2019年山東省濟寧市中考數學試卷（解析版）

2019年山東省濟寧市中考數學試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目要求

1.（3分）（2019?濟寧）下列四個實數中，最小的是（）

A.-近B.-5C.1D.4

【考點】22：算術平方根；2A：實數大小比較.

【專題】511：實數.

【分析】正實數都大于0,負實數都小于0,正實數大于一切負實數，兩個負實數絕對值

大的反而小，據此判斷即可.

【解答】解：根據實數大小比較的方法，可得

-5<-A/2<1<4,

所以四個實數中，最小的數是-5.

故選：B.

【點評】此題主要考查了實數大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確:

正實數>0>負實數，兩個負實數絕對值大的反而小.

2.（3分）（2019?濟寧）如圖，直線°,6被直線c,1所截，若/1=/2,Z3=125°,則

【考點】JB：平行線的判定與性質.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；64：幾何直觀.

【分析】首先證明〃〃b,推出N4=N5,求出N5即可.

【解答】解：?.?N1=N2,

.\a//b,

：.Z4=Z5,

VZ5=180°-Z3=55

：.Z4=55°,

【點評】本題考查平行線的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常

考題型.

3.（3分）（2019?濟寧）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【考點】P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉與對稱.

【分析】直接利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A、既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故此選項正確；

2、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

。、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：A.

【點評】此題主要考查了中心對稱與軸對稱的概念：軸對稱的關鍵是尋找對稱軸，兩邊

圖象折疊后可重合，中心對稱是要尋找對稱中心，旋轉180°后與原圖重合.

4.（3分）（2019?濟寧）以下調查中，適宜全面調查的是（）

A.調查某批次汽車的抗撞擊能力

B.調查某班學生的身高情況

C.調查春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率

D.調查濟寧市居民日平均用水量

【考點】V2：全面調查與抽樣調查.

【專題】542：統(tǒng)計的應用；65：數據分析觀念.

【分析】根據普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調

查得到的調查結果比較近似解答.

【解答】解：4調查某批次汽車的抗撞擊能力，適合抽樣調查，故A選項錯誤；

8、調查某班學生的身高情況，適合全面調查，故8選項正確；

C、調查春節(jié)聯(lián)歡晚會的收視率，適合抽樣調查，故C選項錯誤；

。、調查濟寧市居民日平均用水量，適于抽樣調查，故。選項錯誤.

故選：B.

【點評】本題考查了抽樣調查和全面調查的區(qū)別，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考

查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的

意義或價值不大，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選

用普查.

5.（3分）（2019?濟寧）下列計算正確的是（）

A.,（-3）2==B.返=相C.V36=+6D.-VO.36=-0.6

【考點】22：算術平方根；24：立方根.

【專題】514：二次根式；61：數感；66：運算能力.

【分析】直接利用二次根式的性質以及立方根的性質分析得出答案.

【解答】解：A、斤=3,故此選項錯誤；

B、牛石=-我，故此選項錯誤；

C、倔=6,故此選項錯誤；

D、-Vo.36=-0.6,正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了二次根式的性質以及立方根的性質，正確掌握相關性質是解題

關鍵.

6.（3分）（2019?濟寧）世界文化遺產“三孔”景區(qū)已經完成5G基站布設，“孔夫子家”自

此有了5G網絡.5G網絡峰值速率為4G網絡峰值速率的10倍，在峰值速率下傳輸500

兆數據，5G網絡比4G網絡快45秒，求這兩種網絡的峰值速率.設4G網絡的峰值速率

為每秒傳輸x兆數據，依題意，可列方程是（）

A500_500=《5B500_500=45

C5000_500=45D500_5000=45

xx

【考點】B6：由實際問題抽象出分式方程.

【專題】522：分式方程及應用.

【分析】直接利用5G網絡比4G網絡快45秒得出等式進而得出答案.

【解答】解：設4G網絡的峰值速率為每秒傳輸無兆數據，依題意，可列方程是：

-5-0-0-.5.0.0-—4435.

X10x

故選：A.

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，正確得出等式是解題關鍵.

7.（3分）（2019?濟寧）如圖，一個幾何體上半部為正四棱錐，下半部為立方體，且有一個

面涂有顏色，該幾何體的表面展開圖是（）

【考點】16：幾何體的展開圖.

【專題】16：壓軸題.

