隨機(jī)變量與分布函數(shù)

隨機(jī)變量與分布函數(shù)一、隨機(jī)變量的定義(1)

擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)

1，2，……，6.(2)n個(gè)產(chǎn)品中的不合格品個(gè)數(shù)0，1，2，……，n(3)某商場(chǎng)一天內(nèi)來的顧客數(shù)0，1，2，……(4)某種型號(hào)電視機(jī)的壽命:

[0,+)(1)

擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)

1，2，……，6.(2)n個(gè)產(chǎn)品中的不合格品個(gè)數(shù)0，1，2，……，n(3)某商場(chǎng)一天內(nèi)來的顧客數(shù)0，1，2，……(4)某種型號(hào)電視機(jī)的壽命:

[0,+)第2頁,共153頁，2024年2月25日，星期天隨機(jī)變量的定義定義3.1.1

設(shè)

={}為某隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，是定義于概率空間(Ω,F,P)上的單值實(shí)函數(shù)，如果對(duì)直線上任何一個(gè)博雷爾點(diǎn)集B,有

F則稱為隨機(jī)變量，而稱為隨機(jī)變量的概率分布。.第3頁,共153頁，2024年2月25日，星期天注意點(diǎn)(1)隨機(jī)變量是樣本點(diǎn)的函數(shù)，

其定義域?yàn)?，其值域?yàn)镽=(，)

(2)若

為隨機(jī)變量，則

均為隨機(jī)事件.即第4頁,共153頁，2024年2月25日，星期天若隨機(jī)變量可能取值的個(gè)數(shù)為有限個(gè)或

可列個(gè)，則稱

為離散型隨機(jī)變量.若隨機(jī)變量的可能取值充滿某個(gè)區(qū)間

[a,b]，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量.前例中的,,為離散型隨機(jī)變量；而為連續(xù)型隨機(jī)變量.兩類隨機(jī)變量第5頁,共153頁，2024年2月25日，星期天定義3.1.2

設(shè)

為一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)

x，稱F(x)=P{<

x}為

的分布函數(shù).(distributionfunction)

記為

隨機(jī)變量的分布函數(shù)第6頁,共153頁，2024年2月25日，星期天二、分布函數(shù)的性質(zhì)定理3.1.1

分布函數(shù)F(x)具有下列基本性質(zhì)：

(1)F(x)

單調(diào)不降；

(2)有界：0

F(x)

1，F(xiàn)(

)=0，F(xiàn)(+)=1；

(3)左連續(xù)：F(x-0)=F(x).第7頁,共153頁，2024年2月25日，星期天注意點(diǎn)注意以下一些表達(dá)式：第8頁,共153頁，2024年2月25日，星期天三、離散型隨機(jī)變量設(shè)離散隨機(jī)變量ξ

的可能取值為：x1，x2，……，xn，……

稱pi=P(ξ

=xi)，i=1,2,……

為ξ

的分布列.分布列也可用表格形式表示：ξ

x1

x2

……

xn

……

P

p1

p2

……

pn

……

第9頁,共153頁，2024年2月25日，星期天分布列的基本性質(zhì)

(1)pi

0，

(2)(正則性)(非負(fù)性)第10頁,共153頁，2024年2月25日，星期天注意點(diǎn)對(duì)離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)應(yīng)注意：

(1)F(x)是遞增的階梯函數(shù);

(2)其間斷點(diǎn)均為左連續(xù)的;

(3)其間斷點(diǎn)即為ξ的可能取值點(diǎn);

(4)其間斷點(diǎn)的跳躍高度是對(duì)應(yīng)的概率值.第11頁,共153頁，2024年2月25日，星期天ξx1x2……xk……Pp1p2……pk……一般，設(shè)離散型r.v.ξ的分布律為：則X的分布函數(shù)F(x)=P{ξ<x}=第12頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例已知ξ

的分布列如下：X012P1/31/61/2求ξ

的分布函數(shù).第13頁,共153頁，2024年2月25日，星期天常見離散型分布1、退化分布（單點(diǎn)分布）2、伯努利分布（兩點(diǎn)分布）B(1,p)3、二項(xiàng)分布B(n,p)4、超幾何分布5、泊松分布P(λ)6、幾何分布7、巴斯卡分布第14頁,共153頁，2024年2月25日，星期天常用離散分布1

二項(xiàng)分布記為ξ

~B(n,p).ξ為n重伯努里試驗(yàn)中“成功”的次數(shù),當(dāng)n=1時(shí)，稱b(1,p)為0-1分布.第15頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)ξ

~b(2,p)，η

~b(4,p)，已知P(ξ

1)=8/9，求P(η1).解:

由P(ξ1)=8/9

，知P(ξ=0)=1/9.

