有理數(shù)知識點及練習題

有理數(shù)及其運算第一講正數(shù)、負、0【引入】歐洲人的盲目：古代印度人創(chuàng)造了阿拉伯數(shù)字后.大約到了公元7世紀的時候.這些數(shù)字傳到了阿拉伯地區(qū).來.這些數(shù)字又從阿拉伯地區(qū)傳到了歐洲.歐洲人只知道這些數(shù)字是從阿拉伯地區(qū)傳入的.所以便把這些數(shù)字叫做阿拉伯數(shù)字.以后.這些數(shù)字又從歐洲傳到世界各國.劉徽的先見與德摩根的固執(zhí)：1、1831年英國數(shù)學家德摩根認為負數(shù)是“虛構”的，他還特意舉了一個“特例”來說明他的觀點：“父親56歲，他兒子29歲，問什么時候父親的歲數(shù)將是兒子的兩倍？”，通過列方程解得x=―2，他認為這個結果是荒唐的，他不懂得x=―2正是說明兩年前父親的歲數(shù)將是兒子的兩倍。2、你看過電視或聽過播送中的天氣預報嗎？中國地形圖上的溫度閱讀?！部勺寣W生模擬預報)請大家來當小小氣象員，記錄溫度計所示的氣溫25oC，10oC，零下10oC，零下30oC。為書寫方便，將測量氣溫寫成25，10，―10，―30。3、最早的負教定義三國時期著名數(shù)學家劉徽在負數(shù)概念的建立上奉獻最大.劉徽第一次給出了正負數(shù)的定義,他說:“今兩算得失相反,要令正負以名之意思就是說,在計算過程中遇到具有相反意義的量,要用正數(shù)和負數(shù)來區(qū)分它們。【講解】1．相反意義的量：在日常生活中，常會遇到這樣一些量〔事情〕：例1：汽車向東行駛3千米和向西行駛2千米。例2：溫度是零上10℃和零下5℃。例3：收入500元和支出237元。例4：水位升高1.2米和下降0.7米。例5：買進100輛自行車和買出20輛自行車。試著讓學生考慮這些例子中出現(xiàn)的每一對量，有什么共同特點？〔具有相反意義。向東和向西、零上和零下、收入和支出、升高和下降、買進和賣出都具有相反意義〕2．正數(shù)和負數(shù)：①能用我們已經(jīng)學的來很好的表示這些相反意義的量嗎？例如，零上5℃用5來表示，零下5℃呢？也用5來表示，行嗎？說明：在天氣預報圖中，零下5℃是用―5℃來表示的。一般地，對于具有相反意義的量，我們可把其中一種意義的量規(guī)定為正的，用過去學過的數(shù)來表示；把與它意義相反的量規(guī)定為負的，用過去學的數(shù)〔零除外〕前面放一個“－”〔讀作“負”〕號來表示。拿溫度為例，通常規(guī)定零上為正，于是零下為負，零上10℃就用10℃表示，零下5℃那么用―5℃來表示。②怎樣表示具有相反意義的量？能否從天氣預報出現(xiàn)的標記中，得到一些啟發(fā)呢？在例1中，我們?nèi)绻?guī)定向東為正，那么向西為負。汽車向東行駛3千米記作3千米，向西2千米應記作―2千米。在以上的討論中，出現(xiàn)了哪些新數(shù)？為了表示具有相反意義的量，上面我們引進了―5，―2，―237，―0.7等數(shù)。像這樣的一些新數(shù)，叫做負數(shù)〔negativenumber〕。過去學過的那些數(shù)〔零除外〕，如10，3，500，1.2等，叫做正數(shù)〔positivenumber〕。正數(shù)前面有時也可放一個“+”〔讀作“正”〕，如5可以寫成+5。注意：零既不是正數(shù)，也不是負數(shù)?！靖櫨毩暋?、以下用正數(shù)和負數(shù)表示的相反意義的量，其中正確的選項是()．A、一天凌晨的氣溫是－4℃，中午比凌晨上升了4℃，所以中午的氣溫是＋4℃B、如果＋8.5m表示比海平面高8.5m，那么－19.2m表示比海平面低－19.2mC、如果收入增加180元記作＋180元，那么－100元表示支出減少100元D、售一件服裝盈利20元記作＋20元，那么－30元表示虧本30元2、以下各數(shù)：3，－5，0，，，－0.3，6.75中，正數(shù)的個數(shù)共有()．A、1個 B、2個C、3個 D、4個3、以下說法正確的選項是〔〕A、零是正數(shù)不是負數(shù)B、零既不是正數(shù)也不是負數(shù)C、零既是正數(shù)也是負數(shù)D、不是正數(shù)的一定是負數(shù)，不是負數(shù)的一定是正數(shù)【中考鏈接】1、〔2011?岳陽〕負數(shù)的引入是數(shù)學開展史上的一大飛躍，使數(shù)的家族得到了擴張，為人們認識世界提供了更多的工具．