2019中考數(shù)學(xué)真題分類匯編 圓的基本性質(zhì) 含解析

圓的基本性質(zhì)

一、選擇題

1.（2019?嘉興）如圖，已知。。上三點(diǎn)4B,C,半徑OC=LZABC^30°,切線必交"延長(zhǎng)線于點(diǎn)

P,則PA的長(zhǎng)為（

A.2B.MC.V2D-1

2.（2019?杭州）如圖，P為。。外一點(diǎn)，PA、PB分別切。。于A、B兩點(diǎn)，若PA=3,則PB二

（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2019?煙臺(tái)）如圖，A8是。的直徑，直線。E與。相切于點(diǎn)C,過點(diǎn)A,8分別作

BELDE,垂足為點(diǎn)。，E,連接AC,BC.若AD=出,CE=3,則AC的長(zhǎng)為（）.

A..與

4.（2019?威海）

如圖，。尸與x軸交與點(diǎn)A（—5,0）,B（1,0）,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,若

ZACB=60°,則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為

A.V13+>/3B.2A/2+A/3C.48D.2a+2

5.（2019?青島）如圈，結(jié)段A2經(jīng)過。。的圓心，AC30分別與。。相切于點(diǎn)D若AC=BO=4,

NA=45°,則圓弧CD的長(zhǎng)度為

及/

B.2JTC.2

6.（2019?益陽(yáng)）如圖，PA、PB為圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B,PO交AB于點(diǎn)C,PO的延長(zhǎng)線交

圓O于點(diǎn)D,下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.PA=PBB.ZBPD=ZAPDC.AB±PDD.AB平分PD

A

第9題圖

7.（2019?黃岡）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋB）,點(diǎn)。是這段弧所在圓的圓心，AB=40〃z,

點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，且C￡）=10m.則這段彎路所在圓的半徑為（）

A.25mB.24mC.30mD.60m

8.（2019?隴南）如圖，點(diǎn)A,B,S在圓上，若弦A8的長(zhǎng)度等于圓半徑的加倍，則NASB的度數(shù)是（）

A

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

9.（2019?濱州）如圖，A5為。。的直徑，為。。上兩點(diǎn)，若N5CD=40°,則NA5。的大小為（

C.40°D.20°

10.（2019?聊城）如圖,BC是半圓O的直徑,D,E是BC上兩點(diǎn)，連接BD,CE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)A,連接ODQE,如

果NA=70°,那么NDOE的度數(shù)為

A.35°B.38°C.40°D.42°

IL（2019?濰坊）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。O,A3為直徑，AD=CD.過點(diǎn)。作。E_LAB于點(diǎn)連

3

接AC交。E于點(diǎn)？若sinNCAB=丁DF=5,則BC的長(zhǎng)為（）

A.8B.10C.12D.16

12.（2019?涼山）下列命題：①直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離；②兩點(diǎn)之間線段

最短；③相等的圓心角所對(duì)的弧相等；④平分弦的直徑垂直于弦.其中，真命題的個(gè)數(shù)（▲）

A.1B.2C.3D.4

13.（2019?眉山）如圖，的直徑AB垂直于弦CD垂足是點(diǎn)E,ZCAO=22.5°,OC=6,

則CD的長(zhǎng)為

14.（2019衢州）一塊圓形宣傳標(biāo)志牌如圖所示，點(diǎn)A,B,C在。O上,CD垂直平分AB于點(diǎn)D.現(xiàn)測(cè)得AB=8dm,

DC=2dm,則圓形標(biāo)志牌的半徑為（A）

A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm

15.（2019?泰安）如圖,Z\ABC是O的內(nèi)接三角形,/A=119°,過點(diǎn)C的圓的切線交BO于點(diǎn)P,則/P的

度數(shù)為

A.320B.310C.29°D.610

二、填空題

16.（2019?嘉興）如圖，已知。。上三點(diǎn)4B,C,半徑%=1,ZABC=3Q°,切線融交/延長(zhǎng)線于點(diǎn)

P,則PA的長(zhǎng)為（）

1

c.V2D.

