彈性力學(xué)及有限元法2

第二章平面問(wèn)題的有限元法第三節(jié) 三角形常應(yīng)變單元第五節(jié) 收斂準(zhǔn)則第八節(jié) 熱載荷與應(yīng)力計(jì)算第一節(jié) 彈性問(wèn)題平面問(wèn)題第二節(jié) 有限元法解題步驟第六節(jié) 計(jì)算實(shí)例第四節(jié) 整體分析第七節(jié) 平面問(wèn)題其他類(lèi)型單元1

第二章平面問(wèn)題的有限元法掌握平面應(yīng)力和平面應(yīng)變兩大問(wèn)題的基本方程；了解有限元分析模型建立過(guò)程；掌握平面三節(jié)點(diǎn)三角形單元分析過(guò)程；掌握有限元分析步驟。返回2一、平面應(yīng)變問(wèn)題2.1彈性力學(xué)平面問(wèn)題幾何形狀：很長(zhǎng)縱向軸

橫截面大小形狀沿軸線不變外力：與軸線垂直且沿軸線不變約束：約束沿軸線不變

柱體兩端受固定約束返回3一、平面應(yīng)變問(wèn)題2.1彈性力學(xué)平面問(wèn)題假設(shè)柱體是無(wú)限長(zhǎng)的Z方向位移w=0位移發(fā)生在Oxy面所以：返回42.1彈性力學(xué)平面問(wèn)題幾何方程（位移與應(yīng)變）：???????íì??+??=??=??=xvyuyvxuxyyxgee返回52.1彈性力學(xué)平面問(wèn)題物理方程（應(yīng)力與應(yīng)變）：或返回6簡(jiǎn)寫(xiě)為：

[D]稱為平面應(yīng)變問(wèn)題的彈性矩陣，是一個(gè)對(duì)稱矩陣，其元素與彈性常數(shù)有關(guān)。

2.1彈性力學(xué)平面問(wèn)題即：物理方程（應(yīng)力與應(yīng)變）：返回72.1彈性力學(xué)平面問(wèn)題平衡微分方程返回8變形協(xié)調(diào)方程2.1彈性力學(xué)平面問(wèn)題?????????íì???=??+?????=??+?????=??+??zxxzzyyzyxxyxzzxyzzyxyyxgeegeegee222222222222222面力邊界條件返回9二、平面應(yīng)力問(wèn)題2.1彈性力學(xué)平面問(wèn)題幾何形狀：薄板，厚度為h外力：平行于中面，沿厚度均勻分布

前后表面不受外力作用邊界條件：所以

為x,y的函數(shù)。返回102.1彈性力學(xué)平面問(wèn)題物理方程（應(yīng)力與應(yīng)變）：[][][]GGGzxzxyzyzxyxyyxzzxyzyxtgtgtgssmsessmsessmse===+-=+-=+-=）（）（）（E1E1E1

zyx返回112.1彈性力學(xué)平面問(wèn)題或?qū)懗桑浩渲?/p>

——平面應(yīng)力的彈性矩陣平面應(yīng)力問(wèn)題的平衡方程和幾何方程都與平面應(yīng)變問(wèn)題類(lèi)同，它們相互代替使用。返回12

平面應(yīng)力問(wèn)題x,y向尺寸遠(yuǎn)大于z向尺寸。外載荷平行于xoy平面，且沿著z軸方向均勻分布。前后板面上無(wú)外載荷平面應(yīng)變問(wèn)題Z向尺寸遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于X、Y向尺寸，與Z軸垂直的各個(gè)截面尺寸相同；外載荷平行于XOY平面，且不沿Z軸方向變化；約束沿Z軸不變，兩端固定。2.1彈性力學(xué)平面問(wèn)題返回13

2.1彈性力學(xué)平面問(wèn)題平衡微分方程，幾何方程，變形協(xié)調(diào)方程以及面力邊界條件相同。平面應(yīng)變與平面應(yīng)力的不同主要在本構(gòu)方程，二者之間的差別只是一個(gè)常數(shù)。返回14

一、有限元法的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)：把有無(wú)限個(gè)自由度的連續(xù)體，理想化為只有有限個(gè)自由度的單元集合體，使問(wèn)題簡(jiǎn)化為適合于數(shù)值解法的結(jié)構(gòu)型問(wèn)題。

有限單元離散化集合總體分析解有限元法——連續(xù)體——單元——代替原連續(xù)體（近似法）

（單元分析）線性方程組2.2有限元法解題步驟返回15

2.2有限元法解題步驟二、有限元法的解題步驟

xy為平面應(yīng)力問(wèn)題，由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性可取結(jié)構(gòu)的1/4來(lái)研究，故所取的力學(xué)模型1.力學(xué)模型的選取問(wèn)題的提?。貉芯繉?duì)象問(wèn)題分類(lèi)：平面問(wèn)題、軸對(duì)稱問(wèn)題、板、梁、桿或組合體等邊界和約束的處理模型簡(jiǎn)化：對(duì)稱或反對(duì)稱、坐標(biāo)系選取返回162.2有限元法解題步驟二、有限元法的解題步驟