最早使用負數(shù)的國家是〔〕A、中國B、印度C、英國D、法國2、〔2010哈爾濱〕某年哈爾濱市一月份的平均氣溫為－18℃，三月份的平均氣溫為2℃，那么三月份的平均氣溫比一月份的平均氣溫高〔〕〔A〕16℃〔B〕20℃〔C〕一16℃〔D〕一20℃3.一個有理數(shù)的平方一定是〔〕A、負數(shù)B、正數(shù)C、非負數(shù)D、非正數(shù)【總結】1、正數(shù)和負數(shù)表示的是一對相反意義的量，哪種意義為正是可以任意規(guī)定的。如果把一種意義規(guī)定為正，那么相反意義的量規(guī)定為負。常將“前進、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負,。2、用正負表示具有相反意義的量,必須是同類量,如果有單位的,不要漏帶單位.3、正數(shù)在書寫時,前面的“+”號可省略不寫，負數(shù)前面的“—”號不能省略。4、對于非0的數(shù)字來說，前面只帶有一個負號即為負數(shù)，但對于字母來說不一定。第二講有理數(shù)的概念及其分類【引入】日本人的無知：有理數(shù)在希臘文中稱為λογο?，原意是“成比例的數(shù)”。英文取其意，以ratio為字根，在字尾加上-nal構成形容詞，全名為rationalnumber，直譯成漢語即是“可比數(shù)”。對應地，無理數(shù)那么為“不可比數(shù)”。但并非中文翻譯不恰當。有理數(shù)這一概念最早源自西方《幾何原本》，在中國明代，從西方傳入中國，而從中國傳入日本時，出現(xiàn)了錯誤。明末數(shù)學家徐光啟和學者利瑪竇翻譯《幾何原本》前6卷時的底本是拉丁文。他們將這個詞〔“λογο?”〕譯為“理”，這個“理”指的是“比值”。日本在明治維新以前，歐美數(shù)學典籍的譯本多半采用中國文言文的譯本。日本學者將中國文言文中的“理”直接翻譯成了理，而不是文言文所解釋的“比值”。后來，日本學者直接用錯誤的理解翻譯出了“有理數(shù)”和“無理數(shù)”。當有理數(shù)從日本傳回中國時又延續(xù)錯誤。清末中國派留學生到日本，將此名詞傳回中國，以至現(xiàn)在中日兩國都用“有理數(shù)”和“無理數(shù)”的說法可見，由于當年日本學者對中國文言文的理解不到位，才出現(xiàn)了今天的誤譯?！局v解】1．數(shù)的擴充：數(shù)1，2，3，4，…叫做正整數(shù)；―1，―2，―3，―4，…叫做負整數(shù)；正整數(shù)、負整數(shù)和零統(tǒng)稱為整數(shù)；數(shù)，，8，+5.6，…叫做正分數(shù)；―，―，―3.5，…叫做負分數(shù)；正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)；整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。區(qū)分“正”與“整”；小數(shù),百分數(shù)可化為分數(shù)。3．有理數(shù)的分類①先將有理數(shù)按“整”和“分”的屬性分，再按數(shù)的“正”、“負”分，即得如下分類表：②先將有理數(shù)按“正”和“負”的屬性分，再按數(shù)的“整”、“分”分，即得如下分類表：注：①“0”也是自然數(shù)。②“0”的特殊性?！靖櫨毩暋?.以下說法正確的選項是〔〕A．一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)B．正整數(shù)和負整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù)C．正整數(shù)、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)D．0不是有理數(shù)2.以下四種說法中正確的選項是：〔〕 A.不是正數(shù)的數(shù)一定是負數(shù) B．所有的整數(shù)都是正數(shù) C．－a一定是負數(shù) D．0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)3.以下說法中不正確的選項是()A．-3.14既是負數(shù)，分數(shù)，也是有理數(shù)B．0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，但是整數(shù)C．