專題07 角的有關(guān)計算易錯（解析版）-2020-2021學年七年級數(shù)學寒假溫故知新匯編（人教版）

2020-2021學年七年級數(shù)學寒假溫故知新匯編（人教版）專題07角的有關(guān)計算易錯【典型例題】1．（2021·江陰市周莊中學七年級期末）已知點O是直線AB上的一點，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分線．(1)當點C，E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)(如圖1所示)時，試說明∠BOE＝2∠COF；(2)當點C與點E，F(xiàn)在直線AB的兩旁(如圖2所示)時，(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請給出你的結(jié)論并說明理由；(3)將圖2中的射線OF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)m°(0＜m＜180°)得射線OD．設(shè)∠AOC＝n°，若∠BOD＝(60－n)°，則∠DOE的度數(shù)是(用含n的式子表示)【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）（30+n）°【分析】（1）設(shè)∠COF=α，則∠EOF=90°-α，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠AOF、∠AOC、推出∠BOE即可；（2）設(shè)∠AOC=β，求出∠AOF，推出∠COF、∠BOE、即可推出答案；（3）根據(jù)∠DOE=180°-∠BOD-∠AOE或∠DOE=∠BOE+∠BOD和∠AOE=90°-∠AOC，代入求出即可．【詳解】解：（1）設(shè)∠COF=α，則∠EOF=90°-α，∵OF是∠AOE平分線，∴∠AOF=90°-α，∴∠AOC=（90°-α）-α=90°-2α，∠BOE=180°-∠COE-∠AOC，=180°-90°-（90°-2α）=2α，即∠BOE=2∠COF；（2）解：成立，設(shè)∠AOC=β，則∠AOF=，∴∠COF==（90°+β），∠BOE=180°-∠AOE，=180°-（90°-β），=90°+β，∴∠BOE=2∠COF；（3）解：分為兩種情況：如圖3，∠DOE=180°-∠BOD-∠AOE，=180°-（60-）°-（90°-n°），=（30+n）°，如圖4，∵∠BOE=180°-∠AOE=180°-（90°-n°）=90°+n°，∠BOD=（60-）°∴∠DOE=∠BOE+∠BOD=（90°+n°）+（60-）°=（150+n）°當∠FOD＜180°時，此時不符合題意，舍去，綜上答案為：（30+n）°．【點睛】本題考查了角平分線定義，角的大小計算等知識點的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，題目比較典型，有一定的代表性．【專題訓練】解答題1．（2021·北京平谷區(qū)·七年級期末）已知：OB是∠AOC的角平分線，OC是∠AOD的角平分線，∠COD＝40°．分別求∠AOD和∠BOC的度數(shù)．【答案】；【分析】根據(jù)角平分線的定義可知，∠AOD=2∠COD，∠BOC=∠AOC，從而可求答案．【詳解】OC平分∠AOD，又∵∠COD=40°∵OB平分∠AOC綜上：，【點睛】本題主要考查角平分線的定義，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2021·遼寧錦州市·七年級期末）如圖，，，平分，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)角度的計算先求出，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)故可求解．【詳解】解：因為，，所以，因為平分，所以，所以．【點睛】此題主要考查角度的求解，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)．3．（2021·前郭爾羅斯蒙古族自治縣海勃日戈鎮(zhèn)中學七年級期末）如圖，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度數(shù)．【答案】120°，30°【分析】先根據(jù)角平分線，求得的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系，求得的度數(shù)，最后根據(jù)角平分線，求得、的度數(shù)．【詳解】∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°∴∠BOE=∠AOB=45°又∵∠EOF=60°∴∠BOF=∠EOF－∠BOE=15°又∵OF平分∠BOC∴∠BOC=2∠BOF=30°∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°故∠AOC=120°，∠COB=30°．