根據(jù)題目的要求，可選擇適當(dāng)?shù)膯卧呀Y(jié)構(gòu)離散化。對(duì)于平面問(wèn)題可用三角元，四邊元等。2.單元的選取、結(jié)構(gòu)的離散化例如：返回172.2有限元法解題步驟二、有限元法的解題步驟用單元結(jié)點(diǎn)的位移通過(guò)插值獲得單元內(nèi)各點(diǎn)的位移。通常都是假定單元的位移模式是多項(xiàng)式，一般來(lái)說(shuō)，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)應(yīng)與單元的自由度數(shù)相等。它的階數(shù)至少包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)。3.選擇單元的位移模式——單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移列陣；——單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣；——單元的形函數(shù)矩陣；（它的元素是任一點(diǎn)位置坐標(biāo)的函數(shù)）返回18

把（3-2）式代入物理方程，得到用單元結(jié)點(diǎn)位移表示的單元應(yīng)力表達(dá)式：

把（3-1）式代入幾何方程，得到用單元結(jié)點(diǎn)位移表示的單元應(yīng)變表達(dá)式：2.2有限元法解題步驟二、有限元法的解題步驟4.單元的力學(xué)特性分析利用虛功方程建立單元結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，即單元的剛度方程：

式中：返回19由結(jié)點(diǎn)位移列陣

代入（3-3）式求出各單元的應(yīng)力值。2.2有限元法解題步驟二、有限元法的解題步驟考慮約束情況，修改整體剛度方程，變成以結(jié)點(diǎn)位移為未知數(shù)的代數(shù)方程組。解此方程組可求出結(jié)點(diǎn)位移。

將單剛

組集成總剛

，并將

組集成總載荷列陣

，形成總體結(jié)構(gòu)的剛度方程：5.建立整體結(jié)構(gòu)的剛度方程6.求解修改后的整體結(jié)構(gòu)剛度方程7.由單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣計(jì)算單元應(yīng)力返回202.2有限元法解題步驟二、有限元法的解題步驟

求解出整體結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力后，可有選擇地整理輸出某些關(guān)鍵點(diǎn)的位移值和應(yīng)力值，特別要輸出結(jié)構(gòu)的變形圖、應(yīng)力圖、應(yīng)變圖、結(jié)構(gòu)仿真變形過(guò)程動(dòng)畫(huà)圖及整體結(jié)構(gòu)的彎矩、剪力圖等。8.計(jì)算結(jié)果輸出返回212.3三角形常應(yīng)變單元一、離散化

把彈性體劃分為有限個(gè)互不重疊的單元體，這些單元在其頂點(diǎn)（即節(jié)點(diǎn)）處互相連接，組成一個(gè)單元集合體，以替代原來(lái)的彈性體。同時(shí)，將所有作用在單元上的載荷（包括集中載荷、表面載荷和體積載荷），都按靜力等效的原則移置到節(jié)點(diǎn)上，由此便得到了平面問(wèn)題的有限元計(jì)算模型。

對(duì)于平面問(wèn)題，三角形單元是最簡(jiǎn)單、也是最常用的單元，在平面應(yīng)力問(wèn)題中，單元為三角形板，而在平面應(yīng)變問(wèn)題中，則是三棱柱。

返回222.3三角形常應(yīng)變單元返回通常，集中載荷的作用點(diǎn)、分布載荷強(qiáng)度的突變點(diǎn)，分布載荷與自由邊界的分界點(diǎn)、支承點(diǎn)等都應(yīng)該取為節(jié)點(diǎn)。并且，當(dāng)物體是由不同的材料組成時(shí)，厚度不同或材料不同的部分，也應(yīng)該劃分為不同的單元。節(jié)點(diǎn)的選擇及單元的劃分節(jié)點(diǎn)的多少及單元的大小根據(jù)要求的計(jì)算精、計(jì)算機(jī)的容量等方面來(lái)綜合考慮。在保證計(jì)算精度的前提下，應(yīng)力求采用較少的單元。

劃分單元時(shí)，應(yīng)力變化梯度較大的部位單元可小一些，而在應(yīng)力變化比較平緩的區(qū)域可以劃分得粗一些。單元各邊的長(zhǎng)度不要相差太大，以免出現(xiàn)過(guò)大的計(jì)算誤差或出現(xiàn)病態(tài)矩陣。如上圖(a)的劃分方式顯然要比(b)的方式好。232.3三角形常應(yīng)變單元每一個(gè)單元體仍是一個(gè)彈性體，彈性力學(xué)的基本方程在每個(gè)單元內(nèi)部同樣適用。如果彈性體內(nèi)的位移分量函數(shù)已知，則應(yīng)變分量和應(yīng)力分量也就確定了，因此，有限元分析必須先假定一個(gè)位移模式。整個(gè)彈性體內(nèi)各點(diǎn)的位移變化情況非常復(fù)雜，很難選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)。如果分割成小單元，那么在每個(gè)單元的局部范圍內(nèi)就可以采用比較簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似地表示單元的真實(shí)位移。返回24二、位移模式返回位移模式：亦稱單元位移函數(shù)，是把單元中任意一點(diǎn)的位移近似地表示為該點(diǎn)坐標(biāo)的某種函數(shù)。根據(jù)數(shù)學(xué)理論，在一閉區(qū)間內(nèi)的函數(shù)總可以用一個(gè)多項(xiàng)式近似描述，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)越多，精度越高，因此，采用多項(xiàng)式描述單元中的位移函數(shù)，其項(xiàng)數(shù)受單元節(jié)點(diǎn)數(shù)的限制。2.3三角形常應(yīng)變單元單元內(nèi)任意點(diǎn)位移：