-2000既是負數(shù)，也是整數(shù)，但不是有理數(shù)D．O是非正數(shù)4.把以下各數(shù)填入相應的集合中：正數(shù)集合{…}；負數(shù)集合{…}；整數(shù)集合{…}；分數(shù)集合{…}；5.把以下各數(shù)鎮(zhèn)在相應的集合中：－7，3.5，－3.1415926，，0，，10，－5％，自然數(shù)集合：｛…｝非正整數(shù)集合：｛…｝負分數(shù)集合：｛…｝非負數(shù)集合；｛…｝【中考鏈接】1、將以下各數(shù)分別填入相應的大括號里：-3.5，3.14，-2，+43，，0.618，，0，-0.202正數(shù)：個；整數(shù)：個；負分數(shù)：個；正整數(shù)：個；非正整數(shù)：個；非負整數(shù)：個；【總結】根據(jù)不同的分類標準對有理數(shù)進行分類。通過具體的數(shù)的分類練習培養(yǎng)正確分類能力，在確定分類標準時應防止出現(xiàn)“重”、“漏”的錯誤，即要求每一個數(shù)必須屬于某一類，又不能同時屬于不同的兩類。要正確判斷一個數(shù)屬于哪一類，首先要弄清分類的標準。要特別注意“0”不是正數(shù)，但是整數(shù)。在數(shù)學里，“正”和“整”不能通用，是有區(qū)別的，“正”是相對于“負”來說的，“整”是相對于分數(shù)而言的。第三講數(shù)軸【引入】笛卡爾的勤奮：有一天,笛卡爾〔1596—1650,法國哲學家、數(shù)學家、物理學家〕生病臥床,但他頭腦一直沒有休息,在反復思考一個問題：幾何圖形是直觀的,而代數(shù)方程那么比擬抽象,能不能用幾何圖形來表示方程呢?這里,關鍵是如何把組成幾何的圖形的點和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤.他就拼命琢磨.通過什么樣的方法、才能把“點”和“數(shù)”聯(lián)系起來.突然,他看見屋頂角上的一只蜘蛛,拉著絲垂了下來,一會兒,蜘蛛又順著絲爬上去,在上邊左右拉絲.蜘蛛的“表演”,使笛卡爾思路豁然開朗.他想,可以把蜘蛛看做一個點,它在屋子里可以上、下、左、右運動,能不能把蜘蛛的每個位置用一組數(shù)確定下來呢?他又想,屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線,如果把地面上的墻角作為起點,把交出來的三條線作為三根數(shù)軸,那么空間中任意一點的位置,不是都可以用這三根數(shù)軸上找到的有順序的三個數(shù)來表示嗎?反過來,任意給一組三個有順序的數(shù),例如3、2、1,也可以用空間中的一個點P來表示它們.同樣,用一組數(shù)〔a,b〕表示平面上的一個點,平面上的一個點也可以用一組二個有順序的數(shù)來表示.于是在蜘蛛的啟示下,笛卡爾創(chuàng)立了直角坐標系.【講解】1.數(shù)軸的畫法：第一步：畫一條直線〔通常是水平的直線〕，在這條直線上任取一點O，叫做原點，用這點表示數(shù)0；〔相當于溫度計上的0℃?！车诙剑阂?guī)定這條直線的一個方向為正方向〔一般取從左到右的方向，用箭頭表示出來〕。相反的方向就是負方向；〔相當于溫度計0℃以上為正，0℃以下為負?！车谌剑哼m當?shù)剡x取一條線段的長度作為單位長度，也就是在0的右面取一點表示1，0與1之間的長就是單位長度?！蚕喈斢跍囟扔嬌?℃占1小格的長度?！吃跀?shù)軸上從原點向右，每隔一個單位長度取一點，這些點依次表示1，2，3，…，從原點向左，每隔一個單位長度取一點，它們依次表示–1，–2，–3，…。2.數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。原點、正方向和單位長度是數(shù)軸的三要素，原點位置的選定、正方向的取向、單位長度大小確實定，都是根據(jù)需要人為規(guī)定的。注：直線也不一定是水平的；正方向也不一定向右。3.用數(shù)軸比擬有理數(shù)的大?。涸跀?shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大，所以在比擬很多數(shù)的大小關系時，可以先把它們在數(shù)軸上表示出來，然后比擬。正數(shù)都大于0；負數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負數(shù)?！靖櫨毩暋?