2021-2022學年遼寧省葫蘆島市建昌縣九年級（上）期末數學試卷（含解析）

2021-2022學年遼寧省葫蘆島市建昌縣九年級（上）期末

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數學試卷

一、選擇題（共10小題，共30.0分）

1.下列事件中，屬于不可能事件的是（）

A.射擊運動員射擊一次，命中靶心

B.經過紅綠燈路口，遇到綠燈

C.班里的兩名同學，他們的生日是同一天

D.從只裝有8個白球的袋子中摸出紅球

2.已知。。的半徑為5cm,若點4到圓心。的距離為4cm,則點4（）

A.在。。內B.在0。上

C.在。0外D.與?O的位置關系無法確定

3.拋物線沙=7+22—3與軸的交點坐標是（）

A.（0,-3）B.（-3,0）C.（0,2）D.（2,0）

4,下列是北京大學、中國科學院大學、中國藥科大學和中南大學的標志中的圖案，其

中是中心對稱圖形的是

A.2B.V3C.1

6.如圖，四邊形4BCD內接于?O,//7=80°，則/。為（

A.40°

B.80°

C.100°

D.160°

7.點P⑵—1）關于原點對稱的點P，的坐標是（）

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-1,2)D.(1,-2)

8.如圖，A,B,。是0O上的三個點，若/73=66°，則/OAC

的度數為（）

O

B

A.24°

B.29°

C.33°

D.132°

9,二次函數y=-/-I的圖象是一條拋物線，下列關于該拋物線的說法正確的是

（）

A.開口向上B.當2=0時，函數的最大值是一1

C.對稱軸是直線;E=1D.拋物線與立軸有兩個交點

10.如圖，四邊形4BCO是邊長為2的正方形，點E是射線43

上的動點（點E不與點4,點3重合），點E在線段的

延長線上，且4F=4E,連接KF,FB.^AE=x,

的面積為9，下列圖象能正確反映出?與立的函數關

系的是（）

二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）

11.拋物線g=3（工一5）2+4的頂點坐標為.

12.一個扇形的圓心角為90°，半徑為2,則扇形面積=

13.一個小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機停在某塊方磚上,

如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的

概率是.

14.將拋物線y=3/先向左平移1個單位，再向上平移2個單位，得到拋物線為

15.若關于c的一元二次方程/+加工―6=0的一個根是2,則另一個根為

16.如圖，PA,是?O的切線，A,B為切點,

ZOAB=30°,則乙4PB=.

第2頁，共23頁

17.AB,CO是。。的兩條平行弦，。。的直徑為10cm,AB=8cm,CD=6cm,

則43,間的距離為.

18.如圖所示，△48。內接于?O,且圓心。在△4BC外部，^

O。，BC交于點D則以下結論中：產冷(

①/ABC=NA。。；②BC=2C。；③>l。平分N8AC；k07

@AB=CD.、/

所有正確結論的序號是.

三、解答題(本大題共8小題，共96.0分)

19.已知關于x的一元二次方程mx2+3x+2=0有實數根.

(1)求m的取值范圍；

(2)當m為正整數時，求此時方程的根.

20.如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中建立直角坐標系，△408的頂點均在格

點上，點O為原點，點4,B的坐標分別是4(3,2),5(1,3).

(1)若將△AOB向下平移3個單位，則點B的對應點坐標為；

(2)將△力08繞點。逆時針旋轉90°后得到△4。功，請在圖中作出△小。場，

并求出這時點4的坐標為；

(3)求旋轉過程中，線段。4掃過的圖形的弧長.

yk

B/A

/

00

21.為了繼續(xù)宣傳新冠疫苗接種的重要性，某小區(qū)物業(yè)部門準備在已經接種疫苗的居民

中招募2名志愿宣傳者，現(xiàn)有2名男性2名女性共4名居民報名.

(1)從4人中抽取1人為男性的概率是；

(2)請用列表或畫樹狀圖的方法，求要從這4人中隨機挑選2人，恰好抽到一名男性

和一名女性的概率.

22.為了執(zhí)行國家藥品降價政策，給人民群眾帶來實惠，某藥品經過兩次降價，每瓶零

售價由100元降為81元.平均每次降價的百分率是多少？

第4頁，共23頁

23.如圖，4B為。。的直徑，點C,E為。O上兩點，且瑟=00,連接4E,AC,

過點。作。。_LAE交AE的延長線于點D.

(1)求證：直線CO是00的切線.

