專訓(xùn)1-用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義解與面積相關(guān)問(wèn)題

階段方法技巧訓(xùn)練（一）專訓(xùn)1用反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義解與面積相關(guān)問(wèn)題習(xí)題課反比例函數(shù)的比例系數(shù)k具有一定的幾何意義，|k|等于反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸所作垂線段與兩坐標(biāo)軸所圍成的矩形的面積．在反比例函數(shù)的圖象中，涉及三角形或矩形的面積時(shí)，常用比例系數(shù)k的幾何意義解決問(wèn)題．反比例函數(shù)的比例系數(shù)k與面積的關(guān)系如圖，A，C是函數(shù)y＝的圖象上任意兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為B，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，記Rt△AOB的面積為S1，Rt△COD的面積為S2，則(

)A．S1＞S2

B．S1＜S2C．S1＝S2

D．S1和S2的大小關(guān)系不能確定C1訓(xùn)練角度2．【2017·宜賓】如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點(diǎn)A(－3，m＋8)，B(n，－6)兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；(2)求△AOB的面積．解：(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；將點(diǎn)A(－3，m＋8)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y＝得，＝m＋8，解得m＝－6.∴m＋8＝－6＋8＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－3，2)，反比例函數(shù)解析式為y＝－.將點(diǎn)B(n，－6)的坐標(biāo)代入y＝－，得－＝－6，解得n＝1，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－6)．將點(diǎn)A(－3，2)，B(1，－6)的坐標(biāo)代入y＝kx＋b，得解得∴一次函數(shù)解析式為y＝－2x－4.如圖，設(shè)AB與x軸相交于點(diǎn)C.令－2x－4＝0，解得x＝－2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－2，0)，∴OC＝2.∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC

＝

×2×2＋

×2×6

＝2＋6＝8.(2)求△AOB的面積．解：3．如圖，函數(shù)y＝－x與函數(shù)y＝－的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D，求四邊形ACBD的面積．由題意，易得出S△ODB＝S△AOC＝

×|－4|＝2.因?yàn)镺C＝OD，AC＝BD(易求得)，所以S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2.所以四邊形ACBD的面積為S△AOC＋S△ODA＋S△ODB＋S△OBC＝2×4＝8.解：訓(xùn)練角度2已知面積求反比例函數(shù)解析式題型1已知三角形面積求函數(shù)解析式4．【2016·綿陽(yáng)】如圖，直線y＝k1x＋7(k1＜0)與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y＝(k2＞0)在第一象限的圖象交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△AOB的面積為點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1.(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如果一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，那么我們就稱這個(gè)點(diǎn)為“整點(diǎn)”，請(qǐng)求出圖中陰影部分(不含邊界)所包含的所有整點(diǎn)的坐標(biāo)．解：(1)求反比例函數(shù)的解析式；對(duì)于直線y＝k1x＋7(k1＜0)，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝7，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－

，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為

，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，7)．∴OA＝－

，OB＝7.∴S△AOB＝

OA·OB＝

×

×7＝解得k1＝－1.∴直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝－x＋7.∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＝－1＋7＝6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，6)．∴k2＝1×6＝6.∴反比例函數(shù)的解析式為y＝解：(2)如果一個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，那么我們就稱這個(gè)點(diǎn)為“整點(diǎn)”，請(qǐng)求出圖中陰影部分(不含邊界)所包含的所有整點(diǎn)的坐標(biāo)．由得∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6，1)．當(dāng)x＝2時(shí)，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)為(2，3)，直線上的點(diǎn)為(2，5)，此時(shí)可得整點(diǎn)為(2，4)；當(dāng)x＝3時(shí)，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)為(3，2)，直線上的點(diǎn)為(3，4)，此時(shí)可得整點(diǎn)為(3，3)；當(dāng)x＝4時(shí)，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)為(4，)直線上的點(diǎn)為(4，3)，此時(shí)可得整點(diǎn)為(4，2)；當(dāng)x＝5時(shí)，反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)為(5，)，直線上的點(diǎn)為(5，2)，此時(shí)，不存在整點(diǎn)．綜上所述，符合條件的整點(diǎn)有(2，4)，(3，3)，(4，2)．5．如圖，矩形ABOD的頂點(diǎn)A是函數(shù)y＝－x－(k＋1)的圖象與函數(shù)y＝在第二象限的圖象的交點(diǎn)，B，D兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且矩形ABOD的面積為3.(1)求兩函數(shù)的解析式；(2)求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且S△APC＝5，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．題型2已知四邊形面積求函數(shù)解析式解：(1)求兩函數(shù)的解析式；由圖象知k＜0，由已知條件得|k|＝3，∴k＝－3.∴反比例函數(shù)的解析式為y＝－，一次函數(shù)的解析式為y＝－x＋2.解：(2)求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；由解得∴點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為(－1，3)，(3，－1)．解：(3)若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且S△APC＝5，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，m)，直線y＝－x＋2與y軸的交點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為(0，2)．∵S△APC＝S△AMP＋S△CMP＝×PM×(|－1|＋|3|)＝5，∴PM＝

