河南省輝縣一高2024屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

河南省輝縣一高2024屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和為（）A． B． C． D．2．設(shè)點(diǎn)，，不共線(xiàn)，則“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件3．在中，，，，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上，且，，則（）．A． B． C．4 D．94．已知集合，則()A． B．C． D．5．已知函數(shù)的零點(diǎn)為m，若存在實(shí)數(shù)n使且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．7．若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（）A．36cm3 B．48cm3 C．60cm3 D．72cm38．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A． B．80 C． D．1609．各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為()A． B．C． D．或10．若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是（）A．B．C．D．11．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬(wàn)物的絢麗畫(huà)面.一些優(yōu)美的曲線(xiàn)是數(shù)學(xué)形象美、對(duì)稱(chēng)美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線(xiàn)恰好是四葉玫瑰線(xiàn).給出下列結(jié)論：①曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過(guò)2；③曲線(xiàn)C圍成區(qū)域的面積大于；④方程表示的曲線(xiàn)C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④12．已知分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B．4 C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)_________．14．已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是___________.15．現(xiàn)有5人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有____種.（用數(shù)字作答）16．已知各棱長(zhǎng)都相等的直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱(chēng)為直棱柱)所有頂點(diǎn)都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為_(kāi)__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)，將曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線(xiàn).在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.（1）說(shuō)明曲線(xiàn)是哪一種曲線(xiàn)，并將曲線(xiàn)的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)是曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，又直線(xiàn)上有兩點(diǎn)和，且，又點(diǎn)的極角為，點(diǎn)的極角為銳角.求：①點(diǎn)的極角；②面積的取值范圍.18．（12分）如圖，直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，，分別為，的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，若平面.（1）求線(xiàn)段的長(zhǎng)；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知某種細(xì)菌的適宜生長(zhǎng)溫度為12℃~27℃，為了研究該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量（單位：個(gè)）隨溫度（單位：℃）變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下：溫度/℃14161820222426繁殖數(shù)量/個(gè)2530385066120218對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計(jì)量的值，如表所示：20784.11123.8159020.5其中，.（1）請(qǐng)繪出關(guān)于的散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量關(guān)于溫度的回歸方程類(lèi)型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（結(jié)果精確到0.1）；（3）當(dāng)溫度為27℃時(shí)，該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報(bào)值為多少？參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二成估計(jì)分別為，，參考數(shù)據(jù)：.20．（12分）已知函數(shù)，設(shè)的最小值為m.（1）求m的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，b，使得，？并說(shuō)明理由.21．（12分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.22．（10分）如圖所示，三棱柱中，平面，點(diǎn)，分別在線(xiàn)段，上，且，，是線(xiàn)段的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)兩個(gè)函數(shù)相等，求出所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求和即可.【詳解】令，有，所以或.又，所以或或或，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象及給值求角，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2、C【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由于點(diǎn)，，不共線(xiàn)，則“”；故“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)題意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，則在中，又,則則則則故選：B【點(diǎn)睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡(jiǎn)單題目.4、B【解析】

先由得或，再計(jì)算即可.【詳解】由得或，，,又，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集，補(bǔ)集的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.5、D【解析】

易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點(diǎn),通過(guò)已知可求得,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡(jiǎn)可得,借助對(duì)號(hào)函數(shù)即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點(diǎn)為，所以，∴，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：使方程在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解，而根據(jù)“對(duì)勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域?yàn)?，?故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,考查了方程有解問(wèn)題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,考查了利用“對(duì)勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問(wèn)題,難度較難.6、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.7、B【解析】試題分析：該幾何體上面是長(zhǎng)方體，下面是四棱柱；長(zhǎng)方體的體積，四棱柱的底面是梯形，體積為，因此總的體積.考點(diǎn)：三視圖和幾何體的體積.8、A【解析】

求出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通式，再令的次數(shù)為零，可得結(jié)果.【詳解】解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通式為，令，解得，則常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)的求解，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通式，是基礎(chǔ)題.9、C【解析】分析：解決該題的關(guān)鍵是求得等比數(shù)列的公比，利用題中所給的條件，建立項(xiàng)之間的關(guān)系，從而得到公比所滿(mǎn)足的等量關(guān)系式，解方程即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，即，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，所以，而，故選C.點(diǎn)睛：該題應(yīng)用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比，而待求量就是，代入即可得結(jié)果.10、B【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，，在恒成立，在恒成立，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的概率是，故選B.11、B【解析】

利用基本不等式得，可判斷②；和聯(lián)立解得可判斷①③；由圖可判斷④.【詳解】，解得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則②正確；將和聯(lián)立，解得，即圓與曲線(xiàn)C相切于點(diǎn)，，，，則①和③都錯(cuò)誤；由，得④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查曲線(xiàn)與方程的應(yīng)用，根據(jù)方程，判斷曲線(xiàn)的性質(zhì)及結(jié)論，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.12、A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線(xiàn)的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設(shè)，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線(xiàn)的離心率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線(xiàn)的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線(xiàn)的定義把雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離都用表示出來(lái)，從而再由勾股定理建立的關(guān)系．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

作出可行域如圖所示：由，解得.目標(biāo)函數(shù)，即為，平移斜率為-1的直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，.14、【解析】