(2)連接CE,若4B=4,ZEAC=30°，求陰影部分的面積.

24.“燃情冰雪，拼出未來”,北京冬奧會將于2022年2月4日如約而至.某商家已提

前開始冬奧會吉祥物“冰墩墩”紀念品的銷售.每個紀念品進價40元，規(guī)定銷售

單價不低于44元，且不高于52元.銷售期間發(fā)現(xiàn)，當銷售單價定為44元時，每天

可售出300個，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個.現(xiàn)商家決定提價銷售,

設每天銷售量為9個，銷售單價為立元.

(1)直接寫出“與工之間的函數關系式和自變量r的取值范圍；

(2)求當每個紀念品的銷售單價是多少元時，商家每天獲利2400元；

(3)將紀念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤2元最大?

最大利潤是多少元？

25.如圖①，在△48。中，ZA=90°,48=47,點。，E分別在邊43,ACh,

且力。=4E.則CE=BD.現(xiàn)將△4DE繞點4順時針方向旋轉，旋轉角為

a(0°<a<180°).如圖②，連接CE,BD.

(1)如圖②，請直接寫出CE與BD的數量關系.

(2)將△4DE旋轉至如圖③所示位置時，請判斷CE與BD的數量關系和位置關

系，并加以證明.

(3)在旋轉的過程中，當△3。。的面積最大時，a=______.(直接寫出答案即可)

D

圖②

備用圖

圖③

第6頁，共23頁

26.如圖，拋物線y=—/+bz+c與立軸交于A(LO),3(-3,0)兩點，與V軸交于點

C,P是拋物線上一動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當點P在直線上方的拋物線上時，求△P8C的最大面積，并直接寫出此時

P點坐標；

⑶若點"在拋物線的對稱軸上，以B,C,P,時為頂點、為邊的四邊形

能否是平行四邊形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4射擊運動員射擊一次，命中靶心，是隨機事件，故A不符合題意；

及經過紅綠燈路口，遇到綠燈，是隨機事件，故8不符合題意；

C.班里的兩名同學，他們的生日是同一天，是隨機事件，故C不符合題意；

D從只裝有8個白球的袋子中摸出，是不可能事件，故。符合題意；

故選：D.

根據隨機事件，必然事件，不可能事件的特點判斷即可.

本題考查了隨機事件,熟練掌握隨機事件,必然事件，不可能事件的特點是解題的關鍵.

2.【答案】A

【解析】解：；③。的半徑為5cm,點4到圓心。的距離為4cni,5cm>4cm,

.?.點P在圓內.

故選：A.

直接根據點與圓的位置關系即可得出結論.

本題考查的是點與圓的位置關系，熟知點與圓的三種位置關系是解答此題的關鍵.

3.【答案】A

【解析】解：?.■拋物線沙=/+2,—3,

.,.當r=0時，y=-3,

即拋物線y=x2+2x—3與V軸的交點坐標是(0,-3),

故選：A.

令r=0,求出相應的的值，即可得到拋物線沙=/+4/—1與獷軸的交點坐標.

本題考查二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確拋物

線與次軸交點，就是求出當z=0時9的值.

4.【答案】B

第8頁，共23頁

【解析】解：4不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

A是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

C.不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

D不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意.

故選：B.

把一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖

形就叫做中心對稱圖形，根據中心對稱圖形的概念求解.

本題主要考查了中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖

重合.

5.【答案】A

【解析】解：如圖，連接OB,OC,過點。作0H±BC于H,

?.?六邊形是正六邊形，

:2BOC=ix360°=60°,

6

:OB=OC,

是等邊三角形,

,-,BC=OB=OC=2,

.??它的半徑為2,

故選：A.

首先根據題意作出圖形，然后可得是等邊三角形，從而確定正六邊形的半徑.

本題考查了圓的內接正六邊形的性質、正多邊形的內角和、等邊三角形的判定與性質.此

題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用

6.【答案】C

【解析】解：■.?四邊形4BCD內接于。。，N3=80°，

ND=180°-ZB=180°-80°=100°,

故選：C.

運用圓內接四邊形對角互補計算即可.

本題主要考查了圓內接四邊形的性質，熟練掌握圓內接四邊形對角互補是解答此題的關

鍵.

7.【答案】A

【解析】解：點P⑵一1)關于原點對稱的點P，的坐標是(—2,1),

故選：A.

根據關于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可直

接寫出答案.

此題主要考查了關于原點對稱的點的坐標特點，關鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律.

