(完整版)高中數(shù)學(xué)新定義問題分類探究

專題：學(xué)習(xí)能力型問題1學(xué)習(xí)能力型問題常見的有以下幾種類型：(1)概念學(xué)習(xí)型；(2)公式學(xué)習(xí)型；(3)方法學(xué)習(xí)型．2學(xué)習(xí)能力型問題的特點

(1)內(nèi)容新

學(xué)習(xí)能力型習(xí)題中常常出現(xiàn)過去沒有學(xué)習(xí)過的新的概念、定理、公式或方法，要求通過自己學(xué)習(xí)以后，理解這些概念、定理、公式或方法，并且能運用它們解決有關(guān)的問題.

(2)抽象性

這里新的概念、定理、公式或方法的敘述通常比較簡略，比較抽象，沒有解釋性和說明性的語言，需要自己去仔細揣摩、領(lǐng)會和理解.與平時在課堂里教師指導(dǎo)下學(xué)習(xí)新知識有很大的區(qū)別，沒有教師的講解、舉例和解說，沒有許多感性的內(nèi)容，比較抽象和概括，對獨立學(xué)習(xí)能力和抽象思維能力要求較高.因此解這類問題往往感到很困難.

(3)學(xué)了就用

這里學(xué)習(xí)新知識的時間很短，要求通過閱讀很快就能理解新的概念、定理、公式和方法，并能立即運用它們解決有關(guān)的問題，不舉例題，沒有模仿的過程.因此對思維的敏捷性和獨創(chuàng)性要求較高.

3解學(xué)習(xí)能力型習(xí)題的步驟

(1)閱讀理解

首先通過閱讀理解題意，理解題目所包含的新的概念、定理、公式或方法的本質(zhì)：這里分為兩步：1、字面理解：要求讀懂其中每一個句子的含義.2、深層理解：要求深入理解新的概念的本質(zhì)屬性，分清新的定理和條件和結(jié)論，理解新的方法的關(guān)鍵等。

