新人教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第一章空間中直線、平面的平行培優(yōu)練習題

第2課時空間中直線、平面的平行

《必備知識-圈圜1

知識點空間平行關(guān)系的向量表示

(1)兩直線平行的判定方法

設(shè)“1,“2分別是直線11,/2的方向向量，則11〃一="1〃〃2=m幾?R,使得

U1=2〃2?

(2)直線和平面平行的判定方法

設(shè)〃是直線/的方向向量，〃是平面a的法向量，IQa,則/〃a=〃

=0.

(3)平面和平面平行的判定方法

設(shè)”1,“2分別是平面a,4的法向量，則

60nm=34wR,使得n\=Xm.

疆點撥--------------------------------

(l)w,wi,U2,n,m,"2都是非零向量.

(2)用向量方法證明線線平行時，必須說明兩直線不重合；證明線面平行時，

必須說明直線不在平面內(nèi)；證明面面平行時，必須說明兩個平面不重合.

。即時訓練

1.(2022?遼陽高二月考)若兩條不重合直線Zi和/2的方向向量分別為vi=(l,

0,-1),V2=(-2,0,2),則/i和/2的位置關(guān)系是()

A.平行B.相交

C.垂直D.不確定

解析：選A.由題意知V2=(—2,0,2),所以V2=—20，即V2與共線，所

以兩條不重合直線/1和/2的位置關(guān)系是平行，故選A.

2.根據(jù)下列條件，判斷相應(yīng)的平面與平面、直線與平面的位置關(guān)系：

(1)兩個不同的平面a,4的法向量分別是〃=(1,3,0),v=(—3,~9,0)；

(2)直線/的方向向量、平面a的法向量分別是a=(3,2,1),〃=(—1,2,

解：⑴因為〃=(1,3,0),v=(-3,-9,0),

所以y=—3u,所以〃〃v,且平面a,夕不重合，所以a〃及

(2)因為a=(3,2,1),"=(—1,2,-1),

所以au=—3+4—1=0,

所以a_L〃，所以/uy或/〃Q.

關(guān)鍵能力0提升

考點一直線與直線平行的證明

圖TH如圖所示，在四棱錐PA3CD中，底面A3CD為矩

形，平面ABC。，E為CP的中點，N為DE的中點，DM

=1DB,DA=DP=1,CD=2.求證：MN//AP.

【證明】方法一：由題意知，直線DA,DC,DP兩兩垂直，如圖所示，

以。為坐標原點，DA,DC,。尸所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角

坐標系，

則。(0,0,0),A(l,0,0),P(0,0,1),A(0,I，j,

*，I，0),所以崩=(—1,0,1),MN=(-?0,I

1

-

所以MN4又故MN〃AP.

方法二：由題意可得疚=MD+加BDDEBD+|x|

(DC+IJP)=；BDIX：DPBCDP(AD+DP)=：

AP,又〃弘;5,所以MN〃AP.

胭題技巧---------------------------------

證明直線平行的兩種思路

形.

證明：以點。為坐標原點，分別以D4,DC,DDi所在直線為x軸，y軸，2

軸建立空間直角坐標系，則施，F(xiàn)Ci,ECi,套分別為直線AE,FC\,ECi,AF

的方向向量，不妨設(shè)正方體的棱長為1,則A(l,0,0),@0,0,Ci(0,1,

1),F(l,1,J,

所以屐=1—1,0,=0,1j,EC\=[0,1,AF=fo,1,1

所以施=戶6,EC\=AF,

所以靛〃病i,ECi//AF

又因為尸四石，F(xiàn)^ECi,

所以AE〃歹Ci,ECi//AF,

所以四邊形AECR是平行四邊形.

考點二直線與平面平行的證明

ET21如圖所示，在正方體A3CD-ALBCI?中，。是BLDI

的中點，求證：31c〃平面ODG.

【證明】方法一：建立空間直角坐標系Dxyz,如圖所示,

設(shè)正方體的棱長為1,

則可得31(1,1,1),C(0,1,0),。&，11,G(0,1,1),D(0,0,0),

所以疵=(T,0,-1),ob=f-|,-11OCi=f-1,I，0

設(shè)平面ODCi的法向量為"=(xo,yo,zo),

f11

rnOD=Q,一產(chǎn)一歹?！獄o=O,(,

由得＜11解得,_

n-OCi=0,一尹)+p)=0,")XQ

令xo=l,得〃=(1,1,-1),布?“=—1+1=0,所以旅,〃，又平

面ODG,所以5c〃平面ODCi.