【分析】由平面圖形的折疊及幾何體的展開圖解題，注意帶圖案的一個面不是底面.

【解答】解：選項A和C帶圖案的一個面是底面，不能折疊成原幾何體的形式；

選項B能折疊成原幾何體的形式；

選項。折疊后下面帶三角形的面與原幾何體中的位置不同.

故選：B.

【點評】本題主要考查了幾何體的展開圖.解題時勿忘記正四棱柱的特征及正方體展開

圖的各種情形.注意做題時可親自動手操作一下，增強空間想象能力.

8.（3分）（2019?濟寧）將拋物線y=/-6x+5向上平移兩個單位長度，再向右平移一個單

位長度后，得到的拋物線解析式是（）

A.y=（尤-4）2-6B.y=（x-1）2-3C.y=（x-2）2-2D.y=（x-4）2-2

【考點】H6：二次函數圖象與幾何變換.

【專題】535：二次函數圖象及其性質；67：推理能力；68：模型思想.

【分析】先把y=/-6x+5配成頂點式，得到拋物線的頂點坐標為（3,-4）,再把點（3,

-4）向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到點的坐標為（4,-2）,然

后根據頂點式寫出平移后的拋物線解析式.

【解答】解：y=f-6x+5=（尤-3）2-4,即拋物線的頂點坐標為（3,-4）,

把點（3,-4）向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到點的坐標為（4,

-2）,

所以平移后得到的拋物線解析式為y=（x-4）2-2.

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故。不

變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點

平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出

解析式.

9.（3分）（2019?濟寧）如圖，點A的坐標是（-2,0）,點8的坐標是（0,6）,C為OB

的中點，將△ABC繞點8逆時針旋轉90°后得到B'C.若反比例函數y=K的

x

圖象恰好經過A'2的中點。，則上的值是（）

【考點】G6：反比例函數圖象上點的坐標特征；R7：坐標與圖形變化-旋轉.

【專題】534：反比例函數及其應用.

【分析】作A'H_Ly軸于證明△AOBg△BttV（44S）,推出。4=8"，OB=A'

H,求出點A'坐標，再利用中點坐標公式求出點。坐標即可解決問題.

【解答】解：作A'軸于X.

.0???

.*ZAOB=ZA'HB=ZABAr=90°,

??NA50+NA，BH=90°,ZABO+ZBAO=90°,

\ZBAO=ZA'BH,

：BA=BAr,

,?AAOB^ABHA'(A4s),

??OA=BH,OB=A'H,

??點A的坐標是(-2,0),點3的坐標是(0,6),

\。4=2,05=6,

??BH=OA=2,ArH=OB=6,

??OH=4,

??A，(6,4),

：BD=ArD,

\D(3,5),

.?反比例函數y=K的圖象經過點D,

9.k=15.

故選：C.

【點評】本題考查反比例函數圖形上的點的坐標特征，坐標與圖形的變化-旋轉等知識,

解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓

軸題.

10.（3分）（2019?濟寧）已知有理數aWl,我們把」一稱為a的差倒數，如：2的差倒數

是-^=-1,-1的差倒數是————=4-如果。1=-2,（12是ai的差倒數，。3是。2

1-(-1)2

的差倒數，44是〃3的差倒數...依此類推，那么G1+Q2+…+4100的值是（）

A.-7.5B.7.5C.5.5D.-5.5

【考點】17：倒數；37：規(guī)律型：數字的變化類.

【專題】2A：規(guī)律型.

【分析】求出數列的前4個數，從而得出這個數列以-2,1,上依次循環(huán)，且-2+1+上

3232

=-1，再求出這100個數中有多少個周期，從而得出答案.

6

【解答】解：：m=-2,

??6E2=—--=--，43=\~=--，6f4=c~~-2,.........

1-（-2）32-

32

這個數列以-2,1,上依次循環(huán)，且-2+工+鄉(xiāng)=-1,

32326

V1004-3=33—l,

11K

；.。1+。2+…+aioo=33X（--）-2=--7.5,

62

故選：A.

【點評】本題考查了規(guī)律型：數字的變化類：通過從一些特殊的數字變化中發(fā)現(xiàn)不變的

因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況.

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。

11.（3分）（2019?濟寧）己知x=l是方程尤2+法-2=0的一個根，則方程的另一個根是

2.

【考點】A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程-因式分解法.

【專題】11：計算題.

