里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)建模

2016年里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜預(yù)測(cè)摘要如今，奧運(yùn)會(huì)已成了一個(gè)普天同慶的節(jié)日，越來(lái)越多的國(guó)家參與其中，它不但是各個(gè)國(guó)家的盛典，而且代表了一個(gè)國(guó)家的綜合國(guó)力。2016年的里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會(huì)即將來(lái)臨，而大家對(duì)奧運(yùn)獎(jiǎng)牌榜也充滿(mǎn)了好奇。本文將對(duì)2016年的奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜的前十名進(jìn)行一個(gè)預(yù)測(cè)。本文研究獎(jiǎng)牌榜所采用的模型是灰色預(yù)測(cè)模型。針對(duì)問(wèn)題（一）通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行一個(gè)編排，對(duì)金牌、銀牌、銅牌進(jìn)行賦權(quán)，權(quán)值分別為4分、2分、1分，然后采用灰色系統(tǒng)GM（1,1）累加生成的模型，列出相應(yīng)的微分方程，在運(yùn)用最小二乘法求解得灰系數(shù)，帶入到微分方程中，再運(yùn)用MATLAB進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，還原數(shù)據(jù)，得出模擬的序列，進(jìn)行預(yù)測(cè)。最終求得2016年里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜的前十名分別是美國(guó)、中國(guó)、俄羅斯、英國(guó)、德國(guó)、澳大利亞、法國(guó)、韓國(guó)、意大利、日本。然后對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，還要考慮到各國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、人口體質(zhì)、政府政策、以及東道主效應(yīng)對(duì)結(jié)果的影響，加入修正項(xiàng)，最終得到2016年獎(jiǎng)牌榜的前十名為。針對(duì)問(wèn)題（二）根據(jù)我們的最終結(jié)果對(duì)各國(guó)的體育水平進(jìn)行一個(gè)分類(lèi)。關(guān)鍵詞：灰色預(yù)測(cè)最小二乘法東道主效應(yīng)MATLAB一問(wèn)題重述奧運(yùn)會(huì)是競(jìng)技體育頂級(jí)盛會(huì)，其所獲獎(jiǎng)牌數(shù)及國(guó)家排名不僅僅是一個(gè)國(guó)家體育水平的反應(yīng)，也是國(guó)家經(jīng)濟(jì)、政治和綜合實(shí)力的具體體現(xiàn)。明年第31屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2016年8月5日-21日在巴西的里約熱內(nèi)盧舉行(以下簡(jiǎn)稱(chēng)里約奧運(yùn)會(huì))，對(duì)于即將舉行的里約奧運(yùn)會(huì)，大家普遍關(guān)心的就是奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜的排名這一奧運(yùn)熱點(diǎn)問(wèn)題?，F(xiàn)請(qǐng)查閱資料，并根據(jù)以往各國(guó)獎(jiǎng)牌榜排名情況，以及各國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、人口體質(zhì)、政府政策等各種能影響到獎(jiǎng)牌榜的因素，建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)二問(wèn)題分析針對(duì)問(wèn)題（一） 本文就2016年里約奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜這一問(wèn)題進(jìn)行分析，采用灰色模型GM（1,1）來(lái)對(duì)2016奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜進(jìn)行預(yù)測(cè)，首先制定一個(gè)評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)來(lái)將所獲獎(jiǎng)牌折合成積分?jǐn)?shù)值，從而實(shí)現(xiàn)從模擬到數(shù)字的量化過(guò)程。再用灰色預(yù)測(cè)的方法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行探討與分析。