1、

2、…

6是待定常數(shù)。平面三角元位移模式：252.3三角形常應(yīng)變單元三、位移返回節(jié)點(diǎn)編號(hào)i、j、m逆時(shí)針排列節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)：節(jié)點(diǎn)位移：節(jié)點(diǎn)力：262.3三角形常應(yīng)變單元由左邊的三個(gè)方程可以求得

就是三角形i、j、m的面積。為保證求得的面積為正值，節(jié)點(diǎn)i、j、m的編排次序必須是逆時(shí)針?lè)较?。返?72.3三角形常應(yīng)變單元數(shù)學(xué)知識(shí)線性方程組的解克萊姆法則行列式按一行（列）展開(kāi)返回28返回經(jīng)整理后得到其中（i,j,m輪換）（i,j,m輪換）2.3三角形常應(yīng)變單元29Ni、Nj、Nm是坐標(biāo)(x,y)的函數(shù)，反映了單元內(nèi)的位移狀態(tài)，稱為形狀函數(shù)，簡(jiǎn)稱形函數(shù)。返回2.3三角形常應(yīng)變單元形函數(shù)性質(zhì)：（i,j,m輪換）⒈形函數(shù)在各單元節(jié)點(diǎn)上的值，具有“本點(diǎn)是1、它點(diǎn)為零”的性質(zhì)，即30返回⒉在單元的任一點(diǎn)上，三個(gè)形函數(shù)之和等于1，即⒊三角形單元任意一條邊上的形函數(shù)，僅與該邊的兩端節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)、而與其它節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)關(guān)。例如，在ij邊上，有利用形函數(shù)的這一性質(zhì)可以證明，相鄰單元的位移分別進(jìn)行線性插值之后，在其公共邊上將是連續(xù)的。2.3三角形常應(yīng)變單元312.3三角形常應(yīng)變單元返回四、應(yīng)變利用幾何方程，求單元內(nèi)一點(diǎn)應(yīng)變：322.3三角形常應(yīng)變單元返回簡(jiǎn)寫(xiě)成

單元應(yīng)變矩陣子矩陣形式矩陣[B]中的諸元素都是常量，單元內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)變分量也是常量，稱這類(lèi)單元為常應(yīng)變單元。332.3三角形常應(yīng)變單元返回利用物理方程求單元內(nèi)點(diǎn)的應(yīng)力：五、應(yīng)力寫(xiě)成分塊形式對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題：應(yīng)力矩陣342.3三角形常應(yīng)變單元返回

對(duì)于三角形單元（常應(yīng)變單元），由于所選取的位移模式是線性的，因而其相鄰單元將具有不同的應(yīng)力和應(yīng)變，即在單元的公共邊界上應(yīng)力和應(yīng)變的值將會(huì)有突變，但位移卻是連續(xù)的。35返回六.單元?jiǎng)偠染仃噾?yīng)用虛位移原理對(duì)單元e進(jìn)行分析假設(shè)單元e有虛位移，則節(jié)點(diǎn)虛位移:單元內(nèi)點(diǎn)的虛位移為{f*}，并具有與真實(shí)位移相同的位移模式，故有：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)力列陣:2.3三角形常應(yīng)變單元36返回單元內(nèi)的虛應(yīng)變：作用在單元體上的外力在虛位移上所做的功:單元應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功：2.3三角形常應(yīng)變單元單元厚度為t虛位方程：得到單元?jiǎng)偠确匠蹋?7返回2.3三角形常應(yīng)變單元[K]e稱為單元?jiǎng)偠染仃?。如果單元材料是均質(zhì)的，那么矩陣[D]中的元素就是常量，且三節(jié)點(diǎn)三角形為常應(yīng)變單元，[B]矩陣中的元素也是常量。當(dāng)單元的厚度也是常量時(shí)，可得：[K]e=[B]T[D][B]t

