湖北省孝感市伍洛鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

湖北省孝感市伍洛鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，是第三象限的角,則=

A.

B.

C.

D．-2參考答案：D略2.一個幾何體的三視圖如所示，則該幾何體的外接球表面積為（）A．3π B．5π C．10π D．20π參考答案：D【考點】球的體積和表面積；簡單空間圖形的三視圖．【分析】由題意，直觀圖是以俯視圖為底面，側(cè)棱垂直與底面的四棱錐，求出該幾何體的外接球的半徑，可得結(jié)論．【解答】解：由題意，直觀圖是以俯視圖為底面，側(cè)棱垂直與底面的四棱錐，∴該幾何體的外接球的半徑為=，∴該幾何體的外接球表面積為4π?5=20π，故選D．3.已知，則的最小值為（

）A．8

B．16

C．20

D．25參考答案：4.已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為A． B． C．3 D．2參考答案：A設(shè)橢圓離心率，雙曲線離心率，由焦點三角形面積公式得，即，即，設(shè)，由柯西不等式得最大值為.5.一個幾何體的三視圖如圖示，則這個幾何體的體積為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：知識點：三視圖G2D解析：由三視圖可知該幾何體為正方體截取一個角之后剩余的部分，如圖，所以其體積為，則選D.【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是判斷原幾何體形狀，可在熟悉的幾何體的三視圖基礎(chǔ)上進行解答.6.已知i是虛數(shù)單位，則=A．i

B．－i

C．1

D．－1參考答案：C【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算即可得到結(jié)果.【詳解】=，故選：C．

7.函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B8.定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點（成中心對稱，對任意的實數(shù)都有且則的值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略9.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長的棱長為（）A． B．C．3 D．參考答案：C【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】如圖所示，該幾何體為三棱錐P﹣ABC．過點P作PO⊥平面ABC，垂足為O點，連接OB，OC，則四邊形ABOC為平行四邊形．OA⊥OB．【解答】解：如圖所示，該幾何體為三棱錐P﹣ABC．過點P作PO⊥平面ABC，垂足為O點，連接OB，OC，則四邊形ABOC為平行四邊形．OA⊥OB．則最長棱為PC==3．故選：C．10.已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則=(

)A．

B．

C．

D．2參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若是偶函數(shù)，則_________.

參考答案：略12.右圖是一個空間幾何體的三視圖，如果主視圖和左視圖都是邊長為2的正三角形，俯視圖為正方形，那么該幾何體的體積為________________.參考答案：略13.已知函數(shù)=x+sinx.項數(shù)為19的等差數(shù)列滿足，且公差.若，則當=__________時，.參考答案：略14.（5分）已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b均為正實數(shù)），則類比以上等式，可推測a、b的值，進而可得a+b=．參考答案：55【考點】：類比推理．【專題】：計算題；推理和證明．【分析】：觀察所給的等式，照此規(guī)律，第7個等式中：a=7，b=72﹣1=48，即可寫出結(jié)果．解：觀察下列等式=2，=3，=4，…，照此規(guī)律，第7個等式中：a=7，b=72﹣1=48，∴a+b=55，故答案為：55【點評】：本題考查歸納推理，考查對于所給的式子的理解，主要看清楚式子中的項與項的數(shù)目與式子的個數(shù)之間的關(guān)系．15.已知橢圓的右焦點為F(c,0),過F作與x軸垂直的直線與橢圓相交于點P，過點P的橢圓的切線與x軸相交于點A,則點A的坐標為

___。參考答案：略16.在極坐標系中，若過點（3，0）且與極軸垂直的直線交曲線于A、B兩點，則|AB|=

.參考答案：略17.如果等比數(shù)列的前項和，則常數(shù)參考答案：-1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

已知函數(shù)

