期末高頻考點第08講 幾何體球體外接、內(nèi)接模型和最值問題-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期《考點·題型·密卷》期末精講精練高效復(fù)習(xí)專題（人教A版2019必修第二冊）

期末高頻考點第08講：幾何體球體外接、內(nèi)接模型和最值問題高頻考點梳理考點一：球的切、接問題的常用結(jié)論(1)長、寬、高分別為a，b，c的長方體的體對角線長等于外接球的直徑，即eq\r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)若直棱柱(或有一條棱垂直于一個面的棱錐)的高為h，底面外接圓半徑為x，則該幾何體外接球半徑R滿足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up16(2)＋x2.(3)外接球的球心在幾何體底面上的投影，即為底面外接圓的圓心．(4)球(半徑為R)與正方體(棱長為a)有以下三種特殊情形：一是球內(nèi)切于正方體，此時2R＝a；二是球與正方體的十二條棱相切，此時2R＝eq\r(2)a；三是球外接于正方體，此時2R＝eq\r(3)a.3．補成長方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4考點二：正四面體外接球如圖，設(shè)正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為.考點三：對棱相等的三棱錐外接球四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題.如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以.考點四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出考點五：直棱錐外接球如圖，平面，求外接球半徑.解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②.考點六：正棱錐外接球正棱錐外接球半徑：.考點七：垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．圖1圖2高頻題型歸納題型一：直接法(公式法)1．（2021·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，若平面，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2021·貴州貴陽·高一期末）某三棱錐的三視圖如圖中粗實線所示(每個小方格的長度為1)，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B．C． D．3．（2021·黑龍江·哈師大附中高一期末）矩形中，，現(xiàn)將沿對角線向上翻折，得到四面體，則該四面體外接球的體積為（

）A． B． C． D．題型二：構(gòu)造法(補形法)4．（2022·浙江省開化中學(xué)高一期末）如圖在正三棱錐中，分別是棱的中點，為棱上的一點，且，，若，則此正三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．5．（2021·廣東廣州·高一期末）《九章算術(shù)》中記載，塹堵是指底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬是指底面為矩形且一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，如圖，在塹堵中，，=3，當(dāng)陽馬的體積為8時，塹堵的外接球表面積的最小值是（

）A． B． C． D．6．（2021·浙江湖州·高一期末）在三棱錐中，已知平面，，，，，則三棱錐的外接球的體積為（

）．A． B． C． D．題型三：確定球心位置法7．（2021·江蘇常州·高一期末）如圖，在四棱錐中，已知底面，且，則該四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．（2021··高一期末）已知四面體中，平面，，，且，則四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．9．（2021·遼寧·遼河油田第一高級中學(xué)高一期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E是AB的中點，將△ADE沿DE翻折至△A1DE的位置，使三棱錐A1﹣CDE的體積取得最大值，若此時三棱錐A1﹣CDE外接球的表面積為16π，則a＝（

）A．2 B． C． D．4題型四：球表面積和體積最值問題10．（2021·浙江麗水·高一期末）已知球的球面面積為，四面體的四個頂點均在球面上，且平面，，，則該四面體的體積的最大值是____．11．（2020·浙江杭州·高一期末）農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽花，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會品嘗的食品，傳說這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時期楚國大臣、愛國主義詩人屈原，如圖所示，平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為的正三角形構(gòu)成的，將它沿虛線折起來，可以得到如圖所示粽子形狀的六面體，若該六面體內(nèi)有一球，則該球體積的最大值為__________．12．（2021·云南·曲靖市第二中學(xué)高一期末）在三棱錐中，，，，，當(dāng)此三棱錐的體積最大時，該三棱錐的外接球的體積為___________.專題強化精練一、單選題13．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)高一期末）已知在正四面體ABCD中，E是AD的中點，P是棱AC上的一動點，BP＋PE的最小值為，則該四面體內(nèi)切球的體積為（

