2024年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)04 二次函數(shù)（原卷版）

知識(shí)必備04二次函數(shù)（知識(shí)清單+4種方法清單+9個(gè)考試清單真題專練）方法1：二次函數(shù)綜合之“線段周長(zhǎng)”問(wèn)題(1)線段的數(shù)量關(guān)系此類問(wèn)題一般是求滿足線段數(shù)量關(guān)系的點(diǎn)的坐標(biāo)，針對(duì)這種情況應(yīng)先在圖中找出對(duì)應(yīng)線段，弄清已知點(diǎn)和未知點(diǎn)；再聯(lián)系二次函數(shù)和一次函數(shù)，設(shè)出未知點(diǎn)的坐標(biāo)，使其只含一個(gè)未知數(shù)；最后表示出線段的長(zhǎng)度，列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的等式，從而求出未知數(shù)的值；(2)線段最值問(wèn)題

此類問(wèn)題通常有兩類：

①設(shè)出關(guān)鍵的點(diǎn)的未知數(shù)(通常是一個(gè)跟所求線段關(guān)系緊密的點(diǎn)的橫坐標(biāo))，通過(guò)題目中的函數(shù)和圖形關(guān)系，用該點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出有關(guān)線段端點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出線段的長(zhǎng)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，繼而得到線段的最大值或最小值；

②在求線段最小值的時(shí)候可以利用軸對(duì)稱模型.此類問(wèn)題一般是要尋找一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使其到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離最小，通常是作一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)的線段即為所求的最小值；(3)周長(zhǎng)最值問(wèn)題

此類問(wèn)題一般為所求圖形中有一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)其求周長(zhǎng)最值，解決此類問(wèn)題時(shí)應(yīng)利用轉(zhuǎn)化思想，即先觀察圖形，結(jié)合題目，分清楚定線段和不定線段，然后將其所求圖形周長(zhǎng)的最值轉(zhuǎn)化到求不定線段和的最值，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求線段最值問(wèn)題，其方法同(2).1．（2023·福建廈門(mén)·廈門(mén)一中?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線分別交拋物線和直線于點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若、、三個(gè)點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外）時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)分別過(guò)點(diǎn)、向拋物線的對(duì)稱軸作垂線，交對(duì)稱軸于點(diǎn)、，矩形與此拋物線相交，拋物線被截得的部分圖象記作，的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，最低點(diǎn)縱坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2023·內(nèi)蒙古·內(nèi)蒙古師范大學(xué)附屬學(xué)校校考三模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為．與y軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P的直線與直線BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，求的最大值；(3)點(diǎn)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．當(dāng)是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．3．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)，為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．這樣的，兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？4．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；(3)如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．方法2：二次函數(shù)綜合之“面積”問(wèn)題必備知識(shí)1二次函數(shù)的解析式結(jié)構(gòu)、圖形變換特征與類別2一次函數(shù)的概念、性質(zhì)與圖像特征3二次函數(shù)與一次函數(shù)相交的類別4坐標(biāo)系中的面積求法:割補(bǔ)法、圖形變換法、坐標(biāo)法、共邊共角、垂線段等核心方法1.核心思路:判定求面積類別——使用模型解法求解2.核心技巧:利用數(shù)學(xué)結(jié)合思想，將代數(shù)的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何的底邊與高等面積求解問(wèn)題；割補(bǔ)類注意規(guī)則圖形的結(jié)構(gòu)特征；圖形替換類注意替換角度。3.核心推理過(guò)程:識(shí)別基礎(chǔ)條件，思考?xì)w屬類別，采用核心技巧，判定解法考察重點(diǎn)1考察重點(diǎn):坐標(biāo)系中的面積求法；二次函數(shù)的面積相關(guān)描述條件；面積求解方法的特征2邏輯重點(diǎn):識(shí)別二次函數(shù)的基礎(chǔ)條件，直線交點(diǎn)，相交構(gòu)圖特征常見(jiàn)分析思路1先定面積求法:底X高;割補(bǔ)類;垂線段；將軍飲馬模型最大邊2利用二次函數(shù)與直線等函數(shù)解析式，求解數(shù)值1．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，，點(diǎn)為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A，C重合），過(guò)點(diǎn)M作垂直于x軸的直線與直線和拋物線分別交于點(diǎn)D，N．