（I）求的單調(diào)區(qū)間；

（II）證明：當參考答案：（Ⅰ）f￠(x)＝2(x－a)ex＋(x－a)2ex＝(x－a)[x－(a－2)]ex．…………2分令f￠(x)＝0，得x1＝a－2，x2＝a．當x變化時，f￠(x)、f(x)的變化如下：x(－∞，a－2)a－2(a－2，a)a(a，＋∞)f￠(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，a－2)，(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(a－2，a)．……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得[f(x)]極大＝f(a－2)＝4ea－2．（1）當a≤1時，f(x)在(－∞，1]上的最大值為f(a－2)或f(1)，由解得－1≤a≤1；（2）當a－2≤1＜a，即1＜a≤3時，f(x)在(－∞，1]上的最大值為f(a－2)，此時f(a－2)＝4ea－2≤4e3－2＝4e；（3）當a－2＞1，即a＞3時，f(1)＝(a－1)2e＞4e，f(x)≤4e不恒成立．綜上，a的取值范圍是[－1，3]．…………………12分略19.若F1，F(xiàn)2是橢圓C：+=1（0＜m＜9）的兩個焦點，橢圓上存在一點P，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于該線段的中點M．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點（0，）的直線l與橢圓C交于兩點A、B，線段AB的中垂線l1交x軸于點N，R是線段AN的中點，求直線l1與直線BR的交點E的軌跡方程．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（Ⅰ）求出a=3，b=，設(shè)橢圓的下焦點F1，設(shè)線段PF1的中點為：M；由題意，OM⊥PF1，又OM=b，OM是△PF1F2的中位線，由橢圓定義，在Rt△OMF1中的勾股定理，求出b=2，得到m．然后求解橢圓C的方程．（Ⅱ）上焦點坐標（0，）．直線l的斜率k必存在．設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），弦AB的中點Q（x0，y0），利用平方差法得到AB的斜率，通過（1）當x0≠0時，k=kAB=，推出9x02+4y02﹣4y0=0，連結(jié)BN，則E為△ABN的重心，設(shè)E（x，y），利用重心坐標公式，推出代入9x02+4y02﹣4y0=0軌跡方程，（2）當x0=0時，驗證即可．【解答】解：（Ⅰ）∵0＜m＜9，∴a=3，b=，不妨設(shè)橢圓的下焦點F1，設(shè)線段PF1的中點為：M；由題意，OM⊥PF1，又OM=b，OM是△PF1F2的中位線，∴|PF2|=2b，由橢圓定義，|PF1|=2a﹣2b=6﹣2b．∴=3﹣b，在Rt△OMF1中：，∴c2=b2+（3﹣b）2，又c2=a2﹣b2=9﹣b2．，∴b2+（3﹣b）2=9﹣b2交點b=0（舍去）或b=2，∴m=b2=4．∴橢圓C的方程：+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）橢圓C的方程：+=1．上焦點坐標（0，）．直線l的斜率k必存在．設(shè)A（x1，y1）B（x2，y2），弦AB的中點Q（x0，y0），由，可得4（y1+y2）（y1﹣y2）=﹣9（x1+x2）（x1﹣x2），∴k==﹣=﹣（y0≠0）（1）當x0≠0時，k=kAB=∴k==?9x02+4y02﹣4y0=0，?又l1：y﹣y0=，∴N（），連結(jié)BN，則E為△ABN的重心，設(shè)E（x，y），則，∴代入9x02+4y02﹣4y0=0可得：48x2+3y2﹣2，（y≠0）．（2）當x0=0時，l：y=，N（0，0），E（0，）也適合上式，綜上所述，點E的軌跡方程為：48x2+3y2﹣2，（y≠0）．20.已知函數(shù)R．（1）若，①當時，求函數(shù)f(x)的極值（用a表示）；②若f(x)有三個相異零點，問是否存在實數(shù)a使得這三個零點成等差數(shù)列？若存在，試求出a的值；若不存在，請說明理由；（2）函數(shù)f(x)圖象上點A處的切線與f(x)的圖象相交于另一點B，在點B處的切線為，直線的斜率分別為，且，求a，b滿足的關(guān)系式．參考答案：解：（1）①由及，得，

令，解得或.由知，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，因此，的極大值為，的極小值為.②當時，，此時不存在三個相異零點；當時，與①同理可得的極小值為，的極大值為.要使有三個不同零點，則必須有，即.

不妨設(shè)的三個零點為，且，則，，

①，②，③②-①得，因為，所以，

④同理，

⑤⑤-④得，因為，所以，

又，所以.

所以，即，即，因此，存在這樣實數(shù)滿足條件.

（2）設(shè)A（m，f(m)）,B(n，f(n))，則，，又，由此可得，化簡得，因此，，

所以，，所以.

21.（12分）已知函數(shù)的定義域為，值域為．試求函數(shù)（）的最小正周期和最值．

參考答案：解析：……2’…………4’當＞0時，，解得，………………6’從而，

，T=，最大值為5，最小值為－5；………………8’當m＜0時，解得，………………10’從而，，T=，最大值為，最小值為．……………………12’22.（本小題滿分12分）如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求證AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大??；

參考答案：（I）（II）連結(jié)AC、BD交于G，連結(jié)FG，∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB為二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，在直