8.【答案】A

【解析】解：=66°，

ZAOC=2ZB=2x66°=132°,

■,OA=OC,

：.ZOAC=|(180°—ZAOC)=1x(180°-132°)=|x48°=24°.

故選：A.

根據圓周角定理，由/8=66°，可得乙40。=2/3的度數，再由。4=0。，根據等

腰三角形的性質進行計算即可得出答案.

本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理進行計算是解決本題的關鍵.

9.【答案】B

【解析】解：?.?二次函數的解析式為“1，

.?.圖象開口向下，故選項A錯誤，不符合題意；

當c=0時，函數的最大值為-1,故選項B正確，符合題意；

對稱軸是直線z=0,故選項C錯誤，不符合題意；

令，=0時，—/-1=0,

x2=—1>無解，

.?.拋物線與2軸沒有交點，故選項。錯誤，不符合題意.

故選：B.

先由函數的解析式可以判斷選項A、B、C,然后令夕=0判斷選項D

第10頁，共23頁

本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是會通過函數的頂點式得到函數的開口方向、

對稱軸和最值.

10.【答案】B

【解析】解：?.?四邊形是邊長為2的正方形，

/.DAB=90°,AD=AB,

在△ADE和AAB尸中，

[AD=AB

<NDAE=/BAF,

(AE=AF

/\ADE三△ABF(SAS),

AADE=AABF,DE=BF,

?「ADEG=90°,

/ADE+NAED=NAED+ABEG,

ABEG=/ADE,

/BEG=AABF，

:.EG//BF,

：DE=BF,DE=GE,

：,EG=BF,

廠.四邊形BFEG是平行四邊形，

/.4BEF的面積=^BE-AF,

設4石=力，BEF的面積為沙，

當0<①<2時，y=|(2—xyx=—+x；

當工?>2時，y=(x—2)-2：=/—2,；

綜上可知，當()WiW2時，函數圖象是開口向下的拋物線；當7>2時，函數圖象是

開口向上的拋物線，

符合上述特征的只有3,

故選：B.

分兩種情況求出函數的解析式，再由函數解析式對各選項進行判斷.

本題綜合考查了正方形的性質和二次函數圖象及性質，分段求出函數的解析式是解題的

關鍵.

11.【答案】(5,4)

【解析】解：?.?拋物線0=3(z—5產+4,

.?.該拋物線的頂點坐標為(5,4)，

故答案為：(5,4).

根據的拋物線的頂點式，可以直接寫出該拋物線的頂點坐標，本題得以解決.

本題考查二次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答.

12.【答案】7T

【解析】解：根據扇形的面積公式可得：扇形的面積=9°“*22=7r.

360

故答案為亓.

利用扇形的面積公式即可求解.

本題主要考查了扇形的面積公式的計算，正確理解公式是解題的關鍵.

13.【答案】|

【解析】解：?.?總面積為9個小正方形的面積，其中陰影部分面積為5個小正方形的面

積，

二小球停在陰影部分的概率是,

故答案為：,

根據幾何概率的求法：小球落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值.

本題考查幾何概率的求法：首先根據題意將代數關系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域

表示所求事件(4);然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件

(4)發(fā)生的概率.

14.【答案】？=3(工+1)2+2

第12頁，共23頁

【解析】解："=3/向左平移1個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線為

y=3(z+l)2+2.

故答案為：y=3(工+I)?+2.

按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律解答.

此題主要考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減.

15.【答案】-3

【解析】解：設方程另一根為力，

根據題意得2t=—6,

解得力=一3.

故答案為-3.

設方程另一根為t，根據根與系數的關系得到2t=-6,然后解一次方程即可.

本題考查了一元二次方程a/+故+c=0(a^0)的根與系數的關系：若方程的兩根為

?,bc

①1,x2,貝1JN1+工2=——，xl'x2—~.

aa

16.【答案】60°

【解析】解：?；P4,PB是。。的切線，A,B為切點，

ZPAO=ZPBO=90°,

：OA=OB,

：.AOAB=AOBA=30°,

AAOB=180°-AOAB-AOBA=120°,

ZAPB=360°-APAO-2PBO-ZAOB=60°,

故答案為：60°.

根據切線的性質求出APAO=NPBO=90°，再利用等腰三角形的性質求出ZAOB的

度數，最后利用四邊形的內角和進行計算即可.

本題考查了切線的性質，圓周角定理，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵.