）A．π B．πC．4π D．π14．（2020·山東德州·高一期末）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐是陽馬，PA=5，AB=3，BC=4，則該陽馬的外接球的表面積為（

）A． B．50π C．100π D．15．（2021·山東青島·高一期末）已知是面積為的等邊三角形，其頂點均在球的表面上，當(dāng)點在球的表面上運動時，三棱錐的體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．16．（2021·江蘇·高郵市臨澤中學(xué)高一期末）一個長、寬、高分別為80cm、60cm、100cm的長方體形狀的水槽裝有適量的水，現(xiàn)放入一個直徑為40cm的木球（水沒有溢出）．如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（

）A．cm B．cmC．cm D．cm17．（2021·廣東茂名·高一期末）已知三棱錐中，平面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．18．（2021·江蘇宿遷·高一期末）在直三棱柱中，，，，則這個直三棱柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．19．（2021·四川涼山·高一期末）三棱錐中，二面角大小為，且，，.若點、、、都在同一個球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．20．（2021·黑龍江·鶴崗一中高一期末）蹴鞠(如圖所示)，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴?踢?蹋的含義，鞠最早系外包皮革?內(nèi)實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴?蹋?踢皮球的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列人第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某蹴鞠的表面上有四個點S?A?B?C，滿足為正三棱錐，M是SC的中點，且，側(cè)棱，則該蹴鞠的體積為（

）A． B． C． D．21．（2021·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高一期末）等腰直角，直角邊為2，沿斜邊邊上高翻折成直二面角，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．22．（2021·重慶復(fù)旦中學(xué)高一期末）已知正三棱柱的所有棱長都為2，則其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．23．（2021·福建省福州第一中學(xué)高一期末）一個正方體的外接球的表面積為，從正方體的八個頂點中任取四個兩兩距離相等的點，以其中一點為球心，另三點都在球的表面，球的表面積為，則（

