高等數(shù)學教案第三章

高等數(shù)學教學教案第三章一元函數(shù)積分學及其應用授課序號01教學基本指標教學課題第三章第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點原函數(shù)，不定積分概念，不定積分性質(zhì)教學難點原函數(shù)存在性參考教材同濟版、人大版《高等數(shù)學》；同濟版《微積分》作業(yè)布置課后習題大綱要求理解原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)。掌握不定積分的基本公式。教學基本內(nèi)容一、基本概念：1、原函數(shù)已知是定義在某區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，若存在函數(shù)，使得或者,，則稱為區(qū)間上的原函數(shù).2、不定積分在區(qū)間上,函數(shù)的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分,記作，即，其中符號稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量，是的一個原函數(shù).二、定理與性質(zhì)：基本積分公式(1)；(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(12);(13);(14).性質(zhì)1(積分與微分關系)設函數(shù)及的原函數(shù)存在，則（1）；（2）.性質(zhì)2（線性運算）設函數(shù)及的原函數(shù)存在，則，其中為任意常數(shù).三、主要例題：例1設和均連續(xù)，問與是否相等?例2求.例3求（即）.例4求.例5設曲線通過點，且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的平方，求此曲線的方程.例6求下列不定積分:(1)；(2)；（3）;（4）;（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）.例7已知求滿足條件的函數(shù).授課序號02教學基本指標教學課題第三章第二節(jié)不定積分的換元法與分部法課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點不定積分第一換元法，分部積分法教學難點第二換元法參考教材同濟版、人大版《高等數(shù)學》；同濟版《微積分》作業(yè)布置課后習題大綱要求掌握不定積分的換元法和分部積分法。教學基本內(nèi)容一、基本概念：1、第一類換元法的關鍵是：在求時,如何將化為的形式.其具體作法可按如下步驟進行：（1）變換積分形式（或稱湊微分），即；（2）作變量代換，有；（3）利用常用的積分公式求出的原函數(shù)，即得,從而；（4）回到原來的變量，將代入即得.2、如果在積分中，令，且可導，，則有若上式右端易求出原函數(shù)，則得第二換元積分公式，其中為的反函數(shù)，即.其具體作法可按如下步驟進行.(1)變換積分形式，即直接或間接地令，且保證可導及，于是有；（2）求出的原函數(shù)，即得，從而；（3）回到原來變量，即由解出，從而得所求的積分3、分部積分法是針對解決某些被積函數(shù)是兩類不同函數(shù)乘積的不定積分，它是由兩個函數(shù)的乘積的微分運算法則推得的一種求積分的基本方法.若具有連續(xù)導數(shù)，則，即.兩邊積分，得，即.也可寫作.二、定理與性質(zhì)：定理1設具有原函數(shù)，可導，則是的原函數(shù)，有換元公式.定理2設是單調(diào)的可導的函數(shù)，且，又具有原函數(shù)，則是的原函數(shù)，即有換元公式.三、主要例題：例1求.例2求不定積分.例3求不定積分：(1);(2).例4求（1）;（2）.例5求下列不定積分:(1);(2)例6求(1)；(2).例7求.例8求不定積分例9求下列不定積分:(1)(2)例10求.例11求不定積分.例12求(1)；(2).例13(1)；(2)；(3)；(4).例14求(1)；(2).例15求(1);(2);例16求.例17求.*例18求.例19求不定積分例20求（1）；（2）.例21求.例22求下列積分（1）；（2）.例23求（1）；（2）.例24求（1）；（2）.例25求.*例26求（1）；（2）.例27求.例28求不定積分.授課序號03教學基本指標教學課題第三章第三節(jié)幾種特殊類型的不定積分課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點有理函數(shù)分解式教學難點有理三角式變換參考教材同濟版、人大版《高等數(shù)學》；同濟版《微積分》作業(yè)布置課后習題大綱要求會求簡單的有理函數(shù)的積分。