2

17.（2019?杭州）如圖，P為。。外一點(diǎn)，PA、PB分別切。。于A、B兩點(diǎn)，若PA=3,貝ijPB=

18.（2019?煙臺(tái)）如圖，是。的直徑，直線DE與。相切于點(diǎn)C,過點(diǎn)A,B分別作

BE工DE,垂足為點(diǎn)DE,連接AC,BC.若AD=也,CE=3,則AC的長(zhǎng)為（

A.平B,與c凡D."

33

第12題答圖

19.（2019嘍底）如圖（9）,C、D兩點(diǎn)在以AB為直徑的圓上,AB=2,/ACD=30°,則AD

圖（9）

20.（2019?衡陽(yáng)）已知圓的半徑是6,則圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)是.

21.（2019?安徽）如圖，Z\ABC內(nèi)接于。O,ZCAB=30°，ZCBA=45°,CD_LAB于點(diǎn)D,若。。的

半徑為2,則CD的長(zhǎng)為.

22.（2019?株洲）如圖所示，AB為。O的直徑，點(diǎn)C在。。上，＞OCXAB,過點(diǎn)C的弦CD與線段

OB相交于點(diǎn)E,滿足NAEC=65。，連接AD,則/BAD=度.

第16題

23.（2019?涼山州）如圖所示，是。。的直徑，弦于H,ZA=30°,CD=2有,則。。的

半徑是

c

AB

H

D

24.（2019?泰州）如圖,。O的半徑為5,點(diǎn)P在。O上，點(diǎn)A在。O內(nèi)，且AP=3,過點(diǎn)A作AP的垂線交于。O

點(diǎn)、B、C設(shè)PB=x,PC=y,JJ!!jy與x的函數(shù)表達(dá)式為.

第16題圖

25.（2019?嘉興）如圖，在。。中，弦/夕=1,點(diǎn)。在Z6上移動(dòng)，連結(jié)％,過點(diǎn)。作⑦，冗交。。于點(diǎn)

D,則切的最大值為.

26.（2019?鹽城）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在。。上，且弧A3為50。，則NE+NC=

三、解答題

27.（2019浙江省溫州市，22,10分）（本題滿分10分）

如圖，在AABC中，NBAC=90°,點(diǎn)E在BC邊上，且CA=CE,過A,C,E三點(diǎn)的。。交AB于另一點(diǎn)F,

作直徑AD,連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G,連結(jié)CD,CF.

（1）求證：四邊形DCFG是平行四邊形；

3

（2）當(dāng)BE=4,CD=—AB時(shí)，求。。的直徑長(zhǎng).

8

28.（2019年浙江省紹興市，第21題，10分）在屏幕上有如下內(nèi)容：

如圖，△ABC內(nèi)接于圓O,直徑AB的長(zhǎng)為2,過點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解答0

（1）在屏幕內(nèi)容中添加條件ND=30。，求AD的長(zhǎng)，請(qǐng)你解答.

（2）以下是小明，小聰?shù)膶?duì)話：

）卜［小聽，牛

17吁小加彳必*出J.人。a的發(fā)

小切的條件4’的￡/4=30?.逆.

小星?體這徉大一單了.「R占公干.

參考此對(duì)話，在屏幕內(nèi)容中添加條件，編制一道題目（可以添線、添字母），并解答.

29.（2019江蘇鹽城卷，24,10）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，以CD為

直徑的。。分別交AC、BC于點(diǎn)M.N,過點(diǎn)N作垂足為E.

R

D

⑴若°。的半徑為I‘4=6,求'的長(zhǎng),第24期圖

（2）求證：NE與。O相切.

30.（2019?山西）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

萊昂哈德?歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式

和定理，下面就是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理:在4ABC中,R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,O和I分別為其外

心和內(nèi)心，則OI2=R2-2Rr.

B

如圖l,?0和。I分別是4ABC的外接圓和內(nèi)切圓,?I與AB相切于點(diǎn)F,設(shè)OO的半徑為R,?I的半徑為

r,外心0（三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點(diǎn)）之間的距離0I=d，則有

cf2=R2-2Rr.

下面是該定理的證明過程（部分）：

延長(zhǎng)AI交OO于點(diǎn)D,過點(diǎn)I作?O的直徑MN,連接DM,AN.

VZD=ZN,ZDMI=ZNAI（同弧所對(duì)的圓周角相等），

.?.△MDI^AANLA—=—IA7IDIM1IN.①

IAIN

如圖2,在圖1（隱去MD,AN）的基礎(chǔ)上作G>O的直徑DE,連接BE,BD,BI,IF.