緊接著，用MATLAB編程求出結(jié)果。然后使用經(jīng)濟(jì)分析的方法，對(duì)收入（GDP）和人口體質(zhì)建立數(shù)學(xué)模型。綜合考慮東道主效應(yīng)、政府政策等各種可能影響到獎(jiǎng)牌榜的因素，從而使得結(jié)果更接近實(shí)際情況。最終得到里約奧運(yùn)會(huì)前十名依次為美國(guó)、中國(guó)、俄羅斯、英國(guó)、德國(guó)、澳大利亞、法國(guó)、韓國(guó)、意大利、日本。針對(duì)問(wèn)題（二） 我們將各國(guó)體育水平分為四類(lèi)，分別為：一個(gè)一等國(guó)家，兩個(gè)二等國(guó)家，三個(gè)三等國(guó)家，四個(gè)四等國(guó)家。三模型假設(shè)1、假設(shè)各國(guó)體育實(shí)力沒(méi)有較大的變化。2、假設(shè)蘇聯(lián)解體前參加的奧運(yùn)會(huì)記錄記為俄羅斯記錄。3、假設(shè)奧運(yùn)會(huì)如期舉行，不會(huì)被天氣、戰(zhàn)亂等因素影響各國(guó)所得獎(jiǎng)牌情況。4、假設(shè)奧運(yùn)會(huì)各項(xiàng)比賽規(guī)則及設(shè)置不變。5、假設(shè)各國(guó)奧運(yùn)會(huì)得獎(jiǎng)牌情況至于前幾屆得獎(jiǎng)牌情況有關(guān)。6、假設(shè)參賽人員都發(fā)揮正常。四符號(hào)說(shuō)明發(fā)展系數(shù)灰色作用量灰參數(shù)GDP國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值U灰色作用量五模型建立5.1賽況評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)的制定 根據(jù)對(duì)第25到30屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜數(shù)據(jù)來(lái)源的分析，選取每屆出現(xiàn)在獎(jiǎng)牌榜前15名的國(guó)家進(jìn)行測(cè)評(píng)。 奧運(yùn)會(huì)在當(dāng)今社會(huì)已不僅僅是一個(gè)體育競(jìng)技賽事，它更是一個(gè)國(guó)家的政治、經(jīng)濟(jì)以及文化底蘊(yùn)的重要體現(xiàn)。于是制定一個(gè)奧運(yùn)排名評(píng)判準(zhǔn)則就顯得尤為重要。實(shí)際上，奧委會(huì)并未給出任何官方的國(guó)家排名情況，但各個(gè)國(guó)家有著各自不同的排名系統(tǒng)。而此次我們所所采用的排名方式為按積分排列方式。其規(guī)定如下：金牌=4分，銀牌=2分，銅牌=1分。 按積分排列方式可以將所得獎(jiǎng)牌情況量化為更為直觀的數(shù)字，有助于我們更為直觀地進(jìn)行分析比較，最終得出更為人性化、合理化的結(jié)果。5.2原始數(shù)據(jù)整理選取第25到30屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜做情況的分析，運(yùn)用excel依次選取出每屆出現(xiàn)在獎(jiǎng)牌榜前15名的國(guó)家進(jìn)行分析，以出現(xiàn)在榜單中的次數(shù)為主要依據(jù)選取出綜合較強(qiáng)的16個(gè)國(guó)家，做進(jìn)一步分析。5.2GM（1，1針對(duì)問(wèn)題（一） 灰色系統(tǒng)理論是基于關(guān)聯(lián)空間、光滑離散函數(shù)等概念定義灰導(dǎo)數(shù)與灰微分方程，進(jìn)而用離散數(shù)據(jù)列建立微分方程形式的動(dòng)態(tài)模型，即含已知信息又含未知信息的理論體系。月就是說(shuō)灰色模型是利用離散隨機(jī)數(shù)經(jīng)過(guò)生成變?yōu)殡S機(jī)性被顯著削弱而且較有規(guī)律的生成數(shù)，建立起的微分方程形式的模型。這有利于對(duì)其變化過(guò)程進(jìn)行研究與描述，確定系統(tǒng)在未來(lái)的發(fā)展變化趨勢(shì)，進(jìn)而解決問(wèn)題。 在灰色預(yù)測(cè)模型中，隨機(jī)性被弱化，確定性增強(qiáng)，在深層次的求解中生成函數(shù)，據(jù)此建立一階微分方程為其預(yù)測(cè)模型。 假設(shè)有原始數(shù)據(jù)列，n為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。 在此我們依據(jù)數(shù)據(jù)建立GM（1,1）實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)功能，具體步驟如此下： （1）記為生成數(shù)列： ； 其中，中個(gè)數(shù)據(jù)表示對(duì)前吉祥數(shù)據(jù)的累加。 