令單元?jiǎng)偠确匠蹋簍為單元厚度，Δ為三角形面積38返回2.3三角形常應(yīng)變單元寫(xiě)成分塊形式：?jiǎn)卧膭偠热Q于單元的大小、方向和彈性常數(shù)，而與單元的位置無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。平面應(yīng)力問(wèn)題：平面應(yīng)變問(wèn)題：返回39返回2.3三角形常應(yīng)變單元1.對(duì)稱于主對(duì)角線的對(duì)稱矩陣。2.主對(duì)角線元素恒為正值。3.單剛矩陣中每個(gè)元素為剛度系數(shù)。物理意義：若節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)軸某方向發(fā)生單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為０時(shí)，在所有節(jié)點(diǎn)上所需節(jié)點(diǎn)力的分量。主對(duì)角線元素為正值，說(shuō)明節(jié)點(diǎn)位移方向與節(jié)點(diǎn)力方向一致。4.是奇異矩陣，即其行列式值為0，不存在逆矩陣。物理意義：在無(wú)約束條件下，單元可以做剛體移動(dòng)，其位移是不定的。5.僅與單元應(yīng)變矩陣[Ｂ]和彈性矩陣[Ｄ]有關(guān)。說(shuō)明單元?jiǎng)偠染仃噧H與單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和材料物理性質(zhì)有關(guān)。

40返回2.3三角形常應(yīng)變單元單元分析的過(guò)程41返回2.4

整體分析一.整體方程整體節(jié)點(diǎn)位移列陣：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼從小到大的順序排列組成其中(i=1,2,…,n)整體載荷列陣：其中(i=1,2,…,n)整體方程：42返回2.4

整體分析二.整體剛度矩陣單剛矩陣[K]e

擴(kuò)充到總剛矩陣的階數(shù)(單元貢獻(xiàn)矩陣)2×2階子矩陣[Kij

]將處于上式中的第i雙行、第j雙列中除了i,j,m雙行和雙列上的子矩陣外，其余元素均為零43返回2.4

整體分析2.所有單元貢獻(xiàn)矩陣疊加成為2n階的總剛矩陣當(dāng)[Krs

]的下標(biāo)r=s或者屬于同一個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)號(hào)碼時(shí)，[Krs

]才可能不等于零，否則均為零。44返回2.4

整體分析組裝總剛[k]的一般規(guī)則：1.當(dāng)[Krs]中r=s時(shí)，該點(diǎn)被哪幾個(gè)單元所共有，則總剛子矩陣[Krs]就是這幾個(gè)單元的剛度矩陣子矩陣[Krs]e的相加。2.當(dāng)[Krs]中rs時(shí)，若rs邊是組合體的內(nèi)邊，則總體剛度矩陣[Krs]就是共用該邊的兩相鄰單元單剛子矩陣[Krs]e的相加。3.當(dāng)[Krs]中r和s不同屬于任何單元時(shí)，則總體剛度矩陣[Krs]=[0]。45返回2.4

整體分析123421q組裝總剛的實(shí)例：節(jié)點(diǎn)總碼：1、2、3、4節(jié)點(diǎn)局部碼:每個(gè)單元按逆時(shí)針?lè)较虻捻樞蚋髯跃幋ai,j,m單元的局部碼與總碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

單元1：i，j，m 1，2，3

單元2：i，j，m3，4，1或：

單元1：i，j，m 1，2，3

單元2：i，j，m1，3，4單元e的剛度矩陣分塊形式為：46返回2.4

整體分析整體剛度矩陣分塊形式為：其中每個(gè)子塊是按照節(jié)點(diǎn)總碼排列的。組集整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣:1.把單元?jiǎng)偠染仃嚁U(kuò)大成單元的貢獻(xiàn)矩陣

單元2

局部碼i，j，m

對(duì)應(yīng)總碼3，4，1

總碼

1234 1 2 3 4mi

j

局部碼47返回2.4

整體分析2.把各單元的貢獻(xiàn)矩陣對(duì)應(yīng)行和列的子塊相疊加

應(yīng)該指出:整體剛度矩陣中每個(gè)子塊為階矩陣，若整體結(jié)構(gòu)分為n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則整體剛度矩陣的階數(shù)是。

總碼1234

ijm mij局部碼

48返回2.4

整體分析

由總剛度方程可知：

欲使彈性體的某一節(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)軸方向發(fā)生單位位移，而其它節(jié)點(diǎn)都保持為零的變形狀態(tài)，在各節(jié)點(diǎn)上所需要施加的節(jié)點(diǎn)力。⒈剛度矩陣[K]中每一列元素的物理意義為：三、整體剛度矩陣的性質(zhì)49返回2.4

整體分析令節(jié)點(diǎn)1在坐標(biāo)軸x方向的位移u1=1，而其余的節(jié)點(diǎn)位移v1=u2=v2=u3=v3=…=u2n

=v2n

=0，這樣就可得到節(jié)點(diǎn)載荷列陣等于[K]的第一列元素組成的列陣，即即表示：是在j節(jié)點(diǎn)有單位位移時(shí)，而在i節(jié)點(diǎn)所需施加的力。50返回2.4