(1)求此拋物線的解析式；(2)求當(dāng)點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)時(shí)m的值；(3)當(dāng)與的面積相等時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(4)過(guò)點(diǎn)D作軸于E，過(guò)點(diǎn)N作軸于F．直接寫(xiě)出在矩形內(nèi)部的拋物線當(dāng)y隨x增大而增大時(shí)m的取值范圍．2．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，與軸交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是第三象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將拋物線向右平移2個(gè)單位，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)，在原拋物線的對(duì)稱軸上，為平移后的拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)以A、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2023·海南?？凇ず煾街行？既＃┤鐖D，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，連接，P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，的面積最大？并求出最大面積；(3)M為直線上一點(diǎn)，求的最小值；(4)過(guò)P點(diǎn)作軸，交于E點(diǎn)．是否存在點(diǎn)P，使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在該拋物線上，橫坐標(biāo)為．其中．

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)該拋物線與軸的左交點(diǎn)為，當(dāng)拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，求的值．(4)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（不包括四邊形的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．當(dāng)以點(diǎn)、、、（或以點(diǎn)、、、）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半時(shí)，直接寫(xiě)出所有滿足條件的的值．方法3：二次函數(shù)綜合之“特殊三角形存在性”問(wèn)題一、等腰三角形存在性根據(jù)等腰三角形的定義，若為等腰三角形，則有三種可能情況：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根據(jù)實(shí)際圖形的差異，其中某些情況會(huì)不存在，所以等腰三角形的存在性問(wèn)題，往往有2個(gè)甚至更多的解，在解題時(shí)需要尤其注意．1、知識(shí)內(nèi)容：在用字母表示某條線段的長(zhǎng)度時(shí)，常用的方法有但不僅限于以下幾種：（1）勾股定理：找到直角三角形，利用兩邊的長(zhǎng)度表示出第三邊；（2）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）2、解題思路：（1）利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)式；（2）根據(jù)條件分情況進(jìn)行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分式或根式方程）（3）解出方程，并代回原題中進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去增根．二、直角三角形存在性在考慮△ABC是否為直角三角形時(shí)，很顯然需要討論三種情況：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多數(shù)問(wèn)題中，其中某兩種情況會(huì)較為簡(jiǎn)單，剩下一種則是考察重點(diǎn)，需要用到勾股定理。以函數(shù)為背景的直角三角形存在性問(wèn)題1、知識(shí)內(nèi)容：在以函數(shù)為背景的此類壓軸題中，坐標(biāo)軸作為一個(gè)“天然”的直角存在，在解題時(shí)經(jīng)常會(huì)用到，作出垂直于坐標(biāo)軸的直線來(lái)構(gòu)造直角。另外，較困難的情況則需要用到全等或者勾股定理的計(jì)算來(lái)確定直角三角形．2、解題思路：（1）按三個(gè)角分別可能是直角的情況進(jìn)行討論；（2）計(jì)算出相應(yīng)的邊長(zhǎng)等信息；（3）根據(jù)邊長(zhǎng)與已知點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．1．（2023·廣東汕頭·汕頭市潮陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考二模）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，已知．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形的面積最大？求出四邊形的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求的面積；(2)點(diǎn)P是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，求線段的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)將拋物線沿射線平移個(gè)單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)，將沿直線平移得到（不與重合），若以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解點(diǎn)坐標(biāo)的其中一種情況的過(guò)程．3．（2022·廣東梅州·一模）已知拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．(1)試確定的取值范圍．(2)設(shè)該拋物線與軸的交點(diǎn)為，，其中；拋物線與y軸交于點(diǎn)，如圖所示．①求該拋物線的表達(dá)式并確定點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo)；②連接，動(dòng)點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由向運(yùn)動(dòng)，連接，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置時(shí)，、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值．4．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考三模）數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)們對(duì)二次函數(shù)（n為正數(shù)）進(jìn)行如下探究：(1)同學(xué)們?cè)谔骄恐邪l(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖像除與y軸交點(diǎn)不變外，還經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；(2)有同學(xué)研究后認(rèn)為，該二次函數(shù)圖像頂點(diǎn)不會(huì)落在第一象限，你認(rèn)為是否正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)與頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，請(qǐng)幫興趣小組同學(xué)求出的值.5．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D，求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(a為常數(shù)，且)，此拋物線與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線與此拋物線交于點(diǎn)B，點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合．