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，根據(jù)角的和差關(guān)系進行計算是解題的關(guān)鍵注意：也可以根據(jù)的度數(shù)是度數(shù)的2倍進行求解．4．（2021·青海西寧市·七年級期末）如圖，，，三點在同一條直線上，．（1）寫出圖中的補角是______，的余角是______；（2）如果平分，，求的度數(shù)．【答案】（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)補角和余角的定義得出結(jié)果；（2）利用，，求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，再由即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵，∴的補角是，∵，∴的余角是，故答案是：，；（2）∵，，∴，∵平分，∴，∵，，三點在一條直線上，∴．【點睛】本題考查角度的求解，解題的關(guān)鍵是掌握余角和補角的定義，角平分線的性質(zhì)．5．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市·七年級期末）如圖，和都是直角（1）判斷與圖中哪個角相等，并簡單寫出理由；（2）若，過點O作的平分線OE，則的度數(shù)為________，并簡單寫出求解過程．【答案】（1）與圖中的相等，理由見解析；（2）75°．【分析】（1）由和都是直角，可得、，然后根據(jù)等量代換即可得到；（2）先根據(jù)角的和差求得∠COB，然后再求出∠AOB，最后根據(jù)角平分線的定義即可解答．【詳解】解（1）與圖中的相等，，，即與圖中的相等；（2），，又，∴∠AOB=∠COB+∠AOC=，．【點睛】本題主要考查了直角的性質(zhì)、角平分線的定義以及角的和差，靈活運用角平分線的定義以及角的和差成為解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·四川綿陽市·東辰國際學校七年級期末）如圖，點O是直線AB上一點，OD，OE分別平分∠AOC和∠BOC．（1）若∠AOC=40°，求∠DOE的度數(shù)．（2）若∠AOC=α，求∠DOE的度數(shù)．【答案】（1）90°；（2）90°．【分析】（1）根據(jù)∠AOC＝40°，則可計算出∠BOC＝140°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠COD＝∠AOC＝20°，∠COE＝∠BOC＝70°，然后利用∠DOE＝∠COD＋∠COE進行計算，即可求∠DOE的度數(shù)；（2）根據(jù)∠AOC＝α，則可計算出∠BOC＝180°?α，再根據(jù)角平分線的定義得到∠COD＝∠AOC＝α，∠COE＝∠BOC＝90°?α，然后利用∠DOE＝∠COD＋∠COE進行計算即可．【詳解】解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°?∠AOC＝140°．∵OD，OE分別平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD＝∠AOC＝×40°＝20°，∠COE＝∠BOC＝×140°＝70°．∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝20°+70°＝90°．（2）∵∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°?∠AOC＝180°?α．∵OD，OE分別平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD＝∠AOC＝α，∠COE＝∠BOC＝（180?α）＝90°?α．∴∠DOE＝∠COD＋∠COE＝α＋（90°?α）＝90°．【點睛】本題考查了角的計算問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線與鄰補角的定義．7．（2021·山東師范大學第二附屬中學七年級期末）已知：射線在的內(nèi)部，，，平分．（1）如圖，若點A，O，B在同一條直線上，OD是內(nèi)部的一條射線，求的度數(shù)；（2）若，的度數(shù)為（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）根據(jù)題意可得，，，從而求出，再根據(jù)平分，得出，最后即求出．（2）分情況討論①當射線OD在內(nèi)部時，根據(jù)（1）的步驟即可解答；②當射線OD在外部時，根據(jù)（1）的步驟即可解答．【詳解】（1）∵，點A、O、B再同一條直線上．∴，．由題意，∴．∵平分，∴，∴．（2）①當射線OD在內(nèi)部時，如圖．∵，，，∴，，．∴，∵平分，∴．∴．②當射線OD在外部時，如圖．同理可知：，，．∴，∴，∵平分，∴．∴．故答案為：或．【點睛】本題考查有關(guān)角的計算，角平分線的定義，角的和差倍分．利用數(shù)形結(jié)合的思想結(jié)合分類討論是解題是關(guān)鍵．