近世代數(shù)題庫

PAGEPAGE1群一、填空題1.設是復數(shù)集到復數(shù)集的一個映射,則={_______}.2.設=(134),=(13)(24),則=____________________.3.群的元素的階是，的階是，，則，如果=1，則_____.4.設<>是任意一個循環(huán)群.若||=，則<>與________________同構(gòu)；若||=n，則<>與______________同構(gòu).5.設=（14）（235），=（153）（24），則||=____，=______.6.設群的階為，，則.7.設“～”是集合的一個關(guān)系，如果“～”滿足_________________，則稱“～”是的元素間的一個等價關(guān)系.8.設σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干個沒有公共數(shù)字的循環(huán)置換之積)，是(奇、偶)置換.9.設群中元素的階為，如果，那么與存在整除關(guān)系為.10.一個群的非空子集做成一個子群的充分必要條件是.11.設為群，若對于任意的元，都有，則稱群為群.12.次對稱群的階是____________.13.設=<>是10階循環(huán)群，則的全部生成元有，的子群有個，分別是.14.設是群的子群，，則.15.設=<>是循環(huán)群，則與整數(shù)加群同構(gòu)的充要條件是.16．在3次對稱群中，＝{(1),(123),(132)}是的一個正規(guī)子群，則商群中的元素(12)＝.17．如果是與間的一一映射，是的一個元，則.18.設集合有一個分類，其中與是的兩個類，如果，那么.19.凱萊定理說：任一個群都與一個同構(gòu).20.設=<>是12階循環(huán)群,則的生成元集合為｛｝.21.一個群的一個子群的右陪集（或左陪集）的個數(shù)叫做在中的.22.設是一個階群，其中是素數(shù)，則的子群的一切可能的階數(shù)是____.23.寫出S的一個非平凡的正規(guī)子群_____.24.已知群中的元素的階等于50，則的階等于.25.一個有限非可換群至少含有____________個元素.26.設是階群（是素數(shù)），則的生成元有____________個.27.一個有限群中元素的個數(shù)叫做這個群的.28.設是實數(shù)集，規(guī)定的一個代數(shù)運算，（右邊的乘法是普通乘法），就結(jié)合律、交換律而言，“”適合如下運算律：.29.設是群的子群，，則.30.寫出三次對稱群的子群的一切左陪集.31.如果是一個含有15個元素的群，那么，有個5階子群，對于，則元素的階只可能是___________.32.設是一個階群，其中都是素數(shù)，則的真子群的一切可能的階數(shù)是，的子群的一切可能的階數(shù)是.33.已知群中的元素的階等于，則的階等于的充分必要條件是.34.設(，·)是一個群，那么對于，()－1＝___________.35.群中元素的階為，的階為，則=.36．若一個群的每一個元都是的某一個固定元的方冪，則稱為.37．5-循環(huán)置換，那么.38．設為群，，且對于任意的，有，則叫做的正規(guī)子群.39.設為乘群，，則能夠使得的最小正整數(shù)，叫做的___________.設為加群，，則能夠使得的最小正整數(shù)，叫做的階.40．設τ＝(1243)(235)，那么＝____.是(奇、偶)置換.41.設～是集合的元間的一個等價關(guān)系，它決定的一個分類：則所在的等價類={｝.42.設={}，則到的映射共有________個，到的一一映射共有________個，到的映射共有________個（上可以定義個代數(shù)運算）.43.設是6階循環(huán)群，則的生成元有____________個.44.非零復數(shù)乘群中由生成的子群是____________.45.，，則的階數(shù)等于.46．素數(shù)階群的非平凡子群個數(shù)等于____________.47.設是一個階交換群，是的一個（）階元，則商群的階等于.48.設是集合到集合的一個映射,則存在到的映射,使為;存在到的映射,使為.49.若群中的每個元素的階都有限,則稱為群.若群中除了單位元外,其余元素的階都無限,則稱為群.50.階循環(huán)群有個生成元,有且僅有個子群.51.若,則階循環(huán)群必有階子群,其階子群為.52.在同構(gòu)意義下,4階群只有兩個,一個是4階循環(huán)群,另一個是.53.在同構(gòu)意義下,6階群只有兩個,一個是6階循環(huán)群,另一個是.54.