變量間的相關(guān)關(guān)系教案(人教A版)

2.3變量間的相關(guān)關(guān)系●三維目標(biāo)1．知識(shí)與技能通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)，認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系．2．過程與方法明確事物間的相互聯(lián)系．認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中變量間除了存在確定的關(guān)系外，仍存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系，并利用散點(diǎn)圖直觀體會(huì)這種相關(guān)關(guān)系．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過對(duì)事物之間相關(guān)關(guān)系的了解，讓學(xué)生們認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)中任何事物都是相互聯(lián)系的辯證法思想．●重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：(1)通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系；(2)利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系．難點(diǎn)：(1)變量之間相關(guān)關(guān)系的理解；(2)作散點(diǎn)圖和理解兩個(gè)變量的正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．從現(xiàn)實(shí)生活入手，抓住學(xué)生們的注意力，引導(dǎo)學(xué)生分析得出概念，讓學(xué)生真正參與到概念的形成過程中來．通過對(duì)典型事例的分析，向?qū)W生們介紹什么是散點(diǎn)圖，并總結(jié)出如何從散點(diǎn)圖上判斷變量之間關(guān)系的規(guī)律．通過實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生們感受散點(diǎn)圖的主要形成過程，并由此引出線性相關(guān)關(guān)系強(qiáng)化本節(jié)重點(diǎn)．通過學(xué)生討論、交流，用TI圖形計(jì)算器展示、對(duì)比自己作出的散點(diǎn)圖，得出線性相關(guān)關(guān)系、正負(fù)相關(guān)關(guān)系的概念．教師及時(shí)將求線性方程的公式展示出來，通過例題的講解和訓(xùn)練，進(jìn)一步加深對(duì)散點(diǎn)圖和回歸方程的理解，突破難點(diǎn)．●教學(xué)建議結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，讓學(xué)生真正成為教學(xué)活動(dòng)的主體．通過多媒體輔助教學(xué)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂教學(xué)的主動(dòng)性與積極性．本節(jié)課宜采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以“散點(diǎn)圖”為基本探究?jī)?nèi)容，以周圍世界和生活實(shí)際為參照對(duì)象，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，通過例題和變式訓(xùn)練進(jìn)一步鞏固本節(jié)知識(shí)，將自己所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的深入探討．讓學(xué)生在“活動(dòng)”中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新．●教學(xué)流程eq\x(創(chuàng)設(shè)問題情境引入問題：人體內(nèi)脂肪的含量與年齡之間有何關(guān)系？)?eq\x(引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合必修一中函數(shù)圖象的畫法將對(duì)應(yīng)點(diǎn)在坐標(biāo)系中描出，觀察比較，分析這些點(diǎn)的特征)?eq\x(通過引導(dǎo)學(xué)生回答所提問題理解相關(guān)關(guān)系與散點(diǎn)圖的概念進(jìn)一步探究這些點(diǎn)的特征給出求\o(b,\s\up6(∧))，\o(a,\s\up6(∧))的公式)?eq\x(通過例1及變式訓(xùn)練使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握線性相關(guān)的應(yīng)用，及散點(diǎn)圖與線性相關(guān)的關(guān)系)?通過例2及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握線性回歸方程的求法?研究現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，應(yīng)用本節(jié)知識(shí)完成例3及變式能夠?qū)傮w進(jìn)行估計(jì)?eq\x(歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體把握本節(jié)知識(shí))?eq\x(完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所掌握的知識(shí)，并進(jìn)行反饋矯正)課標(biāo)解讀1.理解兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的概念．(難點(diǎn))2．會(huì)作散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系．(重點(diǎn))3．會(huì)求回歸直線方程．(重點(diǎn))4．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系．(易混點(diǎn))變量間的相關(guān)關(guān)系【問題導(dǎo)思】下表是水稻產(chǎn)量與施化肥量的一組觀測(cè)數(shù)據(jù)：施化肥量15202530354045水稻產(chǎn)量3203303604104604704801.將上述數(shù)據(jù)制成散點(diǎn)圖．【提示】散點(diǎn)圖如下：2．施化肥量與水稻產(chǎn)量有關(guān)系嗎？【提示】有關(guān)系．1．相關(guān)關(guān)系：不像勻速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與路程的關(guān)系那樣是完全確定的，而是帶有不確定性．2．散點(diǎn)圖：將樣本中幾個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐標(biāo)系中得到的圖形．3．