高等數(shù)學(xué)教案第三章

高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案第三章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用授課序號01教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)原函數(shù)，不定積分概念，不定積分性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)原函數(shù)存在性參考教材同濟(jì)版、人大版《高等數(shù)學(xué)》；同濟(jì)版《微積分》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)。掌握不定積分的基本公式。教學(xué)基本內(nèi)容一、基本概念：1、原函數(shù)已知是定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，若存在函數(shù)，使得或者,，則稱為區(qū)間上的原函數(shù).2、不定積分在區(qū)間上,函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分,記作，即，其中符號稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量，是的一個(gè)原函數(shù).二、定理與性質(zhì)：基本積分公式(1)；(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12);(13);(14).性質(zhì)1(積分與微分關(guān)系)設(shè)函數(shù)及的原函數(shù)存在，則（1）；（2）.性質(zhì)2（線性運(yùn)算）設(shè)函數(shù)及的原函數(shù)存在，則，其中為任意常數(shù).三、主要例題：例1設(shè)和均連續(xù)，問與是否相等?例2求.例3求（即）.例4求.例5設(shè)曲線通過點(diǎn)，且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，求此曲線的方程.例6求下列不定積分:(1)；(2)；（3）;（4）;（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.例7已知求滿足條件的函數(shù).授課序號02教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第二節(jié)不定積分的換元法與分部法課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)不定積分第一換元法，分部積分法教學(xué)難點(diǎn)第二換元法參考教材同濟(jì)版、人大版《高等數(shù)學(xué)》；同濟(jì)版《微積分》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求掌握不定積分的換元法和分部積分法。教學(xué)基本內(nèi)容一、基本概念：1、第一類換元法的關(guān)鍵是：在求時(shí),如何將化為的形式.其具體作法可按如下步驟進(jìn)行：（1）變換積分形式（或稱湊微分），即；（2）作變量代換，有；（3）利用常用的積分公式求出的原函數(shù)，即得,從而；（4）回到原來的變量，將代入即得.2、如果在積分中，令，且可導(dǎo)，，則有若上式右端易求出原函數(shù)，則得第二換元積分公式，其中為的反函數(shù)，即.其具體作法可按如下步驟進(jìn)行.(1)變換積分形式，即直接或間接地令，且保證可導(dǎo)及，于是有；（2）求出的原函數(shù)，即得，從而；（3）回到原來變量，即由解出，從而得所求的積分3、分部積分法是針對解決某些被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)乘積的不定積分，它是由兩個(gè)函數(shù)的乘積的微分運(yùn)算法則推得的一種求積分的基本方法.若具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則，即.兩邊積分，得，即.也可寫作.二、定理與性質(zhì)：定理1設(shè)具有原函數(shù)，可導(dǎo)，則是的原函數(shù)，有換元公式.定理2設(shè)是單調(diào)的可導(dǎo)的函數(shù)，且，又具有原函數(shù)，則是的原函數(shù)，即有換元公式.三、主要例題：例1求.例2求不定積分.例3求不定積分：(1);(2).例4求（1）;（2）.例5求下列不定積分:(1);(2)例6求(1)；(2).例7求.例8求不定積分例9求下列不定積分:(1)(2)例10求.例11求不定積分.例12求(1)；(2).例13(1)；(2)；(3)；(4).例14求(1)；(2).例15求(1);(2);例16求.例17求.*例18求.例19求不定積分例20求（1）；（2）.例21求.例22求下列積分（1）；（2）.例23求（1）；（2）.例24求（1）；（2）.例25求.*例26求（1）；（2）.例27求.例28求不定積分.授課序號03教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第三節(jié)幾種特殊類型的不定積分課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)有理函數(shù)分解式教學(xué)難點(diǎn)有理三角式變換參考教材同濟(jì)版、人大版《高等數(shù)學(xué)》；同濟(jì)版《微積分》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求會求簡單的有理函數(shù)的積分。教學(xué)基本內(nèi)容一、基本概念：1、有理函數(shù)：有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù)，即具有如下形式的函數(shù)：,，.2、真分式：假設(shè)多項(xiàng)式之間沒有公因子，且的次數(shù)小于的次數(shù)，這時(shí)稱該有理函數(shù)為真分式，而的次數(shù)大于或等于的次數(shù)時(shí)稱該有理函數(shù)為假分式.3、最簡分式：下列四類分式稱為最簡分式,其中為大于等于2的正整數(shù),、、、、、均為常數(shù),且為二次質(zhì)因式.