三角函數(shù)應(yīng)用

7.4三角函數(shù)應(yīng)用

一、選擇題

1.如圖所示，單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置。的距離5cm和時(shí)間ts的函數(shù)關(guān)系式為s

=6sin（100位+目，那么單擺來回?cái)[一次所需的時(shí)間為（）

A.%sB.y^gsC.50sD.100s

【答案】A

2.如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=3sin（1r+0）+A,據(jù)此函

數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（）

水深/m

O618x時(shí)間/h

A.5B.6C.8D.10

【答案】c

【解析】由題干圖易得ymin=%-3=2,則&=5.

，ymax=k+3=8.

3.彈簧上掛的小球做上下振動(dòng)，它在時(shí)間Z（s）時(shí)離開平衡位置的位移s（cm）滿足函數(shù)關(guān)系式s=

2sint+J.給出下列三種說法：①小球開始時(shí)在平衡位置上方啦cm處；②小球下降到最低點(diǎn)時(shí)在

平衡位置下方2cm處：③經(jīng)過21ts小球重復(fù)振動(dòng)一次.其中正確的說法是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】D

【解析】當(dāng)f=0時(shí)，s=2sin（0+*=W，故①正確；Smin=-2,故②正確；函數(shù)的最小正周期

T=2n,故③正確.

4.如圖所示為2018年某市某天中6h至14h的溫度變化曲線，其近似滿足函數(shù)y=Asin（s+9）+

（4>0,。>0,會(huì)〈兀）的半個(gè)周期的圖象，則該天8h的溫度大約為（）

A.16℃B.15℃C.14℃D.13℃

【答案】D

【解析】由題意得A=：x(30-10)=10,

/?=1x(30+10)=20,

V2x(14—6)=16,.*.-=16,.'.co=5,

CDo

10si+夕)+20,

將無=6,y=10代入得lOsin像＜6+，+20=10,

即sin仔+，=-1,

由于芻＜夕＜兀，可得"=竽，

10sin^.r+-^-J+20,xG[6,14].

當(dāng)x=8時(shí)，y=10sin《x8+,）+20=20-5gl3,

即該天8h的溫度大約為13°C,故選D.

5.一觀覽車的主架示意圖如圖所示，其中。為輪軸的中心，距地面32m（即OM長），巨輪的半徑長

為30m,AM=8P=2m,巨輪逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)且每12分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)一圈.若點(diǎn)M為吊艙尸的初始位置，經(jīng)

過，分鐘，該吊艙P(yáng)距離地面的高度為版/）m,則人⑺等于（）

A.30sin（帝一與）+30B.30sin（U）+30

C.30sin儡一號+32D.30sin信一芻）

【答案】B

【解析】過點(diǎn)O作地面的平行線作為x軸，過點(diǎn)。作x軸的垂線作為），軸，過點(diǎn)8作x軸的垂

線8N交x軸于N點(diǎn)，如圖，點(diǎn)A在圓。上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)的角速度是招=看，所以，分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)

為如

設(shè)夕=，當(dāng)比鄂j,/BON=()一；,

〃=OA+BN=30+30sin(<9-^,

當(dāng)時(shí)，上述關(guān)系式也適合.

故6=30+30sin(，-5=3Osin@-9+3O.

6.如圖所示，有一廣告氣球，直徑為6cm,放在公司大樓上空，當(dāng)行人仰望氣球中心的仰角/BAC

=30。時(shí)，測得氣球的視角為尸=1。，當(dāng)。很小時(shí)，可取sin依仇試估算氣球的高8C的值約為()

【答案】B

CD33

【解析】AC=sin口=71H7cx180kl72(m),

sin前

又NBAC=30°,/.BC=1AC=86in.

7.設(shè)y=W)是某港口水的深度y(m)關(guān)于時(shí)間f(h)的函數(shù)，其中0WK24.下表是該港口某一天從0到

24時(shí)記錄的時(shí)間f與水深y的關(guān)系：

t03691215182124

y1215.112.19.111.914.911.98.912.1

經(jīng)長期觀測，函數(shù)y=/(x)的圖象可以近似地看成函數(shù)y=4sin(初+°)+k的圖象.下面的函數(shù)中，最

能近似地表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是()

兀

A.y=12+3sin下，/￡[0,24]

B.y=12+3sin(gf+7t),re[0,241

C.y=12+3sin各re[0,24]

D.y=12+3sin(j￥+辦00,24]

【答案】A

【解析】由已知數(shù)據(jù)，可得y=/(r)的周期T=12,

所以。=竿=5.

由已知可得振幅A=3,々=12.

7T

又當(dāng)，=0時(shí)，y=12,所以令＜＜0+3=0得0=0,

故y=12+3sin氏，00,24].

二、填空題

8.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(f)=115+25sin(160m),其中p(/)為血壓(mmHg),/為時(shí)間(min),則此

人每分鐘心跳的次數(shù)是.