、王老師在閱卷時，發(fā)現(xiàn)有一位同學畫的數(shù)軸如以下圖所示，請你指出他的錯誤原因是〔〕0012－1－2－332、數(shù)軸上的原點右邊的點表示，原點左邊的點表示，原點表示，離原點3個單位長度的點有。【中考鏈接】1、〔2010?安徽〕冬季某天我國三個城市的最高氣溫分別是-10℃，1℃，-7℃，把它們從高到低排列正確的選項是〔〕A．-10℃，-7℃，1℃;B．-7℃，-10℃，1℃C．1℃，-7℃，-10℃;D．1℃，-10℃，-7℃2、〔2010?廣西〕比擬大小:-1_______-2．3、〔2010內(nèi)蒙古〕比擬大小:-_______-．4、〔2010?南寧〕比擬-3與2的大?。?、〔2010年金華〕如圖，假設A是實數(shù)a在數(shù)軸上對應的點，那么關于a，－a，1的大小關系表示正確的選項是〔〕A．a(chǎn)＜1＜－aB．a(chǎn)＜－a＜1C．1＜－a＜aD．－a＜a＜16、〔萊蕪〕如圖，數(shù)軸上A、B兩點分別對應實數(shù)a、b，那么以下結論正確的選項是〔〕A.Ab>0B.a-b>0C．a(chǎn)+b>0D．>0【總結】1、所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但反過來并不是數(shù)軸上的所有點都表示有理數(shù)；2、畫數(shù)軸時，原點的位置以及單位長度的大小可根據(jù)實際情況適中選取，注意不要漏畫正方向、不要漏畫原點，單位長度一定要統(tǒng)一，數(shù)軸上數(shù)的排列順序〔尤其是負數(shù)〕要正確。3.比擬有理數(shù)大小法那么是：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。根據(jù)法那么先在同一個數(shù)軸上表示出同一組數(shù)的位置，然后用“＜”號連接，這種方法比擬直觀，但畫圖表示數(shù)較麻煩。另一種方法是利用數(shù)軸上數(shù)的位置得出比擬大小規(guī)律，即正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)，那么比擬更方便些。第四講絕對值【引入】被迫不務正業(yè)的數(shù)學家：德國數(shù)學家魏爾斯特拉斯的父親威廉·魏爾斯特拉斯是受法國雇傭的海關職員，威廉在家里十分嚴厲而且專斷。14歲卡爾進附近帕德博恩城的一所天主教預科學校學習，在那里學習德語、拉丁語、希臘語和數(shù)學。中學畢業(yè)時成績優(yōu)秀，共獲7項獎，其中包括數(shù)學，但不容卡爾有半句分辯，他的父親卻把他送到波恩大學去學習法律和商業(yè)，希望他將來在普魯士民政部當一名文官。魏爾斯特拉斯對商業(yè)和法律都毫無興趣。在波恩大學他把相當一局部時間花在自學他所喜歡的數(shù)學上，攻讀了包括拉普拉斯的《天體力學》在內(nèi)的一些名著。他在波恩的另一局部時間那么花在了擊劍上。魏爾斯特拉斯體魄魁偉，擊劍時出手準確，加上旋風般的速度，很快就成為波恩人心目中的擊劍明星。這樣在波恩大學度過四年之后，魏爾斯特拉斯回到家里，沒有得到他父親所希望的法律博士學位，連碩士學位也沒有得到。這使他父親勃然大怒，呵斥他是一個“從軀殼到靈魂都患病的人”。這時多虧他家的一位朋友建議，魏爾斯特拉斯被送到明斯特去準備教師資格考試。【講解】1．幾何定義：在數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值。記作|a|。這里的a可以是正數(shù)、負數(shù)和0。例如，在數(shù)軸上表示數(shù)―6與表示數(shù)6的點與原點的距離都是6，所以―6和6的絕對值都是6，記作|―6|=|6|=6。同樣可知|―4|=4，|+1.7|=1.7。代數(shù)定義：〔1〕一個正數(shù)的絕對值是它本身；〔2〕0的絕對值是0；〔3〕一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。即：。2．絕對值的性質(zhì)：〔1〕任何一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，〔絕對值的非負性〕?！?〕互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，反之，假設兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)相等或互為相反數(shù)〔3〕假設幾個絕對值的和等于0，那么這幾個絕對值都應為0【跟蹤練習】〔1〕絕對值是的數(shù)有幾個？