(1)；(2)；(3)；(4).二、定理與性質(zhì)：三、主要例題：例1把分式分解為最簡分式之和.例2把分式分解為最簡分式之和.例3分解有理分式.例4求.例5求.例6求.例7求例8求不定積分例9求不定積分.例10求.例11求.例12求.授課序號04教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第四節(jié)定積分的概念與性質(zhì)課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)定積分幾何意義，定積分性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)定積分定義參考教材同濟(jì)版、人大版《高等數(shù)學(xué)》；同濟(jì)版《微積分》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解定積分的概念及性質(zhì)，了解可積條件。教學(xué)基本內(nèi)容一、基本概念：1、定積分設(shè)函數(shù)在上有界，在區(qū)間上任意插入個(gè)點(diǎn)，則有，得到個(gè)小區(qū)間,,…,,…,，對應(yīng)的區(qū)間長度分別為、、…、、…、，記，在每一個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和，如果不論分法如何，如何選取，總有（為常數(shù)），則稱為在上的定積分（簡稱積分），記作.即.其中，稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分區(qū)間，，分別稱為積分的下限和上限，為被積函數(shù)，為被積表達(dá)式二、定理與性質(zhì)：定理1若函數(shù)在上連續(xù)，則在上可積.（連續(xù)可積）定理2若函數(shù)在上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積.注若函數(shù)在上可積，則在上有界.1、上下限性質(zhì)：在定義中規(guī)定，這一限制，對定積分的應(yīng)用帶來不便，因此我們規(guī)定：（1）；（2）設(shè)，則.2、被積函數(shù)性質(zhì)：（1）若在上可積，則在上也可積；（即存在，則也存在）（2）若在上可積，則在上的任何子區(qū)間上也可積。（即存在，則也存在，其中）（3）.3、線性性質(zhì)：若、均存在，則也存在，且，其中是常數(shù).4、區(qū)間的有限可加性：.只要，，均存在，無論、、所對應(yīng)的位置如何，上式恒成立.5、保序性:設(shè)，，且、均存在，則.推論1設(shè)，，且均存在，則；推論2.6、估值性質(zhì)：設(shè)，，則.7、積分中值定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使.三、主要例題：*例1利用定積分的定義，計(jì)算定積分.例2由定積分的幾何意義，求*例3利用定積分表示極限例4不計(jì)算積分，試比較下面兩個(gè)積分的大?。号c.例5比較積分值和的大小.例6估計(jì)積分的值.例7試求在區(qū)間上滿足積分中值定理的的值.授課序號05教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第五節(jié)微積分基本定理課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)牛頓萊布尼茲公式教學(xué)難點(diǎn)積分上限函數(shù)參考教材同濟(jì)版、人大版《高等數(shù)學(xué)》；同濟(jì)版《微積分》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理。掌握牛頓(Newton)-萊布尼茲(Leibniz)公式。教學(xué)基本內(nèi)容一、基本概念：1、設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，為上的任意一點(diǎn)(見圖（1）)，則積分存在，故為上變量的函數(shù)，稱為的積分上限的函數(shù).同理也是的函數(shù)，稱為的積分下限的函數(shù).二、定理與性質(zhì)：定理1若函數(shù)在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，且.定理2若函數(shù)在上連續(xù)，則是在上的一個(gè)原函數(shù),即，.推論若函數(shù)在上連續(xù)，，，,在上可導(dǎo)，則.定理3（牛頓—萊布尼茲公式）若函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在上的一個(gè)原函數(shù)，則.三、主要例題：例1求.例2求.例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）.例4設(shè)是連續(xù)函數(shù),試求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1);(2).例5設(shè)函數(shù)由方程所確定.求例6求.例7求定積分.例8求例9設(shè)求例10計(jì)算例11求定積分.例12求例13計(jì)算由曲線在之間及軸所圍成的圖形的面積.例14汽車以每小時(shí)36km速度行駛,到某處需要減速停車.設(shè)汽車以等加速度剎車.問從開始剎車到停車,汽車駛過了多少距離?*例15求極限.授課序號06教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第六節(jié)定積分的換元法和分部法課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)定積分的換元法，分部積分法教學(xué)難點(diǎn)定積分的換元參考教材同濟(jì)版、人大版《高等數(shù)學(xué)》；同濟(jì)版《微積分》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求掌握定積分的換元法和分部積分法。