正相關(guān)與負(fù)相關(guān)：散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，稱它為正相關(guān)．若散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，稱它為負(fù)相關(guān)．回歸直線方程【問題導(dǎo)思】一臺(tái)機(jī)器由于使用時(shí)間較長(zhǎng)，生產(chǎn)的零件有一些會(huì)有缺陷．按不同轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出有缺陷的零件的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128每小時(shí)生產(chǎn)有缺陷的零件數(shù)y(件)119851.在平面直角坐標(biāo)系中作出散點(diǎn)圖．【提示】2．從散點(diǎn)圖中判斷x和y之間是否具有相關(guān)關(guān)系？【提示】有．3．若轉(zhuǎn)速為10轉(zhuǎn)/秒，能否預(yù)測(cè)機(jī)器每小時(shí)生產(chǎn)缺陷的零件件數(shù)？【提示】可以．根據(jù)散點(diǎn)圖作出一條直線，求出直線方程后可預(yù)測(cè)．1．回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．2．回歸方程：回歸直線對(duì)應(yīng)的方程叫回歸直線的方程，簡(jiǎn)稱回歸方程．3．最小二乘法求回歸直線時(shí)，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．4．求回歸方程若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)為：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則所求的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))，其中eq\o(a,\s\up6(∧))，eq\o(b,\s\up6(∧))為待定的參數(shù)，由最小二乘法得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(∧))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，,\o(a,\s\up6(∧))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(∧))\x\to(x).))eq\o(b,\s\up6(∧))是回歸直線斜率，eq\o(a,\s\up6(∧))是回歸直線在y軸上的截距．

線性相關(guān)關(guān)系的判斷以下是在某地搜集到的不同樓盤新房屋的銷售價(jià)格y(單位：萬元)和房屋面積x(單位：m2)的數(shù)據(jù)：房屋面積x(m2)11511080135105銷售價(jià)格y(萬元)24.821.619.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖；(2)判斷新房屋的銷售價(jià)格和房屋面積之間是否具有相關(guān)關(guān)系？如果有相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？【思路探究】涉及兩個(gè)變量房屋面積與銷售價(jià)格，以房屋面積為自變量，考察銷售價(jià)格的變化趨勢(shì)從而做出判斷．【自主解答】(1)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示：(2)通過以上數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖可以判斷，新房屋的銷售價(jià)格和房屋的面積之間具有相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)．兩個(gè)隨機(jī)變量x和y相關(guān)關(guān)系的確定方法：1．散點(diǎn)圖法：通過散點(diǎn)圖，觀察它們的分布是否存在一定規(guī)律，直觀地判斷．2．表格、關(guān)系式法：結(jié)合表格或關(guān)系式進(jìn)行判斷．3．經(jīng)驗(yàn)法：借助積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析判斷．5個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)生成績(jī)學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)8075706560物理7066686462畫出散點(diǎn)圖，并判斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系．【解】以x軸表示數(shù)學(xué)成績(jī)，y軸表示物理成績(jī)，可得相應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示，由散點(diǎn)圖可知，兩者之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)．求回歸直線方程一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，收集數(shù)據(jù)如下：零件數(shù)x(個(gè))102030405060708090100加工時(shí)間y(分)626875818995102108115122(1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？(2)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的回歸直線方程．【思路探究】畫散點(diǎn)圖→確定相關(guān)關(guān)系→求回歸直線系數(shù)→寫回歸直線方程【自主解答】(1)畫散點(diǎn)圖如下：由上圖可知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)列表、計(jì)算：i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi6201602503404450500740840105012200eq\x\to(x)＝55，eq\x\to(y)＝91.7，eq\i\su(i＝1,10,＝)xeq\o\al(2,i)＝38500，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝87777，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝55950eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)eq\x\to(y),eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)－10eq\x\to(x)2)＝eq\f(55950－10×55×91.7,38500－10×552)≈0.668，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(∧))eq\x\to(x)＝91.7－0.668×55＝54.96.