離散數(shù)學(xué)課后習(xí)題答案二

習(xí)題3.7

I.列出關(guān)系｛<%b,c,d>1a,b,c,"wZ］且=6｝中所有有序4元

組。

解｛<a,b,c,d>\a,b,c,deZ+且a?/??c,d=6｝

=｛<1,1,1,6>,<1,1,6,1>,<1,6,1,1>,<6,1,1,1>,<1,1,2,3>,<1,1,3,2>,<1,2,1,3>,<1,3,1,2>,

<1,2,3,1>,<1,3,2,1>,<2,3,1,1>,<3,2,1,1>,<2,1,3,1>,<3,1,2,1>,<2,1,1,3>,<3,1,1,2>

2.列出二維表3.18所表示的多元關(guān)系中所有5元組。假設(shè)不增加新的5元組，找出二

維表3.18所有的主鍵碼。

表3.18航班信息

航空公司航班登機(jī)口目的地起飛時(shí)間

Nadir11234底特律08:10

Acme22122丹佛08:17

Acme12233安克雷奇08:22

Acme32334檀香山08:30

Nadir19913底特律08:47

Acme22222丹佛09:10

Nadir32234底特律09:44

解略

3.當(dāng)施用投影運(yùn)算"235到有序5元組＜a,b,c,d＞時(shí)你能得到什么？

解略

4.哪個(gè)投影運(yùn)算用于除去一個(gè)6元組的第一、第二和第四個(gè)分量？

解略

5.給出分別施用投影運(yùn)算否24和選擇運(yùn)算b航空公司=岫協(xié)到二維表3.18以后得到的表。

解對(duì)航班信息二維表進(jìn)行投影運(yùn)算"235后得到的二維表

航班登機(jī)口起飛時(shí)間

1123408:10

2212208:17

1223308:22

3233408:30

1991308:47

2222209:10

3223409:44

對(duì)航班信息二維表進(jìn)行選擇運(yùn)算b航空公司=及，而后得到的二維表

航空公司航班登機(jī)口目的地起飛時(shí)間

Nadir11234底特律08:10

Nadir19913底特律08:47

Nadir32234底特律09:44

6.把連接運(yùn)算人用到5元組二維表和8元組二維表后所得.維表中有序多元組有多少

個(gè)分量？

解略

7.構(gòu)造把連接運(yùn)算J2用到二維表3.19和二維表3.20所得到的二維表。

表3.19零和F供應(yīng)商表3.20零件數(shù)量和顏色代碼

供貨商零件號(hào)項(xiàng)目零件號(hào)項(xiàng)目數(shù)量顏色代碼

231092110011148

23110131092122

23904841101311

314975334772252

31347724975362

326984469844101

329191290484122

3310011919128()4

解零件供應(yīng)商二維表與零件數(shù)量和顏色代碼二維表連接運(yùn)算J2結(jié)果

供貨商零件號(hào)項(xiàng)目數(shù)量顏色代碼

3310011148

231092122

231101311

3134772252

314975362

3269844101

2390484122

3291912804

第4章：群、環(huán)、域

習(xí)題4.1

1.判斷下列集合對(duì)所給的二元運(yùn)算是否封閉。

(1)集合"Z={"xzlzeZ}關(guān)于普通加法和普通乘法運(yùn)算，其中〃是正整數(shù)。

(2)集合S={xlx=2〃-L〃eZ-}關(guān)于普通加法和普通乘法運(yùn)算。

(3)集合S={0，1}關(guān)于普通加法和普通乘法運(yùn)算。

(4)集合S={xlx=2",〃wZ+1關(guān)于普通加法和普通乘法運(yùn)算。

(5)〃階("之2)實(shí)可逆矩陣集合”“很)關(guān)于矩陣加法和矩陣乘法運(yùn)算。