：DE是。O的直徑,.?.NDBE=90°與AB相切于點(diǎn)F,.\ZAFI=90°ZDBE=ZIFA.

VZBAD=ZE（同弧所對(duì)的圓周角相等）,.\AAIF^AEDB.

：.生=里IA?BDDE1IF.②

DEBD

任務(wù)：

（1）觀察發(fā)現(xiàn):IM=R+r,IN=（用含R,d的代數(shù)式表示）；

（2）請(qǐng)判斷BD和ID的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；

（3）請(qǐng)觀察式子①和式子②，并利用任務(wù)（1）,（2）的結(jié)論，按照上面的證明思路，完成該定理證明的剩余

部分；

（4）應(yīng)用:若4ABC的外接圓的半徑為5cm,內(nèi)切圓的半徑為2cm,則4ABC的外心與內(nèi)心之間的距離為

cm

AEA

DD

圖1圖2

第21題圖

31.（2019?天津）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，AABC的頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，B是小正

方形邊的中點(diǎn)，ZABC=50°,ZBAC=30°,經(jīng)過點(diǎn)A,B的圓的圓心在邊AC上，

（1）線段AB的長(zhǎng)等于二

（2）請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出一個(gè)點(diǎn)P,使其滿足NPAC=NPBC=/PCB,并簡(jiǎn)

要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不需要證明）

32.（2019?湖州）已知一條弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)為15°,則它所對(duì)的圓心角的度數(shù)是

4.（2019?臺(tái)州）如圖,AC是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一條對(duì)角線，點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E在邊BC上，連接

AE,若/ABC=64°,則NBAE的度數(shù)為.

C

D

33.(2019?蘇州，26,12)如圖，48為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，。是弧的中點(diǎn)，8c與A。、

,1

分別交于點(diǎn)E、F.(1)求證：DO//AC；(2)求證：DE-DA=DC■；(3)若tan/CAO=-,求sin

2

ZCDA的值.

第26題圖

34.(2019安徽，19題號(hào)，10分)筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具.如圖1,明朝科學(xué)家徐光啟在

《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理.如圖2,筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓.已

知圓心在水面上方,且圓被水面截得的弦AB的長(zhǎng)為6米，NOAB=4L3°.若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最高點(diǎn)(C,

O的連線垂直于AB).求點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離.

(參考數(shù)據(jù)：sin41.3°七0.66,cos41.3°-0.75,tan41.3°心0.88)

C

圖1圖2

35.(2019?寧波汝口圖1,O經(jīng)過等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A,C(圓心O在4ABC內(nèi)),分別與AB,CB的延長(zhǎng)

線交于點(diǎn)D,E,連接DE,BF，EC交AE于點(diǎn)F.

(1)求證:BD=BE;

⑵當(dāng)AF:EF=3:2,AC=6時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

AF

(3)設(shè)——=x,tanNDAE=y.

EF

①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

②如圖2,連接OF,OB,若4AEC的面積是^OFB面積的10倍，求y的值.

36.（2019?自貢）如圖，＜3。中，弦A8與CD相交于點(diǎn)E,AB=CD,連接AD、BC,

第21題圖

求證：(1)AD=BC；(2)AE=CE.

37.（2019?攀枝花）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0,2）,動(dòng)點(diǎn)尸在y=彳-x的圖象上運(yùn)動(dòng)（不

與。重合），連接AP,過點(diǎn)尸作尸。，4尸，交x軸于點(diǎn)。，連接A。。

（1）求線段AP長(zhǎng)度的取值范圍；

（2）試問：點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)過程中，/QAP是否為定值？如果是，求出該值；如果不是，請(qǐng)說明理由。

（3）當(dāng)AOP。為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

38.（2019?濟(jì)寧）

如圖，A2是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，。是弧AC的中點(diǎn)，E為。。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ZCAE=2

ZC,AC與BD交于點(diǎn)H,與。￡交于點(diǎn)兒

（1）求證：AE是。。的切線；

3

（2）若。H=9,tanC=一，求直徑AB的長(zhǎng).

4

39.（2019?無錫）如圖1,在矩形ABC。中，BC=3,動(dòng)點(diǎn)尸從3出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿射線

方向移動(dòng)，作APA3關(guān)于直線PA的對(duì)稱APA3',設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1s）.