(2)運用

在理解新的概念、定理、公式或方法的基礎(chǔ)上，運用它們解決有關(guān)的問題。4新定義運算問題4.1定義數(shù)對運算

例1(1)對于任意的兩個實數(shù)對和，規(guī)定：，當且僅當；運算“”為：；運算“”為：，設(shè)，若，則A.B.C.D.(2)(10山東)定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下，對任意的a=(m,n)，b=(p,q)，令a⊙b=mq–np，下面說法錯誤的是()A.若a與b共線，則a⊙b=0B.a⊙b=b⊙aC.對任意的λ∈R，有(λa)⊙b=λ(a⊙b)D.(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|24.2定義集合運算例2對于集合，定義=,設(shè)，則_____.4.3定義函數(shù)運算例3(1)定義運算：ab=已知函數(shù)那么函數(shù)的大致圖像是_________________.(2)(11天津)對實數(shù)a和b，定義運算“”：設(shè)函數(shù)f(x)=(x2–2)(x–1)，x∈R．若函數(shù)y=f(x)–c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是A.(–1,1]∪(2,+∞)B.(–2,–1]∪(1,2]C.(–∞,–2)∪(1,2]D.[–2,–1]5新定義概念問題5.1與集合有關(guān)的新定義例4若則稱是“伙伴關(guān)系集”，在集合M={，1,2,3}的所有非空子集中任選一個集合，則該集合是“伙伴關(guān)系集”的概率為________.變式：定義平面點集，對于集合，若對，則稱集合為開集，給出下列命題：①集合②集合是開集；③開集在全集上的補集仍然是開集；④兩個開集的并集是開集；其中正確的所有的命題的序號是_____.（析：類比開區(qū)間，此題很容易求解）5.2與數(shù)列有關(guān)的新定義例5若數(shù)列滿足（為正常數(shù)，），則稱為“等方比數(shù)列”．甲：數(shù)列是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列是等比數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件(評：關(guān)鍵是掌握新定義數(shù)列的本質(zhì)，應(yīng)遵循新定義法則，借助新數(shù)列的性質(zhì)，向已有的熟悉的知識轉(zhuǎn)化，即可求解，考查考生的閱讀理解能力和學(xué)習(xí)的潛能.)變式：如果有窮數(shù)列（為正整數(shù)）滿足條件，，…，，即（），我們稱其為“對稱數(shù)列”．(Ⅰ)設(shè)是7項的“對稱數(shù)列”，其中是等差數(shù)列，且，．依次寫出的每一項；(Ⅱ)設(shè)是項的“對稱數(shù)列”，其中是首項為，公比為的等比數(shù)列，求各項的和；(評：本題關(guān)鍵在于準確把握“對稱數(shù)列”的定義，考查的還是課本中數(shù)列的基本知識.)5.3函數(shù)有關(guān)新定義例6(1)在平面直角坐標系中，若點A,B同時滿足：=1\*GB3①點A,B都在函數(shù)圖像上；=2\*GB3②點A,B關(guān)于原點對稱，則稱點對(A,B)是函數(shù)的一個“姐妹點對”（規(guī)定(A,B)與(B,A)是同一個“姐妹點對”）.那么函數(shù)的“姐妹點對”的個數(shù)是_____.變式：在直角坐標系中，兩個不同的點A(a,b),B(-a,-b)都在函數(shù)的圖像上，則稱[A,B]為函數(shù)的一組“友好點”（[A,B]與[B,A]看作一組），已知定義在的函數(shù)滿足且當時，，則函數(shù)的“友好點”的個數(shù)為______.(2)（02上海）對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點．已知函數(shù)（）．(Ⅰ)當，時，求函數(shù)的不動點；(Ⅱ)若對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍內(nèi)；(Ⅲ)在（Ⅱ）的條件下，若圖像上、兩點的橫坐標是函數(shù)的不動點，且、兩點關(guān)于直線對稱，求的最小值．5.4與幾何有關(guān)新定義例7對于直角坐標平面內(nèi)的任意兩點A(x,y)、B(x，y)，定義它們之間的一種“距離”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱.給出下列三個命題：=1\*GB3①若點C在線段AB上，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;=2\*GB3②在△ABC中，若∠C=90°，則‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；=3\*GB3③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.其中真命題的個數(shù)為_____.（本題給出了一個距離的概念，有別于平時所接觸的距離概念，解題關(guān)鍵是弄懂新定義距離的概念.本題重在考察學(xué)生的知識遷移和探究能力.）變式：（10廣東）設(shè)A(x,y)、B(x，y)時直角坐標平面內(nèi)的任意兩點，現(xiàn)定義由點A到點B的一種折線距離為=︱x－x︱+︱y－y︱.對于平面上給定的不同的兩點A(x,y)、B(x，y).(Ⅰ)若點是平面上的點，試證明;(Ⅱ)在平面上是否存在點同時滿足：=1\*GB3①;=2\*GB3②.若存在，寫出符合條件的點，并予以證明，若不存在說明理由.5.5解析幾何有關(guān)新定義例8已知兩定點若某直線上存在點P，使|PM|+|PN|=4,則該直線為“A型直線”，給出下列直線：=1\*GB3①y=x+1;=2\*GB3②y=2;=3\*GB3③y=-x+3;④y=-2x+3.其中是“A型直線”的是_____.變式：在平面直角坐標系中，已知兩定點若某直線上有且只有一點P，使|PM|+|PN|=10，則稱直線l為“黃金直線”，點P為“黃金點”.(Ⅰ)當a=時，點能否成為“黃金點”？若能求出“黃金直線”的方程，若不能說明理由.(Ⅱ)當a滿足什么條件時，“黃金點”P的軌跡是圓？此時“黃金直線”具有什么特征？6總結(jié)學(xué)習(xí)能力型問題必將成為以后高考考核的重點，它考察全面，擺脫了以往只考察學(xué)生記憶、計算等方面知識.應(yīng)引起廣大師生的關(guān)注我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生認為，一個是，一個是厚到薄”.前者是知識不段豐富、積累的過程，是“量”的積累；“從厚到薄”則是質(zhì)的飛躍.在這里正是應(yīng)用到了“從厚到薄”.能夠很好地考核考生利用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，需要平時結(jié)合所學(xué)的知識多.【課后訓(xùn)練】1.定義平面向量之間的一種運算“”如下，對任意的令，下列說法錯誤的是（）若共線，則B.C.對任意的有D.給定集合A，若對于任意，有，則稱集合A為閉集合，給出如下五個結(jié)論：①集合A={-4，-2,0,2,4}為