180°00ˊ01"-11180°00ˊ01"-11６180°00ˊ00"00179°59ˊ59"+11７180°00ˊ04"-416179°59ˊ52"+864８179°59ˊ57"+39180°00ˊ00"00９179°59ˊ58"+24179°59ˊ57"+39１０180°00ˊ03-39180°00ˊ01"-11Σ|

|247224130中誤差

-m2-m1

+m1+m2XY不同中誤差的正態(tài)分布曲線第20頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：由偶然誤差的第一個(gè)特性可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超出一定的限值。這個(gè)限值就是極限誤差。§6.2.2極限誤差在區(qū)間（-m，m）內(nèi)偶然誤差的概率值為第21頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天在實(shí)際測(cè)量工作中，以三倍中誤差作為偶然誤差的容許值，稱(chēng)為容許誤差，即在對(duì)精度要求較高時(shí)，常取二倍中誤差作為容許誤差，即第22頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天 對(duì)于衡量精度來(lái)說(shuō)，有時(shí)單靠中誤差還不能完全表達(dá)觀測(cè)結(jié)果的質(zhì)量。例如，測(cè)得某兩段距離，一段長(zhǎng)200m，另一段長(zhǎng)1000m，觀測(cè)值的中誤差均為±0.2m。從表面上看，似乎二者精度相同，但就單位長(zhǎng)度來(lái)說(shuō)，二者的精度并不相同。這時(shí)應(yīng)采用另一種衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)，即相對(duì)誤差。§6.2.3相對(duì)誤差相對(duì)誤差：是中誤差與觀測(cè)值之比，是個(gè)無(wú)量綱數(shù)，在測(cè)量上通常將其分子化為1。即用K=1/N的形式來(lái)表示。上例前者的相對(duì)中誤差為0.2/200=1/1000，后者為0.2/1000=1/5000。顯然，相對(duì)中誤差愈?。ǚ帜赣螅?，說(shuō)明觀測(cè)結(jié)果的精度愈高，反之愈低。第23頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天相對(duì)中誤差的分子也可以是閉合差（如量距往返量測(cè)的兩個(gè)結(jié)果的較差）或容許誤差，這時(shí)分別稱(chēng)為相對(duì)閉合差及相對(duì)容許誤差。與相對(duì)誤差相對(duì)應(yīng)，中誤差、極限（容許）誤差等稱(chēng)為絕對(duì)誤差。第24頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天§6.3誤差傳播定律 在實(shí)際測(cè)量工作中，某些量的大小往往不是直接觀測(cè)到的，而是間接觀測(cè)到的，即觀測(cè)其它未知量，并通過(guò)一定的函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算求得的。一般函數(shù)

表述觀測(cè)值函數(shù)的中誤差與觀測(cè)值中誤差之間關(guān)系的定律稱(chēng)為誤差傳播定律。例如：h=a-b線性函數(shù)誤差傳播定律：第25頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天倍數(shù)函數(shù)：Z=KX則§6.3.1倍數(shù)函數(shù)推導(dǎo)過(guò)程若對(duì)X變量進(jìn)行n次觀測(cè)，則i=1、2、┉、n第26頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1：在1：500地形圖上量得某兩點(diǎn)間的距離d=234.5mm,其中誤差md=±0.2mm，求該兩點(diǎn)的地面水平距離D的值及其中誤差mD解：第27頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天和差函數(shù)Z=X1±X2