(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線_______；(2)當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，①求此拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)(m為常數(shù))時(shí)，y的最小值為，求m的值；(3)若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為，當(dāng)以點(diǎn)A，B，P三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，求出a的值．方法4：二次函數(shù)綜合之“特殊四邊形存在性”問(wèn)題一、平行四邊形的存在性問(wèn)題1.要先明確定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)，常以定點(diǎn)為對(duì)角線和邊進(jìn)行分類;2.三定一動(dòng)，有三種情況，可借助平移，全等、中點(diǎn)公式等知識(shí)確定坐標(biāo)..(坐標(biāo)平移規(guī)律:左減右加變x上加下減變y如何平移?可先確定其中兩點(diǎn)的變化作參照，以此變化確定)3.兩定兩動(dòng):以定線段作邊或?qū)蔷€，確定分類;常借助對(duì)應(yīng)邊相等、坐標(biāo)間關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式建等式求解常見(jiàn)設(shè)問(wèn):已知A、B，求另外兩點(diǎn)C、D與A、B兩點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形分類討論:當(dāng)AB為邊時(shí)，找AB平行且等于的CD利用距離建立數(shù)量關(guān)系，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，AB的中點(diǎn)即為對(duì)角線的交點(diǎn)，結(jié)合圖形的對(duì)稱性，圍繞對(duì)角頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和分別相等進(jìn)行求解，列出兩個(gè)二元一次方程組來(lái)求解.4.三動(dòng)點(diǎn)或四動(dòng)點(diǎn):往往有不變特征，如兩邊始終平行，滿足相等即可二、菱形的存在性問(wèn)題(常為含60°角的菱形)通常有兩大類:1.已知三個(gè)定點(diǎn)探究菱形時(shí)，分別以三個(gè)定點(diǎn)中的任意兩個(gè)定點(diǎn)確定線段為要探究的菱形的對(duì)角線畫(huà)出所有菱形，結(jié)合題干要求找出滿足條件的菱形;2已知兩個(gè)定點(diǎn)去探究菱形時(shí)，以兩個(gè)定點(diǎn)連線所成的線段作為要探究菱形的對(duì)角線或邊長(zhǎng)畫(huà)出符合題意的菱形，結(jié)合題干要求找出滿足條件的菱形:3.計(jì)算:建立類似平行四邊形的存在性問(wèn)題來(lái)解三、矩形的存在性問(wèn)題等價(jià)于直角三角形的存在性問(wèn)題（其特點(diǎn)往往是2定點(diǎn)2動(dòng)點(diǎn)），通過(guò)構(gòu)造一線三等角模型或勾股定理，可以求出其中一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性求出另一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。分類的依據(jù)往往是以已知兩點(diǎn)所在線段為邊或?qū)蔷€進(jìn)行分類討論。四、正方形存在性問(wèn)題正方形是菱形和矩形特征的集結(jié)，因此同時(shí)采取菱形或矩形存在性問(wèn)題解決的方法去求點(diǎn)的坐標(biāo)。1．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，與軸交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是第三象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將拋物線向右平移2個(gè)單位，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)，在原拋物線的對(duì)稱軸上，為平移后的拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)以A、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2023·山西大同·校聯(lián)考三模）綜合與探究：如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，連接．

(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積的時(shí)，求m的值；(3)在（2）的條件下，若點(diǎn)M是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，試探究是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)B，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，直線，分別交x軸于點(diǎn)M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．4．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，求出的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以為邊，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2023·山東日照·日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)?？既＃┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于和，與y軸交于點(diǎn)C，連接．

(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)D，平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)E，使以點(diǎn)A、D、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖2，點(diǎn)M為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)：①若點(diǎn)M為直線上方的拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線，交直線于點(diǎn)Q，求周長(zhǎng)的最大值；②若點(diǎn)M為拋物線上的任意一動(dòng)點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．6．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，則在軸上是否存在點(diǎn)，使以、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（2023·山東東營(yíng)·東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€交x軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)P是拋物線上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的平行線，交直線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，當(dāng)取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及最大值．(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，對(duì)于平面內(nèi)任意點(diǎn)N，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)且為一條邊的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M、N的坐標(biāo)，不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，拋物線過(guò)點(diǎn)，，點(diǎn)為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A，C重合），過(guò)點(diǎn)M作垂直于x軸的直線與直線和拋物線分別交于點(diǎn)D，N．

(1)求此拋物線的解析式；(2)求當(dāng)點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)時(shí)m的值；(3)當(dāng)與的面積相等時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(4)過(guò)點(diǎn)D作軸于E，過(guò)點(diǎn)N作軸于F．直接寫(xiě)出在矩形內(nèi)部的拋物線當(dāng)y隨x增大而增大時(shí)m的取值范圍．9．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)．