由此得：P(η1)=1P(η=0)所以1/9

=P(ξ=0)=(1p)2，從而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.第16頁,共153頁，2024年2月25日，星期天若隨機(jī)變量ξ

的概率分布為則稱ξ

服從參數(shù)為

的泊松分布,

記為ξ

~P(

).泊松分布第17頁,共153頁，2024年2月25日，星期天超幾何分布對(duì)應(yīng)于不返回抽樣模型

：

N個(gè)產(chǎn)品中有M個(gè)不合格品，從中抽取n個(gè)，不合格品的個(gè)數(shù)為X.超幾何分布第18頁,共153頁，2024年2月25日，星期天

X為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中，“首次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).

幾何分布具有無記憶性，即：

P(ξ

>m+n|ξ

>m)=P(ξ

>n)幾何分布第19頁,共153頁，2024年2月25日，星期天巴斯卡分布(負(fù)二項(xiàng)分布)巴斯卡分布與幾何分布的關(guān)系：為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中，“第r次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).為從第i-1次成功后算起，“首次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).第20頁,共153頁，2024年2月25日，星期天四、連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量ξ的可能取值充滿某個(gè)區(qū)間(a,b).因?yàn)閷?duì)連續(xù)隨機(jī)變量ξ

，有P(ξ=x)=0，所以無法仿離散隨機(jī)變量用P(ξ

=x)來描述連續(xù)隨機(jī)變量ξ的分布.注意離散隨機(jī)變量與連續(xù)隨機(jī)變量的差別.第21頁,共153頁，2024年2月25日，星期天定義設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)為F(x),則稱ξ

為連續(xù)隨機(jī)變量，若存在非負(fù)可積函數(shù)p(x)，滿足：稱p(x)為分布密度函數(shù)，（densityfunction）.第22頁,共153頁，2024年2月25日，星期天密度函數(shù)的基本性質(zhì)滿足(1)(2)的函數(shù)都可以看成某個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的分布密度函數(shù).(非負(fù)性)(正則性)第23頁,共153頁，2024年2月25日，星期天注意點(diǎn)

(1)

(2)F(x)是(

∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù);(3)P(ξ=x)=F(x+0)

F(x)=0;第24頁,共153頁，2024年2月25日，星期天注意點(diǎn)

(1)

(2)F(x)是(

∞,+∞)上的連續(xù)函數(shù);(3)P(ξ=x)=F(x+0)

F(x)=0;

(4)P{a<ξ≤b}=P{a<

ξ

<b}=P{a≤

ξ

<b}=P{a≤

ξ

≤b}=F(b)

F(a).(5)當(dāng)F(x)在x點(diǎn)可導(dǎo)時(shí),

f(x)=所以，概率為零的事件不一定是不可能事件??！第25頁,共153頁，2024年2月25日，星期天連續(xù)型密度函數(shù)

ξ

~f(x)

(不唯一

)2.4.P(ξ

=a)=0離散型分布列:pn

=P(ξ

=xn)

(唯一

)

2.F(x)=

3.

F(a+0)=F(a);P(a<ξ

b)=F(b)

F(a).4.點(diǎn)點(diǎn)計(jì)較5.F(x)為階梯函數(shù)。

5.F(x)為連續(xù)函數(shù)。

F(a+0)=F(a).

F(a+0)

F(a).第26頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)

ξ~求(1)常數(shù)k.(2)F(x).第27頁,共153頁，2024年2月25日，星期天常見連續(xù)性隨機(jī)變量1、均勻分布2、正態(tài)分布3、指數(shù)分布4、埃爾蘭分布5、分布第28頁,共153頁，2024年2月25日，星期天（一）均勻分布ξ～U(a,b)實(shí)際背景：隨機(jī)變量X僅在一個(gè)有限區(qū)間（a,b）上取值；隨機(jī)變量X在其內(nèi)取值具有“等可能”性，則ξ～U(a,b)?！暗瓤赡堋北憩F(xiàn)在：若a≤c<c+l≤b，則

P{c<ξ<c+l}與位置無關(guān)，只與長度有關(guān)第29頁,共153頁，2024年2月25日，星期天設(shè)ξ具有概率密度：則稱ξ在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為ξ