求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，計(jì)算時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，不符合，排除，得到答案?！驹斀狻恳?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?當(dāng)，即時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，從而，故符合題意；當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以存在唯一的，使得.令，得，則在上單調(diào)遞減，從而，故不符合題意.綜上，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.15、36【解析】

先優(yōu)先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法，在此條件下，計(jì)算甲不排在兩端的排法，最后相減即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得5人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有種排法，其中甲排在兩端，有種排法，則6人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，且甲不排在兩端，共有（種）排法.所以本題答案為36.【點(diǎn)睛】排列、組合問(wèn)題由于其思想方法獨(dú)特，計(jì)算量龐大，對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)困難，所以在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時(shí)解答組合問(wèn)題時(shí)必須心思細(xì)膩、考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.16、【解析】

只要算出直三棱柱的棱長(zhǎng)即可，在中，利用即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可解決.【詳解】由已知，，解得，如圖所示，設(shè)底面等邊三角形中心為，直三棱柱的棱長(zhǎng)為x，則，，故，即，解得，故三棱柱的側(cè)面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查特殊柱體的外接球問(wèn)題，考查學(xué)生的空間想象能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）曲線(xiàn)為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.的極坐標(biāo)方程為（2）①②【解析】

（1）求得曲線(xiàn)伸縮變換后所得的參數(shù)方程，消參后求得的普通方程，判斷出對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)，并將的普通方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）①將的極角代入直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，由此求得點(diǎn)的極徑，判斷出為等腰三角形，求得直線(xiàn)的普通方程，由此求得，進(jìn)而求得，從而求得點(diǎn)的極角.②解法一：利用曲線(xiàn)的參數(shù)方程，求得曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得的最小值和最大值，由此求得面積的取值范圍.解法二：根據(jù)曲線(xiàn)表示的曲線(xiàn)，利用圓的幾何性質(zhì)求得圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最大值和最小值，進(jìn)而求得面積的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)榍€(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），因?yàn)閯t曲線(xiàn)的參數(shù)方程所以的普通方程為.所以曲線(xiàn)為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓.所以的極坐標(biāo)方程為，即.（2）①點(diǎn)的極角為，代入直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程得點(diǎn)極徑為，且，所以為等腰三角形，又直線(xiàn)的普通方程為，又點(diǎn)的極角為銳角，所以，所以，所以點(diǎn)的極角為.②解法1：直線(xiàn)的普通方程為.曲線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.當(dāng)，即（）時(shí)，取到最小值為.當(dāng)，即（）時(shí)，取到最大值為.所以面積的最大值為；所以面積的最小值為；故面積的取值范圍.解法2：直線(xiàn)的普通方程為.因?yàn)閳A的半徑為2，且圓心到直線(xiàn)的距離，因?yàn)?，所以圓與直線(xiàn)相離.所以圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大值為，最小值為.所以面積的最大值為；所以面積的最小值為；故面積的取值范圍.【點(diǎn)睛】本小題考查坐標(biāo)變換，極徑與極角；直線(xiàn)，圓的極坐標(biāo)方程，圓的參數(shù)方程，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程與普通方程，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等.考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，包括運(yùn)算原理的理解與應(yīng)用、運(yùn)算方法的選擇與優(yōu)化、運(yùn)算結(jié)果的檢驗(yàn)與改進(jìn)等.也兼考了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng).18、（1）（2）【解析】

（1）先證得，設(shè)與交于點(diǎn)，在中解直角三角形求得，由此求得的值.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】（1）由題意，，設(shè)與交于點(diǎn)，在中，可求得，則，可求得，則（2）以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，，易得平面的法向量為.，，易得平面的法向量為.設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，所以.即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)線(xiàn)面垂直求邊長(zhǎng)，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19、（1）作圖見(jiàn)解析；更適合（2）（3）預(yù)報(bào)值為245【解析】

（1）由散點(diǎn)圖即可得到答案；（2）把兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，由計(jì)算得到，再將代入可得，最終求得，即；（3）將代入中計(jì)算即可.【詳解】解：（1）繪出關(guān)于的散點(diǎn)圖，如圖所示：由散點(diǎn)圖可知，更適合作為該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量關(guān)于的回歸方程類(lèi)型；（2）把兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，即，由.∴，則關(guān)于的回歸方程為；（3）當(dāng)時(shí)，計(jì)算可得；即溫度為27℃時(shí)，該種細(xì)菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報(bào)值為245.【點(diǎn)睛】本題考查求非線(xiàn)性回歸方程及其應(yīng)用的問(wèn)題，考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力及運(yùn)算能力，是一道中檔題.20、（1）（2）不存在；詳見(jiàn)解析【解析】

（1）將函數(shù)去絕對(duì)值化為分段函數(shù)的形式，從而可求得函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得m.（2）由，利用基本不等式即可求出.【詳解】（1）；（2），若，同號(hào)，，不成立；或，異號(hào)，，不成立；故不存在實(shí)數(shù)，，使得，.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的最值、基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）取中點(diǎn)為，連接，，，，根據(jù)線(xiàn)段關(guān)系可證明為等邊三角形，即可得；由為等邊三角形，可得，從而由線(xiàn)面垂直判斷定理可證明平面，即可證明.（2）以為原點(diǎn)，，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，并求得平面和平面