整體分析⒉剛度矩陣[K]中主對(duì)角元素總是正的。剛度矩陣[K]中的元素k33是表示節(jié)點(diǎn)2在x方向產(chǎn)生單位位移，而其它位移均為零時(shí)，在節(jié)點(diǎn)2的x方向上必須施加的力，很顯然，力的方向應(yīng)該與位移方向一致，故應(yīng)為正號(hào)。⒊剛度矩陣[K]是一個(gè)對(duì)稱矩陣，即[Krs]=[Ksr]T。所以，可以只存儲(chǔ)上三角或下三角矩陣。4.剛度矩陣[K]是一個(gè)奇異矩陣，在排除剛體位移后，它是正定陣。515.剛度矩陣[K]是一個(gè)稀疏矩陣。

如果遵守一定的節(jié)點(diǎn)編號(hào)規(guī)則，就可使矩陣的非零元素都集中在主對(duì)角線附近呈帶狀。帶狀剛度矩陣的半帶寬B取決于單元網(wǎng)格中相鄰節(jié)點(diǎn)號(hào)碼的最大差值D：

B=2(D+1)。返回2.4

整體分析圖示的單元網(wǎng)格，其整體剛度矩陣中的非零子塊（每個(gè)子塊為2行2列）的分布情況。52返回2.4

整體分析半帶寬B=（相鄰節(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值D+1）*253返回2.4

整體分析四、等效節(jié)點(diǎn)力載荷列陣整體載荷列陣{F}由彈性體全部單元的等效節(jié)點(diǎn)力集合而成，其中單元等效節(jié)點(diǎn)力{F}e

是由作用在單元上的集中力、表面力和體積力分別移置到節(jié)點(diǎn)上，再合成求得。虛位移原理:

式中，等號(hào)左邊表示單元的等效節(jié)點(diǎn)力{F}e

所做虛功；等號(hào)右邊分別是集中力{G}所做虛功、沿著單元邊界面力{q}所做虛功、體積力{p}所做虛功；t為單元的厚度。54返回2.4

整體分析{F}e={R}e+{Q}e+{P}e其中{R}e=[N]T{G}單元集中力的等效節(jié)點(diǎn)力單元表面力的等效節(jié)點(diǎn)力單元體積力的等效節(jié)點(diǎn)力則整體載荷列陣：55返回2.4

整體分析A：按彈性體靜力等效原理—虛功原理移置單元載荷。⒈集中力的等效載荷列陣{R}單元的等效節(jié)點(diǎn)力為:式中（i,j,m輪換）(Ni)c

、(Nj

)c

、(Nm)c

為形函數(shù)在集中力作用點(diǎn)C處的值。y0xijm集中力（原結(jié)構(gòu)上的載荷）56返回2.4

整體分析集中力：等效節(jié)點(diǎn)力陣：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)的虛位移為：?jiǎn)卧獌?nèi)力作用點(diǎn)C處的虛位移為：y0xijm集中力（原結(jié)構(gòu)上的載荷）推導(dǎo)：57返回2.4

整體分析，即根據(jù)虛功原理：即：其中：為形函數(shù)在集中力作用點(diǎn)處的值。58返回2.4

整體分析⒉表面力的等效載荷列陣{Q}是由作用在彈性體邊界上的表面力所引起的。單元e的ij

邊上有表面力。假設(shè)ij邊長(zhǎng)度為l，其上任一點(diǎn)P距節(jié)點(diǎn)i的距離為s，取出微元體看成小集中力對(duì)長(zhǎng)度進(jìn)行積分：59返回2.4

整體分析面力的等效節(jié)點(diǎn)力:60返回2.4

整體分析⒊體積力的等效載荷列陣{P}是由單元體積力的等效節(jié)點(diǎn)力在各節(jié)點(diǎn)處合成以后，按節(jié)點(diǎn)號(hào)碼順序排列而成，即單元e的體積力的等效節(jié)點(diǎn)力為61返回2.4

整體分析y0xijm設(shè)在單元上受有分布體力。取微元體，則此微元體可看成一個(gè)集中力：體力等效節(jié)點(diǎn)力：對(duì)三角形單元面積積分，即可得到體力位置到節(jié)點(diǎn)上的等效節(jié)點(diǎn)力列陣：62返回2.4

整體分析當(dāng)單元體是均質(zhì)、等厚、比重為時(shí)，則x=0，y=-

故有：?jiǎn)卧娣e63返回2.4

整體分析B：用剛體靜力等效原理移置單元載荷。一、體力的移置：y0xijm三角形單元的重心c上受自重，則按剛體靜力等效原理可把W直接移置到節(jié)點(diǎn)上如果單元重心c受慣性力Pu作用，且，則移置到節(jié)點(diǎn)上的等效結(jié)點(diǎn)力為：式中：——旋轉(zhuǎn)角速度

——是單元重心處x坐標(biāo)。64返回2.4

整體分析二、面力的移置：y0xijm已知在ij邊受有面力q，則移置到i、j結(jié)點(diǎn)上的等效節(jié)點(diǎn)力為：y0xijm當(dāng)某一邊上有三角形分布的面力時(shí)，可由剛體靜力等效直接寫(xiě)出65返回2.4