非交換群的每個子群都是其正規(guī)子群,則稱為群.55.元置換的階為，.二、選擇題1.設(實數(shù)集)，如果到的映射,則是從到的（）.A)滿射而非單射;B)單射而非滿射;C)一一映射; D)既非單射也非滿射.2.中可以與(123)交換的所有元素有（）.A)(1),(123),(132);B)(12),(13),(23);C)(1),(123);D)中的所有元素.3.設是以15為模的剩余類加群，那么的子群共有（）個.A)2 B)4C)6 D)8.4.設和都是群中的元素且，那么（）.A)B)C)D).5.設是復數(shù)集到復數(shù)集的一個映射.如果對任意的復數(shù)，有，則=().A){1，-1};B){，-};C){1，-1，，-};D)空集. 6.設={所有實數(shù)}，的代數(shù)運算是普通乘法，則以下映射作成到的一個子集的同態(tài)滿射的是().A) B)C) D).7.設是實數(shù)集，定義乘法，這里為中固定的常數(shù),那么群中的單位元和元的逆元分別是（）.A)1和；B)1和0；C)-和；D)和.8.下面的集合對于給定的代數(shù)運算不能成為群的是().A)全體整數(shù)對于普通減法;B)全體不為零的有理數(shù)對于普通乘法;C)全體整數(shù)對于普通加法;D)1的3次單位根的全體對于普通乘法.9.設是群,是群中的任意三個元素,則下面階數(shù)可能不相等的元素對為().A)B)C)D).10.設是實數(shù)集合,規(guī)定的元素間的四個關(guān)系如下,()是的等價關(guān)系.A);B);C);D)<0.11.設是一個半群，則下面的哪一個不是做成群的充要條件().A)中有左單位元，同時中的每個元素都有左逆元；B)對于中任意元素和，中恰好有一個元素滿足=；同時中恰好有一個元素y滿足y=；C)中有單位元，同時中的每個元素都有逆元；D)在中兩個消去律成立.12.設是群的子群，且有左陪集分類.如果子群H的階是6，那么的階（）.A)6B)24C)10D)1213.三次對稱群={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面關(guān)于的四個論述中，正確的個數(shù)是().(1)是交換群；(2)的2階互異子群有三個；(3)的3階互異子群有兩個；(4)的元素(123)和(132)生成相同的循環(huán)群.A)1B)2C)314.設Z15是以15為模的剩余類加群，那么，Z15的子群共有（）個。A)2 B)4C)6 D)815.指出下列那些運算是二元運算（）A)在整數(shù)集上，；B)在有理數(shù)集上，；C)在正實數(shù)集上，；D)在集合上，.16.設是整數(shù)集上的二元運算，其中（即取與中的最大者），那么在中（）.A)不適合交換律；B)適合結(jié)合律；C)存在單位元；D)每個元都有逆元.17.設是一個群同態(tài)映射，那么下列錯誤的命題是（）.A)的同態(tài)核是的不變子群；B)的不變子群的逆象是的不變子群；C)的子群的象是的子群；D)的不變子群的象是的不變子群.18.設是兩個帶有乘法的非空集合，且～，則下列結(jié)論不正確的是().A)是群時，也是一個群； B)是群時，也是一個群； C)是交換群時，也是交換群； D)的單位元的象是的單位元.19.設為實數(shù)集，位正實數(shù)集，如果到的映射，，則是從到的（）.A）滿射而非單射; B)單射而非滿射;C)一一映射;D)既非單射也非滿射.20.設是實數(shù)集，定義乘法，那么群中的單位元和元的逆元分別是（）.A)1和1；B)1和；C)0和；D)-1和.21.設是群的正規(guī)子群，且關(guān)于的商群為五階群.如果子群的階是6，那么群的階（）.A)6B)36C)30D)25.22.設集合含有個元素，那么的子集共有()個.A)! B)C) D).23.下列法則，()是集合的代數(shù)運算.A)=B)=C)=D)=.24.設={},中規(guī)定一個代數(shù)運算如下表，。c