即所求的回歸直線方程為：eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.668x＋54.96.用公式求回歸方程的一般步驟：1．列表xi，yi，xiyi；2．計(jì)算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(∑,\s\up6(n))eq\o(,\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)，eq\o(∑,\s\up6(n))eq\o(,\s\do4(i＝1))xiyi；3．代入公式計(jì)算eq\o(b,\s\up6(∧))、eq\o(a,\s\up6(∧))的值；4．寫出回歸方程．從某一行業(yè)隨機(jī)抽取12家企業(yè)，它們的生產(chǎn)產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用的數(shù)據(jù)如下表：企業(yè)編號(hào)123456789101112產(chǎn)量x/臺(tái)40425055857884100116125130140費(fèi)用y/萬元130150155140150154165170167180175185(1)繪制生產(chǎn)產(chǎn)量x和生產(chǎn)費(fèi)用y的散點(diǎn)圖；(2)如果兩個(gè)變量之間是線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用最小二乘法求出其回歸直線方程．【解】(1)兩個(gè)變量x和y之間的關(guān)系的散點(diǎn)圖如圖所示．(2)根據(jù)散點(diǎn)圖可知，兩個(gè)變量x和y之間的關(guān)系是線性相關(guān)關(guān)系．下面用最小二乘法求回歸直線方程．l123456789101112合計(jì)xi404250558578841001161251301401045yi1301501551401501541651701671801751851921xiyi52006300775077001275012012138601700019372225002275025900173094xeq\o\al(2,i)1600176425003257225608470561000013456156251690019600104835eq\x\to(x)≈87.08，eq\x\to(y)≈160.1，neq\x\to(x)eq\x\to(y)＝167298.096，neq\x\to(x)2≈90995.1168設(shè)所求的回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))，所以eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)eq\x\to(y),eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－neq\x\to(x)2)＝eq\f(173094－167298.096,104835－90995.1168)＝eq\f(5795.904,13839.8832)≈0.42，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(∧))eq\x\to(x)＝160.1－0.42×87.08≈123.53.所求的回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.42x＋123.53.利用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)(12分)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.5(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出回歸方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？【思路探究】(1)以產(chǎn)量為橫坐標(biāo)，以生產(chǎn)能耗對(duì)應(yīng)的測(cè)量值為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫散點(diǎn)圖；(2)應(yīng)用計(jì)算公式求得線性相關(guān)系數(shù)eq\o(b,\s\up6(∧))，eq\o(a,\s\up6(∧))的值；(3)實(shí)際上就是求當(dāng)x＝100時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的值．【自主解答】(1)散點(diǎn)圖，如圖所示．(2)由題意，得eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝32＋42＋52＋62＝86，∴eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝eq\f(66.5－63,86－81)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(∧))eq\x\to(x)＝3.5－0.7×4.5＝0.35，故線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.7x＋0.35.(3)根據(jù)回歸方程的預(yù)測(cè)，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤為0.7×100＋0.35＝70.35(噸)，故耗能減少了90－70.35＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)．1．回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定性關(guān)系的某種確定性．2．只有當(dāng)兩個(gè)變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，才能用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)．否則，如果兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系，即使由樣本數(shù)據(jù)求出回歸直線方程，用其估計(jì)和預(yù)測(cè)結(jié)果也是不可信的．煉鋼是一個(gè)氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時(shí)間的長(zhǎng)短，必須掌握鋼水含碳量和冶煉時(shí)間的關(guān)系．如果已測(cè)得爐料熔化完畢時(shí)，鋼水含碳量x與冶煉時(shí)間y(從爐料熔化完畢到出鋼的時(shí)間)的幾種對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：x(0.01%)104180190177147134150191204121y(分)10020021185155135170205235125(1)作出散點(diǎn)圖，判斷冶煉時(shí)間y對(duì)鋼水含碳量x是否線性相關(guān)；(2)求回歸直線方程；(3)預(yù)測(cè)當(dāng)鋼水含碳量為160個(gè)0.01%時(shí)應(yīng)冶煉多少分鐘．