(1)求的值及該拋物線的對(duì)稱軸；(2)若點(diǎn)在直線上，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)．是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，作軸，交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，以線段為鄰邊作矩形，當(dāng)矩形的周長(zhǎng)為11時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．11．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點(diǎn)，為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．這樣的，兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直線下方．已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．求為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？一．二次函數(shù)的性質(zhì)（共4小題）1．（2023?大連）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為A． B． C．0 D．22．（2023?臺(tái)州）拋物線與直線交于，，，兩點(diǎn)，若，則直線一定經(jīng)過(guò)A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限3．（2023?揚(yáng)州）已知二次函數(shù)為常數(shù)，且，下列結(jié)論：①函數(shù)圖象一定經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過(guò)第三象限；③當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。虎墚?dāng)時(shí)，隨的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．①② B．②③ C．② D．③④4．（2023?安徽）下列函數(shù)中，的值隨值的增大而減小的是A． B． C． D．二．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共3小題）5．（2023?株洲）如圖所示，直線為二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，則下列說(shuō)法正確的是A．恒大于0 B．，同號(hào) C．，異號(hào) D．以上說(shuō)法都不對(duì)6．（2023?眉山）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2023?煙臺(tái)）如圖，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，與軸的一個(gè)交點(diǎn)位于0和1之間，則以下結(jié)論：①；②；③若圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則；④若關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4三．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共3小題）8．（2023?廣東）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，，，點(diǎn)在軸上，則的值為A． B． C． D．9．（2023?南充）若點(diǎn)在拋物線上，則下列各點(diǎn)在拋物線上的是A． B． C． D．10．（2023?岳陽(yáng)）若一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，我們將這樣的點(diǎn)定義為“倍值點(diǎn)”．若關(guān)于的二次函數(shù)，為常數(shù)，總有兩個(gè)不同的倍值點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．四．二次函數(shù)圖象與幾何變換（共3小題）11．（2023?廣西）將拋物線先向右平移3個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線是A． B． C． D．12．（2023?徐州）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為A． B． C． D．13．（2023?西藏）將拋物線平移后，得到拋物線的解析式為，則平移的方向和距離是A．向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度五．二次函數(shù)的最值（共3小題）14．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)，，是實(shí)數(shù)），則A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為 B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為 C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為 D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為15．（2023?泰安）二次函數(shù)的最大值是．16．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形，則．六．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共2小題）17．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出的取值范圍．18．（2023?紹興）已知二次函數(shù)．（1）當(dāng)，時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，的最大值為2；當(dāng)時(shí)，的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．七．拋物線與x軸的交點(diǎn)（共3小題）19．（2023?衡陽(yáng)）已知，若關(guān)于的方程的解為，，關(guān)于的方程的解為，．則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．20．（2023?郴州）已知拋物線與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則．21．（2023?黑龍江）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)．交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．八．二次函數(shù)與不等式（組）（共1小題）22．（2023?新疆）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于點(diǎn)，．結(jié)合圖象，判斷下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②是方程的一個(gè)解；③若，是拋物線上的兩點(diǎn)，則；④對(duì)于拋物線，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)九．二次函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）23．（2023?天津）如圖，要圍一個(gè)矩形菜園，其中一邊是墻，且的長(zhǎng)不能超過(guò)，其余的三邊，，用籬笆，且這三邊的和為，有下列結(jié)論：①的長(zhǎng)可以為；②的長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足菜園面積為；③菜園面積的最大值為．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．324．（2023?宜昌）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度（單位：與水平距離（單位：之間的關(guān)系是，則鉛球推出的距離．25．（2023?長(zhǎng)春）2023年5月28日，商業(yè)首航完成——中國(guó)民航商業(yè)運(yùn)營(yíng)國(guó)產(chǎn)大飛機(jī)正式起步．12時(shí)31分航班抵達(dá)北京首都機(jī)場(chǎng)，穿過(guò)隆重的“水門(mén)禮”（寓意“接風(fēng)洗塵”，是國(guó)際民航中高級(jí)別的禮儀）．如圖①，在一次“水門(mén)禮”的預(yù)演中，兩輛消防車面向飛機(jī)噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分．如圖②，當(dāng)兩輛消防車噴水口、的水平距離為80米時(shí)，兩條水柱在拋物線的頂點(diǎn)處相遇．此時(shí)相遇點(diǎn)距地面20米，噴水口、距地面均為4米．若兩輛消防車同時(shí)后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口