教學(xué)基本內(nèi)容一、基本概念：二、定理與性質(zhì)：1、定積分換元法：定理1設(shè)（1）函數(shù)在上連續(xù)；（2）在或上單調(diào)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且；（3）在或上變化時(shí)，在上變化，且，，則.2、定積分分部積分法：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由于，即，因此，即或.稱上式為定積分的分部積分公式.三、主要例題：例1計(jì)算.例2求定積分.例3求定積分.例4求定積分.例5求.例6求.例7當(dāng)在上連續(xù),則（1）若是區(qū)間上的連續(xù)且為奇函數(shù)，則；（2）若是區(qū)間上的連續(xù)且為偶函數(shù)，則;（3）若（即是以為周期的周期函數(shù)），則或;（4）;（5）;（6）.例8計(jì)算.例9計(jì)算例10計(jì)算例11求.例12計(jì)算.例13求.例14求.例15求.例16計(jì)算.*例17導(dǎo)出(為非負(fù)整數(shù))的遞推公式，并計(jì)算授課序號07教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第七節(jié)定積分的幾何與物理應(yīng)用課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)圖形面積，旋轉(zhuǎn)體體積，已知截面積的立體體積教學(xué)難點(diǎn)物理應(yīng)用參考教材同濟(jì)版、人大版《高等數(shù)學(xué)》；同濟(jì)版《微積分》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求掌握用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量(如面積、體積、弧長、功等)的方法。教學(xué)基本內(nèi)容一、基本概念：1、由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，稱為旋轉(zhuǎn)體.2、設(shè)為曲線弧上的兩個(gè)端點(diǎn)，任取分點(diǎn)，并依次連接相鄰分點(diǎn)得內(nèi)接折線（見圖（31）），其長度為.當(dāng)分點(diǎn)無限增多時(shí)，和式的極限存在，則稱此極限為曲線弧的弧長.二、定理與性質(zhì)：1、由曲線，直線及軸所圍成的平面圖形的面積為.2、設(shè)由曲線及，圍成一圖形（簡稱為曲邊扇形），這里在上連續(xù)，且.3、面圖形由曲線，直線，及軸所圍成，為繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，故旋轉(zhuǎn)體體積為.4、定理光滑曲線弧是可求長的.5、設(shè)函數(shù)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，曲線弧由給出，所求弧長為.由，要求.6、設(shè)曲線弧由參數(shù)方程給出，其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).由弧微分可知，因此.注由，要求.7、設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出，其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).由弧微分可知，因此.注由，要求.三、主要例題：例1求橢圓的面積.例2求由兩條曲線和（）圍成的平面圖形的面積.例3求拋物線與直線所圍成的平面圖形的面積.例4計(jì)算阿基米德螺線上相應(yīng)于從到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.例5計(jì)算心形線所圍成的圖形的面積.例6計(jì)算由雙紐線所圍成的區(qū)域的面積.例7求橢圓分別繞軸與軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)體的體積.例8求星行線(見圖（24）)繞軸旋構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.例9求曲線,所圍成的圖形(見圖（25）)繞軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.例10求由擺線的一拱，軸所圍的圖形(見圖（26）)分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.例11一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底圓中心并與底面交成角（見圖（29）)，計(jì)算這平面截圓柱體所得的立體的體積.例12求，兩柱面所圍立體的體積.例13求曲線上相應(yīng)于從到的一段弧的長度.例14求圓的周長.例15求星形線的全長.例16求擺線一拱的弧長.例17計(jì)算阿基米德螺線上相應(yīng)于從到一段的弧長.例18求心形線的全長.例19設(shè)40N的力使彈簧從自然長度10cm拉長成15cm,問需要作多大的功才能克服彈性恢復(fù)力,將伸長的彈簧從15cm處再拉長3cm?例20設(shè)有一直徑為20m的半球形水池,池內(nèi)貯滿水,若要把水抽盡,問至少作多少功.例21一個(gè)三角形薄板鉛直地沉浸在水中，底在上且與水面相接，底邊長為，高為，求薄板每側(cè)所受的壓力（設(shè)水的比重為）.授課序號08教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第三章第八節(jié)反常積分課的類型新知識課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多