（1）若AB=26,①如圖2,當(dāng)點(diǎn)8落在AC上時(shí)，顯然△PC3'是直角三角形，求此時(shí)f的值；

②是否存在異于圖2的時(shí)刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合題意的/的值？若

不存在，請(qǐng)說明理由；

(2)當(dāng)尸點(diǎn)不與C點(diǎn)重合時(shí)，若直線尸8與直線相交于點(diǎn)且當(dāng)/<3時(shí)存在某一時(shí)刻有結(jié)論NB4M=45°

成立，試探究：對(duì)于>3的任意時(shí)刻,結(jié)論NR1M=45°是否總是成立？請(qǐng)說明理由.

圖1圖2備用

第28題圖

40.(2019?懷化)如圖,A、B、C、D、E是。0上的5等分點(diǎn)，連接AC、CE、EB、BD、DA,得到一

個(gè)五角星圖形和五邊形MNFGH.

(1)計(jì)算/CAD的度數(shù)；

(2)連接AE,證明：AE=ME；

(3)求證：ME2=BM-BE.

CD

圓的基本性質(zhì)

一、選擇題

1.（2019?嘉興）如圖，已知。。上三點(diǎn)4B,C,半徑0C=l,ZABC^30°,切線必交"延長(zhǎng)線于點(diǎn)

A.2B.V3C.V2D.A-

【答案】B

【解析】連接OA,因?yàn)镹ABC=30°,所以NAOC=60°,又因?yàn)镻A為切線，所以/OAP=90°,因?yàn)?/p>

OC=1,所以PA=百.

2.（2019?杭州）如圖，P為。。外一點(diǎn)，PA、PB分別切。。于A、B兩點(diǎn)，若PA=3,則PB=

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】因?yàn)槿诤蚉8與。。相切，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可知：PA=PB^?故選B.

3.（2019?煙臺(tái)）如圖，AB是。的直徑,直線。E與。相切于點(diǎn)C,過點(diǎn)A,8分別作

BE工DE,垂足為點(diǎn)。，E,連接AC,BC.若AD=#）,CE=3,則AC的長(zhǎng)為（

C6

C-------71D.----7t

323

【答案】D第12題答圖

【解題過程】連接OC,

因?yàn)锳D_L￡)E,BEVDE,

所以ZADC=ZCEB=90°

所以ZDAC+ZACD=90°

因?yàn)锳B是。的直徑,

所以NAC3=90。，

所以ZBCE+ZACD=90°,

所以ZBCE=ZDAC,

在△4OC與△CE。，

因?yàn)閆ADC=ZCEB=90°,ZBCE=ADAC

所以△4Z>CS/\CEZ),

BCCE3rr

所以一=——=7=J3

ACAD43

BCr-

在RtAACB中，sinABAC=——=個(gè)3,

AC

所以NR4c=60。，

又因?yàn)椤?=OC,

所以△40C是等邊三角形，

所以NACO=60°,

因?yàn)橹本€。E與。相切于點(diǎn)C,

所以

因?yàn)锳D_L￡)E,OC±DE,

所以4D〃0C,

所以ZDAC=ZACO=60°,

所以NACD=90°-ZDAC=30°,

所以4。=24)=2百，

所以△AOC是等邊三角形，

所以O(shè)4=AC=2A/5,ZAOC=60°,

所以的的長(zhǎng)為吆需包竿

4.(2019?威海)

如圖，。尸與尢軸交與點(diǎn)A(—5,0),B(1,0),與〉軸的正半軸交于點(diǎn)G若

ZACB=60°,則點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為

B.而+、/5B.2、/5+、/5。.4貶。.2^2+2

【答案】D

【解題過程】連接B4、尸5、PC,過點(diǎn)尸分別作PZUAB,PE±OC,垂足為F,E.

由題意可知：四邊形PFOE為矩形，

/.PE=OF,PF=OE.

???ZACB=60°,

：.ZAPB=120°.

'：PA=PB,

：.ZPAB=ZPBA=30°.

?；PF_LAB,

：.AF=BF=3.

，PE=0F=2.

PFAF

Vtan30°=-----,cos30°=------

AFAP

:.PF=6AP=2百.