方法二：因為屈7=氏白+麻=就＞+灰'1+屈9+濟=虎1+歷,

所以麻，OCi,5b共面.

又310a平面ODC1,所以BC〃平面ODC1.

方法三：因為疵=癡力，BiiAiD,

所以BiC〃4D

又AIDU平面ODG,BiCQ平面ODCi,

所以31c〃平面ODCi.

陶題技巧---------------------------------

利用空間向量證明線面平行的方法

(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)

的一個基底表示.

(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面

平行判定定理得證.

(3)先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面

的法向量垂直.

＜跟蹤訓練如圖，在四棱柱ABCD-ALBCLDI中，n

"1

側(cè)棱AiA,底面ABC。，ABLAC,AB=1,AC=AAi=2,

N

AD=CD=小，且點"和N分別為5C和的中點.求

D

證：MN〃平面ABCD

證明：如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，依題章

可得A(0,0,0),C(2,0,0),0(1,-2,0),Bi(0,1,2);

￡>1(1,-2,2).

因為M,N分別為BiC,DLD的中點，所以從1,1,1

Ml,-2,1).

依題意，可得〃=(0,0,1)為平面A3CD的一個法向量，又疝V=(0,-|,0

則加.“=(),又直線AfW平面ABCD,所以MN〃平面ABCD

考點三平面與平面平行的證明

EB1如圖所示，平面平面A3CD,A3CD為正方形,

△心。是直角三角形，且R4=AD=2,E,F,G分別是線段必,

PD,CD的中點.求證：平面ERG〃平面PBC.

【證明】由題意知A3,AP,AD兩兩垂直，以A為原點，AB,AD,AP所

在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角

坐標系,則40,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,

0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(l,2,0).

所以度=(0,-1,0),FG=(1,1,-1),BC=(0,

2,0),PB=(2,0,-2),

設(shè)〃i=yi,zi)是平面GEF的法向量,

一一{m-FE=0y

則ni.LFE,m.LFG,即J

[〃iFG=0,

fi=0,

得八

%i+yi—zi=0,

令zi=l,則％i=l,yi=0,

所以〃i=(l,0,1).

設(shè)打2=(%2,丁2,Z2)是平面P3C的一個法向量,

由n2-LPB,m^BC,

|ni-PB=2x2—2Z2=0,

得1_

[鹿2\BC=2y2=0,

丁2=0,

即J

[X2—Z2=0,

令Z2=l,得％2=1,y2=0,

所以"2=(1,0,1).

因為m="2,所以平面EFG//平面PBC.

胭題技巧---------------------------------

證明面面平行問題的兩種方法

⑴轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行；(2)分別求出這兩個平面的法向量，然

后證明這兩個法向量平行.本例題采用的是方法(2),解題過程雖復(fù)雜，但思路清

晰，是證明面面平行的常用方法.

《跟蹤訓練如圖，在直四棱柱ABCD-ALBICLDI中，底

面A3CD為等腰梯形，AB//CD,AB=4,BC=CD=2,

=2,R是棱A3的中點.

求證：平面AALDLD〃平面RCCi.

證明：因為AB=4,BC=CD=2,R是棱A3的中點,

所以3R=3C=CR,

所以△3CR為正三角形.

因為ABCD為等腰梯形，所以NA4D=NABC=60。.

取AR的中點連接DM,

則DM±AB,所以DMLCD.

以。為原點，DM,DC,DDi所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角

坐標系，

則。(0,0,0),￡)1(0,0,2),A他,-1,0),F(y[3,1,0),C(0,2,0),

Ci(0,2,2),

所以歷i=(0,0,2),DA=(yj3,-1,0),CF=(V3,-1,0),CCi=(0,0,

2),

所以防i〃Qi,DA//&,

又。DinZM=D,CGnCF=C,DDi,ZMu平面AALDLD,CCI,CTu平面

FCCi,

所以平面AALDLD〃平面FCCi.

課堂鞏固口自1測

1.已知向量a=(2,4,5),6=(3,x,y)分別是直線/i,/2的一個方向向量,

若h〃b,則()

B.x=3,y=^2

A.x=6,y=15

c/15

C.x=3,y=15D.x=6,y=~2

3%2~，/15

解析：選D.由題意得萬=5,所以x=6,y=^2?

2.(2022?遼寧高二月考)若直線/的方向向量為a=(l,0,2),平面a的法向

量為〃=(—2,1,1),則()

A.I//aB./_La

C.lua或/〃aD./與a斜交

解析：選C.因為a=(l,0,2),〃=(—2,1,1),所以a?〃=lX(—2)+0Xl

+2X1=0,所以/ua或/〃a.故選C.

