直線與平面的夾角市公開課一等獎(jiǎng)省賽課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

第1頁(yè)第2頁(yè)1．知識(shí)與技能掌握直線和平面所成角．能夠求直線和平面所成角．2．過(guò)程與方法經(jīng)過(guò)合作、探究、展示、點(diǎn)評(píng)培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力．3．情感態(tài)度與價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生辯證對(duì)待事物，體會(huì)事物在一定條件下能夠相互轉(zhuǎn)化．第3頁(yè)第4頁(yè)重點(diǎn)：直線和平面所成角．難點(diǎn)：求直線和平面所成角．第5頁(yè)第6頁(yè)第7頁(yè)2．公式cosθ＝cosθ1·cosθ2.如圖所表示，OA為平面α斜線，AB是OA平面α內(nèi)射影，AC為平面α內(nèi)過(guò)A點(diǎn)任一直線，設(shè)∠OAB＝θ1，∠BAC＝θ2，∠OAC＝θ，則cosθ＝cosθ1·cosθ2.(1)由0<cosθ2<1，∴cosθ<cosθ1，從而θ1<θ，這就是最小角定理．第8頁(yè)(2)在公式中，令θ2＝90°，則cosθ＝cosθ1·cos90°＝0，∴θ＝90°，即當(dāng)AC⊥AB時(shí)，AC⊥AO.此即三垂線定理；反之，若令θ＝90°，則有cosθ1·cosθ2＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝90°，即若AC⊥AO，則AC⊥AB，此即三垂線定理逆定理，由此可知三垂線定理及逆定理能夠看成是此公式特例．(3)公式也叫“三余弦”公式，θ1，θ2，θ分別是斜線與射影，射影與平面內(nèi)直線，斜線與平面內(nèi)直線所成角．若已知θ1，θ2，θ中兩個(gè)值能夠求另一個(gè)值．第9頁(yè)第10頁(yè)第11頁(yè)1．如圖：cosθ＝________.2．最小角定理斜線和________所成角，是斜線和這個(gè)平面內(nèi)全部直線所成角中最小角．第12頁(yè)3．直線與平面夾角(1)假如一條直線與一個(gè)平面垂直，這條直線與平面夾角為________．(2)假如一條直線與一個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，這條直線與平面夾角為________．(3)斜線與它在平面內(nèi)________叫做斜線和平面所成角(或斜線和平面夾角)．第13頁(yè)[答案]1.cosθ1·cosθ22．它在平面內(nèi)射影3．(1)90°(2)0°(3)射影所成角第14頁(yè)第15頁(yè)

[例1]如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.求BD與平面PAB所成角．第16頁(yè)第17頁(yè)第18頁(yè)[說(shuō)明]定義法就是指將斜線與平面夾角轉(zhuǎn)化為斜線與其平面內(nèi)射影夾角．此種方法關(guān)鍵在于確定斜線在平面內(nèi)射影．第19頁(yè)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC中點(diǎn)．(1)證實(shí)：PA∥平面EDB；(2)求EB與底面ABCD所成角正切值．第20頁(yè)[解析]

(1)證實(shí)：連結(jié)AC，AC交BD于O，連接EO.∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC中點(diǎn)．在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO.而EO?平面EDB且PA?平面EDB.所以，PA∥平面EDB.(2)作EF⊥DC交DC于F，連結(jié)BF.設(shè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DC.第21頁(yè)∴EF∥PD，F(xiàn)為DC中點(diǎn)．∴EF⊥底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內(nèi)射影，故∠EBF為直線EB與底面ABCD所成角．在Rt△BCF中．第22頁(yè)[分析]解答本題首先建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AFEG法向量和AH方向向量，再求兩向量夾角余弦絕對(duì)值即可．第23頁(yè)[解析]

建立如圖所表示空間直角坐標(biāo)系，則G(0,0,1)，A(0,4,0)，F(xiàn)(4,4,1)，E(4,0,2)，H(2,0,0)，第24頁(yè)第25頁(yè)令x＝1，則z＝－4，y＝－1.即n＝(1，－1，－4)，即AH與平面AFEG夾角為θ，第26頁(yè)在如圖所表示幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB中點(diǎn)．(1)求證：CM⊥EM.(2)求CM與平面CDE所成角．第27頁(yè)[解析]

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA，CB分別作為x軸和y軸，過(guò)點(diǎn)C作與平面ABC垂直直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz，設(shè)EA＝a，則A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,0，a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0)．第28頁(yè)第29頁(yè)第30頁(yè)[例3](·湖南理，18)如圖所表示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1中點(diǎn)．(1)求直線BE和平面ABB1A1所成角正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證實(shí)你結(jié)論．第31頁(yè)第32頁(yè)第33頁(yè)第34頁(yè)第35頁(yè)[點(diǎn)評(píng)]本題考查了直線與平面所成角，直線與平面平行性質(zhì)與判定．綜合考查了學(xué)生空間想象能力、探究能力和運(yùn)算能力．第36頁(yè)第37頁(yè)第38頁(yè)[誤解]建立如圖所表示直角坐標(biāo)系，依據(jù)題意得：第39頁(yè)第40頁(yè)①建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系；②將斜線和它在平面上射影或者斜線和平面法線用向量或坐標(biāo)表示出來(lái)；③利用向量夾角公式求解．第41頁(yè)第42頁(yè)第43頁(yè)A．90°B．60°C．45° D．30°[答案]

D第44頁(yè)[解析]

由已知O為外心，且AB⊥OC，第45頁(yè)2．平面一條斜線和這個(gè)平面所成角θ范圍是 ()A．0°<θ<180° B．0°≤θ≤90°C．0°<θ≤90° D．0°<θ<90°[答案]

D[解析]

由斜線和平面所成角定義知選D.第46頁(yè)3．直線l與平面θ成45°角，若直線l在α內(nèi)射影與α內(nèi)直線m成45°角，則l與m所成角是 ()A．30° B．45°C．60° D．90°[答案]

C第47頁(yè)二、填空題4．若AB與平面α成30°角，且A∈α，則AB與α內(nèi)不過(guò)點(diǎn)A全部直線所成角中最大角________．[答案]90°[解析]

在平面α內(nèi)，過(guò)A點(diǎn)垂直于AB在平面內(nèi)射影直線與AB所成角最大，為90°.第48頁(yè)5．自平面α外一點(diǎn)P向平面α引垂線段PO及兩條斜線段PA，PB，它們?cè)谄矫姒羶?nèi)射影長(zhǎng)分別為2cm和12cm，且這兩條斜線與平面α所成角相差45°，則垂線段AO長(zhǎng)為________．[答案]

4cm或6cm[解析]

設(shè)PA，PB與α所成角分別為α1，α2，且α1＝α2＋45°，第49頁(yè)三、解答題6．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝DC，E是PC中點(diǎn)．求EB與平面ABCD夾角余弦值．第50頁(yè)[解析]

取CD中點(diǎn)M，則