教學基本內(nèi)容一、基本概念：1、有理函數(shù)：有理函數(shù)是指由兩個多項式的商所表示的函數(shù)，即具有如下形式的函數(shù)：,，.2、真分式：假設多項式之間沒有公因子，且的次數(shù)小于的次數(shù)，這時稱該有理函數(shù)為真分式，而的次數(shù)大于或等于的次數(shù)時稱該有理函數(shù)為假分式.3、最簡分式：下列四類分式稱為最簡分式,其中為大于等于2的正整數(shù),、、、、、均為常數(shù),且為二次質(zhì)因式.(1)；(2)；(3)；(4).二、定理與性質(zhì)：三、主要例題：例1把分式分解為最簡分式之和.例2把分式分解為最簡分式之和.例3分解有理分式.例4求.例5求.例6求.例7求例8求不定積分例9求不定積分.例10求.例11求.例12求.授課序號04教學基本指標教學課題第三章第四節(jié)定積分的概念與性質(zhì)課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點定積分幾何意義，定積分性質(zhì)教學難點定積分定義參考教材同濟版、人大版《高等數(shù)學》；同濟版《微積分》作業(yè)布置課后習題大綱要求理解定積分的概念及性質(zhì)，了解可積條件。教學基本內(nèi)容一、基本概念：1、定積分設函數(shù)在上有界，在區(qū)間上任意插入個點，則有，得到個小區(qū)間,,…,,…,，對應的區(qū)間長度分別為、、…、、…、，記，在每一個小區(qū)間上任取一點，作和，如果不論分法如何，如何選取，總有（為常數(shù)），則稱為在上的定積分（簡稱積分），記作.即.其中，稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分區(qū)間，，分別稱為積分的下限和上限，為被積函數(shù)，為被積表達式二、定理與性質(zhì)：定理1若函數(shù)在上連續(xù)，則在上可積.（連續(xù)可積）定理2若函數(shù)在上有界，且只有有限個間斷點，則在上可積.注若函數(shù)在上可積，則在上有界.1、上下限性質(zhì)：在定義中規(guī)定，這一限制，對定積分的應用帶來不便，因此我們規(guī)定：（1）；（2）設，則.2、被積函數(shù)性質(zhì)：（1）若在上可積，則在上也可積；（即存在，則也存在）（2）若在上可積，則在上的任何子區(qū)間上也可積。（即存在，則也存在，其中）（3）.3、線性性質(zhì)：若、均存在，則也存在，且，其中是常數(shù).4、區(qū)間的有限可加性：.只要，，均存在，無論、、所對應的位置如何，上式恒成立.5、保序性:設，，且、均存在，則.推論1設，，且均存在，則；推論2.6、估值性質(zhì)：設，，則.7、積分中值定理：設函數(shù)在上連續(xù)，則至少存在一點，使.三、主要例題：*例1利用定積分的定義，計算定積分.例2由定積分的幾何意義，求*例3利用定積分表示極限例4不計算積分，試比較下面兩個積分的大?。号c.例5比較積分值和的大小.例6估計積分的值.例7試求在區(qū)間上滿足積分中值定理的的值.授課序號05教學基本指標教學課題第三章第五節(jié)微積分基本定理課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點積分上限函數(shù)的導數(shù)牛頓萊布尼茲公式教學難點積分上限函數(shù)參考教材同濟版、人大版《高等數(shù)學》；同濟版《微積分》作業(yè)布置課后習題大綱要求理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導定理。掌握牛頓(Newton)-萊布尼茲(Leibniz)公式。教學基本內(nèi)容一、基本概念：1、設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，為上的任意一點(見圖（1）)，則積分存在，故為上變量的函數(shù)，稱為的積分上限的函數(shù).同理也是的函數(shù)，稱為的積分下限的函數(shù).二、定理與性質(zhì)：定理1若函數(shù)在上連續(xù)，則在上可導，且.定理2若函數(shù)在上連續(xù)，則是在上的一個原函數(shù),即，.推論若函數(shù)在上連續(xù)，，，,在上可導，則.定理3（牛頓—萊布尼茲公式）若函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在上的一個原函數(shù)，則.三、主要例題：例1求.例2求.例3求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）.例4設是連續(xù)函數(shù),試求以下函數(shù)的導數(shù)：(1);(2).例5設函數(shù)由方程所確定.求例6求.例7求定積分.