各是什么？(2)絕對值是0的數(shù)有幾個？各是什么？(3)有沒有絕對值是-2的數(shù)？〔4〕求絕對值小于4的所有整數(shù)。〔5〕說說的意義以及滿足這個式子的數(shù)的條件；【中考鏈接】1．〔2014年山東煙臺〕﹣3的絕對值等于〔〕 A．﹣3 B．3 C． ±3 D． 2．〔2014年云南省，第1題3分〕|﹣|=〔〕 A．﹣B． C． ﹣7 D． 7〔2014?舟山，第1題3分〕﹣3的絕對值是〔〕A.-3B.3C.D.〔2014?株洲，第1題，3分〕以下各數(shù)中，絕對值最大的數(shù)是〔〕A.-3B.-2C.0D.1【總結】1．對絕對值概念的理解可以從其幾何意義和代數(shù)意義兩方面考慮，從幾何方面看，一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，它具有非負性；從代數(shù)方面看，一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0。2．求一個數(shù)的絕對值注意先判斷這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)。第五講有理數(shù)的加法【引入】《九章算術》的豐功偉績：《九章算術》其作者已不可考。一般認為它是經(jīng)歷代各家的增補修訂，而逐漸成為現(xiàn)今定本的，西漢的張蒼、耿壽昌曾經(jīng)做過增補和整理，其時大體已成定本。最后成書最遲在東漢前期，現(xiàn)今流傳的大多是在三國時期魏元帝景元四年〔263年〕，劉徽為《九章》所作的注本。在世界數(shù)學史上首次闡述了負數(shù)及其加減運算法那么。關于正、負數(shù)的加減運算法那么，“正負術曰：同名相益，異名相除，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之”。這里所說的“同名”、“異名”分別相當于所說的同號、異號?！跋嘁妗?、“相除”是指二數(shù)相加、相減?！局v解】知識點一：有理數(shù)加法法那么1、一位同學沿著一條東西向的跑道，先走了20米，又走了30米，能否確定他現(xiàn)在位于原來位置的哪個方向，相距多少米?規(guī)定向東為正，向西為負。(1)假設兩次都是向東走，很明顯，一共向東走了50米，寫成算式就是：(+20)+(+30)=+50，即這位同學位于原來位置的東方50米處。這一運算在數(shù)軸上表示如圖：(2)假設兩次都是向西走，那么他現(xiàn)在位于原來位置的西方50米處，寫成算式就是：(―20)+(―30)=―50。(3)假設第一次向東走20米，第二次向西走30米，我們先在數(shù)軸上表示如圖：寫成算式是(+20)+(―30)=―10，即這位同學位于原來位置的西方10米處。(4)假設第一次向西走20米，第二次向東走30米，寫成算式是：(―20)+(+30)=()。即這位同學位于原來位置的()方()米處。后兩種情形中兩個加數(shù)符號不同(通?？煞Q異號)，所得和的符號似乎不能確定，讓我們再試幾次(下式中的加數(shù)不仿仍可看作運動的方向和路程)：你能發(fā)現(xiàn)和與兩個加數(shù)的符號和絕對值之間有什么關系嗎?(+4)+(―3)=()；(+3)+(―10)=()；(―5)+(+7)=()；(―6)+2=()。再看兩種特殊情形：(5)第一次向西走了30米，第二次向東走了30米.寫成算式是：(―30)+(+30)=()。(6)第一次向西走了30米，第二次沒走.寫成算式是：(―30)+0=()。我們不難得出它們的結果。2．概括：綜合以上情形，我們得到有理數(shù)的加法法那么：〔1).同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；〔2).絕對值不等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；〔3).互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；〔4).一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).注意：一個有理數(shù)由符號和絕對值兩局部組成，所以進行加法運算時，必須分別確定和的符號和絕對值.這與小學階段學習加法運算不同。知識點二：有理數(shù)的加法運算律1．在小學里，我們曾經(jīng)學過加法的交換律、結合律，這兩個運算律在有理數(shù)加法運算中也是成立的嗎？*任意選擇兩個有理數(shù)(至少有一個是負數(shù))，分別填入以下□和○內(nèi)，并比擬兩個算式的運算結果?！?○和○+□。*任意選擇三個有理數(shù)(至少有一個是負數(shù))，分別填入以下□、○和