，即|m－2|＝.∴m＝或m＝－∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，)或(0，－).

訓(xùn)練角度3已知反比例函數(shù)解析式求圖形的面積題型1利用函數(shù)解析式求面積6．【中考·安徽】如圖，已知反比例函數(shù)y＝

與一次函數(shù)

y＝k2x＋b的圖象交于A(1，8)，B(－4，m)．(1)求k1，k2，b的值；(2)求△AOB的面積；(3)若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函數(shù)y＝

的圖象上的兩點(diǎn)，且x1<x2，y1<y2，指出點(diǎn)M，N各位于哪個(gè)象限，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．解：(1)求k1，k2，b的值；把A(1，8)的坐標(biāo)代入y＝，得k1＝8.把B(－4，m)的坐標(biāo)代入y＝，得m＝－2.把A(1，8)，B(－4，－2)的坐標(biāo)代入y＝k2x＋b，可得k2＝2，b＝6.解：(2)求△AOB的面積；設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為C，當(dāng)y＝0時(shí)，2x＋6＝0，解得x＝－3.∴C(－3，0)．∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC

＝×3×8＋×3×2＝15.(3)若M(x1，y1)，N(x2，y2)是反比例函數(shù)y＝

的圖

象上的兩點(diǎn)，且x1<x2，y1<y2，指出點(diǎn)M，N各位

于哪個(gè)象限，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．解：點(diǎn)M在第三象限，點(diǎn)N在第一象限．理由：∵M(jìn)(x1，y1)，N(x2，y2)在反比例函數(shù)y＝

的圖象上，∴當(dāng)M(x1，y1)，N(x2，y2)在同一象限時(shí)，x1＜x2，

則y1＞y2.∵x1＜x2，y1＜y2，∴M(x1，y1)，N(x2，y2)不在同一個(gè)象限．∴點(diǎn)M在第三象限，點(diǎn)N在第一象限．題型2利用對(duì)稱性求面積7．如圖是由四條曲線圍成的廣告標(biāo)志，建立平面直角坐標(biāo)系，雙曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式分別為y＝－，y＝.現(xiàn)用四根鋼條固定這四條曲線，這種鋼條加工成矩形產(chǎn)品按面積計(jì)算，每單位面積25元，請(qǐng)你幫助工人師傅計(jì)算一下，所需鋼條一共花多少錢？解：由反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，兩條坐標(biāo)軸將矩形ABCD分成四個(gè)全等的小矩形．因?yàn)辄c(diǎn)A為y＝的圖象上的一點(diǎn)，所以S矩形AEOH＝6.所以S矩形ABCD＝4×6＝24.所以總費(fèi)用為25×24＝600(元)．答：所需鋼條一共花600元．題型3利用點(diǎn)的坐標(biāo)及面積公式求面積8．【2017·菏澤】如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b與反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，2)，連接OA，OB，過(guò)B作BD⊥y軸，垂足為D，交OA于C，若OC＝CA.(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)求△AOB的面積．解：(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸，垂足為F，交BD于E.∵點(diǎn)B(3，2)在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴a＝3×2＝6，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝.∵B(3，2)，∴EF＝2.∵BD⊥y軸，OC＝CA，∴AE＝EF＝AF，∴AF＝4，∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4.∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，∴A(,