【分析】根據根與系數的關系得出XIX2=￡=-2,即可得出另一根的值.

a

【解答】解：〈xn是方程-2=0的一個根，

.*.X\X2=—=-2,

a

：.1XX2=-2,

則方程的另一個根是：-2,

故答案為-2.

【點評】此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，得出兩根之積求出另一根是解

決問題的關鍵.

12.（3分）（2019?濟寧）如圖，該硬幣邊緣鐫刻的正九邊形每個內角的度數是」0：

【考點】L3：多邊形內角與外角.

【專題】555：多邊形與平行四邊形.

【分析】先根據多邊形內角和定理：180°?（”-2）求出該多邊形的內角和，再求出每一

個內角的度數.

【解答】解：該正九邊形內角和=180°X（9-2）=1260°,

則每個內角的度數=絲g—=140°.

9

故答案為：140°*

【點評】本題主要考查了多邊形的內角和定理：180°?（"-2）,比較簡單，解答本題的

關鍵是直接根據內角和公式計算可得內角和.

13.（3分）（2019?濟寧）已知點P（無，y）位于第四象限，并且xWy+4（x,y為整數），寫

出一個符合上述條件的點P的坐標（1,-2）（答案不唯一）.

【考點】D1：點的坐標.

【專題】531：平面直角坐標系.

【分析】直接利用第四象限內點的坐標特點得出無，y的取值范圍，進而得出答案.

【解答】解：:.點P（x,y）位于第四象限，并且xWy+4（x,y為整數），

.'.x>0,y<0,

工當％=1時,lWy+4,

解得：0>y2-3,

.?.y可以為：-2,

故寫一個符合上述條件的點尸的坐標可以為：（1，-2）（答案不唯一）.

故答案為：（1,-2）（答案不唯一）.

【點評】此題主要考查了點的坐標，正確把握橫縱坐標的符號是解題關鍵.

14.（3分）（2019?濟寧）如圖，。為直角邊AC上一點，以OC為半徑的。0與

斜邊相切于點￡?,交04于點E,已知BC=?,AC=3.則圖中陰影部分的面積是

2L

【考點】KQ：勾股定理；MC：切線的性質；MO：扇形面積的計算.

【專題】55C：與圓有關的計算.

【分析】首先利用勾股定理求出AB的長，再證明BD=BC,進而由AD=AB-BD可求

出A。的長度；利用特殊角的銳角三角函數可求出/A的度數，則圓心角NOO4的度數

可求出，在直角三角形0D4中求出。。的長，最后利用扇形的面積公式即可求出陰影部

分的面積.

【解答】解：在RtZxABC中，AC=3.

???AB=hc2+BC2=2a'

-：BC±OC,

是圓的切線，

,/Q0與斜邊AB相切于點D,

：.BD=BC,

：.AD=AB-BD=2M-眄=如；

在RtaABC中，：sinA=T=』L=』

AB2V32

AZA=30°,

,/O。與斜邊AB相切于點D,

：.OD±AB,

：.ZAOD=90°-NA=60°,

-^5-=tanA=tan300,

AD

OP_V3

7F亍

：.OD=\,

60兀Xl2兀

陰影

360T

故答案是：2L.

6

【點評】本題考查了切線的性質定理、切線長定理以及勾股定理的運用，熟記和圓有關

的各種性質定理是解題的關鍵.

15.（3分）（2019?濟寧）如圖，拋物線與直線>=如+〃交于A（-1,p）,B（3,

q）兩點，則不等式af+mx+c”的解集是-3或%>1.

【考點】HC：二次函數與不等式（組）.

【專題】535：二次函數圖象及其性質.

【分析】觀察兩函數圖象的上下位置關系，即可得出結論.

【解答】解：J?拋物線>=以2+。與直線丁=如汁〃交于A（-1,夕），B（3,q）兩點，

-m+n=p,3m+n=q,

「?拋物線與直線>=-如十"交于尸（1,〃），。（一3,q）兩點，

觀察函數圖象可知：當工〈-3或%>1時，直線y=-加什幾在拋物線>=以2+法+。的下

方，

不等式aj?+mx+c>n的解集為x<-3或x>1.

故答案為：xV-3或x>l.

【點評】本題考查了二次函數與不等式，根據兩函數圖象的上下位置關系找出不等式的

解集是解題的關鍵.