【解】(1)以x軸表示含碳量，y軸表示冶煉時(shí)間，可作散點(diǎn)圖如圖所示．從圖中可以看出，各點(diǎn)散布在一條直線附近，即它們線性相關(guān)．(2)列表如下：i12345678910xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi10400360003990032745227851809025500391554794015125eq\x\to(x)＝159.8，eq\x\to(y)＝172，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝265448，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝287640設(shè)所求的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧)).eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)eq\x\to(y),eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)－10eq\x\to(x)2)＝eq\f(287640－10×159.8×172,265448－10×159.82)≈1.27，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(∧))eq\x\to(x)≈172－1.27×159.8≈－30.95，即所求的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝1.27x－30.95.(3)當(dāng)x＝160時(shí)，eq\o(y,\s\up6(∧))＝1.27×160－30.95≈172(分)，即大約冶煉172分鐘.數(shù)形結(jié)合在線性相關(guān)性中的應(yīng)用(12分)下表數(shù)據(jù)是退水溫度x(℃)對(duì)黃硐延長(zhǎng)性y(%)效應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果，y是以延長(zhǎng)度計(jì)算的，且對(duì)于給定的x，y為正態(tài)變量，其方差與x無關(guān)．x(℃)300400500600700800y(%)405055606770(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)指出x，y是否線性相關(guān)；(3)若線性相關(guān)，求y關(guān)于x的線性回歸方程；(4)估計(jì)退水溫度是1000℃時(shí)，黃硐延長(zhǎng)性的情況．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，然后可借助函數(shù)的思想分析．【規(guī)范解答】(1)散點(diǎn)圖如圖所示．4分(2)由散點(diǎn)圖可以看出樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，可見y與x線性相關(guān). 5分(3)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．i123456xi300400500600700800yi405055606770xiyi120002000027500360004690056000xeq\o\al(2,i)90000160000250000360000490000640000eq\x\to(x)＝550，eq\x\to(y)＝57，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝1990000，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝198400于是可得：eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\x\to(x)eq\x\to(y),eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)－6eq\x\to(x)2)＝eq\f(198400－6×550×57,1990000－6×5502)≈0.058857， 8分eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(∧))eq\x\to(x)＝57－0.058857×550＝24.62865.9分因此所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.058857x＋24.62865. 10分(4)將x＝1000代入回歸方程得eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.058857×1000＋24.62865＝83.486，即退水溫度是1000℃時(shí)，黃硐延長(zhǎng)性大約是83.486%. 12分1．在研究?jī)蓚€(gè)變量是否存在某種關(guān)系時(shí)，必須從散點(diǎn)圖入手，對(duì)于散點(diǎn)圖，可以做出如下判斷：(1)如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，那么就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系；(2)如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近，那么變量之間具有相關(guān)關(guān)系；(3)如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，那么變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系．2．利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的作用，而用回歸直線方程進(jìn)行估計(jì)又體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．1．判斷變量之間有無相關(guān)關(guān)系，一種簡(jiǎn)便可行的方法就是繪制散點(diǎn)圖．根據(jù)散點(diǎn)圖，可以很容易看出兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，是否線性相關(guān)，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．2．求回歸直線方程時(shí)應(yīng)注意的問題(1)知道x與y呈線性相關(guān)關(guān)系，無需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，如果兩個(gè)變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的量也是不可信的．(2)用公式計(jì)算eq\o(a,\s\up6(∧))，eq\o(b,\s\up6(∧))的值時(shí)，要先算出eq\o(b,\s\up6(∧))，然后才能算出eq\o(a,\s\up6(∧)).3．