17.【答案】1cm或7cm

【解析】解：作于E,延長EO交CO于連接。4、OC,如圖，

AB//CD,OELAB,

：,OFLCD,

AE=BE==4cm,

CF=DF=-CD=3cm,

2

在Rt/XOAE中，OE=\/AO2-AE2=y52-4=3cm，

在Rt/\OCF中，OF=yJCO2-CF2=y52-32=4cm，

當點。在4B與。。之間時，如圖1,EF=OF+OE=4+3=7cmi

當點。不在AB與。。之間時，如圖2,EF=OF—OE=4—3=1cm；

綜上所述，與之間的距離為1cm或7cm.

故答案為1cm或7cm.

作于E,延長EO交。。于F,連接。4、OC，如圖，利用平行線的性質

OFLCD,根據垂徑定理得到AE=BE=4,CF=DF=3,則利用勾股定理可

計算出OE=3,OF=4,討論：當點。在43與。。之間時，EF=OF+OE；當

點。不在43與。。之間時，EF=OF-OE.

本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.注意分

類討論.

18.【答案】①③

【解析】解：?.?同弧所對圓周角相等,

AABC=AADC,故①正確；

：OD±BC,O。是0O的半徑，

，----/---X

/.BD=CD，

：,BD=CD,

：.BC#2CD,故②錯誤；

/---N----

BD=CD，

：.ABAD=ZCAD,

二4。平分/氏4。，故③正確；

@-：^ABy=CD>

第14頁，共23頁

：.AB^CD,故④錯誤.

.?.所有正確結論的序號是①③.

故答案為：①③.

根據同弧所對圓周角相等，可以判斷①正確；根據垂徑定理可得&=33，所以

BD=CD,進而可以判斷②；根據等弧所對圓周角相等可得乙84。=NC4D,進而

可以判斷③；根據弧不等，它所對弦也不等，進而可以判斷④，即可解決問題.

本題考查了三角形外接圓與外心，垂徑定理，圓周角定理，解決本題的關鍵是掌握垂徑

定理.

19.【答案】解：(1)根據題意得M/)且4=32—4mx220,

()

解得mW3且m^O.

O

Q

故m的取值范圍為mW己且"必。；

8

9

⑵???加且小片)，7兀為正整數，

8

771=1，

原方程化為X2+3X+2=0,

即(x+l)(a;+2)=0,

.,.z+l=O或工+2=0,

X!=—1,X2=~2.

【解析】(1)先根據根的判別式的意義得到4=32-4加義220,然后解不等式即可;

⑵先確定m=L然后利用因式分解法解方程.

本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+比+c=0(a#0)的根與△=/一4ac有如

下關系：當△>()時，方程有兩個不相等的實數根；當△=()時，方程有兩個相等的實

數根；當△<()時，方程無實數根.也考查了解一元二次方程.

20.【答案】(1,0)(-2,3)

【解析】解：(1)點B的對應點坐標為(1,0),

故答案為：(1,0)；

⑵如圖，△4O8i即為所求，這時點4的坐標為(一2,3),

故答案為：(—2：3)；

(3)*/OA=，22+32=61，

線段。4掃過的圖形的弧長=22m=巫［

⑴利用平移變換的性質解決問題即可；

⑵利用旋轉變換的性質分別作出4,B的對應點Ai，5即可；

(3)利用勾股定理求出OA,利用弧長公式求解即可.

本題考查作圖-旋轉變換，平移變換，弧長公式等知識，解題的關鍵是掌握旋轉變換,

平移變換的性質，屬于中考常考題型.

21.【答案】

【解析】解：(1)從4人中抽取1人為男性的概率是(2=1

故答案為:g；

(2)畫樹狀圖如下:

開始

男男女女

ZNZN/1\/K

男女女男女女男男女男男女

共有12種等可能的結果，抽取的兩人恰好是一男一女的結果有8種,

二兩人恰好是一男一女的概率為蔣=|.

■1/O

(1)直接利用概率公式求解即可;

第16頁，共23頁

(2)畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，抽取的兩人恰好是一男一女的結果有8種，再

由概率公式求解即可.

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n,再從

中選出符合事件4或B的結果數目m,然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.

22.【答案】解：設平均每次降價的百分率是八

依題意得：100(1—7)2=81,

解得：a；i=0.1=10%,22=L9(不合題意，舍去).

答：平均每次降價的百分率是10%.

【解析】設平均每次降價的百分率是八利用經過兩次降價后的價格=原價x(l-平均

每次降價的百分率產，即可得出關于X的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得

出結論.

本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.