t=1,2,3,…,n（1-1） （2）對(duì)建立的一階線性微分方程： （1-2） 其中，a,b為待定系數(shù)，分別為發(fā)展系數(shù)和灰色作用量，a的區(qū)間為（-2,2），記a，b組成的矩陣為。求出參數(shù)a，b，就能求出，進(jìn)而求出的預(yù)測(cè)值。（3）對(duì)累加生成數(shù)據(jù)做均值生成B與常數(shù)項(xiàng)向量，即，（1-3）（4）用最小二乘法，通過(guò)最小誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)函數(shù)的最佳匹配求解灰參數(shù),(1-4)(5)將灰色參數(shù)代入進(jìn)行求解，得：（1-5）其中是一個(gè)近似的表達(dá)式。（6）對(duì)函數(shù)表達(dá)式及進(jìn)行離散，并將兩者做差以還原原序列，得到近似數(shù)據(jù)序列（1-6）（7）利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)：（1-7）5.3數(shù)據(jù)處理及預(yù)測(cè) 對(duì)于較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算，我們采用程序的算法來(lái)求得結(jié)果。 首先我們查找一些可靠的數(shù)據(jù)。由于若選擇年限太久則變化太大，我們并不能從中更為精確地計(jì)算出獎(jiǎng)牌榜預(yù)測(cè)情況，所以在進(jìn)行對(duì)里約奧運(yùn)會(huì)的獎(jiǎng)牌榜預(yù)測(cè)時(shí)，我們選擇近六屆奧運(yùn)獎(jiǎng)牌榜獲獎(jiǎng)成績(jī)前十五的國(guó)家獲獎(jiǎng)積分成績(jī)排名作為參考依據(jù)。具體數(shù)據(jù)如附錄1所示，從表中我們可以清楚地得知各國(guó)所獲得的獎(jiǎng)牌情況。 表1在近6屆奧運(yùn)會(huì)中獎(jiǎng)牌榜積分排名前十六位國(guó)家加權(quán)積分情況綜合積分25屆26屆27屆28屆29屆30屆美國(guó)253265239247274271中國(guó)124120159176274228俄羅斯285162212200162179英國(guó)38267166117169德國(guó)2021431161069996澳大利亞577713111610372法國(guó)588991757778韓國(guó)428481736261意大利706361698075日本392941945873古巴796073614132匈牙利754647472445西班牙683823394336羅馬尼亞363965481720烏克蘭-5242555343荷蘭273670444244對(duì)表1數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可知，以頻率分布為篩選條件選出在近六屆奧運(yùn)會(huì)中獎(jiǎng)牌榜出現(xiàn)次數(shù)最多的十六個(gè)國(guó)家進(jìn)行分析。我們通過(guò)對(duì)近六屆美國(guó)、中國(guó)、俄羅斯、英國(guó)、德國(guó)、澳大利亞、法國(guó)、韓國(guó)、意大利、日本、古巴、匈牙利、西班牙、羅馬尼亞、烏克蘭、荷蘭十六個(gè)國(guó)家獎(jiǎng)牌榜排名情況進(jìn)行分析便可預(yù)測(cè)他們?cè)?016年里約奧運(yùn)會(huì)的獎(jiǎng)牌榜排位情況，在無(wú)重大影響因素的條件下即可預(yù)測(cè)出前十名的國(guó)家排名。在此次數(shù)據(jù)處理中，我們采用MATLAB進(jìn)行程序的編寫(xiě)，依據(jù)十六個(gè)國(guó)家近六屆奧運(yùn)會(huì)中獎(jiǎng)牌榜積分情況來(lái)對(duì)2016年里約奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜進(jìn)行一個(gè)預(yù)測(cè)。具體程序見(jiàn)附錄2。經(jīng)MATLAB運(yùn)算可得結(jié)果如下所示：1.美國(guó)2.中國(guó)3.俄羅斯4.英國(guó)5.德國(guó)6.澳大利亞7.法國(guó)8.意大利9.韓國(guó)10.日本11.古巴12.匈牙利13.西班牙14.羅馬利亞15.烏克蘭16.荷蘭經(jīng)數(shù)據(jù)處理，我們得出結(jié)果為：中國(guó)、美國(guó)、英國(guó)、俄羅斯、日本、澳大利亞、意大利、德國(guó)、法國(guó)、韓國(guó)如表2所示。