【答案】80

【解析】7=高=志分)，戶4=80(次/分).

9.已知某種交流電電流/(A)隨時(shí)間小)的變化規(guī)律可以擬合為函數(shù)/=5&sin(100m—3,七[0,+

8),則這種交流電在0.5s內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為.

【答案】25

【解析】因?yàn)?4=券=喋=50，

所以0.5s內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為0.5x50=25.

10.如圖所示，彈簧下掛著的小球做上下振動(dòng).開始時(shí)小球在平衡位置上方2cm處，然后小球向上

運(yùn)動(dòng)，小球的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)與平衡位置的距離都是4cm,每經(jīng)過兀s小球往復(fù)振動(dòng)一次，則小球

離開平衡位置的位移y與振動(dòng)時(shí)間x的關(guān)系式可以是.

O-——初始位置

O平衡位置

【答案】y=4sin(2x+§

【解析】不妨設(shè)y=Asin(5+°).

由題意知A=4,7=兀，所以①=爺=2.

當(dāng)x=0時(shí)，y=2,且小球開始向上運(yùn)動(dòng)，

所以有3=2E+會(huì)上￡Z,不妨取0=5，

故所求關(guān)系式可以為y=4sin(2x+§.

11.一個(gè)單擺的平面圖如圖.設(shè)小球偏離鉛錘方向的角為a(rad),并規(guī)定當(dāng)小球在鉛錘方向右側(cè)時(shí)a

為正角，左側(cè)時(shí)a為負(fù)角.a作為時(shí)間r(s)的函數(shù)，近似滿足關(guān)系式a=4sin(初十號，其中。＞0.已知

小球在初始位置(即r=0)時(shí)，a=?且每經(jīng)過冗s小球回到初始位置，那么A=；a關(guān)于/

的函數(shù)解析式是.

【答案】|a=，sin(2l+?,00,+oo)

【解析】???當(dāng)f=0時(shí)，a=j,

.九_(tái)匹?衛(wèi)

??§=44s?in],??A4=_§.

又；周期7=Jt,.,.產(chǎn)=兀，解得3=2.

CD

故所求的函數(shù)【解析】式是a=?in(2r+S，fG[0,+oo).

三、解答題

12.如圖，一個(gè)水輪的半徑為4in,水輪圓心。距離水面2m,已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，如果當(dāng)水

輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)(圖中點(diǎn)Po)開始計(jì)算時(shí)間.

⑴將點(diǎn)P距離水面的高度z(m)表示為時(shí)間f(s)的函數(shù)；

(2)點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要多少時(shí)間？

解⑴如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)角夕(一如”0)是以。x為始邊，OPo為終邊的角.

OP每秒鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為言奇，

則OP在時(shí)間/(s)內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為強(qiáng)/.

由題意可知水輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，

得z=4sin4f+，+2.

1jr

當(dāng)1=0時(shí),z=0,得sin3=-g,即伊=一%.

故所求的函數(shù)關(guān)系式為z=4sin島L*)+2.

⑵令z=4sin儒，-聿)+2=6,

得sin儒

令卻4嶗得,=2。，

故點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約需要20s.

13.據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每月的價(jià)格滿足函數(shù)關(guān)系式：fix)=Asin(tox+<?>)+

8(A>0,。>0,陽與，x為月份.已知3月份該商品的價(jià)格首次達(dá)到最高，為9萬元，7月份該商品

的價(jià)格首次達(dá)到最低，為5萬元.

(1)求7(x)的解析式；

(2)求此商品的價(jià)格超過8萬元的月份.

解⑴由題意可知,=7—3=4,"=8,

.2兀兀

??co=，7=不

(5+9

~2~=Bf［A=2,

即?=2sin僅+e)+7.(*)

又貝戈)過點(diǎn)(3,9),代入(*)式得2sin伶+卬)+7=9,

?,.sin(￥+,=l,?,.才+°=，+2攵兀，fccz.

T7lI兀?兀

又131<5，??(P=-R

=2sin^.r-^+7(l<x<12,xeN*).

⑵令兀v)=2sin(H)+7>8,

.入也像-習(xí)斗

,7t?7C7T57t.,

??z+2Ev/—彳<~^+2k兀，kGZ,

O440

5B

口J得1+Sk<x<^+8A,2eZ.

又10爛12,xeN*,Ax=2,3,4J0,11,12.

即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的價(jià)格超過8萬元.

四、探究與拓展

14.有一沖擊波，其波形為函數(shù)y=—sin發(fā)的圖象，若其在區(qū)間［0,f］上至少有2個(gè)波峰，則正整數(shù)

t的最小值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

15.某海濱浴場一天的海浪高度y(m)是時(shí)間*0登24)(h)的函數(shù)，記作產(chǎn)就，下表是某天各時(shí)的浪

高數(shù)據(jù)：

t03691215182124

y1.51.00.51.01.51.0