對(duì)于封閉的二元運(yùn)算，判斷它們是否滿足交換律、結(jié)合律和分配律，并在存在的情況下

求出它們的單位元、零元和所有可逆元素的逆元。

解略

2.判斷下列集合對(duì)所給的二元運(yùn)算是否封閉。

(1)正實(shí)數(shù)集合k和*運(yùn)算，其中*運(yùn)算定義為：

V。，/?GR",a*b=a，b—a—b

(2)A={%，出，…，％}，〃N2。*運(yùn)算定義為：

Xfa,beA,a*b-b

對(duì)于封閉的二元運(yùn)算，判斷它們是否滿足交換律、結(jié)合律和等'幕律，并在存在的情況下求出

它們的單位元、零元和所有可逆元素的逆元。

解(1)不封閉,例如：0.5*0.5=0.5x0.5—0.5—0.5=—0.75任R+

(2)封閉。

不滿足交換律：Ya,bGA,a*b=b^a=b*aa*b=bb*a=a

滿足結(jié)合律：Va,"eA(“*")*c="*c=c,a*(h*c)-a*c-c

滿足等幕律：VaeAa*a=a

%，/，…，氏都是左單位元，但無右單位元。

%,a2,…，％都是右零元，但無左零元。

因?yàn)闊o單位元，所以無逆元。

3.設(shè)5=(3'0,這里Q是有理數(shù)集合，*為5上的二元運(yùn)算，

V<〃，v>,<x,yS,

<a,v>*<x,y>=<ux,uy-\-v>

(1)*運(yùn)算在s上是否可交換、可結(jié)合？是否為等鼎的？

(2)*運(yùn)算是否有單位元、零元？如果有，請(qǐng)指出，并求S中所有可逆元素的逆元。

(3)*運(yùn)算在S上是否滿足消去律？

解略

4.R為實(shí)數(shù)集合，定義以下六個(gè)函數(shù)力于6。Vx,yeR有

力(<x，y〉)=x+y/2(<x，y〉)=x-y

/3(<x,y>)=1X-yIf4(<x,y>)=xy

f5yx,y>)=min(x,>1)/6(<x,y>)=max(x,y)

(1)指出哪些函數(shù)是R上的二元運(yùn)算。

(2)若是R上的二元運(yùn)算，說明是否是可交換的、可結(jié)合的、等幕的？

(3)若是R上的二元運(yùn)算，在存在的情況下求出單位元、零元以及每個(gè)可逆元素的逆

元。

(4)若是R上的二元運(yùn)算，說明是否滿足消去律。

解略

5.設(shè)6=[1，2,…，10},問下面定義的運(yùn)算*在G上是否封閉？對(duì)于封閉的二元運(yùn)

算，請(qǐng)說明運(yùn)算是否滿足交換律、結(jié)合律，并并在存在的情況下求出運(yùn)算的單位元、零元和

所有可逆元素的逆元。

(1)x*y=gcd(x,y),gcd(x,y)表示x與N的最大公因數(shù)。

(2)x*y=km(x,y),lcm(x,y)表示x與＞的最小公倍數(shù)。

(3)x*y=大于等于X和y的最小整數(shù)。

(4)》*'=質(zhì)數(shù)〃的個(gè)數(shù)，其中

解(1)封閉。滿足交換律，滿足結(jié)合律，滿足等幕律。無單位元，1是零元。因?yàn)?/p>

無單位元，所以無逆元。

(2)不封閉，例如：3*5=lcm(3,5)=15任G

(3)封閉。滿足交換律，滿足結(jié)合律，滿足等累律。1是單位元，10是零元。1的逆

元為1，其他無逆元。

(4)封閉。不滿足交換律，不滿足結(jié)合律，不滿足等幕律。無單位元，無零元。因?yàn)?/p>

無單位元，所以無逆元

§4.2半群與群

習(xí)題4.2

1.設(shè)G是所有形如

(a\\a\2

100J

的矩陣組成的集合，*表示矩陣乘法。試問＜G'*＞是半群嗎？是有么半群嗎？這里

41、/2是實(shí)數(shù)。

如以2

解任取G中的2個(gè)元素4=10

。二3=〔。。人

a\\a\2僅11

...A*3=10oJolo

0口ooJeG

＜G,*＞是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。且因?yàn)榫仃嚨某朔M足結(jié)合律，所以＜G'*＞是