內(nèi)，并比擬兩個算式的運算結果。(□+○)+

和□+(○+

)。總結：加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b=b+a加法結合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即(a+b)+c=a+(b+c)這樣，多個有理數(shù)相加，可以任意交換加數(shù)的位置，也可先把其中的幾個數(shù)相加，使計算簡化。2．例題：例1：計算：(1)(+26)+(―18)+5+(―16)；(2)。解(1)原式=(2)原式=例2：10筐蘋果，以每筐30千克為準，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，缺乏的千克數(shù)記作負數(shù)，記錄如下：2，―4，2.5，3，―0.5，1.5，3，―1，0，―2.5。求這10筐蘋果的總重量。解：例3：運用加法運算律計算以下各題：(1)(+66)+(―12)+(+11.3)+(―7.4)+(+8.1)+(―2.5)(2)(+3)+(―2)+(―3)+(―1)+(+5)+(+5)(3)(+6)+(+)+(―6.25)+(+)+(―)+(―)分析：利用運算律將正、負數(shù)分別結合，然后相加，可以使運算比擬簡便；有分數(shù)相加時，利用運算律把分母相同的分數(shù)結合起來，將帶分數(shù)拆開，計算比擬簡便。一定要注意不要遺漏括號；相加的假設干個數(shù)中出現(xiàn)了相反數(shù)時，先將相反數(shù)結合起來抵消掉，或通過拆數(shù)、局部結合湊成相反數(shù)抵消掉，計算比擬簡便。解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=例4：10袋小麥稱重時以每袋90千克為準，超過的千克數(shù)記為正數(shù)，缺乏的千克數(shù)記為負數(shù)，記錄數(shù)據(jù)如下：+7，+5，–4，+6，+4，+3，–3，–2，+8，+1請問總計是超過多千克還是缺乏多少千克？這10袋小麥的總重量是多少？【跟蹤聯(lián)系】1.如果規(guī)定存款為正，取款為負，請根據(jù)李明同學的存取款情況填空：①一月份先存入10元，后又存入30元，兩次合計存人元，就是〔＋10〕＋〔＋30〕=②三月份先存人25元，后取出10元，兩次合計存人元，就是〔＋25〕＋〔－10〕＝2、【中考鏈接】1.如果a+b=0，那么a+b兩個數(shù)一定是〔〕A.都等于0B.一正一負C.互為相反數(shù)D.互為倒數(shù)2.數(shù)軸上A、B兩點所表示的有理數(shù)的和是(第2題圖)3.如果eq\o\ac(□,.)+2=0，那么“eq\o\ac(□,.)”內(nèi)應填的數(shù)是。4計算-3+2的值是〔〕A.-5B.-1C.1D.5【總結】應用有理數(shù)加法法那么進行計算時，要同時注意確定“和”的符號，計算“和”的絕對值兩件事。三個以上的有理數(shù)相加，可運用加法交換律和結合律任意改變加數(shù)的位置，簡化運算。常見技巧有：(1)湊零湊整：互為相反數(shù)的兩個數(shù)結合先加；和為整數(shù)的加數(shù)結合先加；(2)同號集中：按加數(shù)的正負分成兩類分別結合相加，再求和；(3)同分母結合：把分母相同或容易通分的結合起來；(4)帶分數(shù)拆開：計算含帶分數(shù)的加法時，可將帶分數(shù)的整數(shù)局部和分數(shù)局部拆開，分別結合相加。注意帶分數(shù)拆開后的兩局部要保持原來分數(shù)的符號。第六講有理數(shù)的減法【引入】《九章算術》的豐功偉績【講解】1、我們知道，兩個數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫做減法。例如計算(―8)―(―3)也就是求一個數(shù)?使(?)+(―3)=―8。