整體分析三、集中力的移置：如集中力G做用于一邊界上如圖：先將G分解為，后，分別按線段的比例把和分別移置到i，j兩點(diǎn)上。即：

即按靜力平衡方法分配。0xijmy66返回2.4

整體分析整體剛度矩陣的奇異性可以通過(guò)邊界約束條件來(lái)排除彈性體的剛體位移，以達(dá)到求解的目的。五、邊界條件的處理及整體剛度矩陣的修正介紹兩種比較簡(jiǎn)單的引入已知節(jié)點(diǎn)位移的方法，這兩種方法都可保持原[K]矩陣的稀疏、帶狀和對(duì)稱等特性。⒈

保持方程組為2n×2n系統(tǒng)，僅對(duì)[K]和{F}進(jìn)行修正。例如:若節(jié)點(diǎn)i在方向y的位移為vi

，則令[K]中的元素k2i,2i

為1，而第2i行和第2i列的其余元素都為零。{F}中的第2i個(gè)元素則用位移vi的已知值代入，{F}中的其它各行元素均減去已知節(jié)點(diǎn)位移的指定值和原來(lái)[K]中該行的相應(yīng)列元素的乘積。67返回2.4

整體分析假定該系統(tǒng)中節(jié)點(diǎn)位移u1

和u2分別被指定為引入u1=

1，u2=

2u1=

1引入u2=

268返回2.4

整體分析⒉將[K]中與指定的節(jié)點(diǎn)位移有關(guān)的主對(duì)角元素乘上一個(gè)大數(shù)，如1015，同時(shí)將{F}中的對(duì)應(yīng)元素?fù)Q成指定的節(jié)點(diǎn)位移值與該大數(shù)的乘積。實(shí)際上，這種方法就是使[K]中相應(yīng)行的修正項(xiàng)遠(yuǎn)大于非修正項(xiàng)。事實(shí)上，該方程組的第一個(gè)方程為69返回2.5

收斂準(zhǔn)則在有限元分析中，一旦確定單元的形狀之后，位移模式的選擇將是非常關(guān)鍵的。為了保證解答的收斂性，要求位移模式必須滿足以下三個(gè)條件:

⑵

位移模式必須能包含單元的常應(yīng)變。每個(gè)單元的應(yīng)變一般都是包含著兩個(gè)部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的坐標(biāo)位置有關(guān)的應(yīng)變（即所謂各點(diǎn)的變應(yīng)變）；另一部分是與位置坐標(biāo)無(wú)關(guān)的應(yīng)變（即所謂的常應(yīng)變）。從物理意義上看，當(dāng)單元尺寸無(wú)限縮小時(shí)，每個(gè)單元中的應(yīng)變應(yīng)該趨于常量。因此，在位移模式中必須包含有這些常應(yīng)變，否則就不可能使數(shù)值解收斂于正確解。

⑴位移模式必須包含單元的剛體位移。即，當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移由某個(gè)剛體位移所引起時(shí)，彈性體內(nèi)將不會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變。所以，位移模式要具有描述由于其它單元形變而通過(guò)節(jié)點(diǎn)位移引起單元?jiǎng)傮w位移的能力。70返回2.5

收斂準(zhǔn)則

⑶

位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)、且在相鄰單元之間的位移必須協(xié)調(diào)。當(dāng)選擇多項(xiàng)式構(gòu)成位移模式時(shí)，單元內(nèi)的連續(xù)性要求總是得到滿足的，當(dāng)單元交界面上的位移取決于該交界面上節(jié)點(diǎn)的位移時(shí)，就可以保證位移的協(xié)調(diào)性。

能夠滿足條件1和2的單元，稱為完備單元；滿足條件3的單元，叫做協(xié)調(diào)單元或保續(xù)單元。三節(jié)點(diǎn)三角形單元同時(shí)滿足上述三個(gè)條件，因此屬于完備的協(xié)調(diào)單元。

在某些梁、板及殼體分析中，要使單元滿足條件3比較困難，出現(xiàn)一些只滿足條件1和2的單元，其收斂性往往也能夠令人滿意。對(duì)于不協(xié)調(diào)單元，其主要的缺點(diǎn)是不能事先確定其剛度與真實(shí)剛度之間的大小關(guān)系。但值得指出的是，不協(xié)調(diào)單元一般不象協(xié)調(diào)單元那樣剛硬（即比較柔軟），因此有可能會(huì)比協(xié)調(diào)單元收斂得快。71返回2.5

收斂準(zhǔn)則

在選擇多項(xiàng)式作為單元的位移模式時(shí)，其階次的確定，要考慮解答的收斂性，即單元的完備性和協(xié)調(diào)性要求，另一個(gè)因素是，所選的模式應(yīng)該與局部坐標(biāo)系的方位無(wú)關(guān)，這一性質(zhì)稱為幾何各向同性。

對(duì)于線性多項(xiàng)式，各向同性的要求通常就等價(jià)于位移模式必須包含常應(yīng)變狀態(tài)。對(duì)于高次位移模式，就是不應(yīng)該有一個(gè)偏惠的坐標(biāo)方向，也就是位移形式不應(yīng)該隨局部坐標(biāo)的更換而改變。經(jīng)驗(yàn)證明，實(shí)現(xiàn)幾何各向同性的一種有效方法是，根據(jù)巴斯卡三角形來(lái)選擇二維多項(xiàng)式的各項(xiàng)。