）A． B． C． D．24．（2021·江西撫州·高一期末）已知四棱錐，平面，，，，，二面角的大小為.若四面體的四個頂點都在同一球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．二、填空題(共0分)25．（2022·陜西西安·高一期末）邊長為3的正方形的四個頂點都在球上，與對角線的夾角為45°，則球的體積為______.26．（2021·廣東江門·高一期末）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，如圖所示，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)吧！記圓柱的體積和表面積分別為、，球的體積和表面積分別為、，則____.27．（2021·江蘇常州·高一期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖是陽馬，平面，，，，則該陽馬的外接球的表面積為___________.28．（2021·江西宜春·高一期末）三棱錐的各頂點都在球的球面上，，⊥平面，，球的表面積為，則三棱錐的表面積為_________．29．（2021·四川雅安·高一期末）已知長方體的所有頂點在一個球面上，且，，則這個球的體積為___________.30．（2021·貴州畢節(jié)·高一期末）端午節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日，“咸蛋黃”口味的粽子也越來越受人們的喜愛，高三年級各班進行了包粽子大賽，我們把粽子的形狀近似為一個正四面體，蛋黃近似為一個球體，當(dāng)這個球體與正四面體的六條棱都相切時小組獲得獎勵，若某小組獲得了獎勵，他們包的粽子棱長為3，則放入粽子的蛋黃的體積等于______．31．（2021·湖北孝感·高一期末）已知的三個頂點都在球的球面上，且，，若三棱錐的體積為，則球的表面積為___________.32．（2021·北京師大附中高一期末）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》作注時，想到了推算球體積的方法，創(chuàng)造了一個稱為“牟合方蓋”的立體圖形.如圖1所示，在一個正方體內(nèi)作兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱，其相交的部分，就是牟合方蓋，如圖2所示，牟合方蓋恰好把正方體的內(nèi)切球包含在內(nèi)并且同球相切.劉微指出，球體積與牟合方蓋體積之比等于.若正方體的棱長為2，則“牟合方蓋”的體積等于__________.參考答案：1．A【解析】【分析】由于B處的三條棱兩兩垂直，可以把三棱錐補成長方體，求出體對角線長，即外接球的直徑.【詳解】由于B處的三條棱兩兩垂直，可以把三棱錐補成長方體，設(shè)球O半徑為，則，∴球表面積.故選：A.2．D【解析】【分析】首先還原幾何體，再利用補體，求三棱錐外接球的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖，畫出如圖所示的三棱錐，兩兩互相垂直，，，，三棱錐可以補成如圖所示的長方體，三棱錐和長方體的外接球是同一個外接球，，所以外接球的表面積.故選：D3．A【解析】【分析】設(shè)的中點為，連接，則由矩形的性質(zhì)可知，所以可得為四面體外接球的球心，求出的長可得球的半徑，從而可求出球的體積【詳解】解：設(shè)的中點為，連接，因為四邊形為矩形，所以，，所以為四面體外接球的球心，因為，所以，所以，所以面體外接球的半徑為，所以該四面體外接球的體積為，故選：A4．D【解析】【分析】根據(jù)題意證明兩兩垂直，將三棱錐放入棱長為的正方體，兩者外接球體積相同，求得正方體外接球體積即可得出答案.【詳解】因為在中，分別是棱的中點，所以，因為，所以，因為三棱錐為正三棱錐，所以（對棱垂直），又因為面，，所以面，因為面，所以，在中，，因為三棱錐為正三棱錐，所以是等腰三角形，是等邊三角形，所以，,所以，即，所以兩兩垂直，將此三棱錐放入正方體中，此正方體的面對角線長等于長，為,則該正方體棱長為，外接球半徑，正方體外接球體積,此正三棱錐的外接球體積和正方體外接球體積相同，為.故選：D5．B【解析】【分析】設(shè)，，由陽馬的體積為8求得，把塹堵補形為長方體，求其對角線長的最小值，可得塹堵的外接球的半徑的最小值，代入球的表面積公式得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，把塹堵補形為長方體，則長方體的對角線即為塹堵的外接球的直徑，設(shè)，，則陽馬體積，，把塹堵補形為長方體，則長方體的對角線長，當(dāng)且僅當(dāng)時上式取“”．即塹堵的外接球的半徑的最小值為，塹堵的外接球的表面積的最小值為，故選：B．6．B【解析】【分析】根據(jù)題意，得到該三棱錐是長方體的一個角，把三棱錐補成一個長方體，可得長方體的外接球和三棱錐的外接球為同一個球，結(jié)合長方體的對角線長，求得外接球的半徑，進而求得球的體積，得到答案.