利用回歸方程，我們可以進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)．若回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))，則x＝x0處的估計(jì)值為eq\o(y,\s\up6(∧))0＝eq\o(b,\s\up6(∧))x0＋eq\o(a,\s\up6(∧)).由于回歸直線將部分觀測(cè)值所反映的規(guī)律進(jìn)行了延伸，所以它在情況預(yù)報(bào)、資料補(bǔ)充等方面有著廣泛的應(yīng)用．1．下列變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是()A．正方體的表面積與體積B．光照時(shí)間與果樹產(chǎn)量C．勻速行駛車輛的行駛距離與時(shí)間D．中國足球隊(duì)的比賽成績(jī)與中國乒乓球隊(duì)的比賽成績(jī)【解析】A、C是函數(shù)關(guān)系，D無相關(guān)關(guān)系．【答案】B2．設(shè)一個(gè)回歸方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝3＋1.2x，則變量x增加一個(gè)單位時(shí)()A．y平均增加1.2個(gè)單位B．y平均增加3個(gè)單位C．y平均減少1.2個(gè)單位D．y平均減少3個(gè)單位【解析】由b＝1.2>0，故選A.【答案】A3．若施化肥量x(千克/畝)與水稻產(chǎn)量y(千克/畝)的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝5x＋250，當(dāng)施化肥量為80千克/畝時(shí)，預(yù)計(jì)水稻產(chǎn)量為畝產(chǎn)________千克左右．【解析】當(dāng)x＝80時(shí)，eq\o(y,\s\up6(∧))＝400＋250＝650.【答案】6504．某公司利潤(rùn)y(單位：千萬元)與銷售總額x(單位：千萬元)之間有如下表對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x10151720252832y11.31.822.62.73.3(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系．【解】(1)散點(diǎn)圖如下：(2)由圖可知，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)接近直線排列，因此，認(rèn)為y與x有線性相關(guān)關(guān)系，且為正相關(guān).一、選擇題1．判斷下列圖形中具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量是()【解析】A、B為函數(shù)關(guān)系，D無相關(guān)關(guān)系．【答案】C2．(2013·廣州高一檢測(cè))已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x01234y13579則y與x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝bx＋a必過點(diǎn)()A．(1,2)B．(5,2)C．(2,5)D．(2.5,5)【解析】線性回歸方程一定過樣本中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．由eq\x\to(x)＝eq\f(0＋1＋2＋3＋4,5)＝2，eq\x\to(y)＝eq\f(1＋3＋5＋7＋9,5)＝5.故必過點(diǎn)(2,5)．【答案】C3．(2013·長(zhǎng)沙高一檢測(cè))某商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)呈負(fù)相關(guān)，其回歸方程可能是()A.eq\o(y,\s\up6(∧))＝－10x＋200B.eq\o(y,\s\up6(∧))＝10x＋200C.eq\o(y,\s\up6(∧))＝－10x－200D.eq\o(y,\s\up6(∧))＝10x－200【解析】由于y與x呈負(fù)相關(guān)，∴x的系數(shù)為負(fù)，又y不能為負(fù)值，∴常數(shù)必須是正值．【答案】A4．兩個(gè)相關(guān)變量滿足如下關(guān)系：x1015202530y10031005101010111014兩變量的回歸直線方程為()A.eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.56x＋997.4B.eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.63x－231.2C.eq\o(y,\s\up6(∧))＝50.2x＋501.4D.eq\o(y,\s\up6(∧))＝60.4x＋400.7【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(10＋15＋20＋25＋30)＝20，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(1003＋1005＋1010＋1011＋1014)＝1008.6，代入所給選項(xiàng)A符合．【答案】A5．(2012·湖南高考)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg【解析】由于線性回歸方程中x的系數(shù)為0.85，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故A正確．又線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，因此B正確．由線性回歸方程中系數(shù)的意義知，x每增加1cm，其體重約增加0.85kg，故C正確．當(dāng)某女生的身高為170cm時(shí)，其體重估計(jì)值是58.79kg，而不是具體值，因此D不正確．【答案】D二、填空題6．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線方程：eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元．【解析】由于eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.254x＋0.321知，當(dāng)x增加1萬元時(shí)，年飲食支出y增加0.254萬元．【答案】0.2547．某服裝商場(chǎng)為了了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x(℃)171382月銷售量y(件)24234055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的eq\o(b,\s\up6(∧))＝－2.氣象部門預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為6℃，據(jù)此估計(jì)，該商場(chǎng)下個(gè)月毛衣的銷售量約為________件．