則關(guān)于所給代數(shù)運算作成的代數(shù)系統(tǒng)中的單位元和可逆元素分別為().A)，與B)，與C)，與D)，與.25.(素數(shù))階有限群的子群個數(shù)為().A)0B)1C)2D)26.6元置換（23）（1356）的階數(shù)為（）A)2B)4C)5D)27.是正有理數(shù)集合，下列規(guī)定不是的關(guān)系的是（）A)是整數(shù)；B)4C)5D)28.設集合含有個元素，那么的代數(shù)運算共有()個.A)! B)C) D)三、判斷題（）1.設是正整數(shù)集，規(guī)定，則是的元間的一個等價關(guān)系.（）2.如果群中的每個元素都滿足方程，則必是交換群.（）3.一個非交換群至少要有6個元素．（）4.群的任意個子群的交仍是的一個子群.（）5.四次交代群中存在6階子群.（）6.設是非空集合，則到的每個映射都叫作上的二元運算.（）7.是到的單射，則有唯一的逆映射.（）8.如果循環(huán)群中生成元的階是無限的，則與整數(shù)加群同構(gòu).（）9.如果群的子群是循環(huán)群，那么也是循環(huán)群.（）10.群的子群是正規(guī)子群的充要條件為.（）11.階為兩個互異素數(shù)乘積的交換群一定是循環(huán)群．（）12.集合的一個關(guān)系可以決定的一個分類．（）13.有限群的任一元素的階整除的階．（）14.整數(shù)集按照普通乘法可以構(gòu)成一個群.（）15.循環(huán)群﹤﹥中生成元的階是無限的，則與整數(shù)加群同構(gòu)．（）16.有限群的任一子群的階都能整除的階．（）17.是一個群，是的正規(guī)子群，則與中元素相乘可交換．（）18.在一個群中，消去律不一定成立.（）19.任何一個循環(huán)置換的階是.（）20.集合的一個分類決定的元間的一個等價關(guān)系；反之，集合的元間的一個等價關(guān)系也決定的一個分類.（）21．階為素數(shù)的群一定是循環(huán)群，循環(huán)群的階也一定是素數(shù).（）22．群的子群在中的指數(shù)為2，則一定是的正規(guī)子群.（）23．設為集合到的滿射，則：若是的逆象,一定是的象;若是的象，也一定是的逆象.（）24．是群的正規(guī)子群，是的正規(guī)子群，則是群的正規(guī)子群.（）25．一個群同它的每一個商群同態(tài).（）26．一個群的子群的左陪集個數(shù)和右陪集個數(shù)不一定相同.（）27．群的兩個正規(guī)子群的交集還是正規(guī)子群.（）28．循環(huán)群的子群也一定是循環(huán)群.（）29．全體有理數(shù)作成的集合對于普通乘法來說做成一個群.（）30.設為群，它的兩個正規(guī)子群的交和乘積還是正規(guī)子群.（）31.一個循環(huán)群一定是一個交換群.（）32.一個群的兩個不同的子集一定不會生成相同的子群.（）33.有理數(shù)加群與非零有理數(shù)乘群同構(gòu).（）34.無限循環(huán)群可與任何循環(huán)群同構(gòu).（）35.設是集合到集合的任意一個映射,為的非空子集,則.（）36.設是集合到集合的任意一個映射,為的非空子集,則.（）37.設是集合到集合的任意一個映射,，為的兩個非空子集,則.（）38.為一個群,為有限階元,,則.（）39.為交換群,且中所有元素有最大階,則有.（）40.為一個群,為有限階元,則為有限階元.（）41.在一個有限群里,階大于2的元素個數(shù)必為偶數(shù).（）42.偶數(shù)階群必有2階元.（）43.設是群的3個子群,則.（）44.設是群的3個子群,則.（）45.交換群中所有有限階元作成一個子群.（）46.群中所有有限階元作成一個子群.（）47.任何群都不能是兩個真子群的并.（）48.任何群都不能是三個真子群的并.（）49.有限群的元素的階都有限.（）50.無限群至少有一個無限階元.（）51.集合的變換群含有的單射變換,則必為雙射變換群.（）52.集合的變換群可能既含有的雙射變換,又含有的非雙射變換.（）53.,集合的全體非雙射變換關(guān)于變換的乘法作成一個變換群.（）54.互不同構(gòu)的階群只有有限個.（）55.不相連的置換相乘可交換.（）97.置換的階為.（）56.當時,次對稱群為無中心群.（）57.為一個群,為關(guān)于的一個左陪集代表系,則也是關(guān)于的一個右陪集代表系.（）58.設為一個群,有限，則（）59.設為一個有限群,則.（）60.為階群,,則必有階子群.（）61.階(為互異素數(shù))交換群必為循環(huán)群.（）62.設為群到的同態(tài)滿射,與有相同的階.（）63.設與各有一個代數(shù)運算,且～,是群,則也是群.（）64.素數(shù)階群是單群.（）65.設是群到群的一個同態(tài)映射,,則.（）66.設是群到群的一個同態(tài)滿射,則的含的子群與的子群之間存在一一對應關(guān)系.（）67.任意一個無限集合可以與它的一個真子集之間建立一一對應關(guān)系.（）68.存在有限集合可以與它的一個真子集之間建立一一對應關(guān)系.（）69.兩個有限集合之間存在雙射的充要條件是它們的元素個數(shù)相等.（）70.