~U(a,b)。第30頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例1：設(shè)電阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在900?~1100?，求R的概率密度及R落在950?~1050?的概率。解：按題意，R的概率密度為：

第31頁,共153頁，2024年2月25日，星期天

ξ

~U(2,5).現(xiàn)在對(duì)ξ

進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率.解：記A={ξ

>3},

則P(A)=P(ξ>3)=2/3設(shè)Y表示三次獨(dú)立觀測(cè)中A出現(xiàn)的次數(shù),則Y~B(3,2/3)，所求概率為

P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2第32頁,共153頁，2024年2月25日，星期天記為ξ

~N(

,

2),其中

>0，

是任意實(shí)數(shù).

是位置參數(shù).

是尺度參數(shù).（二）正態(tài)分布(normaldistribution)

第33頁,共153頁，2024年2月25日，星期天yxOμ第34頁,共153頁，2024年2月25日，星期天正態(tài)分布的性質(zhì)(1)

p(x)關(guān)于

是對(duì)稱的.p(x)x0μ在

點(diǎn)p(x)取得最大值.(2)若

固定,

改變,(3)若

固定,

改變,σ小σ大p(x)左右移動(dòng),

形狀保持不變.

越大曲線越平坦;

越小曲線越陡峭.第35頁,共153頁，2024年2月25日，星期天p(x)x0x

x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)記為

(x),分布函數(shù)記為

(x).第36頁,共153頁，2024年2月25日，星期天

(x)的計(jì)算(1)x

0時(shí),查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表.(2)x<0時(shí),用若ξ~N(0,1),則

(1)P(ξ

<

a)=

(a);(2)P(ξ≥a)=1

(a);(3)P(a≤ξ<b)=

(b)

(a);(4)若a0,則

P(|ξ|<a)=P(

a<ξ<a)=

(a)

(

a)

=

(a)

[1

(a)]=2

(a)

1

第37頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例2.5.1

設(shè)ξ~N(0,1),求

P(ξ>

1.96),P(|ξ|<1.96)=1

(

1.96)=1

(1

(1.96))=0.975(查表得)=2

(1.96)

1=0.95=

(1.96)解:

P(ξ>

1.96)P(|ξ|<1.96)=20.9751第38頁,共153頁，2024年2月25日，星期天設(shè)ξ~N(0,1),P(ξ

b)=0.9515,

P(ξ

a)=0.04947,求a,b.解:

(b)=0.9515>1/2,

所以b>0,

反查表得:

(1.66)=0.9515,

故b=1.66而

(a)=0.0495<1/2,所以a<0,

(

a)=0.9505,反查表得:

(1.65)=0.9505,

故a=

1.65例2.5.2第39頁,共153頁，2024年2月25日，星期天一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)論1

設(shè)ξ

~N(

,

2),則η

~N(0,1).結(jié)論2:

若ξ~N(

,

2),則第40頁,共153頁，2024年2月25日，星期天若ξ~N(

,

2),則

P(ξ<a)=，P(ξ>a)=

第41頁,共153頁，2024年2月25日，星期天設(shè)ξ~N(10,4),

求P(10<ξ<13),P(|ξ

10|<2).解:

P(10<ξ<13)=

(1.5)

(0)=0.9332

0.5P(|ξ

10|<2)=

P(8<ξ<12)=2

(1)

1=0.6826=0.4332例2.5.3第42頁,共153頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)ξ

~N(

,

2),P(ξ

5)=0.045,

P(ξ

3)=0.618,求

及

.例2.5.4

=1.76

=4解:

第43頁,共153頁，2024年2月25日，星期天已知ξ

~N(3,22),且P{ξ>k}=P{ξ≤k},則k=().3課堂練習(xí)(1)第44頁,共153頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)ξ

~N(

,42),η

~N(

,52),記

p1=P{ξ≤

4}，p2=P{η≥

+5},則()①對(duì)任意的

，都有p1=p2

②對(duì)任意的

，都有p1<p2

③只個(gè)別的

，才有p1=p2

④對(duì)任意的

，都有p1>p2①課堂練習(xí)(2)第45頁,共153頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)ξ

~N(

,

2),則隨

的增大，概率P{|ξ

|<

}()①單調(diào)增大②單調(diào)減少③保持不變④增減不定③課堂練習(xí)(3)第46頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例假設(shè)在設(shè)計(jì)公共汽車車門的高度時(shí)，要求男子的碰頭機(jī)會(huì)在1%以下，設(shè)男子的身高ξ(cm)服從正態(tài)分布，ξ