：.0E=s/3,PC=2行

在RTAPEC中，CE=dPC?—PE2=20,

OC=CE+EO=2>j2+2.

5.（2019?青島）如圈，結(jié)段AB經(jīng)過。。的圓心，ACBD分別與。。相切于點(diǎn)D.若AC=BD=4,

A.nB.2五C.2及萬(wàn)D.4〃

【答案】B

【解析】連接CO,DO,因?yàn)锳C,8。分別與。。相切于C,。,所以NACO=

ZDBO=90°,所以/AOC=ZA=45°,所以CO=AC=4,因?yàn)?/p>

AC=BD,CO=DO,所以△ACOg△BDO,所以NDOB=NAOC=45°,所以

907rx4

Z￡>OC=180°ZZ)OB-ZAOC=180°—45°-45°=90°,CD=----------

180

=2），故選B.

6.（2019?益陽(yáng)）如圖，PA、PB為圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B,PO交AB于點(diǎn)C,PO的延長(zhǎng)線交

圓。于點(diǎn)D,下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.PA=PBB.ZBPD=ZAPDC.AB1PDD.AB平分PD

第9題圖

【答案】D

【解析】：PA、PB為圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B,PO交AB于點(diǎn)C,PO的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)D,

；.PA=PB,ZBPD=ZAPD,故A、B正確；

'.?PA=PB,ZBPD=ZAPD,APDXAB,PD平分AB,但AB不一定平分PD,故C正確，D錯(cuò)誤.

7.（2019?黃岡）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋB）,點(diǎn)。是這段弧所在圓的圓心，AB=40〃z,

點(diǎn)。是AB的中點(diǎn),點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，且CD=10九則這段彎路所在圓的半徑為（）

A.25mB.24mC.30mD.60m

【答案】A

【解析】連接。。，由垂徑定理可知。，C,。在同一條直線上，設(shè)半徑

為r,則OC=OA=r,AD=2Q,OD=OA~CD=r~10,在RtAA￡）。，由勾股定理

知：^=202+（r-10）2,解得r=25.

8.（2019?隴南）如圖，點(diǎn)A,B,S在圓上，若弦48的長(zhǎng)度等于圓半徑的加倍，則NASB的度數(shù)是（

A.22.5°B.30°C.45°D.60°

【答案】C

【解析】作AB的垂直平分線，交圓與點(diǎn)C,D,設(shè)圓心為O,CD與AB交于點(diǎn)

「也OAr

E,?「ABn^/^OA,,*.AE=—^OAfsinAAOE=——--------=—,

2OAOA2

/.ZAOE=45°,ZAOB=90°,；.NASB=45°,故選：C.

9.（2019?濱州）如圖，AB為。。的直徑，C,。為（DO上兩點(diǎn)，若NBCD=40°,則/AB。的大小為（）

【答案】B

【解析】如圖，連接AD,：AB為。O的直徑，.../ADB=90。.和/BCD都是弧BD所對(duì)的圓周角,

:./A=/BCD=40°,AZABD=90°—40°=50°.故選B.

10.（2019?聊城）如圖,BC是半圓O的直徑,D,E是BC上兩點(diǎn)，連接BD,CE并延長(zhǎng)交于點(diǎn)A,連接OD,OE,如

果NA=70°，那么NDOE的度數(shù)為

A.35°B.38°C.40°D.42°

【答案】C

【解析】；/A=70°ZB+ZC=110°,；./BOE+/COD=220°ZDOE=ZBOE+ZCOD-180°=

40°,故選C.

11.（2019?濰坊）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。O,AB為直徑，AD=CD.過點(diǎn)。作。于點(diǎn)￡.連

3

接AC交DE于點(diǎn)況若sin/CAB=《，DF=5,則3c的長(zhǎng)為（）

A.8B.10C.12D.16

【答案】C

【解析】連接BD.

"：AD=CD,：.ZDAC=ZACD.

為直徑，ZADB=ZACB=90°.：.ZDAB+ZABD=90°.

DE.LAB,：.ZDAB+ZADE=90°.：.ZADE=ZABD.

'：ZABD=ZACD,：.ZDAC=ZADE.：.AF=DF=5.

EF3

在尸中，sinZCAB=——=-

AF5

：?EF=3,AE=4.???QE=3+5=8.

O石2g2

由OE2=AE?EB,得BE=------=—=16.

