高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1.3空間向量基本定理3.1.4空間向量的坐標(biāo)表示省公開課一等獎(jiǎng)

第3章3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.3空間向量基本定理3.1.4空間向量坐標(biāo)表示1/291.了解空間向量基本定理及其意義.2.掌握空間向量正交分解及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量線性運(yùn)算坐標(biāo)運(yùn)算.學(xué)習(xí)目標(biāo)2/29知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾欄目索引3/29知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一空間向量基本定理答案(1)定理假如三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在惟一有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.(2)基底與基向量假如三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么空間每一個(gè)向量都可由向量e1，e2，e3線性表示.我們把{e1，e2，e3}稱為空間一個(gè)

，e1，e2，e3叫做

.空間任何三個(gè)不共面向量都可組成空間一個(gè)基底.基向量基底4/29(3)正交基底與單位正交基底假如空間一個(gè)基底三個(gè)基向量是

，那么這個(gè)基底叫做正交基底，當(dāng)一個(gè)正交基底三個(gè)基向量都是

時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通慣用___________表示.

(4)推論設(shè)O，A，B，C是

四點(diǎn)，則對(duì)空間任意一點(diǎn)P，都存在惟一有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得答案兩兩相互垂直單位向量不共面{i，j，k}5/29空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k分別為x，y，z軸方向上

，對(duì)于空間任意一個(gè)向量a，若有a＝xi＋yj＋zk，則有序?qū)崝?shù)組________叫向量a在空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo).尤其地，若A(x，y，z)，則向量

坐標(biāo)為

.(x，y，z)(x，y，z)單位向量答案知識(shí)點(diǎn)二空間向量坐標(biāo)表示6/29知識(shí)點(diǎn)三坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a＋b＝

；a－b＝

；λa＝

(λ∈R).a∥b(a≠0)?______________，

，

(λ∈R).(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)b1＝λa1b2＝λa2b3＝λa3答案7/29思索(1)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算與平面向量坐標(biāo)運(yùn)算表示形式上有什么不一樣？答案返回答案空間向量坐標(biāo)運(yùn)算多3個(gè)豎坐標(biāo).(2)已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，且b1b2b3≠0，類比平面向量平行坐標(biāo)表示，可得到什么結(jié)論？8/29題型探究重點(diǎn)突破題型一空間向量基底解析答案反思與感悟9/29反思與感悟∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，10/29空間向量有沒有數(shù)個(gè)基底.判斷給出某一向量組中三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是要判斷它們是否共面，假如從正面難以入手，慣用反證法或是一些常見幾何圖形幫助我們進(jìn)行判斷.反思與感悟11/29解析答案③12/29題型二用基底表示向量解析答案反思與感悟13/29反思與感悟14/29(1)空間中任一向量均可用一組不共面向量來(lái)表示，只要基底選定，這一向量用基底表示形式是惟一；(2)用基底來(lái)表示空間中向量是向量處理數(shù)學(xué)問(wèn)題關(guān)鍵，解題時(shí)注意三角形法則或平行四邊形法則應(yīng)用.反思與感悟15/29解析答案16/29解如右圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中連結(jié)AC，AD1，17/29解析答案18/29例3

已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC中點(diǎn)，而且PA＝AD＝1，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求向量

坐標(biāo).題型三空間向量坐標(biāo)表示解析答案反思與感悟解以AD，AB，AP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所表示，19/29建系時(shí)要充分利用圖形線面垂直關(guān)系，選擇適當(dāng)基底，在寫向量坐標(biāo)時(shí)，考慮圖形性質(zhì)，充分利用向量線性運(yùn)算，將向量用基底表示.反思與感悟20/29跟蹤訓(xùn)練3

已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC中點(diǎn)，而且PA＝AD＝1，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求向量

坐標(biāo).解析答案返回21/29解如圖所表示，因?yàn)镻A＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，以{e1，e2，e3}為基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz.返回22/29當(dāng)堂檢測(cè)123451.已知A(2,3－μ，－1＋v)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)是A′(λ，7，－6)，則λ，μ，v值分別為________.解析答案解析∵A與A′關(guān)于x軸對(duì)稱，2,10,723/29123452.與向量m＝(0,1，－2)共線向量是________.(填序號(hào))①(2,0，－4) ②(3,6，－12)③(1,1，－2) ④(0，，－1)④解析答案24/29123453.已知向量a，b，c是空間一個(gè)基底，以下向量中能夠與p＝2a－b，q＝a＋b組成空間另一個(gè)基底是________.(填序號(hào))①2a；

②－b；

③c；

④a＋c.解析∵p＝2a－b，q＝a＋b，∴p與q共面，a、b共面.而c與a、b不共面，∴c與p、q能夠組成另一個(gè)基底，同理a＋c與p、q也可組成一組基底.解析答案③④25/29123454.如圖在邊長(zhǎng)為2正方體ABCD－A1B1C1D1中，取D點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，O，M分別是AC，DD1中點(diǎn)，寫出以下向量坐標(biāo).解析∵A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2)，