三、解答題：本大題共7小題，共55分，

16.（6分）（2019?濟寧）計算：6sin60°-V12+（―）°+“5-2018|

2

【考點】2C：實數的運算；6E：零指數累；T5：特殊角的三角函數值.

【專題】11：計算題；511：實數.

【分析】本題涉及零指數塞、絕對值、特殊角的三角函數值、二次根式化簡4個考點.在

計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果.

【指軍答】解：原式=6義苧_2?+l+2018~V5，

=2019.

【點評】此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

17.（7分）（2019?濟寧）某校為了解學生課外閱讀情況，就學生每周閱讀時間隨機調查了

部分學生，調查結果按性別整理如下：

女生閱讀時間人數統(tǒng)計表

閱讀時間f（小時）人數占女生人數百分比

0^/<0.5420%

0.5W/V1m15%

525%

1.5W/V26n

2W/V2.5210%

根據圖表解答下列問題：

（1）在女生閱讀時間人數統(tǒng)計表中，m=3,n=30%；

（2）此次抽樣調查中，共抽取了50名學生，學生閱讀時間的中位數在1W/V1.5

時間段；

（3）從閱讀時間在2?2.5小時的5名學生中隨機抽取2名學生參加市級閱讀活動，恰好

抽到男女生各一名的概率是多少？

男生閱讀時間頻數分布直方圖

人數（人）

A

12■12

【考點】V2：全面調查與抽樣調查；V7：頻數（率）分布表；VB：扇形統(tǒng)計圖；W4：

中位數；X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】（1）由0Wf<0.5時間段的人數及其所占百分比可得女生人數，再根據百分比的

意義求解可得；

（2）將男女生人數相加可得總人數，再根據中位數的概念求解可得；

（3）利用列舉法求得所有結果的個數，然后利用概率公式即可求解.

【解答】解：（1）女生總人數為4?20%=20（人），

.,./77=2OX15%=3,X100%=30%,

20

故答案為：3,30%；

（2）學生總人數為20+6+5+12+4+3=50（人），

這組數據的中位數是第25、26個數據的平均數，而第25、26個數據均落在范

圍內，

學生閱讀時間的中位數在時間段，

故答案為:50,iwyi.5；

（3）學習時間在2?2.5小時的有女生2人，男生3人.

女女男勇男

/'/W/N/Z/Z

女男男男女男男男女女男男女女男男女女男男

共有20種可能情況，則恰好抽到男女各一名的概率是絲=3.

205

【點評】本題考查讀頻數分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計圖

獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題.

18.（7分）（2019?濟寧）如圖，點M和點N在乙4。8內部.

（1）請你作出點P,使點P到點M和點N的距離相等，且到ZAOB兩邊的距離也相等

（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）請說明作圖理由.

【考點】KF：角平分線的性質；KG：線段垂直平分線的性質；N3：作圖一復雜作圖.

【專題】13：作圖題.

【分析】（1）根據角平分線的作法、線段垂直平分線的作法作圖；

（2）根據角平分線的性質、線段垂直平分線的性質解答.

【解答】解：（1）如圖，點、P到點M和點N的距離相等，且到NA03兩邊的距離也相

李；

（2）理由：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等、直平分線上的點到線段兩端點的

【點評】本題考查的是復雜作圖、角平分線的性質、線段垂直平分線的性質，掌握基本

作圖的一般步驟、角平分線的性質、線段垂直平分線的性質是解題的關鍵.

19.（8分）（2019?濟寧）小王騎車從甲地到乙地，小李騎車從乙地到甲地，小王的速度小

于小李的速度，兩人同時出發(fā)，沿同一條公路勻速前進.圖中的折線表示兩人之間的距

離y與小王的行駛時間無（力）之間的函數關系.

請你根據圖象進行探究：

（1）小王和小李的速度分別是多少？

（2）求線段BC所表示的y與x之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

【專題】533：一次函數及其應用.

【分析】（1）根據題意和函數圖象中的數據可以分別求得王和小李的速度；

（2）根據（1）中的結果和圖象中的數據可以求得點C的坐標，從而可以解答本題.