~N(170,36)

，問車門高度至少應(yīng)為多高?第47頁,共153頁，2024年2月25日，星期天實(shí)際背景：如果一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象是由大量微小的相互獨(dú)立的因素共同構(gòu)成，那么描述這種隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量通常被認(rèn)為服從或近似服從正態(tài)分布．

在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布。如:

測(cè)量誤差；在穩(wěn)定條件下產(chǎn)品的各種指標(biāo);

某地區(qū)人的身高、體重；大面積考試的分?jǐn)?shù)等．思考：上述隨機(jī)變量實(shí)際取值范圍并不是（-∞，+∞），但正態(tài)分布取值范圍是（-∞，+∞），矛盾嗎？？第48頁,共153頁，2024年2月25日，星期天正態(tài)分布的3

原則設(shè)ξ

~N(

,

2),則

P(|ξ

|<

)=0.6828.

P(|ξ

|<2

)=0.9545.

P(|ξ

|<3

)=0.9973.第49頁,共153頁，2024年2月25日，星期天（三）指數(shù)分布實(shí)際背景：在實(shí)踐中，如果ξ表示某一隨機(jī)事件發(fā)生所需等待的時(shí)間，則一般服從指數(shù)分布。如：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間；在某郵局等候服務(wù)的等候時(shí)間；某電子元件直到損壞所需的時(shí)間（即壽命）…第50頁,共153頁，2024年2月25日，星期天指數(shù)分布記為

ξ

~Exp(

),其中

>0.第51頁,共153頁，2024年2月25日，星期天指數(shù)分布具有無記憶性：

如果X是某一元件的壽命，已知元件已使用了s小時(shí)，它還能繼續(xù)使用至少t小時(shí)的條件概率，與從開始時(shí)算起至少能使用t小時(shí)的概率相等。即元件對(duì)它已使用過s小時(shí)無記憶。第52頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例1

機(jī)器里安裝的某種元件，已知這種元件的使用壽命ξ（年）服從參數(shù)為λ＝1/5的指數(shù)分布，1)計(jì)算一個(gè)元件使用8年后仍能正常工作的概率；2)一個(gè)元件已經(jīng)使用了3年，求它還能再使用8年的概率。第53頁,共153頁，2024年2月25日，星期天（四）埃爾蘭分布（略）第54頁,共153頁，2024年2月25日，星期天§3.2隨機(jī)向量，隨機(jī)變量的獨(dú)立性第55頁,共153頁，2024年2月25日，星期天定義3.2.1

若ξ1,ξ2是兩個(gè)定義在同一個(gè)樣本空間上的

隨機(jī)變量，則稱(ξ1,ξ2)是兩維隨機(jī)變量.

同理可定義n維隨機(jī)變量

(隨機(jī)向量).一、隨機(jī)向量及其分布第56頁,共153頁，2024年2月25日，星期天

定義3.2.2

聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)=P(ξ1<

x,ξ2<

y)為(ξ1,ξ2)的聯(lián)合分布函數(shù).

(以下僅討論兩維隨機(jī)變量)任對(duì)實(shí)數(shù)x

和y,

稱注意：F(x,y)為(ξ1,ξ2)落在點(diǎn)(x,y)的左下區(qū)域的概率.第57頁,共153頁，2024年2月25日，星期天ξ1ξ2x1x2(x1,x2)第58頁,共153頁，2024年2月25日，星期天聯(lián)合分布函數(shù)的基本性質(zhì)(1)F(x,y)關(guān)于x和y分別單調(diào)增.(2)0

F(x,y)1，且F(

,y)=F(x,

)

=0，F(xiàn)(+

,+

)=1.(3)F(x,y)關(guān)于x和y分別左連續(xù).(4)當(dāng)a<b,c<d時(shí)，有F(b,d)

F(b,c)

F(a,d)+F(a,c)0.注意：上式左邊=P(a<ξ1

b,c<ξ2

d).(單調(diào)性)(有界性)(左連續(xù)性)(非負(fù)性)第59頁,共153頁，2024年2月25日，星期天

二維離散隨機(jī)向量

聯(lián)合分布列若(ξ1,ξ2)的可能取值為有限對(duì)、或可列對(duì)，則稱(ξ1,ξ2)為二維離散隨機(jī)變量.第60頁,共153頁，2024年2月25日，星期天二維離散分布的聯(lián)合分布列稱pij

=P(ξ1=xi,ξ2=yj)，i,j=1,2,...,為(ξ1,ξ2)的聯(lián)合分布列，其表格形式如下:ξ2ξ1y1

y2…yj…x1x2…xi…

p11

p12…p1j…

p21

p22…p2j………………

pi1

pi2…pij………………第61頁,共153頁，2024年2月25日，星期天聯(lián)合分布列的基本性質(zhì)(1)pij

0,

i,j=1,2,…(2)

pij

=1.