選擇多項(xiàng)式位移模式時(shí)，通常是取項(xiàng)數(shù)與單元的外節(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)相等，取過(guò)多的項(xiàng)數(shù)是不恰當(dāng)?shù)摹?2返回2.5

收斂準(zhǔn)則常數(shù)項(xiàng)線性項(xiàng)二次項(xiàng)三次項(xiàng)四次項(xiàng)五次項(xiàng)對(duì)稱軸巴斯卡三角形73返回2.6

計(jì)算實(shí)例

如圖所示為一厚度t=1cm的均質(zhì)正方形薄板，上下受均勻拉力q=106N/m，材料彈性模量為E，泊松比，不記自重，試用有限元法求其應(yīng)力分量。123421x圖3-15y2myxq=106N/m圖3-14例174返回2.6

計(jì)算實(shí)例１.力學(xué)模型的確定２.結(jié)構(gòu)離散由于此結(jié)構(gòu)長(zhǎng)、寬遠(yuǎn)大于厚度，而載荷作用于板平面內(nèi)，且沿板厚均勻分布，故可按平面應(yīng)力問(wèn)題處理，考慮到結(jié)構(gòu)和載荷的對(duì)稱性，可取結(jié)構(gòu)的1/4來(lái)研究。結(jié)構(gòu)被離散為兩個(gè)三角形單元，節(jié)點(diǎn)編號(hào)

，單元?jiǎng)澐旨叭∽鴺?biāo)系如圖所示

，其各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值見(jiàn)表。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)１２３４xy００１０１１０１解：３.求單元的剛度矩陣1.計(jì)算單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)差及單元面積單元１（i、j、m

1，2，3）75返回2.6

計(jì)算實(shí)例2.計(jì)算各單元的剛度矩陣計(jì)算用到的常數(shù)代入公式可得:76返回2.6

計(jì)算實(shí)例所以單元1的剛度矩陣為:12312377返回2.6

計(jì)算實(shí)例單元2剛度矩陣:34134178返回2.6

計(jì)算實(shí)例組集整體剛度矩陣按剛度集成法可得整體剛度矩陣為：79返回2.6

計(jì)算實(shí)例5.引入約束條件，修改剛度方程并求解約束條件：u1

=v1=0；v2=0；u4=0

等效節(jié)點(diǎn)力列陣：代入剛度方程：劃去與0位移相對(duì)應(yīng)的1，2，4，7的行和列，則：求解所以80返回2.6

計(jì)算實(shí)例先求出各單元的應(yīng)力矩陣[S]1、[S]2，然后再求得各單元的應(yīng)力分量：6.計(jì)算各單元應(yīng)力矩陣，求出各單元應(yīng)力單元應(yīng)力可看作是單元形心處的應(yīng)力值。81返回2.6

計(jì)算實(shí)例例2

圖示為一平面應(yīng)力問(wèn)題離散化以后的總體結(jié)構(gòu)圖，單元1，2，4的結(jié)構(gòu)，單元3的結(jié)構(gòu)。用有限元法計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移、單元應(yīng)變及單元應(yīng)力（為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，取泊松比，單元厚度t=1）。xy1234651234a3ijmaaa1,2,4ijm實(shí)例2的結(jié)構(gòu)圖82返回2.6

計(jì)算實(shí)例首先確定各單元?jiǎng)偠人璧南禂?shù) 及面積A，對(duì)于單元1，2，4有：解：對(duì)于單元3有:83返回2.6

計(jì)算實(shí)例

其次，求出各單元的單元?jiǎng)偠染仃?。ijmijm1，2，4單元?jiǎng)偠染仃嚕?單元?jiǎng)偠染仃嚍椋篿jmijm84返回2.6

計(jì)算實(shí)例

各單元節(jié)點(diǎn)號(hào)與總體節(jié)點(diǎn)號(hào)對(duì)應(yīng)表

單元號(hào)

1 2 3 4

節(jié)點(diǎn)號(hào)

節(jié)點(diǎn)總編號(hào)

i12 2 3

j 2 4 5 5m3 5 3 685返回2.6

計(jì)算實(shí)例

將各單元?jiǎng)偠染仃嚢垂?jié)點(diǎn)總數(shù)及相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)號(hào)關(guān)系擴(kuò)充成12X12矩陣,分別如下:

86返回2.6

計(jì)算實(shí)例87返回2.6

計(jì)算實(shí)例88返回2.6

計(jì)算實(shí)例89返回2.6

計(jì)算實(shí)例將擴(kuò)充后的各單元?jiǎng)偠染仃囅嗉?得總體剛度矩陣K，即：90返回2.6

計(jì)算實(shí)例結(jié)構(gòu)總剛度方程為：其中邊界條件：91返回2.6

計(jì)算實(shí)例用對(duì)角元乘大數(shù)法消除奇異性后的結(jié)構(gòu)總體方程為：92返回2.6

計(jì)算實(shí)例解得的各節(jié)點(diǎn)的位移為：93返回2.6

計(jì)算實(shí)例

然后將相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)位移代入公式，可分別求得各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。