AE4

.,.48=16+4=20.

BC3

在陽(yáng)△AABC中，sinNCAB=——=-

AB5

：.BC=12.

12.（2019?涼山）下列命題：①直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離；②兩點(diǎn)之間線段

最短；③相等的圓心角所對(duì)的弧相等；④平分弦的直徑垂直于弦.其中，真命題的個(gè)數(shù)（▲）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離；兩點(diǎn)之間線段最短；在同圓或等

圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，所以只有①是對(duì)的，故選A.

13.（2019?眉山）如圖，。。的直徑A3垂直于弦CD垂足是點(diǎn)E,ZCAO=22.5°,OC=6,

則CD的長(zhǎng)為

A.6A/2B.3A/2C.6D.12

【答案】A

【解析】VZA=22.5°,.,.ZCOE=45°,V(DO的直徑AB垂直于弦CD,OC=6,

/T

:.ZCEO=90°，,:ZCOE=45°，:.CE=OE=—OC=3A/2,/.CD=2CE=6&,

2

故選D.

14.（2019徜州）一塊圓形宣傳標(biāo)志牌如圖所示,點(diǎn)A,B,C在。O上,CD垂直平分AB于點(diǎn)D.現(xiàn)測(cè)得AB=8dm,

DC=2dm,則圓形標(biāo)志牌的半徑為（A）

A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm

【答案】B

【解析】連接OD,OB,則O,C,D三點(diǎn)在一條直線上，因?yàn)镃D垂直平分AB,AB=8dm,所以BD=4dm,OD=

（r-2）dm,由勾股定理得42+（r-2）2=r2,r=5dm,故選B.

15.（2019?泰安）如圖,ZiABC是O的內(nèi)接三角形,/A=H9°,過點(diǎn)C的圓的切線交BO于點(diǎn)P,則/P的

度數(shù)為

A.320B.310C.290D.61°

B

【答案】A

【解析】連接CO,CF,VZA=119°ZBFC=61°ZBOC=122°,

.\ZCOP=58°,VCP與圓相切于點(diǎn)C,；.OC_LCP,.?.在RtAOCP中,NP

=90°-/COP=32°,故選A.

、填空題

16.（2019?嘉興）如圖，已知。。上三點(diǎn)4B,C,半徑0C=l,ZABC^30°,切線以交%延長(zhǎng)線于點(diǎn)

P,則PA的長(zhǎng)為（）

B.MC.V2

【答案】B

【解析】連接OA,因?yàn)镹ABC=30°,所以NAOC=60°,又因?yàn)镻A為切線，所以NOAP=90°,因?yàn)?/p>

oc=i,所以PA=JL

17.（2019?杭州）如圖，P為。。外一點(diǎn)，PA、PB分別切。。于A、B兩點(diǎn)，若PA=3,則PB=

【答案】B

【解析】因?yàn)槌龊褪?與。。相切，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可知：B4=PB=3,故選B.

18.（2019?煙臺(tái)）如圖，A8是。的直徑，直線。E與。相切于點(diǎn)C,過點(diǎn)A,3分別作

BELDE,垂足為點(diǎn)。，E,連接AC,BC.若AD=出,CE=3,則AC的長(zhǎng)為（）.

第12題答圖

【答案】D

【解題過程】連接0C,

因?yàn)锳D_L￡)E,BE工DE,

所以ZADC=ZCEB=90°

所以ZDAC+ZACD=90°

因?yàn)锳B是。的直徑,

所以NAC3=90。，

所以ZBCE+ZACD=90°,

所以ZBCE=ZDAC,

在△4OC與△CED,

因?yàn)閆ADC=ZCEB=90°,ZBCE=ZDAC

所以△4OCS2XCED,

BCCE3后

所以一=—=7=J3

ACAD出

在中，sinN3AC=——=6

AC

所以ZBAC=60。，

又因?yàn)镼4=OC,

所以△AOC是等邊三角形，

所以NACO=60°,

因?yàn)橹本€。E與。相切于點(diǎn)C,

所以O(shè)CLOE,

因?yàn)锳D_L￡)E,OCLDE,

所以AD//OC,

所以ZDAC=ZACO=60°,

所以NACD=90°-ZDAC=30°,

所以AC=2AZ)=2G，

所以△AOC是等邊三角形，

所以O(shè)L4=AC=2若，ZAOC=60°,

所以前的長(zhǎng)為60r需包竽

19.(2019嘍底)如圖(9),C、D兩點(diǎn)在以AB為直徑的圓上,AB=2,NACD=30°,則AD=

【解析】如圖，圖9—1,連結(jié)AD,

?.?由AB為。0的直徑，

.../ADB=90°,

又?.?在。0中有NACD=30。，

.?.NB=NACD=30°,

Z.AD=-AB=-x2=l.