(非負(fù)性)(正則性)第62頁,共153頁，2024年2月25日，星期天第63頁,共153頁，2024年2月25日，星期天確定聯(lián)合分布列的方法

(1)確定隨機(jī)變量(ξ1,ξ2)的所有取值數(shù)對(duì).

(2)計(jì)算取每個(gè)數(shù)值對(duì)的概率.

(3)列出表格.第64頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例

將一枚均勻的硬幣拋擲4次，ξ1表示正面向上的次數(shù)，ξ2表示反面朝上次數(shù)。求(ξ1,ξ2)的聯(lián)合分布列.ξ1ξ20413223140P(ξ1=0,ξ2=4)=P(ξ1=2,ξ2=2)==1/4=6/16

P(ξ1=3,ξ2=1)==1/4

P(ξ1=4,ξ2=0)=0.54=1/16P(ξ1=1,ξ2=3)=0.54=1/16解：概率非零的(ξ1,ξ2)可能取值對(duì)為:其對(duì)應(yīng)的概率分別為：第65頁,共153頁，2024年2月25日，星期天ξ101234ξ201234列表為：

00001/160001/40006/160001/40001/160000第66頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例

設(shè)隨機(jī)變量η

~N(0,1),解:

(ξ1,ξ2)的可能取值數(shù)對(duì)及相應(yīng)的概率如下：P(ξ1=0,ξ2=0)=P(|η|≥1,|η|≥2)=P(|η|≥2)=2

2Φ(2)=0.0455P(ξ1=0,ξ2=1)=P(|η|≥1,|η|<2)=P(1≤|η|<2)=2[Φ(2)

Φ(1)]=0.2719P(ξ1=1,ξ2=0)=P(|η|<1,|η|≥2)=0P(ξ1=1,ξ2=1)=P(|η|<1,|η|<2)=P(|η|<1)=0.6826求

的聯(lián)合分布列.第67頁,共153頁，2024年2月25日，星期天列表為：ξ1

01ξ2010.04550.271900.6826第68頁,共153頁，2024年2月25日，星期天課堂練習(xí)設(shè)隨機(jī)變量ξ

在1，2，3，4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值，另一個(gè)隨機(jī)變量η

在1到X

中等可能地取一整數(shù)值。試求（ξ,η）的聯(lián)合分布列.第69頁,共153頁，2024年2月25日，星期天設(shè)二維隨機(jī)變量(ξ,η)的分布函數(shù)為F(x,y)，若存在非負(fù)可積函數(shù)p(x,y)，使得（聯(lián)合）密度函數(shù)則稱(ξ,η)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量。稱p(x,y)為（聯(lián)合）密度函數(shù)。第70頁,共153頁，2024年2月25日，星期天聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)(1)p(x,y)

0.

(非負(fù)性)

(2)注意：(正則性)第71頁,共153頁，2024年2月25日，星期天第72頁,共153頁，2024年2月25日，星期天一、多項(xiàng)分布常用多維分布

若每次試驗(yàn)有r

種結(jié)果：A1,A2,……,Ar記P(Ai)=pi

,i=1,2,……,r記ξi

為n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中Ai

出現(xiàn)的次數(shù).則(ξ1,ξ2,……,ξr)的聯(lián)合分布列為：第73頁,共153頁，2024年2月25日，星期天二、多元超幾何分布從中任取n

只，記ξi

為取出的n

只球中，第i

種球的只數(shù).口袋中有N只球，分成r

類。第i

種球有Ni

只，N1+N2+……+Nr

=N.則(ξ1,ξ2,……,ξr)的聯(lián)合分布列為：第74頁,共153頁，2024年2月25日，星期天三、二維均勻分布若二維連續(xù)隨機(jī)變量(ξ,η)的聯(lián)合密度為：則稱(ξ,η)服從D