設為群，它的兩個子群的交和乘積還是子群.（）71.有限群中每個元素的階都有限，無限群中必有無限階元.（）72.一個置換群中要么都是偶置換，要么奇偶置換各半.（）73.設是兩個群，且～，如果是有限群，則必是有限群，而且整除.（）74.整數(shù)加群和它的任意一個非零子群同構(gòu).（）75.在同構(gòu)意義下,無限循環(huán)群只有一個.（）76.在同構(gòu)意義下,階循環(huán)群只有一個.環(huán)與域復習題一、填空題1.模12的剩余類環(huán)Z的特征是_______，它的全部單位為___________.2.設是有單位元的環(huán),是中任一元素,則由生成的主理想<>=_____.3.模8的剩余類環(huán)上的二次多項式在內(nèi)的所有根為____________.4.設是交換環(huán)，是的任意一個元素，則由所生成的主理想<>的元素表達形式為______.5.設高斯整數(shù)環(huán)，其中＝－1，則中的所有單位______.6.設Z6＝{}是模6的剩余類環(huán)，則Z6中的所有零因子是_____.7.若是一個有單位元的交換環(huán)，是的一個理想，那么是一個域當且僅當是.8.設是一個無零因子的環(huán)，其特征是一個有限數(shù)，那么是______.9.除環(huán)的理想共有____________個.10．一個無零因子的稱為整環(huán).11.設是整系數(shù)多項式環(huán)，是由多項式生成的主理想，則＝__.12.設是一含有4個元的域，則的特征是.13.剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S={,,}的單位元是____________.14.一個環(huán)的一個不等于的理想叫做一個，假如除了同自己外，沒有包含的理想.15.一個交換除環(huán)叫做一個.16.實數(shù)域的全部理想是.17.一個環(huán)的非空子集做成一個子環(huán)的充分必要條件.18.剩余類環(huán)Z的零因子個數(shù)等于____，Z的零因子個數(shù)等于____________.19.當是有單位元的交換環(huán)時,生成的主理想.20．整環(huán)的一個元叫做的一個，假如是一個有逆元的元.21．一個整環(huán)叫做一個，假如的每一個理想都是一個主理想.22．設為環(huán)，，，且，則叫做環(huán)的，叫做環(huán)的___________________.25.一個無零因子環(huán)的非零元相同的（對于加法）階，叫做環(huán)的..26.設是一個含有個元的域，則的特征是.27.剩余類環(huán)的子環(huán)={},則的單位元是____________.28.是一個特征為的環(huán)，,則____________.29.是一個單環(huán)，則有時，是一個域.30.是環(huán)的理想，是單環(huán)的充分必要條件是.31.是有單位元的整環(huán),，則有子環(huán)與整數(shù)環(huán)同構(gòu)；，則有子環(huán)與模剩余類環(huán)同構(gòu)。32.是一個無零因子環(huán)，，則的特征必為____________.二、選擇題1.下列集合關(guān)于所給的運算不作成環(huán)的是（）.A）整系數(shù)多項式全體關(guān)于多項式的加法與乘法;B）有理數(shù)域上的階矩陣全體關(guān)于矩陣的加法與乘法;C）整數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法“”：;D）整數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法和新給定的乘法“”：.2.設是環(huán)同態(tài)滿射，，那么下列結(jié)論錯誤的為（）.A)若是零元，則是零元；B)若是單位元，則是單位元；C)若不是零因子，則不是零因子；D)若是不交換的，則不交換.3.整數(shù)環(huán)Z中，可逆元的個數(shù)是().A)1個 B)2個 C)4個 D)無限個.4.設是一個四元域,則域的特征為().A)1B)2C)4D)0.5.下面的四個群中,不是循環(huán)群的是().A)模12的剩余類加群;B)整數(shù)加群;C)U(Z);D)U(Z).6.下面哪一個環(huán)必定是域().A)整數(shù)環(huán);B)Z;C)Z;D)四元數(shù)除環(huán).7.模10的剩余類環(huán)上二階全陣環(huán)中以下元素可逆的是（）．A)；B)；C)；D)．8.