22

20.（2019?衡陽(yáng)）已知圓的半徑是6,則圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)是.

【答案】6G

【解析】如圖，作。。_LBC于。，IOB=6,N0BD=3U,：.BD

:.BC=6出,故答案為6省.

21.（2019?安徽）如圖，AABC內(nèi)接于。O,ZCAB=30°,ZCBA=45°,CD_LAB于點(diǎn)D,若。O的

半徑為2,則CD的長(zhǎng)為.

【答案】V2

【解析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.連接CO并延長(zhǎng)交。O于E,連接BE,于是得到/E=/A=30°,ZEBC=90°,解直角三角

形即可得到結(jié)論.連接CO并延長(zhǎng)交。。于E,連接BE,

貝！J/E=/A=30°,ZEBC=90°,：G）O的半徑為2,；.CE=4,；.BC=LcE=2,：CD_LAB,ZCBA=45°,

2

/.CD=—BC=V2,故答案為行.

2

E

22.（2019?株洲）如圖所示，AB為。O的直徑，點(diǎn)C在。。上，且OC_LAB,過點(diǎn)C的弦CD與線段

OB相交于點(diǎn)E,滿足NAEC=65。，連接AD,則/BAD=度.

第16題

【答案】20。

【解析】如圖，連接D0,因?yàn)镃0_LAB,所以/C0B=90°,：/AEC=65°/C=25°,

V0D=0C,.*.Z0DC=ZC=25o,ADCO中，ZD0C=130°,.*.ZD0B=40o,.\2ZBAD=

ZDOB,.,.ZBAD=20°。

23.（2019?涼山州）如圖所示，AB是。。的直徑，弦于X,ZA=30°,CD=273,則。。的

半徑是______________

【答案】2

【解析】連接。C,貝iJOA=OC,，/A=NACO=30°,.?./COH=60°,?.?08_LC。，CD=2g,CH=Q,

：.OH=1,：.OC=2.

24.（2019?泰州）如圖,。O的半徑為5,點(diǎn)P在。O上，點(diǎn)A在。O內(nèi)，且AP=3,過點(diǎn)A作AP的垂線交于。O

點(diǎn)B、C.設(shè)PB=x,PC=y，則y與x的函數(shù)表達(dá)式為.

第16題圖

【答案】y=-

X

【解析】過點(diǎn)0作ODLPC于點(diǎn)D連接OP,OC,因?yàn)镻C=y，由垂徑定理可得DC=，因?yàn)镺P=OC,所以/

11pARP

COD=-NPOC,由圓周角定理,NB=上NPOC,所以NCOD=NB,所以△CODS/\PBA,W=J，即

22CDOC

-=-，整理可得函數(shù)表達(dá)式為:y=—.

25

2

25.（2019?嘉興）如圖，在。。中，弦26=1,點(diǎn)。在26上移動(dòng)，連結(jié)。C,過點(diǎn)。作切，%交。。于點(diǎn)

D,則切的最大值為.

【解析】連接OD,因?yàn)镃DLOC,則有CD=，Or>2—OC?,根據(jù)題意可知圓半徑一定，故當(dāng)OC最小

時(shí)則有CD最大，故當(dāng)OC_LAB時(shí)CD=BC=L最大.

2

26.（2019?鹽城）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在。。上，且弧A8為50。，則NE+NC=

【答案】155。

【解析】如圖，連結(jié)。4、OB,AE,由弧42為50?？芍琙AOB=50°,又NAOB

和NAE8分別為弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角，故NAO1,即

2

/AEB=25。,又四邊形AEDC是?。的內(nèi)接四邊形，所以NACO+/AEO=180。，

又ZAEB=25。，可得ZACD+ZBED=180°-25°=155°.