上的均勻分布，記為(ξ,η)

U(D).其中SD為D的面積.第75頁,共153頁，2024年2月25日，星期天四、二維正態(tài)分布若二維連續(xù)隨機(jī)變量(ξ,η)的聯(lián)合密度為：則稱(ξ,η)服從二維正態(tài)分布，記為(ξ,η)

N(

).第76頁,共153頁，2024年2月25日，星期天第77頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例若(ξ,η)～試求常數(shù)A.第78頁,共153頁，2024年2月25日，星期天解:所以,A=6=A/6第79頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例若(ξ,η)～試求P{ξ<2,η

<1}.第80頁,共153頁，2024年2月25日，星期天xy解:

P{ξ<2,η

<1}21{x<2,y<1}第81頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例若(ξ,η)～試求P{(ξ,η)

D},其中D為2x+3y≤6.第82頁,共153頁，2024年2月25日，星期天322x+3y=6xy0解:第83頁,共153頁，2024年2月25日，星期天二、邊際分布問題：已知二維隨機(jī)變量(ξ,η)的分布，如何求出ξ

和η

各自的分布？第84頁,共153頁，2024年2月25日，星期天邊際分布函數(shù)巳知(ξ,η)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則

η

F2

(y)=F(+

,y).ξ

F1

(x)=F(x,+

),第85頁,共153頁，2024年2月25日，星期天邊際分布列巳知(ξ,η)的聯(lián)合分布列為pij，則

ξ

的分布列為：

η

的分布列為：

第86頁,共153頁，2024年2月25日，星期天ξη第87頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例:

袋中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，從袋中（1）有放回地；（2）無放回地；取兩次球，每次取一個(gè)，令

01P{η=j}09/256/253/516/254/252/5P{ξ=i}3/52/51解:(1)有放回地取球ξη(2)無放回地取球

01P{η=j}06/206/203/516/202/202/5P{ξ=i}3/52/51ξη第88頁,共153頁，2024年2月25日，星期天邊際分布密度函數(shù)巳知(ξ,η)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)，則

ξ

的密度函數(shù)為：

η

的密度函數(shù)為：

第89頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例

設(shè)(ξ,η)服從區(qū)域D={(x,y),x2+y2<1}

上的均勻分布，求ξ

的邊際密度p1(x).解:

由題意得xy-11當(dāng)|x|>1時(shí)，p(x,y)=0，所以p1(x)=0當(dāng)|x|≤1時(shí),不是均勻分布第90頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例、設(shè)(ξ,η)

N(

).

求ξ的邊際分布密度函數(shù)第91頁,共153頁，2024年2月25日，星期天二維正態(tài)分布的邊際分布是一維正態(tài)：若(ξ,η)

N(

)，注意點(diǎn)

則ξ

N(

)，

η

N(

).二維均勻分布的邊際分布不一定是一維均勻分布.第92頁,共153頁，2024年2月25日，星期天三、條件分布對(duì)二維隨機(jī)變量(ξ,η),

在給定η取某個(gè)值的條件下,ξ的分布;

在給定ξ取某個(gè)值的條件下,η的分布.第93頁,共153頁，2024年2月25日，星期天——已知一個(gè)r.v.取定的條件下，另一個(gè)r.v.的分布一、條件分布函數(shù)

---在η=y條件下ξ

的條件分布函數(shù)---在ξ=x條件下η

的條件分布函數(shù)第94頁,共153頁，2024年2月25日，星期天二、離散型：條件分布律定義：若

若

第95頁,共153頁，2024年2月25日，星期天1.P{ξ=xi|η=yj}≥0;2.證：性質(zhì)：非負(fù)性、規(guī)范性第96頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例:

袋中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，從袋中（1）有放回地；（2）無放回地；取二次球，每次取一個(gè)，令

01P{η=j}09/256/253/516/254/252/5P{ξ=i}3/52/51解:(1)有放回地取球ξη(2)無放回地取球

01P{η=j}06/206/203/516/202/202/5P{ξ=i}3/52/51ξη第97頁,共153頁，2024年2月25日，星期天

0123

012

0.8400.0300.0200.0100.0600.0100.0080.0020.0100.0050.0040.0010.9000.0800.0200.9100.0450.0320.0011.0001、求給定條件下，的條件分布列