【解析】樣本中心點(diǎn)是(10,35.5)，則eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(∧))eq\o(x,\s\up6(－))＝35.5－(－2)×10＝55.5，故線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝－2x＋55.5，將x＝6代入得eq\o(y,\s\up6(∧))＝－2×6＋55.5＝43.5≈44.【答案】448．某公司的廣告費(fèi)支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有下列對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(由資料顯示y與x呈線性相關(guān)關(guān)系)：x24568y3040605070根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)得到回歸方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))中的eq\o(b,\s\up6(∧))＝6.5，預(yù)測(cè)銷售額為115萬元時(shí)約需________萬元廣告費(fèi)．【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(2＋4＋5＋6＋8)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)(30＋40＋60＋50＋70)＝50，由eq\o(b,\s\up6(∧))＝6.5知，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(∧))·eq\x\to(x)＝50－6.5×5＝17.5，∴eq\o(y,\s\up6(∧))＝17.5＋6.5x，當(dāng)eq\o(y,\s\up6(∧))＝115時(shí)，解得x＝15.【答案】15三、解答題9．某工廠對(duì)某產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的資料分析后有如下數(shù)據(jù)：產(chǎn)量x(千件)2356成本y(萬元)78912(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求成本y與產(chǎn)量x之間的線性回歸方程．(結(jié)果保留兩位小數(shù))【解】(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)設(shè)y與產(chǎn)量x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))，eq\x\to(x)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(7＋8＋9＋12,4)＝9，eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\f(x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4－4\x\to(x)\x\to(y),x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋x\o\al(2,3)＋x\o\al(2,4)－4\x\to(x)2)＝eq\f(11,10)＝1.10，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(∧))eq\x\to(x)＝9－1.10×4＝4.60.∴回歸方程為：eq\o(y,\s\up6(∧))＝1.10x＋4.60.10．高三(1)班的10名學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)間x(h)與數(shù)學(xué)成績(jī)y(分)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x24152319161120161713y92799789644783687159如果y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程．(保留2位小數(shù))【解】列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．i12345678910xi24152319161120161713yi92799789644783687159xiyi22081185223116911024517166010881207767eq\x\to(x)＝17.4，eq\x\to(y)＝74.9，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝3182，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝13578eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\x\to(x)·\x\to(y),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(545.4,154.4)≈3.53，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(∧))eq\x\to(x)＝74.9－3.53×17.4≈13.48，∴所求的回歸方程是eq\o(y,\s\up6(∧))＝3.53x＋13.48.11．某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20042006200820102012需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(∧,))＝eq\o(b,\s\up6(∧,))x＋eq\o(a,\s\up6(∧,))；(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地2014年的糧食需求量．【解】(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升，下面來求回歸直線方程，先將數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份－2008－4－2024需求量－257－21－1101929對(duì)預(yù)處理的數(shù)據(jù)，容易算得eq\x\to(x)＝0，eq\x\to(y)＝3.2，eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29,42＋22＋22＋42)＝eq\f(260,40)＝6.5，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(∧))eq\x\to(x)＝3.2.由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(∧,))－257＝eq\o(b,\s\up6(∧))(x－2006)＋eq\o(a,\s\up6(∧))＝6.5(x－2006)＋3.2.即eq\o(y,\s\up6(∧,))＝6.5×(x－2006)＋260.2.(2)利用所求得的回歸方程，可預(yù)測(cè)2014年的糧食需求量為6．5×(2014－2006)