【詳解】如圖所示，因為平面，平面，所以，同理可得，又因為，所以該三棱錐是長方體的一個角，把三棱錐補成一個長方體，可得長方體的外接球和三棱錐的外接球為同一個球，又由長方體的對角線長為,所以外接球的半徑為，可得外接球的體積為.故選：B.7．B【解析】【分析】取中點，連接先證明點就是四棱錐外接球的球心，再求出外接球的半徑即得解.【詳解】取中點，連接由題得，又，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以，又.同理,所以，所以點就是四棱錐外接球的球心.因為，所以.所以所以外接球的半徑為.所以該四棱錐外接球的表面積．故選：B8．B【解析】【分析】根據(jù)題意可求得的外接圓半徑，再根據(jù)勾股定理求出四面體的外接球的半徑，即可求解.【詳解】解：如圖所示：在中，，又且，故解得：，由余弦定理得：，即，故，設(shè)的外接圓半徑為，則，設(shè)的外接圓圓心為，四面體的外接球球心為，則，四面體的外接球的表面積為：.故選：B.9．A【解析】【分析】首先分析出何時三棱錐A1﹣CDE的體積取得最大值，然后作出圖形，找到球心與半徑，根據(jù)表面積列出方程，求解即可.【詳解】當(dāng)平面平面時，三棱錐A1﹣CDE的體積取得最大值，因為AB＝2AD＝2a，E是AB的中點，所以，，所以為等腰直角三角形，因此取的中點，連接，則，因為平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以，又因為，所以為等腰直角三角形，因為，所以，故，所以，又由，所以為直角三角形，且，取的中點，連接，則有，即外接球的球心，則為球半徑，所以，即.故選：A.10．【解析】【分析】先根據(jù)球的表面積求出半徑，再利用球心到底面的射影點為的外接圓圓心，構(gòu)造直角三角形，求出外接圓半徑，再利用解三角形知識求出的面積最大值，便可知該四面體的體積最大值.【詳解】設(shè)球的半徑為，由球的球面面積為得，，，設(shè)球心到平面內(nèi)的射影點為，連接，，，則有，平面，且為的外接圓圓心，又平面，，所以，所以.即的外接圓半徑為，在中，記，，，又，由正弦定理得，，.由余弦定理得，，，所以的面積，故四面體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：.11．【解析】該球體積取最大值時，球心為，且該球與相切，過球心作，則就是球的半徑，求得后，利用球的體積公式即可得解.【詳解】該六面體是由兩個全等的正四面體組合而成，正四面體的棱長為，如圖所示在棱長為的正四面體中，取中點，連接，作平面，垂足在上，則，當(dāng)該六面體內(nèi)有一球，且該球體積取最大值時，球心為，且該球與相切，過球心作，則就是球的半徑，該球半徑該球體積的最大值為．故答案為：12．【解析】【分析】在中，由余弦定理得，根據(jù)勾股定理得，當(dāng)平面時，三棱錐的體積最大，把三棱錐放在長方體中，可求得外接球的半徑，進而可求得答案【詳解】解：在中，由，得，由余弦定理得，所以，因為，，所以，所以，如圖，當(dāng)平面時，三棱錐的體積最大，把三棱錐放在長方體中，可知三棱錐的外接球半徑為，所以該三棱錐外接球的體積為，故答案為：，13．D【解析】【分析】首先設(shè)正四面體的棱長為，將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形，根據(jù)題意得到的最小值為，從而得到，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化得到內(nèi)切球半徑，再計算其體積即可.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為，將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形，如圖所示：則的最小值為，解得.如圖所示：為正四面體的高，，正四面體高.所以正四面體的體積.設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，如圖所示：則到正四面體四個面的距離相等，都等于，所以正四面體的體積，解得.所以內(nèi)切球的體積.故選：D14．B【解析】【分析】連接AC，BD，交于，取PC中點O，連接，則可證明平面ABCD，即O為該四棱錐的外接球的球心，在中，求得PC的值，進而可求得外接球半徑R，代入公式，即可求得答案.【詳解】連接AC，BD，交于，取PC中點O，連接，如圖所示因為分別為PC，AC的中點，所以，又平面ABCD，所以平面ABCD，所以O(shè)到A,B,C,D的距離都相等，又，所以O(shè)為該四棱錐的外接球的球心，在中，，，所以，所以該四棱錐的外接球的半徑，所以該陽馬的外接球的表面積.故選：B15．A【解析】【分析】作出圖形，結(jié)合圖形知，當(dāng)點P與球心O以及△ABC外接圓圓心M三點共線且P與△ABC外接圓圓心位于球心的異側(cè)時，三棱錐的體積取得最大值，結(jié)合三棱錐的體積求出三棱錐的高h，并注意到此時該三棱錐為正三棱錐，利用,求出球O的半徑R，最后利用球體的表面積公式可求出答案．