2、求給定條件下，的條件分布列例題第98頁,共153頁，2024年2月25日，星期天定義當(dāng)---在ξ=x條件下η

的條件概率密度當(dāng)---在η=y條件下ξ

的條件概率密度三、連續(xù)型：條件概率密度第99頁,共153頁，2024年2月25日，星期天第100頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)服從單位圓域上的均勻分布,求第101頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例、設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求條件概率(1)

(2)第102頁,共153頁，2024年2月25日，星期天

若滿足以下之一:i)F(x,y)=F1(x)F2(y)ii)p(xi,yj)=p1(xi)

p2(yj)iii)p(x,y)=p1(x)p2(y)

則稱ξ

與η

是獨(dú)立的，四、

隨機(jī)變量的獨(dú)立性第103頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例

(ξ,η)的聯(lián)合分布列為:ξ01η01

0.30.40.20.1問ξ與η

是否獨(dú)立？解:

邊際分布列分別為:ξ01P0.70.3η01P0.50.5因?yàn)樗圆华?dú)立第104頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例:

袋中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，從袋中（1）有放回地；（2）無放回地；取二次球，每次取一個(gè)，令

01P{η=j}09/256/253/516/254/252/5P{ξ=i}3/52/51解:(1)有放回地取球ξη(2)無放回地取球

01P{η=j}06/206/203/516/202/202/5P{ξ=i}3/52/51ξη第105頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例已知(ξ,η)的聯(lián)合密度為

問ξ

與η

是否獨(dú)立？所以ξ

與η

獨(dú)立。注意：p(x,y)可分離變量.解:邊際分布密度分別為:所以ξ

與η

獨(dú)立。注意：p(x,y)可分離變量.第106頁,共153頁，2024年2月25日，星期天所以ξ

與η

不獨(dú)立。注意：p(x,y)不可分離變量.第107頁,共153頁，2024年2月25日，星期天注意點(diǎn)

(2)若聯(lián)合密度p(x,y)可分離變量，即

p(x,y)=g(x)h(y)

則ξ與η

獨(dú)立。

(3)若(ξ,η)服從二元正態(tài)N(

)

則ξ與η

獨(dú)立的充要條件是r=0.

(1)聯(lián)合密度p(x,y)的表達(dá)式中，若x

的取值與y

的取值有關(guān)系，則ξ與η

不獨(dú)立.第108頁,共153頁，2024年2月25日，星期天§3.3

隨機(jī)變量的函數(shù)及其分布問題2：已知二維隨機(jī)變量(ξ,η)的分布，如何求出ζ=g(ξ,η)的分布？問題1：已知一維隨機(jī)變量ξ的分布，如何求出ζ=g(ξ)的分布？第109頁,共153頁，2024年2月25日，星期天一、Borel函數(shù)與隨機(jī)變量的函數(shù)定義3.3.1設(shè)y=g(x)是R到R上的一個(gè)映射，若對(duì)于一切R中的Borel點(diǎn)集B1均有{x:g(x)∈B1}∈B1則稱g(x)是一元Borel可測(cè)函數(shù)。注：我們感興趣的函數(shù)一般是Borel可測(cè)函數(shù)第110頁,共153頁，2024年2月25日，星期天多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布是容易求的：

i)對(duì)(ξ1,ξ2,……,ξn)的各種可能取值對(duì)，寫出η

相應(yīng)的取值.

ii)對(duì)η的相同的取值，合并其對(duì)應(yīng)的概率.η=g(ξ1,ξ2,…,ξn),第111頁,共153頁，2024年2月25日，星期天如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可.則

η=g(ξ)～一般，若ξ是離散型r.v，ξ的分布律為ξ～第112頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)ξ則η=2ξ+3的分布列為：～η～再如：ξ～則η=ξ2

的分布律為：第113頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例、設(shè)(ξ,η)的聯(lián)合分布律為ξη-12-1125/203/202/203/206/201/20求，Z1=ξη,Z2=min(ξ,η)的分布律(一)、離散的情形第114頁,共153頁，2024年2月25日，星期天=a0br+a1br-1+…+arb0

由獨(dú)立性此即離散型卷積公式r=0,1,2,…例若ξ、η獨(dú)立，P(ξ=k)=ak,k=0,1,2,…,P(η=k)=bk,k=0,1,2,…,求ζ=ξ+η的分布律.解:第115頁,共153頁，2024年2月25日，星期天課堂練習(xí)若ξ和η相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為的泊松分布.第116頁,共153頁，2024年2月25日，星期天二、單個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布解：設(shè)η的分布函數(shù)為Fη(y)，例1設(shè)ξ~求η=2ξ+8的概率密度.Fη(y)=P{ηy}=P(2ξ+8y)=P{ξ}=Fξ()于是η的密度函數(shù)第117頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例2先求η的分布函數(shù)第118頁,共153頁，2024年2月25日，星期天結(jié)論：