【解答】解：（1）由圖可得，

小王的速度為：304-3=10W/z,

小李的速度為：（30-10X1）+l=20km/h,

答：小王和小李的速度分別是10km/h,2Qkm/h；

（2）小李從乙地到甲地用的時間為：304-20=1.5//,

當小李到達甲地時，兩人之間的距離為：10X1.5=15）tm,

.,.點C的坐標為（1.5,15）,

設線段BC所表示的y與x之間的函數解析式為y=kx+b,

產0,得產。,

ll.5k+b=15lb=-30

即線段所表示的y與x之間的函數解析式是y=30x-30（lWxWL5）.

【點評】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質

和數形結合的思想解答.

20.（8分）（2019?濟寧）如圖，A2是O。的直徑，C是。。上一點，。是AC的中點，E為

。。延長線上一點，且NCAE=2NC,AC與BD交于點H,與OE交于點F.

(1)求證：AE是O。的切線;

(2)若。H=9,tanC=工，求直徑A3的長.

4

【考點】M2：垂徑定理；M5：圓周角定理；ME：切線的判定與性質；T7：解直角三角

形.

【專題】55A：與圓有關的位置關系.

【分析】(1)根據垂徑定理得到OE_LAC,求得/AFE=90°,求得/胡。=90°,于是

得到結論；

(2)連接AD,解直角三角形即可得到結論.

【解答】解：(1),??。是血的中點,

OELAC,

：.ZAFE^90°,

：.ZE+ZEAF=90°,

VZAOE=2ZC,ZCAE=2ZC,

：.ZCAE=ZAOE,

：.ZE+ZAOE^90°,

：.ZEAO=90°,

是O。的切線；

(2)連接AO,在RfAOH中，

'：ZDAC^ZC,

tanZDAC=tanC=—,

4

,:DH=9,

:.AD=n,

在RtBDA中，*.*tanB=tanC=上,

sinB=—,

5

：.AB=20.

【點評】本題考查了切線的判定和性質，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和

性質，正確的識別圖形是解題的關鍵.

21.（8分）（2019?濟寧）閱讀下面的材料：

如果函數y=/（x）滿足：對于自變量x的取值范圍內的任意xi,及，

（1）若Xl<%2,都有了（XI）</（X2）,則稱/（X）是增函數；

（2）若羽<%2,都有/（幻）>/（X2）,則稱/（%）是減函數.

例題：證明函數/（x）=—（x>0）是減函數.

證明：設0Vxi〈x2,

Sc6x-6x16（x-xi）

/（XI）-于（X2）=--2=—2------1=——2-?J—.

盯x2盯乂？X|x2

VO<X1<X2,

.*.X2-XI>0,XlX2>0.

6（x9-xi）

??--------------—>0.即/（xi）-f（X2）>0.

xlx2

（XI）>f（X2）.

...函數/（x）—g（x>0）是減函數.

X

根據以上材料，解答下面的問題：

已知函數/（%）=」亍+%（xV。），

7

4

(1)計算：/(-3)①一，/（-4）63

16-

（2）猜想：函數/（尤）=A-+x（x<0）是增函數（填“增”或“減”）；

（3）請仿照例題證明你的猜想.

【考點】E4：函數自變量的取值范圍；G6：反比例函數圖象上點的坐標特征.

【專題】534：反比例函數及其應用.

【分析】（1）根據題目中函數解析式可以解答本題；

（2）由（1）結論可得；

（3）根據題目中例子的證明方法可以證明（1）中的猜想成立.

【解答】解：（1）,//（%）=得~+無（尤<°），

-3)=-3=-2/(-4)=—-4=-生

(-3)

故答案為：-空,63

16

(2)V-4<-3,/(-4)</(-3)

，函數/(無)=」亍+"(x<0)是增函數

X

故答案為：增

(3)設xiV%2V0,

11Xi+x2

V/(XI)-f(X2)=-----+xi-------X2=(XI-X2)(1------——

Y49..22..2

Vxi<x2<0,

.".XI-X2<0,Xl+X2<0,

.*./（XI）-f（X2）<0

（XI）<f（X2）

，函數/（x）（x<0）是增函數

X

【點評】本題考查反比例函數圖象上的坐標特征、反比例函數的性質，解答本題的關鍵

是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用反比例函數的性質解答.

22.（H分）（2019?濟寧）如圖1,在矩形A3CD中，AB=8,AD=10,E是CD邊上一點，

連接AE,將矩形A8C0沿A石折疊，頂點。恰好落在8。邊上點尸處，延長AE交8C

的延長線于點G.