半群。

又因?yàn)?，只?”=1,則

aa

（\\\2僅II。1向1仇2、

0J=5

A*8400只00）[0

=0

'1旬

對(duì)任何的BeG成立，即1°°1是左單位元(不論42取什么值)。但右單位元不存在,

因?yàn)椴徽撠鳬,伍2取什么值，

(a\\仇142(“11仇1仇2(a\\a\\

A*8=10oJolo0j=l00J=100j=B

不可能對(duì)任何的AeG成立。

所以單位元不存在(事實(shí)上，若單位元存在，則左、右單位元都存在且相等還唯一),

所以＜G'*＞不是有么半群。

2.在正實(shí)數(shù)集合R+上定義運(yùn)算*如下

1+ab

試問*＞是半群嗎？是有么半群嗎？

解略

3.在自然數(shù)集合N上定義運(yùn)算v和人如下：

〃v/?=max{a,b},aA/?=min{a,h}

試問＜N,v＞和＜N,A＞是半群嗎？是有么半群嗎？

解略

4.設(shè)＜G'*＞是半群，它有一個(gè)左零元6,令

Ge={1*夕Ix￡G}

證明＜G〃，*＞構(gòu)成半群。

解略

5.在一個(gè)多于一個(gè)元素的有么半群中，證明一個(gè)右零元不可能有右逆元。

解略

6.設(shè)G是一個(gè)多于一個(gè)元素的集合，G。是G上所有函數(shù)組成的集合，證明有么半群

＜G°,°＞有多于一個(gè)的右零元，但沒有左零元。這里。表示復(fù)合運(yùn)算。

解略

7.設(shè)Z為整數(shù)集合，在Z上定義二元運(yùn)算*如下：

x*y=x+y-2,Vx,yeZ

問Z關(guān)于運(yùn)算*能否構(gòu)成群？為什么？

解略

8.G={f(x)^ax+b\a^Q,a,h&R}t證明＜G，。＞是群，這里。是復(fù)合運(yùn)算。

解略

9,設(shè)6={b1/r,1-r,1/(1-r),(r-l)/r,r/(r-l)},證明＜G,*＞是群，這

里，運(yùn)算。*b表示將匕代換到。中「所在位置。

解略

10.設(shè)4={》5@1?八》力0,1}。在人上定義六個(gè)函數(shù)如下：

/,(x)=x72(%)=x"

/3(x)=l-x/4(x)=(l-x)-'

y5(x)=(x-i)x-'y6(x)=x(x-i)-'

令G為這六個(gè)函數(shù)構(gòu)成的集合，。是復(fù)合運(yùn)算。

(1)給出＜G'°＞的運(yùn)算表。(2)驗(yàn)證＜G，°＞是群。

解(1)＜G，°＞的運(yùn)算表如下：

力力力

OAAA

/1

于6

￡AA/4/5

力A力

AAA/4

f力

3Af\AAA

fs力

AAAA于3

力fsf力力

4/2A

AA3力A力艮

(2)從上運(yùn)算表可以看出，運(yùn)算具有封閉性，滿足結(jié)合律，單位元為力，每個(gè)元都有逆元,

所以＜G，°＞構(gòu)成群。

11.在群＜R,+＞中計(jì)算下列元素的事：

0.52=?0.5'°=?

2

0.5°=?V4=?

7—10

V4=?V4°=?

解0.52=105°=5

0.5°=0"=4

74=20V4°=0

12在群*＞中，證明

,nxn

￡"*/=x'"+",(x'")"=x(V〃z,"eZ

解略

13.設(shè)6=52,3,4,5,6},對(duì)于G上的二元運(yùn)算“模7乘法、7”：

ix7J=(?xj)(mod7)

＜G，x7＞構(gòu)成群。請(qǐng)

(1)給出＜G‘X’＞的運(yùn)算表。(2)驗(yàn)證＜G'X?＞構(gòu)成群。

(3)給出每個(gè)元的次數(shù)。

解略

14.設(shè)G={L2,4,7,8,11,13,14},對(duì)于G上的二元運(yùn)算“模15乘法

以15J=(zxj)(mod15)

請(qǐng)

(1)給出＜G'X|5＞的運(yùn)算表。(2)驗(yàn)證＜G'XQ＞構(gòu)成群。

（3）給出每個(gè)元的次數(shù)。

解（1）＜G'°＞的運(yùn)算表如下:

XI512478111314

112478111314

224814171113

448113214711

771413411218

881211413147

1111714213184

1313117114842

1414131187421

（2）從上運(yùn)算表可以看出，運(yùn)算具有封閉性，滿足結(jié)合律，單位元為“1”，每個(gè)元都

有逆元（元素L2,4,7,8,11,13,14的逆元分別是：1,8＞4,13,2,11,7,14）,

所以＜G，x15＞構(gòu)成群。

（3）元素L2,4,7,8,11,13,"的次數(shù)分別是：卜.2,4,4,2,4,2。

習(xí)題4.3

1.設(shè)＜G，*＞是群，若VxwG有F=e,證明＜G,*〉為交換群。

解略

2.設(shè)＜G，*＞是群，證明G是交換群的充分必要條件是Va,beG有

（a*6）2=2*/

ao

解必要性：如果G是交換群，V。，8cG有（a*））？=。？*/是顯然的。

充分性：根據(jù)（。*"）2=1*/得a*"a*b=a*a*加8,再由消去律得

b*a=a*b,即交換律成立，所以G是交換群。

3.設(shè)＜G，*＞是群，并且對(duì)任意的a，匕eG都有（"*》）'=/*/,

（a*6）5="5*力、，證明G是交換群。

解略

4.設(shè)*＞是有限半群，且滿足消去律，證明G是群。

解對(duì)于VaeG,考慮集合

G.={a,a2,a3,a"',-'■}

由封閉性可知G"lG。又由于G是有限集，所以G“也是有限集。故

必有〃，女＞°,使得

an=an+k

所以有

an*b=a"+k*b

山消去律可得

h=ak*b

這表明/是左單位元，同理可證它是右單位元，所以是單位元。又因?yàn)?/p>

ak~la=a^ak~x-ak-e

所以，a有逆元因此，＜G,*＞是群。

5.設(shè)＜G，*＞是群，a,b,ceG,證明

I〃*h*cl=l/7*C*Q|=|C*Q*/7I

解略

6設(shè)＜G,*＞是群，m且a*b=b*a。如果lal=〃，1。1=根且〃與相互質(zhì)，

證明la*6l=〃xm。

解略

7.證明循環(huán)群一定是交換群，舉例說明交換群不一定是循環(huán)群。

解略

8.證明由1的〃次復(fù)根的全體所組成的集合在復(fù)數(shù)乘法下構(gòu)成一個(gè)〃階循環(huán)群。

解由代數(shù)的知識(shí)可知，1的〃次復(fù)根的全體所組成的集合為

2g

G={e^'1攵=0』2???,〃-1}

2P\2%2P.2%2(p+g)；Tj

Ve",e"66,“，46{0,1,2產(chǎn)、“_1},有6丁，6；，=)—"’。若p+q＜n,

2(p+g%

則e"'eG；若P+q＞=〃，則存在女e{0,1,2,…,“—1},使得P+4=〃+k,而

e〉'=eh'=e/'eG。因此G關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的。故＜G,x＞是代數(shù)系統(tǒng)。

數(shù)的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律。故＜G，x＞是半群。

2*32knj2knj2(2+0)勺2k^,2x0x^,

因?yàn)閂e“，eG,有Ixe"，=e"，x]=e"，=?"，，所以]=6"，是G的么

元。故＜G,x＞是有幺半群。

2k^,2{n-k)n.

Ve^'eG,存在e"'eG,使得

2knj2(n-k)^,2(n-k)n,2k兀2kli

e~'xe"'=e~h'xe=e?"=1,所以e7’的逆元存在。故＜G,x＞是

群。

也j至j2￡.

因?yàn)閑"=[e"]\故e7是群G的一個(gè)生成元，因此G是循環(huán)群。

9.階數(shù)為5、6、14、15的循環(huán)群的生成元分別有多少個(gè)？

解設(shè)。是階數(shù)為5的循環(huán)群的生成元，因在比5小的正整數(shù)中有且僅有2,3,4與5

234

互質(zhì)，所以a,a’a也是生成元，因此生成元個(gè)數(shù)為4。

設(shè)。是階數(shù)為6的循環(huán)群的生成元，因在比6小的正整數(shù)中有且僅有5與6互質(zhì)，所

以。5也是生成元，因此生成元個(gè)數(shù)為2。

設(shè)。是階數(shù)為14的循環(huán)群的生成元，因在比14小的正整數(shù)中有且僅有3,5,9,II,

3591113

13與14互質(zhì)，所以“，&，aaa也是生成元，因此生成元個(gè)數(shù)為6。

設(shè)。是階數(shù)為15的循環(huán)群的生成元，因在比15小的正整數(shù)中有且僅有2,4,8,11,

13,14與15互質(zhì)，所以/，。4，a"也是生成元，因此生成元個(gè)數(shù)為7。

10.設(shè)G={L5,7,11},對(duì)于G上的二元運(yùn)算“模12乘法、2”：

lx]2j=(/xj)(mod12)