對(duì)于單元1：94返回2.6

計(jì)算實(shí)例

對(duì)于單元2：95返回2.6

計(jì)算實(shí)例

對(duì)于單元3：96返回2.6

計(jì)算實(shí)例

對(duì)于單元4：97返回2.7

平面問(wèn)題其他類(lèi)型單元一、四節(jié)點(diǎn)矩形單元

矩形單元邊長(zhǎng)分別為2a和2b，兩邊分別平行于x、y軸。若取該矩形的四個(gè)角點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，因每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移有兩個(gè)分量，所以矩形單元共有8個(gè)自由度。

采用與三角元相同的方法，對(duì)這種單元的力學(xué)特性分析。然而，如果引入一個(gè)局部坐標(biāo)系

c，就可以推出比較簡(jiǎn)潔的結(jié)果。98返回2.7

平面問(wèn)題其他類(lèi)型單元取矩形單元的形心c為局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)，

和

軸分別與整體坐標(biāo)軸x和y平行，兩坐標(biāo)系存在坐標(biāo)變換關(guān)系式中其中(xi,yi）是節(jié)點(diǎn)i的整體坐標(biāo)，i=1,2,3,4c

111324在局部坐標(biāo)系中，節(jié)點(diǎn)i的坐標(biāo)是(

i,

i)，其值分別為±1。取位移模式99返回2.7

平面問(wèn)題其他類(lèi)型單元代入節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)值，可求得位移模式中的8個(gè)未知參數(shù)

1，

2，…，

8，再把這些參數(shù)代回(a)式中，便可得到用節(jié)點(diǎn)位移表示的位移模式其中i=1,2,3,4式中單元內(nèi)任意點(diǎn)位移：100返回2.7

平面問(wèn)題其他類(lèi)型單元由幾何方程可以求得單元的應(yīng)變101返回2.7

平面問(wèn)題其他類(lèi)型單元(i=1,2,3,4)由物理方程得出用節(jié)點(diǎn)位移表示的單元應(yīng)力，即式中(i=1,2,3,4)平面應(yīng)力問(wèn)題(3-51)102返回2.7

平面問(wèn)題其他類(lèi)型單元單元?jiǎng)偠染仃噷?xiě)成分塊形式

子矩陣可按下式進(jìn)行計(jì)算單元厚度t是常量(i,j=1,2,3,4)同樣，對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，只要將上式中的E、

分別換成E/1-

2

和

/1-

即可。103返回2.7

平面問(wèn)題其他類(lèi)型單元單元?jiǎng)偠确匠蹋旱刃Ч?jié)點(diǎn)力列陣{F}e

（8個(gè)元素）：兩種常見(jiàn)載荷的等效移置：⑴對(duì)于單元的自重W，移置于每個(gè)節(jié)點(diǎn)的載荷都等于四分之一的自重，其載荷列陣為⑵如果單元在一個(gè)邊界上受有三角形分布的表面力，且在該邊界上的一個(gè)節(jié)點(diǎn)處為零，另一個(gè)節(jié)點(diǎn)處為最大，那么可將總表面力的三分之一移置到前一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，而將其三分之二移置到后一個(gè)節(jié)點(diǎn)上。104返回2.7

平面問(wèn)題其他類(lèi)型單元將各單元的[K]e、{

}e和{F}e

擴(kuò)充到整體自由度的維數(shù)，再進(jìn)行疊加，即可得到整體平衡方程。[K]{

}={F}與常應(yīng)變?nèi)切螁卧啾龋倪呅螁卧奈灰颇Ｊ皆鎏砹?/p>

項(xiàng)（即相當(dāng)于xy項(xiàng)），稱為雙線性模式。在這種位移模式下，單元內(nèi)的應(yīng)變分量將不再是常量。另外，位移模式中的

1、

2、

3、

5、

6、

7與三角形單元相同，它反映了剛體位移和常應(yīng)變，而且在單元的邊界上(

=±1或

=±1)，位移是按線性變化的，顯然，在兩個(gè)相鄰單元的公共邊界上，其位移是連續(xù)的。105返回2.7

平面問(wèn)題其他類(lèi)型單元

由單元應(yīng)力矩陣表達(dá)式還可以看出，矩形單元中的應(yīng)力分量也都不是常量。其中，正應(yīng)力分量

x的主要項(xiàng)（即不與

相乘的項(xiàng)）沿y方向線性變化，而正應(yīng)力分量

y的主要項(xiàng)則是沿x方向線性變化、剪應(yīng)力分量

xy沿x及y兩個(gè)方向都是線性變化。因此，若采用相同數(shù)目的節(jié)點(diǎn)時(shí)，矩形單元的精度要比常應(yīng)變