根據(jù)有理數(shù)加法運算，有(―5)+(―3)=―8，所以(―8)―(―3)=―5。①減法運算的結果得到了。試一試：再做一個填空：(―8)+()=―5，容易得到(―8)+(+3)=―5。②比擬①、②兩式，我們發(fā)現(xiàn)：―8“減去―3”與“加上+3”結果是相等的。②再試一次：10―6=(4)，10+(―6)=(4)，得10―6=10+(―6)。③概括：上述兩例啟發(fā)我們可以將減法轉換為加法來進行。有理數(shù)減法法那么:減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。如果用字母a、b表示有理數(shù)，那么有理數(shù)減法法那么可表示為：a–b=a+〔―b〕。2．例題：例1：計算：(1)(―32)―(+5)；(2)7.3―(―6.8)；(3)(―2)―(―25)；(4)12―21.解：減號變加號減號變加號(1)(―32)―(+5)=(―32)+(―5)=―37。(2)7.3―(―6.8)=7.3+6.8=14.1。減數(shù)變相反數(shù)減數(shù)變相反數(shù)(注意：兩處必須同時改變符號.)【跟蹤聯(lián)系】(1)(＋16)－(＋25)－(－24)＋(－32)；(2)；【中考鏈接】1.〔2014?濟寧，第1題3分〕實數(shù)1，﹣1，﹣，0，四個數(shù)中，最小的數(shù)是〔〕A.0B.1C.-1D.-2.〔2014?菏澤，第1題3分〕比﹣1大的數(shù)是〔〕A.-3B.-C.0D.-13．〔2014?四川自貢，第1題4分〕比﹣1大1的數(shù)是〔〕A．2B．1C．0D．﹣2．4.〔2014?武漢，第11題3分〕計算：﹣2-〔﹣3〕=【總結】1.由于把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù)，從而減法轉化為加法．有理數(shù)的加法和減法，當引進負數(shù)后就可以統(tǒng)一用加法來解決．2．不管減數(shù)是正數(shù)、負數(shù)或是零，都符合有理數(shù)減法法那么．在使用法那么時，注意被減數(shù)是永不變的。第七講有理數(shù)的加減混合運算【引入】數(shù)學家的各行其是。【講解】1、有理數(shù)加減混合運算的方法和步驟：〔1〕運用減法法那么，將有理數(shù)加減混合運算中的加法轉化為加法，然后省略加號和括號；〔2〕運用加法交換律和加法結合律，使運算簡便。2、在運算過程中,遵循以下原那么:〔1〕正數(shù)和負數(shù)分別相結合〔2〕同分母分數(shù)或比擬容易通分的分數(shù)相結合〔3〕互為相反數(shù)的兩數(shù)相結合〔4〕其和為整數(shù)的兩數(shù)相結合〔5〕帶分數(shù)一般化成假分數(shù)或整數(shù)和分數(shù)兩局部，再分別相加和。例1：把寫成省略加號的和的形式，并把它讀出來。解：原式==讀作：“的和”。例2：計算：―20+3―5+7。解：原式=―20―5+3+7=―25+10=―15。注意這里既交換又結合，交換時應連同數(shù)字前的符號一起交換。例3：計算：(1)――+；(2)(+9)―(+10)+(―2)―(―8)+3?！靖櫨毩暋?．2．【中考鏈接】1.〔2004。桂林〕1―3+5―7+9―11+…+97―99=。【總結】1．有理數(shù)的加減法可統(tǒng)一成加法。2．因為有理數(shù)加減法可統(tǒng)一成加法，所以在加減運算時，適當運用加法運算律，把正數(shù)與負數(shù)分別相加，可使運算簡便。但要注意交換加數(shù)的位置時，要連同前面的符號一起交換。第八講有理數(shù)的乘法【引入】繼續(xù)《九章算術》【講解】1．實際問題：問題1：一只小蟲沿一條東西向的跑道，以每分鐘3米的速度向東爬行2分鐘，那么它現(xiàn)在位于原來的位置的那個方向，相距多少米?我們知道，這個問題可用乘法來解答：3×2=6，①即小蟲位于原來位置的東方6米處。注意：這里我們規(guī)定向東為正，向西為負。如果上述問題變?yōu)椋簡栴}2：小蟲向西以每分鐘3米的速度爬行2分鐘，那么結果有何變化?這也不難，寫成算式就是：(－3)×2=－6，②即小蟲位于原來位置的西方6米處。比擬上面兩個算式，有什么發(fā)現(xiàn)?當我們把“3×2=6”中的一個因數(shù)“3”換成它的相反數(shù)“－3”時，所得的積是原來的積“6”的相反數(shù)“－6”，一般地