(1)證明＜G'Xi2＞構(gòu)成群。(2)求G中每個(gè)元素的次數(shù)。

＜G,

(3)xi2＞是循環(huán)群嗎？

習(xí)題4.4

1.給出群(Z8,》的全部子群。

解兩個(gè)非平凡子群是：{°，2,4.6}和{0,4},兩個(gè)平凡子群是：Z&和{0}。

2.設(shè)G={1，5,7,11},對(duì)G上的二元運(yùn)算“?？诔朔ā保?/p>

zx12j=(zxj)(modl2)

＜G，XK＞構(gòu)成群，請(qǐng)求出＜G，X|2＞的所有子群。

解略

3.設(shè)＜G，*＞是群，”是其子群，任給4G”,令

aHa={a*h*a~]\heH]

證明。從二是G的子群(稱為”的共匏子群)

解略

4.設(shè)*＞是群，"和K是其子群，證明HK和KH是＜G,*＞的子群當(dāng)且僅當(dāng)

HK=KH,其中

HK={h*k\heH八kGK\KH={k*h\keK八heH)

解略

5設(shè)＜G,*＞是群，”是G的子集，證明〃是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)

H-=H,"T="，這里

"2={4*必1%，力2w"}H~'={/?-'\heH]

證(1)因?yàn)椤笆荊的子集，根據(jù)"’的定義，顯然有：H2^H,H1

又因?yàn)椤爸腥我庠厝丝梢詫懗蒭*%,所以還因?yàn)椤ㄖ腥我庠亓梢?/p>

寫成(/廣，所以“JH”,因此

H2=H,H-'=H

(2)Wh\，h$H,因?yàn)镠?=H,H'-H,所以

h[*h]=%*h=h￡H

由子群的判定定理知，”是G的子群。

6.某一通訊編碼的碼字》=(孫和…，X7),其中%和X3和為數(shù)據(jù)位,

%，X6和乙為校驗(yàn)位(孫/，…，它都是。或1),并且滿足

XXX

x5=X]+2X2+2x3x6=Xj+2X2+2X47=X1+23+24

這里+2是模2加法。設(shè)〃是所有這樣的碼字構(gòu)成的集合。在“上定義二元運(yùn)算如下：

Vx,yeH,x*y=(X)+2x2+2yv???，x7+2y7)

證明＜",*＞構(gòu)成群，且是＜G,*＞的子群，其中G是長度為7的位串構(gòu)成的集合。

解略

7.設(shè)G=＜。＞是循環(huán)群，"=＜優(yōu)＞和K=＜優(yōu)＞是它的兩個(gè)子群。證明

HC\K=＜au＞,這里u=lcm(s,，)是s和t的最小公倍數(shù)。

解V/w”nK,則根據(jù)定理，/應(yīng)是S的倍數(shù)，也應(yīng)是f的倍數(shù)，從而/應(yīng)是S和f的

最小公倍數(shù)”=lcm(s,f)的倍數(shù)，所以儲(chǔ)€＜。"〉。

e＜au＞,貝〃應(yīng)是s和，的最小公倍數(shù)"=lcm(s,f)的倍數(shù)，從而/是s的倍數(shù),

也是f的倍數(shù)，所以a'e",a'eK,即"eHflK。

8.設(shè)5階置換為

(12345、(12345)

”123154)尸=[13452,

計(jì)算

肥,a-\or'°a,『鄧。

解略

9.設(shè)S=U，2,3,4},寫出5上的所有4元置換。

解略

10.列出4元對(duì)稱群＜$4，。＞的運(yùn)算表，求出單位元，每個(gè)元的逆元，每個(gè)元的次數(shù)

以及它的所有子群

§4.5陪集與商群

習(xí)題4.5

1.集合Z20={。，1，2,…，19}在“模20加法+20”下構(gòu)成群。設(shè)”是由元素5生

成的工20的子群。

(1)求”的每個(gè)元素及其次數(shù)。(2)求“在工20中的所有左陪集。

解(1)〃={0,5,10,15},0,5,10,15的次數(shù)分別為：1,4,2,4。

(2)H在Z2。中的所有左陪集如下:

”={0,5,10,15},6,11,16},2〃={2,7,12,17}

3H={3,8,13,18}；4"={4,9,14,19}

2.求12階循環(huán)群6={巴a,a2,a\a4,???,a"}的子群"={e,a4,/}在G

中的所有左陪集。

解所有左陪集如下：

H={e,a4,a'},aH={a,a5,a,},a'H={a2,a6,a"'}

3.設(shè)"是群＜G'*＞的子群，證明”的所有不同左陪集(右陪集)中有且僅又一個(gè)

在*下構(gòu)成＜G'*＞的子群。

解略

4.證明6階群必含有3次元。

解略

5.證明偶數(shù)階群必含2次元。

解設(shè)*＞是偶數(shù)階群，若它無二次元，則對(duì)G中的非單位元有

a^a~'

所以，G中的元素，除單位元外，其他都是成對(duì)出現(xiàn)的，所以G中的元素是偶數(shù)個(gè)，矛盾。

故偶數(shù)階群必含2次元。

6.證明在有限群中次數(shù)大于2的元素的個(gè)數(shù)必定是偶數(shù)。

解略

7設(shè)＜G,*＞是一個(gè)階數(shù)為P的有限群，其中P是質(zhì)數(shù)，證明G是循環(huán)群并求它的

所有子群。

解略

8.設(shè)”和K分別是群*＞的廠，s階子群，若r，s互質(zhì)，證明"nK={e}。

解略

9.設(shè)i為虛數(shù)單位，即I?=一1,令

證明G在矩陣乘法下構(gòu)成群，井

(1)給出G的運(yùn)算表。(2)找出G的所有子群。

(3)證明G的所有子群都是正規(guī)子群。

解略

10.設(shè)*＞是群，”和K是其子群，若"或K是正規(guī)子群，則HK=KH,其

中

HK={h*k\heH八keK}KH={k*h\keKheH}

解略

11.設(shè)＜G,*＞是群，〃是其子群，證明”是正規(guī)子群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的。eG,都

有aHa-=H。

解略

12.令G=＜Z,+＞是整數(shù)加群。求商群Z/4Z,Z/12Z和4Z/12Z,其中，集合

4Z={4xzlzeZ}，12oZ={12xzlzeZ}

解略

習(xí)題4.6

1.對(duì)以下各小題給定的群Gi和G2以及映射說明。是否為群G1到G?的同態(tài)。如

果是，說明是否為單同態(tài)，滿同態(tài)和同構(gòu)，并求同態(tài)像。(GJ和同態(tài)核ker(e)。

(1)G|=＜Z,+＞,G2=＜R\X＞；其中R"為非零實(shí)數(shù)的集合，+和X分別表示實(shí)

數(shù)加法和實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算。

*1x是偶數(shù)

甲：z->R,°(x)=<

X是奇數(shù)

(2)G[=＜Z,+＞,G2=＜A,其中A={xIxGC八Ix1=1},°為復(fù)數(shù)集合,

+和x分別表示實(shí)數(shù)加法和實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算。’

(p\(p(x)=cosx+zsinx

(3)G|=<R,+>,G2=<A，X>,其中A,+和x的定義同(2)。

(p\R—>A,(p(x)=cosx+/sinx

解(1)因?yàn)?，?dāng)無，y都為偶數(shù)，有。(x+y)=2,火x)+e(y)=2

當(dāng)x,y都為奇數(shù)，有e(x+y)=2,刎幻+火》)=-2

當(dāng)X,y一個(gè)為偶數(shù)一個(gè)為奇數(shù)，有e(x+y)=-l,0(x)+e(y)=°

所以9不是群G|到G2的同態(tài)。

(2)因?yàn)?，O(x+y)=cos(x+y)+isin(x+y),

(p{x}+°(y)=cosx+isinx+cosy+isiny

從而,9(1+°)=cos(l+0)+isin(l+0)=cos1+zsin1

(p(Y)+夕(0)=cos1+zsin1+cos0+zsin0=1+cos1+zsin1

所以9不是群Gi到G2的同態(tài)。

(3)根據(jù)(2),。也不是群Gi到G2的同態(tài)。

2.＜Z，x＞,＜A，x〉都是有么半群，其中A=[0,1},x表示實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算。