（1）求線段CE的長；

（2）如圖2,M,N分別是線段AG,OG上的動點（與端點不重合），且

設AM—x,DN—y.

①寫出y關于x的函數解析式，并求出y的最小值；

②是否存在這樣的點M，使是等腰三角形？若存在，請求出尤的值；若不存在,

請說明理由.

【考點】L0：四邊形綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】（1）由翻折可知：AD=AF=10.DE=EF,設EC=x,貝l|DE=EF=8-x.在

中，利用勾股定理構建方程即可解決問題.

（2）①證明可得旭1=幽，由此即可解決問題.

MGGN

②存在.有兩種情形：如圖3-1中，當MN=MD時.如圖3-2中，當時，

作MHLDG于H.分別求解即可解決問題.

【解答】解：（1）如圖1中,

圖1

:四邊形A8C￡＞是矩形，

：.AD=BC^1Q,AB=CD=8,

：.ZB=ZBCD=90°,

由翻折可知：10.DE=EF,設EC=x,則。E=EP=8-x.

在中，8尸=4研2rB2=6,

：.CF=BC-BF=lQ-6=4,

在RtZXEFC中，則有：（8-x）2=?+42,

...x=3,

：.EC=3.

(2)①如圖2中,

'：AD//CG,

?AD=DE

,*CGCE"

.10_5

??一——?

CG3

；.CG=6,

：.BG=BC+CG=16,

在RtZkABG中，AG=Jg2+162=875,

在RtZXOCG中，DG=J62+g2=10,

:AO=OG=10,

：.ZDAG=ZAGD,

,：/DMG=ZDMN+ZNMG^ZDAM+ZADM,/DMN=ADAM,

：.ZADM=ZNMG,

：.AADMsAGMN,

.AD=AM

"MGGN'

-10_X

-x10-y

2

.?.y=A_x-i^x+lO.

,105

當x=4旄時，y有最小值，最小值=2.

②存在.有兩種情形：如圖3-1中，當MN=M。時,

圖3-1

VZMDN=ZGMDfZDMN=ZDGM,

:?ADMNs叢DGM,

.DM=MN

**DGGM，

■:MN=DM,

：.DG=GM=10,

：.x=AM=Sy/s-10.

如圖3-2中，當MN=OV時，作M"_LQG于H.

圖3?2

°：MN=DN,

：.ZMDN=ZDMNf

,：ZDMN=ZDGM,

：.NMDG=/MGD,

：.MD=MG,

9：MH±DG,

:?DH=GH=5,

由△G〃MS2^GR4,可得@1=螞

GBAG

.5—MG

"T?礪，

2_

；.x=AM=8泥-殳應=I1'西.

22_

綜上所述，滿足條件的x的值為8泥-10或衛(wèi)位.

2

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質，翻折變換，解直角三角形，相似

三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數構

建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

考點卡片

1.倒數

(1)倒數：乘積是1的兩數互為倒數.

一般地，??—=1QWO),就說a(aWO)的倒數是L.

aa

(2)方法指引:

①倒數是除法運算與乘法運算轉化的“橋梁”和“渡船”.正像減法轉化為加法及相反數一

樣，非常重要.倒數是伴隨著除法運算而產生的.

②正數的倒數是正數，負數的倒數是負數，而0沒有倒數，這與相反數不同.

【規(guī)律方法】求相反數、倒數的方法

求一個數的相反數求一個數的相反數時，只需在這個數前面加上“-”即可

求一個數的倒數求一個整數的倒數，就是寫成這個整數分之一

求一個分數的倒數，就是調換分子和分母的位置

注意：0沒有倒數.

2.算術平方根

(1)算術平方根的概念：一般地，如果一個正數x的平方等于m即/=〃，那么這個正數

x叫做a的算術平方根.記為a.

(2)非負數a的算術平方根a有雙重非負性：①被開方數。是非負數；②算術平方根。本

身是非負數.

(3)求一個非負數的算術平方根與求一個數的平方互為逆運算，在求一個非負數的算術平

方根時，可以借助乘方運算來尋找.

3.立方根

(1)定義：如果一個數的立方等于a,那么這個數叫做。的立方根或三次方根.這就是說,

如果尤3=°,那么x叫做a的立方根.記作：圾.

(2)正數的立方根是正數，0的立方根是0,負數的立方根是負數.即任意數都有立方根.