設(shè)第119頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例

設(shè)隨機(jī)變量ξ服從，求η=aξ+b(a≠0)也服從正態(tài)分布.這個(gè)結(jié)論很重要?。≌f明正態(tài)分布對(duì)線性變換具有不變性所以，Y~N(aμ+b,a2σ2)第120頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例，設(shè)X~N(20,32)則Y=-2X-10~N(-50,62)例、X~N(0,32)則-X~N(0,32)注意：X與-X是不同隨機(jī)變量，但他們分布相同，即同分布。第121頁,共153頁，2024年2月25日，星期天課堂練習(xí)

設(shè)隨機(jī)變量ξ在(0,1)上服從均勻分布，求η=-2lnξ的概率密度.第122頁,共153頁，2024年2月25日，星期天求η=sinξ的概率密度.課堂練習(xí)

設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率密度為第123頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例設(shè)

ξ

具有概率密度,求η=ξ2的概率密度.求導(dǎo)可得當(dāng)y≥0時(shí),

注意到η=ξ2≥0，故當(dāng)y<0時(shí)，解：設(shè)η和ξ的分布函數(shù)分別為和

，第124頁,共153頁，2024年2月25日，星期天例

已知隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)F(x)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明η=F(ξ)服從[0,1]上的均勻分布.本例的結(jié)論在計(jì)算機(jī)模擬中有重要的應(yīng)用.第125頁,共153頁，2024年2月25日，星期天

三、隨機(jī)向量的函數(shù)的分布律我們先討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題，然后將其推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形.當(dāng)隨機(jī)變量ξ1,ξ2,…,ξn的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)

ηi=gi(ξ1,ξ2,…,ξn),i=1,2,…,m的聯(lián)合分布?

四、隨機(jī)向量的變換第126頁,共153頁，2024年2月25日，星期天1、M=max(ξ,η)及N=min(ξ,η)的分布設(shè)ξ，η是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為Fξ(x)和Fη(y),我們來求M=max(ξ,η)及N=min(ξ,η)的分布函數(shù).連續(xù)的情形第127頁,共153頁，2024年2月25日，星期天又由于ξ和η

相互獨(dú)立,于是得到M=max(ξ,η)的分布函數(shù)為:即有FM(z)=Fξ(z)Fη(z)FM(z)=P(M<z)=P(ξ<z)P(η<z)=P(ξ<z,η<z)

由于M=max(ξ,η)不大于z等價(jià)于ξ和η都不大于z，故有分析：P(M<z)=P(ξ<z,η<z)第128頁,共153頁，2024年2月25日，星期天

類似地，可得N=min(ξ,η)的分布函數(shù)是下面進(jìn)行推廣

即有FN(z)=1-[1-Fξ(z)][1-Fη(z)]=1-P(ξ≥

z,η≥

z)FN(z)=P(N<z)=1-P(N≥z)=1-P(ξ≥

z)P(η≥

z)第129頁,共153頁，2024年2月25日，星期天設(shè)ξ1,…,ξn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為

我們來求M=max(ξ1,…,ξn)和N=min(ξ1,…,ξn)的分布函數(shù).(i=0,1，…,n)第130頁,共153頁，2024年2月25日，星期天用與二維時(shí)完全類似的方法，可得特別，當(dāng)ξ1,…,ξn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有N=min(ξ1,…,ξn)的分布函數(shù)是

M=max(ξ1,…,ξn)的分布函數(shù)為:FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n……第131頁,共153頁，2024年2月25日，星期天需要指出的是，當(dāng)ξ1,…,ξn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí),常稱M=max(ξ1,…,ξn)，N=min(ξ1,…,ξn)為極值.由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實(shí)用價(jià)值.第132頁,共153頁，2024年2月25日，星期天

如圖所示.設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1,L2聯(lián)接而成,聯(lián)接的方式分別為:(1)串聯(lián).(2)并聯(lián).

例第133頁,共153頁，2024年2月25日，星期天解:

設(shè)L1,L2的壽命分別為ξ，η.其概率密度函數(shù)分別為:

其中

>0,

>0,且

≠

.

分