當(dāng)％=2"伏€2時(shí)

(P：Z—>A,夕(x)=<

其它情況

證明。是從Z到A的同態(tài)映射。

解略

3.〈R，+〉，＜R，x＞都是有么半群，+和X分別表示實(shí)數(shù)加法和實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算。

(p?.R—＞R,(p{x}=10v

證明。是從＜R，+＞到＜R，x＞的單同態(tài)，但不是同構(gòu)。

解略

4.＜Z，+＞是整數(shù)加法群，＜G,*＞是任意一個(gè)群，對(duì)于G中的任一固定元素。，令

g(〃)=""(〃eZ),證明g是從Z到G的同態(tài)映射，并求同態(tài)核。

解略

5.＜七+＞是實(shí)數(shù)加法群，＜Ci，x＞是模為1的復(fù)數(shù)對(duì)于乘法運(yùn)算的群，這兩個(gè)群同

態(tài)嗎？同構(gòu)嗎？請(qǐng)說明理由。

解略

6.＜Z+,+＞和＜Z,x〉分別是正整數(shù)對(duì)于加法和乘法構(gòu)成的半群，試問從＜Z+,+＞

到＜Z,x＞,從＜Z"x＞到＜Z+,+＞都存在同態(tài)映射嗎？說明理由。

解＜Z',+＞-＜Z',x＞的同態(tài)映射如下：

/(H)=1,V/?GZ,

而＜Z-，X＞f＜Z+,+＞不存在同態(tài)映射，這可用反證法進(jìn)行證明。

若存在＜2一,、＞一＜2+,+＞的同態(tài)映射8,則有：

+

g(m+〃)=g(m)+g(n),\//n,nGZ

特別地令機(jī)=〃=1,則得到g(l)=°,這與g是＜Z+，x＞f＜Z-,+＞的映射矛盾，所以

＜Z+,X＞一＜Z+,+＞不存在同態(tài)映射。

7.設(shè)/是從群＜G,*＞到群的同態(tài)映射，g是從群.＞到群

〈K，。＞的同態(tài)映射，證明復(fù)合函數(shù)/°g是從群＜G，*＞到群＜K,的同態(tài)映射。

解略

8.設(shè)＜G，*＞、是代數(shù)系統(tǒng)，*，?都是二元運(yùn)算，”是從G到〃的同態(tài)映

射,則

(1)?是0(G)上的運(yùn)算，即＜9(G)，,＞是代數(shù)系統(tǒng)。

(2)如果*在G上滿足交換律，則?在外G)上也滿足交換律。

(3)如果*在G上滿足結(jié)合律，則?在"G)上也滿足結(jié)合律。

(4)如果*在G上滿足等幕律，則?在0(G)上也滿足等幕律。

(5)如果6是＜G，*＞的零元，則。(夕)是＜C(G)，,＞的零元。

解略

9設(shè)＜G,*,*'＞、＜”,?，?'〉是代數(shù)系統(tǒng)，*，*'，?，?'都是二元運(yùn)算，。是從G

到”的同態(tài)映射，證明如果在G上，*和*'滿足吸收律，則在0(G)上，?和?'也滿足吸

收律。

解略

10.設(shè)＜G，*＞是群，定義映射夕G—G為夕。)=獷［證明9是G的自同構(gòu)當(dāng)

且僅當(dāng)G是交換群。

解略

11.設(shè)e是從群＜G'*＞到群的同態(tài)映射，證明若G是循環(huán)群，則8(G)也

是循環(huán)群。

解略

12.設(shè)＜G，*＞和＜"，,＞分別是加階群和〃階群，若從G到H存在單同態(tài)，證明

“1〃，即加是〃的因子.