【詳解】如圖所示，設(shè)點M為外接圓的圓心，當(dāng)點三點共線時，且分別位于點的異側(cè)時，三棱錐的體積取得最大值.因為的面積為，所以邊長為3，由于三棱錐的體積的最大值為，得，易知SM⊥平面ABC，則三棱錐為正三棱錐，的外接圓直徑為，所以,設(shè)球O的半徑為R，則,解得,所以球的表面積為.故選：A16．B【解析】【分析】根據(jù)木球在水中的體積等于水槽上升的體積，即可求解出水槽中水面上升的高度【詳解】解：因為直徑為40cm的木球，一半在水中，一半在水上，所以可得木球在水中的體積，因為木球在水中的體積等于水槽上升的體積，所以水槽中水面上升的高度為故選：B17．A【解析】【分析】根據(jù)三棱錐中線面位置關(guān)系求解外接球的半徑，進而求出外接球的表面積.【詳解】中，，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)正弦定理有，如圖，點為的外心，三棱錐外接球的球心平面，，且中，，即三棱錐外接球的半徑為：所以外接球的表面積為，選項A正確，選項BCD錯誤故選：A.18．B【解析】【分析】先求出三棱柱的外接球的半徑，再利用球的表面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】直三棱柱中，，，所以，由正弦定理可得，所以，即△的外接圓的半徑為，所以三棱柱的外接球的半徑，所以．故選：．19．D【解析】【分析】分析可知，計算出的外接圓直徑，可求得三棱錐外接球直徑為，再利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱的外接球球心，球的直徑.本題中，因為，則，，，平面，且為二面角的平面角，則，可將三棱錐置于圓柱內(nèi)，如下圖所示：在中，，，故為等腰三角形，且，所以，外接球的直徑為，所以，三棱錐的外接球直徑為，則，因此，三棱錐的外接球的表面積為.故選：D.20．C【解析】【分析】由題意畫出圖形，證得三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，然后把正三棱錐放置在一個正方體中，結(jié)合正方體的性質(zhì)，求得外接球的半徑，利用球的體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點，連接和，因為為的中點，且，可得，同理可兒的，又因為且平面，所以平面，由平面，所以，又由且，平面，所以平面，則正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，把該三棱錐放置在一個正方體中，則正方體的外接球即為三棱錐的外接球，可得外接球的半徑等于正方體的對角線長的一半，即，所以該蹴鞠的體積為.故選：C.21．A【解析】【分析】利用補體，先求三棱錐外接球的半徑，再求體積.【詳解】由條件可知，斜邊，如下圖，翻折后，兩兩互相垂直，并且，此三棱錐可以補體成棱長為的正方體，三棱錐和正方體是同一外接球，外接球的半徑，得，所以外接球的體積.故選：A22．C【解析】【分析】根據(jù)正三棱柱上下底面的中心連線的中點即為其外接球球心，再根據(jù)球的表面積公式即可求出．【詳解】如圖所示：因為正三棱柱上下底面的中心連線的中點即為其外接球球心，所以，，即有，故其外接球的表面積為．故選：C．23．C【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長為1，易知正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線的長,從正方體的八個頂點中任取四個兩兩距離相等的點為正四面體，分別求得表面積即可.【詳解】如圖所示：設(shè)正方體的棱長為1，則正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線的長,所以外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，從正方體的八個頂點中任取四個兩兩距離相等的點為正四面體，以其中一點為球心，另三點都在球的表面，則球OS的半徑為，所以球的表面積為，所以，故選：C24．A【解析】【分析】先確定出三角形外接圓的圓心，然后過作垂直于平面的垂線，再過中點向作垂線，垂足即為球心，根據(jù)線段長度可求解出球的半徑，則球的體積可求.【詳解】因為，，所以，所以，所以外接圓的圓心為的中點，記為，過作直線使得平面，取中點，過作垂足為，則，所以為四面體外接球的球心，因為，所以平面，，又，所以二面角的平面角為，所以，因為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以四面體外接球的體積為，故選：A.25．【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合球的截面小圓性質(zhì)求出球O的半徑，再利用球的體積公式計算作答.【詳解】因邊長為3的正方形的四個頂點都在球上，則正方形的外接圓是球O的截面小圓，其半徑為，令正方形的外接圓圓心為，由球面的截面小圓性質(zhì)知是直角三角形，且有，而與對