23.【答案】(1)證明：連接OC,

：CDLAE,

：.ND=90°,

/------------，----S

?/BC=EC，

AEAC=ZCAB,

AOAC=AOCA,

AEAC=Z.OCA,

:.AD//OC,

ZD+ZPCO=180°,

ADCO=180°-ZD=90°,

???OC是0。的半徑，

直線CD是的切線；

(2)連接。E,過點。作。F_1.CE,垂足為F,

ZEAC=30°，

：.AEOC=2AEAC=60°，

:OE=OC,

△EOC是等邊三角形，

EC=OE=OC=^AB=2,

EF=^EC=1,

OF=y/OE2-EF2=322—J=V3，

,陰影部分的面積=扇形EOC的面積一△EO。的面積

607rx221c

=-----------------x2xV3

3602

=%一\/3,

O

o

,陰影部分的面積為：3-瓜

O

【解析】(1)連接OC,利用等弧所對的圓周角相等NEAC=NCAB,再利用等腰三

角形的性質證出=從而證明4?！?。。，即可解答；

(2)利用圓周角定理求出/EOC=60°，然后證明△EOC是等邊三角形，最后利用扇

形EOC的面積減去4EOC的面積進行計算即可解答.

本題考查了切線的判定與性質，圓周角定理，垂徑定理，扇形面積的計算，勾股定理,

第18頁，共23頁

根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

24.【答案】解：（1）根據題意得：u=300—10Q—44）=—10工+740,

，V與1之間的函數關系式為4=-10a:+740（44（a:W52）；

（2）根據題意得：（一10立+740）（a;-40）=2400,

整理得：a:2-114^+3200=0，

解得：xi=50,x2=64,

-.-44W力（52,

力=50,

當每個紀念品的銷售單價是50元時，商家每天獲利2400元；

⑶根據題意得：

w=（-10a:+740）（X-40）=-10x2+1140a:-29600=-10（^-57）2+2890,

?1--10<0,

.?.當工<57時，"隨工的增大而增大，

■.-44W工（52,

.?.當c=52時，"有最大值，最大值為2640,

,將紀念品的銷售單價定為2640元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤2元最大，最

大利潤是2640元.

【解析】（1）根據題意直接寫出沙與工之間的函數關系式和自變量的取值范圍；

⑵根據銷售量x（售價-進價）=2400,解方程求出在自編量范圍內的解即可；

（3）根據銷售利潤=銷售量x（售價-進價），列出平均每天的銷售利潤?（元）與銷售價

4元/箱）之間的函數關系式，再依據函數的增減性求得最大利潤.

本題考查了二次函數在實際生活中的應用以及一元二次方程的應用，最大銷售利潤的問

題常利函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結

合實際選擇最優(yōu)方案.其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），

也就是說二次函數的最值不一定在/=-2時取得.

25.【答案】135°

【解析】解：(l)CE=g。，理由如下：

?.?Z.CAB=/LEAD=90°，4CAB-ABAE=LEAD-4BAE,

/CAE=ABAD,

在△ZCE與△ABO中，

fAC=AB

</CAE=4BAD,

[AE=AD

.?.△ACE三△ABO(SAS),

，CE=BD；

0CE=BD,CELBD,

理由如下：設BO與CE的交點為R,

圖③

?.?/.CAB=/LEAD=90°,/CAB-/BAE=LEAD-4BAE,

/./CAE=ABAD，

在△ACE與△AB。中，

'AC=AB

</CAE=LBAD,

AE=AD

：.^ACE^^ABD(SAS),

:.NACE=NABD,CE=BD,

：,ACAB=ACFB=90°，

：,CE=BD,CE±BD;

⑶在△3。。中，邊BC的長是定值，則BC邊上的高最大時，△BCD的面積最大,

當點。在線段BC的垂直平分線上時，△8CD的面積最大，如圖所示，

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：AB=AC,ACAB=90°-OG_LBC^G,

AGAB=45°,

匕DAB=180°-45°=135°,

即當△BCD的面積最大時，旋轉角a=135°，

故答案為：135°.

(1)利用SAS證明AACEmAABD,可得結論；

(2)設與CE的交點為F,同理利用S4s證明△力CE三△AB。，得

AACE=AABD,CE=BD,則/CAB=/CFB=90°;

(3)根據邊的長是定值，則BC邊上的高最大時，△BCD的面積最大，則當點。在

線段的垂直平分線上時，△BCD的面積最大，畫出圖形即可解決問題.

本題是幾何變換綜合題，