3.設(shè)平面a的法向量為(1,2,-2),平面用的法向量為(一2,-4,k),若

a//p,則左=()

A.2B.14

C.4D.-2

]2—2

解析：選C.因為a〃“，所以--=~~=~r,所以左=4.

-2—4K

4.如圖，在正方體A3CD-AEC。中，點M,N分別是面

對角線43與面對角線4c的中點.求證：MN〃側(cè)面A。；

MN//AD',并且MN*AD).

證明：設(shè)AB=a,AD=b,AAr=c,

一1一1

則AM=2(a+c),AN=c+](a+辦),

所以疚=AN-AM=|S+c),

即MN與b,c共面.

因為MMt平面A。，

所以MN〃平面A。，

又因為Z>+c=A。'，

所以說V=|AD',

所以MN〃AD',MN=3ADL

課后達標0I檢測

[A基礎(chǔ)達標]

1.在空間直角坐標系中，A(l,2,3),3(—2,-1,6),C(3,2,1),D(4,

3,0),則直線A3與CD的位置關(guān)系是()

A.垂直B.平行

C.異面D.相交但不垂直

解析：選B.由題意得，AB=(-3,-3,3),CD=(1,1,-1),所以油=

-3CD,所以油與詼共線，又A3與CD沒有公共點，所以AB〃CD

2.已知平面a的一個法向量是(2,-1,-1),a///3,則下列向量可作為平

面少的一個法向量的是()

A.(4,2,-2)B.(2,0,4)

C.(2,-1,-5)D.(4,-2,-2)

解析：選D.因為a〃色所以尸的法向量與a的法向量平行，又(4,-2,-

2)=2(2,-1,-1),故選D.

3.若協(xié)=XCD+//CE,則直線A3與平面CDE的位置關(guān)系是()

A.相交B.平行

C.直線在平面內(nèi)D.平行或直線在平面內(nèi)

解析：選D.因為筋=^CD+^CE,所以屈,CD,CE共面，則AB與

平面CDE的位置關(guān)系是平行或直線在平面內(nèi).

4.如圖所示，在棱長為a的正方體AiBiCiDi-ABCD中，

M,N分別為ALB和AC上的點，AiM=AN=^-a,則MN與

平面BBC1C的位置關(guān)系是()

A.相交B.平行

C.垂直D.不能確定

解析：選B.如圖，分別以C1B,C1D1,CiC所在直線為x,y,

\[2

z軸，建立空間直角坐標系，因為AiM=AZV=3a,

所以,節(jié)，§,

a

一(a

所以MN=(一1,。,

又Ci(O,0,0),￡)i(0,a,0),

所以&bi=(o,a,0).

所以疝v?Gbi=o.

所以說V，&方1.因為日方1是平面331cle的一個法向量，且MNQ平面BBiCiC,

所以MN〃平面BBiCiC.

5.已知平面a的法向量是(2,3,-1),平面4的法向量是(4,1-2),若

a〃口，則丸的值是.

23

解析：因為a〃色所以a的法向量與￡的法向量也互相平行，所以I=1=

一1

--,所以2=6.

答案：6

6.已知兩個不重合的平面a與平面A5C,若平面a的法向量為m=(2,—3,

1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1J),則平面a與平面ABC的位置關(guān)系是

解析：因為=0,ni-AC=0,ABCiAC=Ay所以〃i也是平面ABC的

法向量，又平面a與平面ABC不重合，所以平面a與平面ABC平行.

答案：平行

7.如圖，在正方體ABCD-AiBCiDi中，棱長為2,M,N分別

為AiB,AC的中點.求證：MN//B1C.

證明：

方法一：如圖，以點。為原點，DA,DC,所在直線分別為x軸、y軸、

z軸建立空間直角坐標系.則A(2,0,0),C(0,2,0),4(2,0,2),Bi(2,2,

2),M(2,1,1),N(l,1,0),所以疚=(—1,0,-1),B7C=(-2,0,-2).

所以m7=2疝V,所以屬C〃訕,所以MN〃BiC.

方法二：如圖，取空間一個基底{屈，AD,AAi},設(shè)協(xié)=a,AD=b,AAi=

c,則^c,MN=MA]+AiA+A?/=1'(c—a)+(—c)+1'(a+Z>)c),所

以加=；疵，所以疚〃疵，所以MN〃BC

[B能力提升]

8.如圖所示，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD,PA=A