表22016年里約奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜預(yù)測(cè)前十名國(guó)家排名情況國(guó)家中國(guó)美國(guó)英國(guó)俄羅斯日本澳大利亞意大利德國(guó)法國(guó)韓國(guó)預(yù)測(cè)積分304.5795273.9565241.8781178.481792.126490.512783.329781.14171.547354.67725.4結(jié)果的檢測(cè)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化分析：按照數(shù)學(xué)模型的求解，我們可以得到各國(guó)從第二十六屆奧運(yùn)會(huì)到三十一屆奧運(yùn)會(huì)的各屆預(yù)測(cè)積分和世紀(jì)積分，將這兩個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，會(huì)發(fā)現(xiàn)存在著一定的誤差，對(duì)比做出誤差分析表格，如表3所示：表3實(shí)際積分和預(yù)測(cè)積分二者誤差分析國(guó)家美國(guó)中國(guó)俄羅斯德國(guó)英國(guó)澳大利亞法國(guó)韓國(guó)誤差3.59%8.67%8.15%14.30%3.68%18.28%3.55%2.45%國(guó)家意大利日本古巴匈牙利西班牙羅馬尼亞烏克蘭荷蘭誤差3.73%39.65%13.38%21.62%15.44%28.85%8.67%14.74%從對(duì)比表中我們可以發(fā)現(xiàn)，我們的模型存在著一定的誤差，而這種誤差是不可忽略的，這是因?yàn)槲覀冎皇峭ㄟ^(guò)對(duì)以往各國(guó)的獎(jiǎng)牌榜情況的分析而進(jìn)行預(yù)測(cè)，而忽略了各國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、人口體質(zhì)、政府政策等各種能影響到獎(jiǎng)牌的因素，因此我們應(yīng)該加入一些修正項(xiàng)，由近六屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜可知，第25屆西班牙奧運(yùn)會(huì)，西班牙獎(jiǎng)牌榜排名為我們所研究六屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜中名次最為靠前的一次；第26屆美國(guó)奧運(yùn)會(huì)，美國(guó)所獲獎(jiǎng)牌數(shù)遠(yuǎn)超第二名；第27屆澳大利亞奧運(yùn)會(huì)，澳大利亞所取得的成績(jī)?yōu)榻鶎米詈?；?8屆希臘奧運(yùn)會(huì)，希臘在近六屆奧運(yùn)會(huì)中唯一一次進(jìn)入獎(jiǎng)牌榜前十五名；第29中國(guó)屆奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)首次登頂為奧運(yùn)獎(jiǎng)牌榜首位；第30屆英國(guó)奧運(yùn)會(huì)，英國(guó)也獲得了近六屆最好成績(jī)。由此可以很明顯地看出，奧運(yùn)會(huì)的東道主效應(yīng)十分明顯。通過(guò)定量計(jì)算我們得出歷屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜東道主效應(yīng)值為0.113。在用灰色理論建立模型前，我們先考慮東道主效應(yīng)，預(yù)測(cè)實(shí)際值將會(huì)與計(jì)算至產(chǎn)生偏差，因此應(yīng)該消除東道主效應(yīng)所產(chǎn)生的偏差，取得一個(gè)平均水平上的值。東道主國(guó)家實(shí)際獲獎(jiǎng)牌數(shù)比理論值增加11.3%。所以（其中x為實(shí)際值，因?yàn)轭A(yù)測(cè)值）。但由于在近六屆奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜中巴西從未進(jìn)入過(guò)前十五位，所以我們不考慮巴西由于東道主效應(yīng)而進(jìn)入獎(jiǎng)牌榜排名前十名這種情況。人口數(shù)量因素分析： 假定擅長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)的人平均分布于世界各地，則人口基數(shù)多的國(guó)家會(huì)獲得更加有意的成績(jī)，那么中國(guó)、印度、印度尼西亞、孟加拉非等國(guó)家應(yīng)該位列前茅，但事實(shí)并非如此。國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展因素分析： 通過(guò)對(duì)查找的數(shù)據(jù)（見(jiàn)附錄1）進(jìn)行分析我們發(fā)現(xiàn)奧運(yùn)獎(jiǎng)牌榜的排名情況與國(guó)家GDP有著較為密切的關(guān)系。通過(guò)下列圓餅圖（下面我們選取近兩屆奧運(yùn)會(huì)舉辦年度的數(shù)據(jù)，其他數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄2）我們可以更為清晰地看出一個(gè)國(guó)家的GDP排名越為靠前則其獎(jiǎng)牌榜排名也會(huì)位居前列。2008年奧運(yùn)會(huì)獎(jiǎng)牌榜積分匯總圖