例8求例9設求例10計算例11求定積分.例12求例13計算由曲線在之間及軸所圍成的圖形的面積.例14汽車以每小時36km速度行駛,到某處需要減速停車.設汽車以等加速度剎車.問從開始剎車到停車,汽車駛過了多少距離?*例15求極限.授課序號06教學基本指標教學課題第三章第六節(jié)定積分的換元法和分部法課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點定積分的換元法，分部積分法教學難點定積分的換元參考教材同濟版、人大版《高等數(shù)學》；同濟版《微積分》作業(yè)布置課后習題大綱要求掌握定積分的換元法和分部積分法。教學基本內(nèi)容一、基本概念：二、定理與性質(zhì)：1、定積分換元法：定理1設（1）函數(shù)在上連續(xù)；（2）在或上單調(diào)且具有連續(xù)導數(shù)且；（3）在或上變化時，在上變化，且，，則.2、定積分分部積分法：設函數(shù)在區(qū)間上具有連續(xù)導數(shù)，由于，即，因此，即或.稱上式為定積分的分部積分公式.三、主要例題：例1計算.例2求定積分.例3求定積分.例4求定積分.例5求.例6求.例7當在上連續(xù),則（1）若是區(qū)間上的連續(xù)且為奇函數(shù)，則；（2）若是區(qū)間上的連續(xù)且為偶函數(shù)，則;（3）若（即是以為周期的周期函數(shù)），則或;（4）;（5）;（6）.例8計算.例9計算例10計算例11求.例12計算.例13求.例14求.例15求.例16計算.*例17導出(為非負整數(shù))的遞推公式，并計算授課序號07教學基本指標教學課題第三章第七節(jié)定積分的幾何與物理應用課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多媒體結合教學重點圖形面積，旋轉體體積，已知截面積的立體體積教學難點物理應用參考教材同濟版、人大版《高等數(shù)學》；同濟版《微積分》作業(yè)布置課后習題大綱要求掌握用定積分表達一些幾何量與物理量(如面積、體積、弧長、功等)的方法。教學基本內(nèi)容一、基本概念：1、由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉一周而成的立體，稱為旋轉體.2、設為曲線弧上的兩個端點，任取分點，并依次連接相鄰分點得內(nèi)接折線（見圖（31）），其長度為.當分點無限增多時，和式的極限存在，則稱此極限為曲線弧的弧長.二、定理與性質(zhì)：1、由曲線，直線及軸所圍成的平面圖形的面積為.2、設由曲線及，圍成一圖形（簡稱為曲邊扇形），這里在上連續(xù)，且.3、面圖形由曲線，直線，及軸所圍成，為繞軸旋轉一周而成的立體，故旋轉體體積為.4、定理光滑曲線弧是可求長的.5、設函數(shù)具有一階連續(xù)導數(shù)，曲線弧由給出，所求弧長為.由，要求.6、設曲線弧由參數(shù)方程給出，其中在上具有連續(xù)導數(shù).由弧微分可知，因此.注由，要求.7、設曲線弧由極坐標方程給出，其中在上具有連續(xù)導數(shù).由弧微分可知，因此.注由，要求.三、主要例題：例1求橢圓的面積.例2求由兩條曲線和（）圍成的平面圖形的面積.例3求拋物線與直線所圍成的平面圖形的面積.例4計算阿基米德螺線上相應于從到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.例5計算心形線所圍成的圖形的面積.例6計算由雙紐線所圍成的區(qū)域的面積.例7求橢圓分別繞軸與軸旋轉而得的旋轉體的體積.例8求星行線(見圖（24）)繞軸旋構成旋轉體的體積.例9求曲線,所圍成的圖形(見圖（25）)繞軸旋轉構成旋轉體的體積.例10求由擺線的一拱，軸所圍的圖形(見圖（26）)分別繞軸、軸旋轉一周而成的旋轉體的體積.例11一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底圓中心并與底面交成角（見圖（29）)，計算這平面截圓柱體所得的立體的體積.例12求，兩柱面所圍立體的體積.例13求曲線上相應于從到的一段弧的長度.例14求圓的周長.例15求星形線的全長.例16求擺線一拱的弧長.例17計算阿基米德螺線上相應于從到一段的弧長.例18求心形線的全長.例19設40N的力使彈簧從自然長度10cm拉長成15cm,問需要作多大的功才能克服彈性恢復力,將伸長的彈簧從15cm處再拉長3cm?例20設有一直徑為20m的半球形水池,池內(nèi)貯滿水,若要把水抽盡,問至少作多少功.例21一個三角形薄板鉛直地沉浸在水中，底在上且與水面相接，底邊長為，高為，求薄板每側所受的壓力（設水的比重為）.授課序號08教學基本指標教學課題第三章第八節(jié)反常積分課的類型新知識課教學方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學教學手段黑板多