三、解答題

27.（2019浙江省溫州市，22,10分）（本題滿分10分）

如圖，在△ABC中，NBAC=90°,點(diǎn)E在BC邊上，且CA=CE,過A,C,E三點(diǎn)的。。交AB于另一點(diǎn)F,

作直徑AD,連結(jié)DE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G,連結(jié)CD,CF.

（1）求證：四邊形DCFG是平行四邊形；

3

（2）當(dāng)BE=4,CD=—AB時(shí)，求。。的直徑長(zhǎng).

8

【解題過程】(1)連接AE.：NBAC=90°,，CF是。。的直徑.

AC=EC,；.CF_LAE.：AD為。。的直徑，AZAED=90°,即GD_LAE,；.CF〃DG.

,/AD為。。的直徑，.\ZACD=90°,.'.ZACD+ZBAC=180°,；.AB〃CD,...四邊形DCFG為平行

四邊形；

3

(2)由CD--AB,可設(shè)CD=3x,AB=8x,.,.CD=FG=3x.

8

,/ZA0F=ZC0D,；.AF=CD=3x,.,.BG=8x-3x-3x=2x.

BEBG2

GE〃CF,/.AABGE^AACDE,——=——=-.

EGGF3

又：BE=4,；.AC=CE=6,/.BC=6+4=10,/.AB=J102-62=8=8x,/.x=l.

在Rt^ACF中，AF=3,AC=6,ACF=732+62=37?,即。。的直徑長(zhǎng)為3

28.（2019年浙江省紹興市，第21題，10分）在屏幕上有如下內(nèi)容：

如圖，△ABC內(nèi)接于圓O,直徑AB的長(zhǎng)為2,過點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

張老師要求添加條件后，編制一道題目，并解答0

（3）在屏幕內(nèi)容中添加條件/D=30。，求AD的長(zhǎng)，請(qǐng)你解答.

（4）以下是小明，小聰?shù)膶?duì)話：

）段下是小男

A?！?

?30?.通?

公私

參考此對(duì)話，在屏幕內(nèi)容中添加條件，編制一道題目（可以添線、添字母），并解答.

【解題過程】

29.(2019江蘇鹽城卷，24,10)如圖，在RtZXABC中，ZACB=9Q°,CD是斜邊AB上的中線，以為

直徑的。。分別交4C、8C于點(diǎn)M,N,過點(diǎn)N作NELA8,垂足為E.

⑴若°。的半徑為|'"=6’求AV的長(zhǎng),

(2)求證：NE與。O相切.

解:(1)','OD=OC=-,二CD=5

2

:?N4C3=90。，CD是斜邊上的中線

,45=28=10

BD=CD=5

:NC=6

二.在聯(lián)義照中，BC=NAB，_"2=8

（2）為。。上一點(diǎn)，連結(jié)M?

又,：BD=CD

4=0

OC=ON

連接ON,如圖

z\二c

:.8為直徑&二c

二ZDN20QNOIIAB

?：N為3c中點(diǎn)（等腰三角形三線合一）

NE人AB

1NO1NE

.\BN=-BC=4

2NE與0O相切

30.（2019?山西）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：

萊昂哈德?歐拉（LeonhardEuler）是瑞士數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)，公式

和定理，下面就是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理:在4ABC中,R和r分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,O和I分別為其外

心和內(nèi)心，則。/2=火2-2Rr

如圖1,?O和。I分別是AABC的外接圓和內(nèi)切圓,?I與AB相切于點(diǎn)F,設(shè)?O的半徑為R,?I的半徑為

r,外心O（三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）與內(nèi)心I（三角形三條角平分線的交點(diǎn)）之間的距離OI=d，則有

/=火

2_2Rr.

下面是該定理的證明過程（部分）：

延長(zhǎng)AI交?O于點(diǎn)D,過點(diǎn)I作?O的直徑MN,連接DM,AN.

：/D=/N,/DMI=/NAI（同弧所對(duì)的圓周角相等），

.?.△MDI^AANLA—=—IA7IDIM1IN.①

IAIN

如圖2,在圖1（隱去MD,AN）的基礎(chǔ)上作?O的直徑DE,連接BE,BD,BI,IF.

：DE是。O的直徑,.?.NDBE=90°.:刨與AB相切于點(diǎn)F,.\ZAFI=90°ZDBE=ZIFA.

V