8．（2021·天津河西區(qū)·七年級期末）已知O為直線AB上一點，過點O向直線AB上方引兩條射線OC，OD，且OC平分．（Ⅰ）請在圖①中的內(nèi)部畫一條射線OE，使得OE平分，并求此時的度數(shù)；（Ⅱ）如圖②，若在內(nèi)部畫的射線OE，恰好使得，且，求此時的度數(shù)．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的度數(shù)為．【分析】由角平分線的定義得出，，．（2）設(shè)，則，，根據(jù)平角的定義列等式求出結(jié)果即可．【詳解】（Ⅰ）如圖，∵OC平分，OE平分，∴，，∴．（Ⅱ）如下圖，設(shè)，根據(jù)題意得．∵，∴．∵OC平分，∴，∵，∴．解得：．∴．∴的度數(shù)為．【點睛】本題主要考查了角的計算，角平分線的定義．本題隱含的知識點為：這4個角是一個平角．應(yīng)設(shè)出和所求角有關(guān)的較小的量為未知數(shù)．9．（2021·汝南縣第二初級中學七年級期末）如圖，O為直線AB上的一點，∠AOC＝48°24′，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°．（1）求∠BOD的度數(shù)；（2）OE是∠BOC的平分線嗎？為什么？【答案】（1）155°48′；（2）OE是∠BOC的平分線，理由詳見解析【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)得出，由∠BOD與互為鄰補角即可求得答案；（2）分別求出、的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義得出答案．【詳解】解：（1），平分，，；（2）是的平分線．理由如下：，，，，，，是的平分線．【點睛】此題主要考查了角平分線的定義，正確得出各角的度數(shù)是解題關(guān)鍵．10．（2021·廣東揭陽市·七年級期末）如圖，直線AB與CD相交于點O，∠AOE=90°.（1）如圖1，若OC平分∠AOE,求∠AOD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠BOC=4∠FOB，且OE平分∠FOC，求∠EOF的度數(shù).【答案】（1）135°；（2）54°【分析】（1）利用OC平分∠AOE，可得∠AOC＝∠AOE＝×90°＝45°，再利用∠AOC+∠AOD=180°，即可得出．（2）由∠BOC=4∠FOB，設(shè)∠FOB=x°，∠BOC=4x°，可得∠COF=∠COB-∠BOF=3x°，根據(jù)OE平分∠COF，可得∠COE=∠EOF=∠COF=x°，即可得出．【詳解】（1）∵∠AOE=90°，OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠AOE＝×90°＝45°，∵∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°，即∠AOD的度數(shù)為135°．（2）∵∠BOC=4∠FOB，∴設(shè)∠FOB=x°，∠BOC=4x°∴∠COF=∠COB-∠BOF=4x°-x°=3x°∵OE平分∠COF∴∠COE=∠EOF=∠COF=x°∵x+x＝90°∴x=36，∴∠EOF=x°=×36°＝54°即∠EOF的度數(shù)為54°．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、方程思想方法、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算能力．11．（2021·河北邯鄲市·育華中學七年級期末）如圖，直角三角板的直角頂點在直線上，、是三角板的兩條直角邊，平分．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，則（用含的代數(shù)式表示）；（3）當三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到圖的位置時，其他條件不變，請直接寫出與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）40o；（2）；（3）【分析】（1）由題意易得，則有，進而根據(jù)鄰補角可求解；（2）由題意易得，則有，進而問題可求解；（3）由題意可得，則有，然后根據(jù)角的和差關(guān)系可求解．【詳解】解：（1）且為直角平分（2）且為直角平分故答案為（3）為直角平分．【點睛】本題主要考查角平分線的定義及鄰補角，熟練掌握角平分線的定義及鄰補角是解題的關(guān)鍵．12．（2021·橋柱中學七年級期末）已知，射線OC在內(nèi)部，作的平分線OD和的平分線OE．（1）如圖①，當時，則_______．（2）如圖②，若射線OC在內(nèi)部繞O點旋轉(zhuǎn)，當時，求的度數(shù)．（3）當射線OC在外繞O點旋轉(zhuǎn)且為鈍角時，請在備用圖中畫出的平分線OD和的平分線OE，判斷的大小是否發(fā)生變化?