解略

13.設(shè)S是從群＜G，*＞到群＜"，,＞的同態(tài)映射，對(duì)任意的aeG,記，=e(a),

試問人和。的次數(shù)是否一定相同？如果不同，它們之間有何關(guān)系？

解略

14.給出群＜Z6，+6＞的全部自同態(tài)。

解略

習(xí)題4.7

2

1.設(shè)4=伍+萬1%b&Z,i=-l}o證明A關(guān)于復(fù)數(shù)的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，稱為

高斯整數(shù)環(huán)。

2.設(shè)/“)="o+"/+。2廠+…+a〃x"，%，a2,…，％為實(shí)數(shù)，稱/(x)為實(shí)數(shù)域

上的〃次多項(xiàng)式，令

A={/(x)l/(x)為實(shí)數(shù)域上的“次多項(xiàng)式，nwN}。

證明4關(guān)于多項(xiàng)式的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，稱為實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式環(huán)。

3.判斷下列集合和給定運(yùn)算是否構(gòu)成環(huán)、整環(huán)和域，如果不能構(gòu)成，請(qǐng)說明理由。

(1)A={a+6il。，"eQ,『=一1},運(yùn)算為復(fù)數(shù)的加法和乘法。

(2)A={2z+llzeZ},運(yùn)算為實(shí)數(shù)的加法和乘法。

(3)A={2zlzeZ},運(yùn)算為實(shí)數(shù)的加法和乘法。

(4)A={XIXZOAXCZ},運(yùn)算為實(shí)數(shù)的加法和乘法。

(5)A={a+bi/5\a,"eQ},運(yùn)算為實(shí)數(shù)的加法和乘法。

4.設(shè)<R，+，x>是環(huán)，證明

(1)VQCR,aO=Oa=O

(2)Va,beR,(-a)h-a(-h)--(ah)

(3)VQ,b,ceR,a(h-c)=ab-ac,(b-c)a=ha-ca

5.設(shè)<R，+，x>是環(huán)，令

C={xIx￡R△￡R(xa=ax)}

c稱作環(huán)R的中心，證明。是A的子環(huán)。

6.設(shè)。和的是含么環(huán)中的兩個(gè)可逆元，證明：

(1)一。可逆，且(一。廣=一””

(2)ab可逆，且(4與一1=6一%7

7.在域<25,+5'>中解卜列方程和方程組：

(1)3x=2

x+2z=1

<y+2z=2

⑵，+y=i

8.類似于子環(huán)，給出子整環(huán)和子域的定義

習(xí)題5.1

1.下面哪些集合是偏序集？

(1)<Z，=>(2)<Z，K>

(3)<Z，N>(4)<Z">

解（1）是偏序集，（2）不是偏序集，（3）是偏序集，（4）不是偏序集

2.確定由下面的關(guān)系圖5.6表示的表示的3個(gè)關(guān)系是否為偏序？并列出這些關(guān)系中的所

有序偶來進(jìn)行驗(yàn)證。

解略

圖5.6習(xí)題2的圖

3.確定由下面的關(guān)系矩陣表示的關(guān)系是否為偏序？

1010

1011p0010110

<110-Jo10>

0011

⑴90L（2）10L（3）1101

解略

4.畫出在下述集合上的整除關(guān)系的哈斯圖。

⑴{1,2,3,4,5,6,7,8}（2）｛1，2,3,5,7,11,13）

（3）{L2,3,6,12,24,36,48}（4）｛1，2,4,8,16,32,64｝

解（1）、（2）的哈斯圖如下：

（3）、（4）略

5.在卜面偏序集中找出兩個(gè)不可比的元素。

(1)<p({0,1,2}),c>(2)<{12,4,6,8},l>

解略

6.<{3,5,9,15,24,45},l>是偏序集。

(1)求極大元素和極小元素。

(2)存在最大元素嗎？存在最小元素嗎？如果存在，請(qǐng)求出。

(3)找出子集{3,5}的所有上界。如果它的上確界存在的話，上確界。

(4)找出子集［15,45}的所有下界。如果它的下確界存在的話，求出下確界。

解(1)極大元素為9,15,24和45,極小元素為3和5。

(2)不存在最大元素，也不存在最小元素。

(3)子集同5}的上界有［5利45,上確界是15。

(4)子集{15,45}的下界有3,5和15,下確界是15。

7.<{{1}，{2},⑷,{1,2},{1,4},{2,4},{3,4},{1,3.4},{2,3,4}},二>是

偏序集。

(1)求極大元素和極小元素。

(2)存在最大元素嗎？存在最小元素嗎？

(3)找出子集{{2卜{4}}的所有上界。如果它的上確界存在的話，上確界。

(4)找出子集{{1，2,3},{2,3,4}}的所有下界。如果它的下確界存在