(3)求一個數a的立方根的運算叫開立方，其中。叫做被開方數.

注意：符號。3中的根指數“3”不能省略；對于立方根，被開方數沒有限制，正數、零、負

數都有唯一一個立方根.

【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質

I.平方根的性質：正數。有兩個平方根，它們互為相反數；。的平方根是0；負數沒有平方

根.

2.立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數,

0的立方根是0.

4.實數大小比較

實數大小比較

（1）任意兩個實數都可以比較大小.正實數都大于0,負實數都小于0,正實數大于一切負

實數，兩個負實數絕對值大的反而小.

（2）利用數軸也可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比

左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小.

5.實數的運算

（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方.

（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用.

【規(guī)律方法】實數運算的“三個關鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、幕的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根

式運算、特殊三角函數值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

6.規(guī)律型：數字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數列有關的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識的基礎上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

（1）探尋數列規(guī)律：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法.

（2）利用方程解決問題.當問題中有多個未知數時，可先設出其中一個為無，再利用它們

之間的關系，設出其他未知數，然后列方程.

7.零指數嘉

零指數累：J=1QWO)

由a，“+a，”=l,可推出/=1(a#O)

注意：O°#l.

8.一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解?又因為只含有一個未知

數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數解.這XI,X2是一元二次方程af+bx+c

=0QW0)的兩實數根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

ax^+bxx+c—O(aWO),ax,^+bxi+c—O(aWO).

9.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程

最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形

式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把

原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了(數學轉化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因

式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程

的解.

10.由實際問題抽象出分式方程

由實際問題抽象出分式方程的關鍵是分析題意找出相等關系.

(1)在確定相等關系時，一是要理解一些常用的數量關系和一些基本做法，如行程問題中

的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時間相等、追擊的時間相等.

(2)列分式方程解應用題要多思、細想、深思，尋求多種解法思路.

11.點的坐標

(1)我們把有順序的兩個數。和b組成的數對，叫做有序數對，記作(a,b).

（2）平面直角坐標系的相關概念

①建立平面直角坐標系的方法：在同一平面內畫；兩條有公共原點且垂直的數軸.

②各部分名稱：水平數軸叫x軸（橫軸），豎直數軸叫y軸（縱軸），尤軸一般取向右為正方

向，y軸一般取象上為正方向，兩軸交點叫坐標系的原點.它既屬于x軸，又屬于y軸.

（3）坐標平面的劃分

建立了坐標系的平面叫做坐標平面，兩軸把此平面分成四部分，分別叫第一象限，第二象限,

第三象限，第四象限.坐標軸上的點不屬于任何一個象限.

（4）坐標平面內的點與有序實數對是一一對應的關系.

12.函數自變量的取值范圍

自變量的取值范圍必須使含有自變量的表達式都有意義.

①當表達式的分母不含有自變量時，自變量取全體實數.例如y=2x+13中的》.

②當表達式的分母中含有自變量時，自變量取值要使分母不為零.例如y=x+2尤-1.

③當函數的表達式是偶次根式時，自變量的取值范圍必須使被開方數不小于零.

④對于實際問題中的函數關系式，自變量的取值除必須使表達式有意義外，還要保證實際

問題有意義.

13.一次函數的應用

1、分段函數問題

分段函數是在不同區(qū)間有不同對應方式的函數，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科

學合理，又要符合實際.

2、函數的多變量問題

解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關系，選取其中一個變量作為自變量，然后根

據問題的條件尋求可以反映實際問題的函數.

3、概括整合

（1）簡單的一次函數問題：①建立函數模型的方法；②分段函數思想的應用.

（2）理清題意是采用分段函數解決問題的關鍵.

14.反比例函數圖象上點的坐標特征

反比例函數y=左/無（左為常數，左力0）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點（尤，y）的橫縱坐標的積是定值上即孫=心

②雙曲線是關于原點對稱的，兩個分支上的點也是關于原點對稱；

③在y=klx圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形

的面積是定值I川.

15.二次函數圖象與幾何變換

由于拋物線平移后的形狀不變，故。不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方

法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮

平移后的頂點坐標，即可求出解析式.

16.二次函數與不等式（組）

二次函數＞="/+笈+。（a、b、c是常數，。=0）與不等式的關系

①函數值y與某個數值m之間的不等關系，一般要轉化成關于x的不等式，解不等式求得

自變量尤的取值范圍.