且X1、X2獨(dú)立，則§6.3.2和差函數(shù)推導(dǎo)過(guò)程第28頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：水準(zhǔn)測(cè)量每一站高差：則每站高差中誤差觀測(cè)n站所得總高差則n站總高差h的總誤差若以三倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差容許誤差為例2：已知當(dāng)水準(zhǔn)儀距標(biāo)尺75m時(shí)，一次讀數(shù)中誤差為包括照準(zhǔn)誤差、氣泡置中誤差及水準(zhǔn) 標(biāo)尺刻劃中誤差），若以三倍中誤差為容許誤差，試求普通水準(zhǔn)測(cè)量觀測(cè)n站所得高差閉合差的容許誤差。第29頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3：已知DJ6型光學(xué)經(jīng)緯儀一個(gè)測(cè)回一個(gè)方向的中誤差mα=±6″用DJ6型光學(xué)經(jīng)緯儀觀測(cè)角度一測(cè)回的測(cè)角中誤差解：∵已知DJ6型光學(xué)經(jīng)緯儀一個(gè)測(cè)回一個(gè)方向的中 誤差mα=±6″

∴由得∴第30頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天線性函數(shù)Z=K1X1±K2X2±….±KnXn±K0例： 設(shè)對(duì)某一個(gè)三角形觀測(cè)了其中α、β兩個(gè)角， 測(cè)角中誤差分別為mα=±3.5″，mβ=±6.2″解：§6.3.3線性函數(shù)現(xiàn)按公式γ=180°-α-β求得γ角，試求γ角的中誤差mγ

第31頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)函數(shù)表達(dá)式誤差傳播定律倍數(shù)和差線性均值

(為等精度觀測(cè))幾種函數(shù)的誤差傳播公式第32頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天一般函數(shù)§6.3.4一般函數(shù)為獨(dú)立觀測(cè)值用偶然誤差、代替微量元素、得：第33頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天解：例4：函數(shù)式，測(cè)得求的中誤差。第34頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天§6.4同精度直接觀測(cè)平差§6.4.1求最或是值

設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次同精度觀測(cè)，其真值為X，觀測(cè)值為，相應(yīng)的真誤差為則...

第35頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天相加除以n式中：L為算術(shù)平均值即當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限多時(shí)，算術(shù)平均值就趨向于未知量的真值。當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)，可以認(rèn)為算術(shù)平均值是根據(jù)已有的觀測(cè)數(shù)據(jù)所能求得的最接近真值的近似值，稱(chēng)為最或是值或最或然值，用最或是值作為未知量真值的估值。第36頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天§6.4.2評(píng)定精度1、觀測(cè)值中誤差同精度觀測(cè)值中誤差為： 由于未知量的真值X無(wú)法確知，真誤差也是未知數(shù)，故不能直接用上式求出中誤差。實(shí)際工作中，多利用觀測(cè)值的改正數(shù)（其意義等同于最或是誤差）來(lái)計(jì)算觀測(cè)值的中誤差。改正數(shù)：由改正數(shù)可以計(jì)算同精度觀測(cè)值中誤差：第37頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天推導(dǎo)過(guò)程：設(shè)某量的n個(gè)等精度觀測(cè)值為l1，l2,…，ln

，其真誤差和改正數(shù)為：于是有：將上列n個(gè)等式兩邊分別平方，并求其和，再除以n，則有：上式中，，考慮到中誤差的定義公式，可得：第38頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、最或是值的中誤差設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次同精度觀測(cè)，其觀測(cè)值為，觀測(cè)值中誤差為m，最或是值為L(zhǎng)。有按中誤差傳播關(guān)系式故第39頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：設(shè)對(duì)某角進(jìn)行了5次同精度觀測(cè)，觀測(cè)結(jié)果如下表，試求其觀測(cè)值的中誤差，及最或是值的中誤差。觀測(cè)值-30-1+3+190191觀測(cè)值中誤差最或是值中誤差為第40頁(yè),共45頁(yè)，2024年2月25日，星期天*§6-5不等精度直接觀測(cè)平差

在對(duì)某量進(jìn)行不同精度觀測(cè)時(shí)，各觀測(cè)結(jié)果的中誤差不同。顯然，不能將具有不同可靠程度的各觀測(cè)結(jié)果簡(jiǎn)單地取算術(shù)平均值作為最或是值并評(píng)定精度。此時(shí)，需要選定某一個(gè)比值來(lái)比較各觀