以下命題中，正確的是().A)任意一個環(huán)，必含有單位元;B)環(huán)中至多有一個單位元;C)環(huán)有單位元，則它的子環(huán)也有單位元;D)一個環(huán)與其子環(huán)都有單位元，則兩個單位元一定相同.9.下列理想不是偶數(shù)環(huán)的素理想的是（）A)〈4〉;B)〈6〉;C)｛0｝;D).10.下列命題正確的個數(shù)為（）A)1;B)2;C)3;D)4.①整數(shù)環(huán)的非平凡素理想都是極大理想；②整數(shù)環(huán)上的一元多項式環(huán)的非平凡素理想都是極大理想；③數(shù)域上的一元多項式環(huán)的主理想〈〉是極大理想；④是一個有單位元的交換環(huán)，是的理想，是域，則是的極大理想.三、判斷題（）1.除環(huán)是單環(huán).（）2.有限除環(huán)必為域.（）3.一般的環(huán)中以下運算規(guī)則成立：.（）4.域和其子域有相同的單位元.（）5.除環(huán)是無零因子環(huán).（）6.如果環(huán)的階，那么的單位元.（）7.若環(huán)滿足左消去律，那么必定沒有右零因子.（）8．一個環(huán)的理想必是一個子環(huán)，子環(huán)未必是理想.（）9．一個環(huán)沒有零因子，則它的同態(tài)象也沒有零因子．（）10．一個環(huán)有單位元，則它的子環(huán)也有單位元．（）11．如果環(huán)沒有右零因子，則在環(huán)上左消去律成立．（）12．是環(huán)的理想，是的理想，則必是環(huán)的理想．（）13．是整數(shù)環(huán)，的理想等于由4生成的主理想﹤4﹥．（）14．如果環(huán)沒有左零因子，則在環(huán)上右消去律成立．（）15．一個環(huán)的兩個子環(huán)都有單位元，則它們的單位元必定一致．（）16．域與域同構(gòu)．（）17．是偶數(shù)環(huán)，的理想等于由4生成的主理想〈4〉.（）18．設是整數(shù)環(huán)，則<2，>是的一個主理想．（）19．設是有理數(shù)環(huán)，則<2，>是的一個主理想．（）20．除環(huán)的所有非零元集關(guān)于的乘法構(gòu)成一個群．（）21.設為整數(shù)環(huán)，為素數(shù)，則為域.（）22.若無零因子環(huán)的特征是有限整數(shù)，則一定是素數(shù).（）23.除環(huán)或域里一定沒有零因子.（）24.一個除環(huán)一定是一個整環(huán).（）25.一個環(huán)中可能沒有單位元，但若有單位元，則單位元必是唯一的.（）26.若有單位元()的交換環(huán)除了零理想同單位理想以外沒有其它的理想，那么一定是一個域．（）27.是的極大理想.（）28.是的極大理想.（）29.是有單位元的交換環(huán),則中方陣在中可逆的充要條件是在中可逆.（）30.是有單位元的環(huán),1是的單位元,則1對加法的階數(shù)就是的特征.（）31.設是一個環(huán),,對,方程在中有解,則為一個除環(huán).（）32.設是有單位元的環(huán),且,則是單環(huán)的充要條件是全陣環(huán)是單環(huán).（）33.為偶數(shù)環(huán),是的極大理想,從而是一個域.（）34.為偶數(shù)環(huán),的極大理想只有為素數(shù).（）35.為偶數(shù)環(huán),的素理想只有和.（）36.整數(shù)環(huán)的每個理想都是主理想.（）37.域上的多項式環(huán)的每個理想都是主理想.（）38.整數(shù)環(huán)上的多項式環(huán)的每個理想都是主理想.（）39.一個環(huán)與它的子環(huán)都有單位元，則它們的單位元一致.（）40.一個域和他的子域有相同的單位元.（）41.一個環(huán)的同態(tài)象沒有零因子，則這個環(huán)沒有零因子.（）42.有限環(huán)的特征必有限，無限環(huán)的特征必無限.（）43.是一個有單位元的交換環(huán)，，當時，可逆.（）44.整數(shù)環(huán)和它的任意一個非零子環(huán)同構(gòu).（）45.剩余類環(huán)的子環(huán)={}是有單位元的環(huán).（）46.在中,因為,所以只有兩個根.（）47.有單位元交換環(huán)的極大理想必為素理想.（）48.域的所有非零元集合關(guān)于的乘法構(gòu)成一個交換群．（）49.環(huán)的中心必是環(huán)的理想.（）50．一個域不一定是一個整環(huán).