②利用兩個函數圖象在直角坐標系中的上下位置關系求自變量的取值范圍，可作圖利用交

點直觀求解，也可把兩個函數解析式列成不等式求解.

17.幾何體的展開圖

（1）多數立體圖形是由平面圖形圍成的.沿著棱剪開就得到平面圖形，這樣的平面圖形就

是相應立體圖形的展開圖.同一個立體圖形按不同的方式展開，得到的平面展開圖是不一樣

的，同時也可看出，立體圖形的展開圖是平面圖形.

（2）常見幾何體的側面展開圖：

①圓柱的側面展開圖是長方形.②圓錐的側面展開圖是扇形.③正方體的側面展開圖是長

方形.④三棱柱的側面展開圖是長方形.

（3）立體圖形的側面展開圖，體現(xiàn)了平面圖形與立體圖形的聯(lián)系.立體圖形問題可以轉化

為平面圖形問題解決.

從實物出發(fā)，結合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結合立體圖形與平面圖形的轉化,

建立空間觀念，是解決此類問題的關鍵.

18.平行線的判定與性質

（1）平行線的判定是由角的數量關系判斷兩直線的位置關系.平行線的性質是由平行關系

來尋找角的數量關系.

（2）應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄清題設和結論，切莫混淆.

（3）平行線的判定與性質的聯(lián)系與區(qū)別

區(qū)別：性質由形到數，用于推導角的關系并計算；判定由數到形，用于判定兩直線平行.

聯(lián)系：性質與判定的已知和結論正好相反，都是角的關系與平行線相關.

（4）輔助線規(guī)律，經常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構造出三類角.

19.角平分線的性質

角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質可以獨立作為證明兩條線段

相等的依據，有時不必證明全等；③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角

平分線的性質語言：如圖，：C在的平分線上，CD±OA,CELOB：.CD=CE

20.線段垂直平分線的性質

（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平

分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”.

（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，到

線段兩端點的距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心,

并且這一點到三個頂點的距離相等.

21.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為C,那么。2+廬=02.

（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式/+信=°2的變形有：a=Qc2f2,7c2-a2及c=“+b2?

（4）由于。2+必=。2>“2,所以c>°,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

22.多邊形內角與外角

（1）多邊形內角和定理：（〃-2）780（"23）且w為整數）

此公式推導的基本方法是從〃邊形的一個頂點出發(fā)引出（w-3）條對角線，將"邊形分割為

（”-2）個三角形，這（”-2）個三角形的所有內角之和正好是“邊形的內角和.除此方法

之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的.即將多邊形轉化為三角形，這也

是研究多邊形問題常用的方法.

（2）多邊形的外角和等于360度.

①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則〃邊形取一個外角，無論邊數是幾，其外

角和永遠為360°.

②借助內角和和鄰補角概念共同推出以下結論:外角和=180°n-Cn-2）?180°=360。.

23.四邊形綜合題

四邊形綜合題.

24.垂徑定理

（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

25.圓周角定理

（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.

注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上.②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不

可.

（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.

推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.

（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能

技巧一定要掌握.

（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形.利用等腰三角形

的頂點和底角的關系進行轉化.②圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”——圓心角

轉化.③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條

件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角.

26.切線的性質

（1）切線的性質

①圓的切線垂直于經過切點的半徑.

②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.

③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.

（2）切線的性質可總結如下：

如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個,那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是:

①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直.

（3）切線性質的運用

由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系.簡記作：

見切點，連半徑，見垂直.

27.切線的判定與性質

（1）切線的性質

①圓的切線垂直于經過切點的半徑.

②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.

③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.

（2）切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

（3）常見的輔助線的：

①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；

②有切線時，常?！坝龅角悬c連圓心得半徑”.

28.扇形面積的計算

（1）圓面積公式：S=iTr

（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.

（3）扇形面積計算公式：設圓心角是"，圓的半徑為R的扇形面積為S,則

S扇形=———RR?或S扇形=工/7?（其中/為扇形的弧長）

3602

（4）求陰影面積常用的方法：

①直接用公式法；

②和差法；

③割補法.

（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉化為規(guī)則圖形的面積.

29.作圖一復雜作圖

復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方

法.

解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解

成基本作圖，逐步操作.

30.軸對稱圖形

(1)軸對稱圖形的概念：

如果一個圖形沿一條直線