求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）；（3）的大小發(fā)生變化，或．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，則可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE＋∠COD；（2）結(jié)合角的特點，根據(jù)∠DOE＝∠DOC＋∠COE，求得結(jié)果進行判斷和計算；（3）正確作出圖形，根據(jù)∠DOE的大小作出判斷即可．【詳解】（1）解：（1）∵OD、OE分別平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE＝∠COB＝35°，∠COD＝∠AOC=（90°-70°）＝10°，∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝45°故答案為：；（2）∵OD、OE分別平分和，∴，，∵，∴；（3）的大小發(fā)生變化．①如備用圖1所示：∵OD、OE分別平分和，∴，，∴；②如備用圖2所示：∵OD、OE分別平分和，∴，，∴．綜上，得：的大小發(fā)生變化，或．【點睛】本題考查了角的計算，正確作圖，熟記角的特點與角平分線的定義是解決此題的關(guān)鍵．13．（2021·遼寧沈陽市·七年級期末）在和中，（1）如圖1，已知，當時，求的度數(shù)：（2）如圖2，已知，，且時，請直接寫出∠BOD的度數(shù)；（3）如圖3，當，，且時，請直接用含有，，的代數(shù)式表示的值【答案】（1）140°；（2）64°；（3）．【分析】（1）根據(jù)∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD求解即可；（2）根據(jù)∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD、求解即可；（3）仿照（2）的解題步驟求解即可；【詳解】解：（1）∵，，∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+90°-40°=140°；（2）∵，，∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=82°+110°-∠BOD=192°-∠BOD，∵，∴2∠BOD=192°-∠BOD，∴∠BOD=64°；（3）∵，，∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=α+β-∠BOD∵，∴n∠BOD=α+β-∠BOD，∴∠BOD=．【點睛】本題考查了角的和差計算，正確運用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．14．（2021·廣東深圳市·七年級期末）如圖，以點O為端點按順時針方向依次作射線OA、OB、OC、OD.（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度數(shù).（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度數(shù).（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，當α為多少度時，∠AOD和∠BOC互余？并說明理由.【答案】（1）∠AOB=30°，∠DOC=30°；（2）∠COD=30°；（3）當α=45°時，∠AOD與∠BOC互余．【分析】（1）根據(jù)互余的意義，即可求出答案；（2）設(shè)出未知數(shù)，利用題目條件，表示出∠AOB、∠BOC，進而列方程求解即可；（3）利用角度的和與差，反推得出結(jié)論，再利用互余得出答案．【詳解】（1）∵∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=60°，∴∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=90°﹣60°=30°，∠DOC=∠BOD﹣∠BOC=90°﹣60°=30°；（2）設(shè)∠COD=x°，則∠BOC=100°﹣x°．∵∠AOC=110°，∴∠AOB=110°﹣(100°﹣x°)=x°+10°．∵∠AOD=∠BOC+70°，∴100°+10°+x°=100°﹣x°+70°，解得：x=30，即∠COD=30°；（3）當α=45°時，∠AOD與∠BOC互余．理由如下：要使∠AOD與∠BOC互余，即∠AOD+∠BOC=90°，∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=90°，即∠AOC+∠BOD=90°．∵∠AOC=∠BOD=α，∴∠AOC=∠BOD=45°，即α=45°，∴當α=45°時，∠AOD與∠BOC互余．【點睛】本題考查了互為余角的意義，通過圖形直觀得出角度的和或差，以及各個角之間的關(guān)系是得出正確答案的前提．15．（2021·沈陽市第一二六中學七年級期末）為直線上一點，以為頂點作，射